Potencial, Trabalho e Energia Potencial Eletrostática

Transcrição

1 Cpítulo 4 Potencil, Trblho e Energi Potencil Eletrostátic Existe um conexão entre o potencil elétrico e energi potencil, como veremos, ms não devemos esquecer que são dus quntiddes essencilmente distints. 4.1 O que é o potencil eletrostático? O potencil elétrico é um grndez esclr, prtir d qul podemos determinr o cmpo elétrico. Isto signific que é freqüentemente mis simples, do ponto de vist lgébrico, determinr o potencil eletrostático e prtir dele, então, obter o cmpo elétrico. A rzão pel qul é possível estbelecer um conexão diret entre um grndez esclr e outr vetoril é um propriedde importnte dos cmpos eletrostáticos, completmente nálog à que têm s forçs conservtivs n Mecânic de Newton. Neste cso, lembremos que, se um forç F for conservtiv, isso se express mtemticmente d seguinte form V M F= b F dl=v M(b) V M () E est integrl não depende do cminho, ms pens dos pontos inicil e finl. é o potencil mecânico, um esclr, função pens dos pontos e b. Então podemos, sempre que forç for conservtiv, definir um grndez esclr, o po- 83

2 tencil, como n equção cim. E é fácil verificr que vle tmbém equção F = V M, pois se F = F = V M, um vez que ( V M )=, V. E n eletrostátic, qul o nálogo dess situção? Vmos estudr o rotcionl do cmpo produzido por um crg puntiforme q, n origem de um sistem de coordends E = q 4πɛ r r 3 Lembrndo que r = xî + yĵ + zˆk, e que o operdor = î x +ĵ y + ˆk z, temos que componente x do rotcionl de E é ddo por [ ĵ ˆk z y (x + y + z ) ] y = 3/ z (x + y + z ) 3/ [ = ĵ ˆk 3 yz (x + y + z ) + 3 ] zy = 5/ (x + y + z ) 5/ E nlogmente pr s outrs dus componentes. Então podemos sempre escrever, em nlogi com Mecânic r E= V E (r)= E dl, origem ou E = V E Dqui pr frente, vmos denominr o potencil eletrostático pens por V (r). Vmos então estudr e comentr expressão integrl pr V (r) r V (r) = E dl origem A origem é em gerl escolhid como um ponto de referênci conveniente. Por isso, V só depende de r. Ess quntidde, ssim definid, é o potencil eletrostático. 84

3 Observções importntes: 1) Vntgem d descrição trvés do potencil eletrostático: - Como vimos, um vez conhecido V (r)é muito simples obter E(r), por um operção de derivção. Um questão se coloc, então, imeditmente: o potencil é um quntidde esclr enqunto que o cmpo elétrico éumvetor. Como éentão possível, prtir de um únic função, obter informção sobre três componentes do cmpo? A respost ess pergunt é que s três componentes do cmpo não são relmente independentes pois E=,(E=E x î+e y ĵ+e zˆk) o que implic E x y = E y x ; E z y = E y z ; E x z = E z x Então, o cmpo eletrostático não é um cmpo qulquer, é um cmpo com um propriedde importnte, que permite reduzir um problem vetoril um problem esclr. ) O ponto de referênci O: - Clrmente existe um mbigüidde essencil n definição do potencil, um vez que origem O é rbitrári. Mudr origem, é equivlente lterr o potencil por um constnte. r O r V (r) = E dl= E dl E dl=c+v (r) O O O Onde C = O E dl. É clro, tmbém, que lterr o potencil por um O constnte, em nd mud diferenç de potencil. V (b) V () =V(b) V() Independente d origem escolhid. Tmbém, dicionr um constnte o potencil não vi lterr o vlor do cmpo elétrico, um vez que derivd de um constnte é zero e V = V 3) Evidentemente, o potencil, em si, não tem nenhum significdo físico, pois, o vlor do potencil em qulquer ponto pode sempre ser justdo trvés de um nov escolh conveniente de origem. Neste sentido é precido com grndez ltitude. 85

4 Por exemplo, à pergunt qul ltitude de São Pulo, respost mis provável seri: está cim do nível do mr. Ms poderímos igulmente tomr outro ponto como referênci, Cmpos do Jordão, por exemplo. Esss escolhs lterrim o vlor d ltitude, ms em nd lterrim situção rel d cidde. Aúnic quntidde com interesse intrínseco édiferenç de ltidudes, que será mesm independentemente d referênci escolhid. N eletrostátic, d mesm form que o nível do mr é, pr ltitudes, um referênci nturl, referênci nturl é um ponto infinitmente fstdo d crg que ger o potencil. Normlmente o que se fz é escolher o zero no infinito. Devemos pens ter especil tenção com o cso de um distribuição infinit de crgs. Nesse cso, se escolhermos o infinito como origem, teremos um potencil infinito z σ V (z) = dz = σ (z )! ɛ ɛ Então, um possibilidde conveniente nesse cso, seri escolher origem do sistem de referênci como o nosso ponto O. Neste cso V (z) = σ (z ) = σ z ɛ ɛ Um quntidde perfeitmente bem definid. Existem dus mneirs de se clculr o potencil V (r). Um dels é usndo o cmpo elétrico, se ele for conhecido; outr é usr lei de Coulomb novmente. O potencil devido um crg puntiforme é ddo por V (r) = 1 q 4πɛ r Aqui tmbém, é clro, vle o princípio d superposição. distribuição de crgs puntiformes podemos escrever Então, pr um V (r) = 1 4πɛ E se distribuição for contínu, fzemos como ntes, definimos um elemento diferencil de potencil, devido um elemento diferencil de crg i q i r i 86

5 dv (r) = 1 dq 4πɛ r E procedemos à integrção, pós ter especificdo s quliddes relevntes, tis como referencil, o ponto de observção, origem etc. Vmos ver isto em exemplos. Exercícios sobre cálculo do potencil eletrostático P1) Encontre o potencil devido um csc esféric de rio R, que possui um densidde superficil de crg uniforme. Use o infinito como ponto de referênci R r^ P Cminho Figur 4.1: Potencil d csc esféric Método 1: Vmos usr o cmpo elétrico no ponto P, que já sbemos clculr pel lei de Guss. Su expressão é, pr pontos for d esfer E(r) = 1 4πɛ q r ˆr r V (r) = E dl Como ess integrl independe do cminho, escolhemos linh ret que vem do infinito té P. O elemento dl nesse cminho é Então dl = drˆr r q V (r) =+ 4πɛ r dr = 1 q 4πɛ r 87

6 Pr pontos dentro d esfer devemos seprr integrl em dus prtes, um vez que o cmpo dentro d esfer é diferente do cmpo for d esfer e em prticulr, neste cso é zero. V (r) = 1 [ R q r ] 4πɛ r dr dr = 1 q R 4πɛ R Note que o cmpo elétrico dentro d csc esféric é nulo, ms o potencil NÃO É NULO. Ele é um vez constnte. Isto não trz problem lgum, um vez que relção entre V e E é um grdiente, que é zero se V for constnte. Em problems deste tipo não se esqueç de fzer o cálculo SEMPRE PARTINDO DO PONTO DE REFERÊNCIA. É sempre tentdor pensr que podemos obter o potencil dentro d esfer usndo pens o cmpo dentro d efer. NÃO É AS- SIM. Se colocrmos um outr csc esféric de rio R, R >R, concêntric com primeir, o potencil dentro de R MUDA, mesmo que E continue ser nulo. A lei de Guss nos grnte que s crgs for d superfície de Guss considerd não lterm o cmpo em pontos sobre ess superfície, MAS NÃO HÁ O EQUIVALENTE À LEI DE GAUSS PARA O POTENCIAL! Método : Usmos definição de potencil, proveniente d lei de Coulomb. P P n θ r θ' R φ' Figur 4.: Procedimento d integrção 88

7 dv (r) = 1 dq 4πɛ r dq = σr sin θ dθ dφ, σ = q 4πR Integrndo, vem dv (r) = σ 4πɛ R sin θ dθ dφ R + z Rz cos θ V (z) = σ 4πɛ π dθ π dφ R sin θ R + z Rz cos θ A integrl em φ pode ser efetud imeditmente, um vez que o integrndo independe de φ. x =Rz cos θ dx = Rz sin θ dθ V (z) = σ +Rz R π 4πɛ Rz dx/rz R + z x = σ R [ ] Rz 4ɛ z R + z x +Rz = σr [ R + z ɛ z +Rz R + z Rz] = σr [ (R + z) ] (R z) ɛ z Neste ponto devemos ter cuiddo o extrir riz qudrd: pr pontos FORA d esfer, z>reportnto (R z) = z R; pr pontos DENTRO d esfer (R z) = R z. Assim V (z) = Rσ ɛ z [(R + z) (z R)] = R σ ɛ z (r >R) V(z)= Rσ Rσ [(R + z) (R z)] = (r R) ɛ z ɛ Note que o resultdo obtido pelos dois métodos é o mesmo, como deveri ser. 89

8 r R + R θ' r' λ λ ' θ' λr θ' Figur 4.3: Espir de crgs P) Considere um espir de rio R uniformemente crregd com densidde liner de crgs constnte λ. Qul o potencil elétrico um distânci z do centro? dv (z) = 1 dq 4πɛ R + z = λdθ 4πɛ R + z Portnto V (z) = π 1 λrdθ 4πɛ R + z = 1 λr 4πɛ R + z π V (z) = λr ɛ R + z = Q R πr ɛ R + z = Q 4πɛ R + z Note que pr pontos z >> R, esse potencil se reduz o de um crg puntiforme. Note que foi muito mis fácil fzer este exercício do que o seu equivlente pr o cmpo elétrico, qundo precismos notr, componente x do cmpo elétrico é nul por simetri e clculr E y = E cos α = E z/ R + z.então, como comentmos, pr obter o cmpo elétrico do nel é mis fácil clculr o potencil e depois obter expressão trvés d relção E = V = [ ] Q z 4πɛ R + z ẑ 9 =+ Q 4πɛ z R + z ẑ

9 O cmpo em z =é nulo (tmbém por simetri!) P3) Clcule o potencil sobre o eixo de simetri de um disco uniformemente crregdo com densidde superficil de crgs σ, e rio R. Obtenh, prtir do potencil, expressão pr o cmpo elétrico. dv (z) = dq 1 4πɛ r dq = σr dθ dr V (z) = π R dθ dr σ r 4πɛ r + z p r= + ' R θ' r' Figur 4.4: Disco crregdo Aqui novmente, integrl em dθ pode ser feit imeditmente. A integrl em r é, como ntes, feit prtir d substituição Obtemos pr V (z) expressão u = z + r du =r dr V (z) = Q πɛ R [ z + R z] 91

10 Outr vez, como er de se esperr, pr z>>r, obtemos o potencil de um crg puntiforme. O cmpo elétrico será ddo por Como ntes. E = ẑ z V (z) = Q [ z 1 ]ẑ ɛ R z +R P4) Clcule o potencil elétrico gerdo por um plno infinito de crgs de densidde superficil σ. O cmpo elétrico de um plno infinito de crgs é ddo, como já discutimos, pel expressão (ˆn norml à superfície) E = σ ɛ ˆn O potencil ssocido será r V (r) = E dl origem Sej ẑ direção perpendiculr o plno. Escolhemos, então, por conveniênci dl = dzẑ. A origem será tomd, neste cso, pelos motivos que já discutimos, como z = z V(z)= E dz = σ z z > ɛ Se estivermos n região onde z =, V(z)=+ σ z ɛ Podemos juntr os dois resultdos e escrever V (z) = σ z z ɛ P5) Qul é diferenç de potencil entre os dois plnos de crgs de densiddes +σ e σ d figur 4.5? 9

11 σ σ Figur 4.5: Plnos de crg O cmpo elétrico entre os plnos é ddo por E = σ ˆn σ ( ˆn) = σ ɛ ɛ ɛ ˆn A diferenç de potencil é dv = E dl plno +σ plno +σ plno +σ dv = E dl = σ plno +σ ɛ ˆk [dxî + dyĵ + dzˆk] = σ L dz = σ L ɛ ɛ dz = σl ɛ P6) Potencil de um dipolo elétrico. Considere figur 4.6: Clcule o cmpo desse dipolo no ponto P. Depois fç proximção de que ( r >> d). Ms r + = r + d então V (r) = 1 4πɛ V (r) = Q r r + 1 4πɛ Q r r Q [ ] 1 4πɛ r r d 1 r r 93

12 r + r r r P r Figur 4.6: Potencil elétrico de um dipolo Ess é expressão ext pr o potencil de um dipolo. E teremos, em gerl E dipolo (r) = V (r) Vmos considerr gor o cso em que r>>d, que é o cso usul. Isto nos permite fzer expnsões no prâmetro d/ r r, por exemplo 1 r r d =[ r r (r r ) d + d ] 1/ [ = r r 1 1 (r r ] 1/ ) d + d r r r r Expndimos em série de Tylor, e teremos [ 1 (r r ] 1/ ) d + d = (r r ) d 1+ r r r r r r [ 1 r r d = r r 1 1+ (r r ] ) d r r 94

13 Voltndo gor à equção que define V do dipolo, teremos = Q 4πɛ V (r) = Q [ ] 1 4πɛ r r d 1 r r [ [ r r 1 1 (r r ] ] 1/ ) d 1 r r r r = Q (r r ) d = p (r r ) 4πɛ r r 3 4πɛ r r 3 Onde p = Qd. Você deve ser cpz de fzer sozinho s seguintes questões: Clcule o potencil devido às seguintes distribuições de crg, no ponto P. P P +q +q λ P Figur 4.7: Distribuições de crg P7) O cmpo elétrico dentro de um esfer de rio R contendo um densidde de crg uniforme, está rdilmente direciond e seu módulo é E(r) = qr 4πɛ R 3 onde q é crg totl d esfer e r distânci o centro d esfer. ) Determine V (r) supondo que V = n origem. r r V (r) = E dl= 95 qr 4πɛ R 3dr = qr 8πɛ R 3

14 b) Determine diferenç de potencil entre o centro d esfer e superfície. Sendo q positivo, qul é o ponto que tem mior potencil? V = V () V (R) = qr 8πɛ R 3 = q 8πɛ R > pr q > Então o ponto que tem mior potencil é superfície. P8) Em um trblho que foi escrito em 1911, Ernst Rutherford disse: Pr se ter lgum idéi ds forçs necessáris pr desvir um prtícul α trvés de um grnde ângulo, considere um átomo contendo um crg pontul positiv Ze no seu centro e envolvid por um distribuição de crgs negtiv Ze, uniformemente distribuíd dentro de um esfer de rio R. O cmpo elétrico E, num ponto dentro do átomo é ddo por E = Ze ( 1 4πɛ r r ) R 3 ) Verifique ess equção. Antes de mis nd, podemos notr que temos dus distribuições de crg, um positiv, no centro e outr negtiv, uniformemente distribuíd num volume esférico com rio igul o rio tômico. Usmos então o princípio d superposição. E = E + + E, E + = Ze 1 4πɛ r ˆr Pr clculr o cmpo devido à crg negtiv, usmos lei de Guss: 4πr E = Ze r 3 E = Ze r ɛ R 3 4πɛ R 3 E o cmpo totl será E = Ze [ 1 4πɛ r r ] ˆr R 3 b) A expressão pr o potencil obtid por Rutherford foi V (r) = Ze ( 1 4πɛ r 3 ) R + r R 3 96

15 Mostre que o cmpo do item ) pode ser obtido prtir dest expressão. E = V [ Ze 1 ˆr = r 4πɛ r r ] ˆr R 3 c) Por que est expressão pr V (r) não tende pr zero qundo r? Vmos descobrir em que ponto r Rutherford definiu V (r )=. = Ze ( 1 3 ) 4πɛ r R + r R 3 (r ) 1 3 r R + r3 R = 3 Então temos que r /R = 1 stisfz equção. Portnto, origem escolhid por Rutherford foi n superfície do átomo. 4. Trblho relizdo pr mover um crg Suponh que tenhmos um configurção estcionári de crgs que são fonte de um cmpo eletrostático. Suponhmos gor que queremos mover um crg de prov Q do ponto o ponto b. q 1 q q 3 Figur 4.8: Trblho pr mover um crg Qunto trblho teremos que relizr pr operr ess mudnç n posição de Q? 97

16 Sbemos que em qulquer ponto d trjetóri d crg de prov, forç que ge sobre el é dd por F = QE; então, forç mínim que deve ser exercid pr mntê-l sobre o cminho é F = QE. O trblho relizdo então, é ddo por W = b F dl = Q b E dl = Q[V (b) V ()] Note tmbém que o trblho relizdo é independente d trjetóri específic utilizd. Ele depende pens dos pontos e b. A rzão disto, já discutimos, é que forç em questão tem propriedde de que F=Q E=. Vemos então que o trblho relizdo pr mover um crg de té b, dividid por Q é extmente diferenç de potencil entre os pontos e b (você sberi trçr um nlogi com um processo mecânico?) Isso nos fornece um outr mneir de encrr diferenç de potencil, que é quntidde que relmente tem sentido físico: diferenç de potencil é o trblho por unidde de crg necessário pr mover um crg de té b. Em prticulr, se quisermos trzer crg do infinito, teremos W = Q[V (r) V ( )] E se tomrmos noss origem no infinito, W = QV (r) É NESTE SENTIDO que o potencil eletrostático pode ser indentificdo com energi potencil (que é o trblho necessário pr crir distribuição de crgs) por unidde de crg (ssim como o cmpo é forç por unidde de crg). 4.3 A energi de um distribuição de crgs puntiformes Qundo estmos no contexto de Mecânic Clássic, sbemos que não tem sentido flr de energi grvitcionl de um prtícul. Por exemplo, quntidde mgh (com m sendo mss de um prtícul, g constnte grvitcionl sobre terr e h ltur em que ele se encontr reltivmente à superfície d Terr) é 98

17 energi DO SISTEMA m-terr. De form inteirmente nálog, não podemos flr em energi potencil de um crg (ms podemos flr em potencil eletrostático de um únic crg. Pense bem ness diferenç. El é fundmentl). Vmos então responder à seguinte pergunt: qunto trblho seri necessário pr juntr um coleção de crgs puntiformes? Pr trzer primeir crg, não precismos relizr trblho lgum, um vez que não há cmpo ind. Pr trzer próxim crg, q, isso requer um trblho de q V 1 (r ) Como já discutimos. N expressão cim, V 1 (r )é o potencil devido q 1 no ponto r, onde estmos colocndo crg q. W = 1 ( ) q1 q 4πɛ r 1 13 r 3 q 3 3 q q r 1 1 r 1 Figur 4.9: Energi potencil de 3 crgs r 1 é distânci entre q 1 e q, um vez colocds em r 1 e r, respectivmente. Agor vmos trzer um terceir crg q 3 ; isso vi requerer um trblho q 3 V 1 (r 3 ), onde V 1 é o potencil devido às crgs q 1 e q no ponto r 3, i.e. W 3 = 1 ( q1 q 3 + q ) 4πɛ r 13 r 3 99

18 Generlizndo, teremos que o trblho necessário pr reunir n crgs puntiformes num distribuição desejd será W = 1 4πɛ n n i=1 j=1,j>i q i q j r ij A restrição j>iserve pr evitr dupl contgem. É possível reescrever ess expressão d seguinte form W = 1 1 4πɛ n i=1 q i n j=1,j i q j r ij = 1 n q i V (r i ) Onde o ftor 1/ tom cont ds contgens dupls. (Convenç-se dest expressão!) Notemos gor que expressão cim não depende d ordem que usmos pr juntr s crgs, um vez que todos os pres precem n som. Então, vmos isolr q i W = 1 8πɛ ( n q i i=1 n i=1 q j r ij j=1,j i Observe que o termo entre prênteses é o potencil no ponto r i ( posição de q i ) devido tods s outrs crgs. Então temos W = 1 n q i V (r i ) i=1 Este, então, é o trblho necessário pr juntr tods s crgs. É energi contid ness configurção (podemos pensr em energi potencil, embor, como já discutimos, ess terminologi não sej idel). Exercícios: Energi Potencil de distribuição discrets EPD1) Determine um expressão pr o trblho necessário pr colocr s qutro crgs reunids como está n figur bixo. A expressão pr trblho totl é ) 1

19 +q q q +q Figur 4.1: Reunião de crgs W T = 1 1 4πɛ = 1 1 [ ( q)(+q) 4πɛ + (+q)( q) + ( q)(+q) + (+q)( q) 4 4 q j q i r i=1 ij j=1,j i + ( q)(+q) + (+q)(+q) + ( q)(+q) + (+q)( q) [ = 4 ] 1 q + 4πɛ + ( q)( q) + (+q)( q) + (+q)(+q) + ( q)( q) ]= ( = 1 q πɛ ) EPD) Clcule gor o trblho necessário pr trzer do infinito crg fltnte no sistem. O trblho necessário pr trzer um crg q do infinito e colocá-l no vértice vzio é W q = q 4πɛ [V +q ()+V q ( ) + V +q ()] = q [ q 4πɛ q + q ] = q [ 1 ] =W T 4πɛ 11

20 +q q q +q Figur 4.11: Trzendo um crg do infinito 3. A energi de um distribuição contínu de crgs Retomemos expressão que nos fornece energi totl de um sistem discreto de crgs W = 1 n q i V (r i ) i=1 Se distribuição de crgs for contínu, teremos W = 1 ρv dv dv sendo o volume infinitesiml e V o potencil. As integris pr distribuições lineres e superficiis serim λv dl ou σv ds, respectivmente. Podemos reexpressr est equção de form que tnto ρ como V despreçm! Vmos usr Lei de Guss. E ds = q ρ = dv ɛ ɛ Ms, usndo o teorem d divergênci E ds = Edv Substituindo n equção cim ficmos com ρ Edv = dv ɛ 1

21 Como o volume é rbitrário, vle form diferencil d Lei de Guss, i.e., E= ρ ɛ Com isso W = 1 ɛ ( E)Vdv Integrndo por prtes, teremos W = ɛ [ E ( V )dv + V E ds] Como V = E W = ɛ ( E dv + V E d) V Vmos rciocinr gor sobre quem é o volume sobre o qul estmos integrndo: voltemos à expressão d prtid W = 1 ρv dv A prtir d dedução que fizemos del, fic clro que devemos integrr sobre região onde existe crg. Ms, n relidde, qulquer volume mior dri o mesmo resultdo, um vez que for do volume onde há crgs ρ = e portnto esse volume extr não modific integrl. O que contece n expressão * se umentrmos rbitrrimente o volume? A integrl sobre E só pode crescer, um vez que o integrndo é positivo. Ms integrl sobre superfície, por su vez, deve decrescer de form que som dos dois termos não se ltere. N verdde, qundo estmos em pontos muito distntes d crg E 1/r e V 1/r, enqunto que áre d superfície vi com r. Por isso, grosseirmente flndo, integrl de superfície deci com 1/r. Por isso podemos considerr integrção em todo espço e obter um expressão simples pr energi totl de distribuições contínus W = ɛ todo espco E dv 13

22 EDC1) Encontre energi de um csc esféric uniformemente crregd com crg totl q e rio R. Primeir solução: Vmos usr definição W = 1 σv ds Como sbemos, o potencil n superfície d esfer é constnte e ddo por V = 1 q 4πɛ R Então W = 1 1 q σds = 1 q 4πɛ R 8πɛ R Segund solução: Vmos usr equção W = ɛ E dv todo espco Dentro d esfer E = ; for E = 1 q ˆr 4πɛ r Portnto W = ɛ for 1 ( ) q dr sin θdθdφ = 1 4πɛ r 4r q 4π 3π ɛ R dr r = 1 q 8πɛ R 4.4 Comentários conceituis importntes sobre energi eletrostátic Um prente inconsistênci: A equção W = ɛ todo espco E dv (1) 14

23 Implic que tod energi de um distribuição de crgs estcionáris é sempre positiv. Por outro ldo, equção W = 1 n q i V (r i ) () i=1 Pode ser positiv ou negtiv. O que está errdo? A respost é que mbs s equções estão correts, els pens representm situções ligeirmente diferentes. A equção (1) não lev em cont o trblho necessário pr fzer s prtículs: el prte do princípio de que s crgs já estão pronts. Note que se tomrmos equção (), energi de um crg puntiforme é infinit ɛ q W = dr sin θdθdφ = q dr (4πɛ ) r 4r 8πɛ r A equção () é mis complet no sentido de que nos diz qul é energi TOTAL contid num configurção de crgs, ms equção (1) é mis proprid qundo estmos trtndo de crgs puntiformes porque preferimos deixr de contr energi (infinit!) necessári pr fbricr s crgs. Ms, mtemticmente, onde entrou ess inconsistênci? A inconsistênci está n trnsformção que fizemos pr ir d descrição discret pr contínu. N discret, o termo V (r i ) represent o potencil devido tods s crgs EXCETO q i. Pr um distribuição contínu não hverá ess distinção e el contém tmbém o que chmmos de uto-energi, que é energi necessári pr formr cd crg Onde fic gurdd energi? As equções W = 1 W = ɛ ρv dv (1) E dv () 15

24 Representm dus mneirs diferentes de clculr mesm cois. A primeir é um integrl sobre distribuição de crgs; segund é um integrl sobre o cmpo elétrico. Então, esss dus integris envolvem dus regiões completmente distints. Então finl, onde fic rmzend energi? A primeir equção prece sugerir que el está gurdd n crg e segund, no cmpo. No presente nível, não é possível decidir ess questão. No contexto d teori d rdição éútil (e em Reltividde Gerl é fundmentl) pensr que energi está nocmpo, ms no contexto d eletrostátic, não podemos decidir isso O princípio d superposição Note que, como energi eletrostátic é qudrátic, el não obedece o princípio d superposição. A energi de um sistem composto por dois cmpos não será pens som ds energis de cd um, ms vi conter tmbém termos cruzdos. W T otl = ɛ E dv = ɛ (E 1 + E ) dv = ɛ (E 1 + E +E 1 E )dv = W 1 + W + ɛ E 1 E dv Os dois primeiros termos são s uto-energis dos cmpos E 1 e E e o outro termo represent energi proveniente d interção entre esses cmpos. 16