(a) (b) (c) (d) (e) E = 0.

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1 Universidde Federl do Rio de Jneiro Instituto de Físic Físic III 212/1 Prov Finl (PF): 2/7/212 Versão: A Formulário F e = qe, ( q E = k r 2ˆr onde k = 1 ), E da = Q int, 4πǫ ǫ E = V, q V = k r, qq U = k r, C = Q/V, u E = 1 2 ǫ E 2, I = J ˆndA, J = nqv, V = RI, C F m = qv B, B dl = µ I enc +µ ǫ dφ E dt df m = Idl B, eção 1 Múltipl escolh (1,5 = 5, pontos), E ind = dφ B dt 1 Considere um nel circulr condutor de rio R, o longo do qul pss um corrente estcionári de intensidde I Um fio retilíneo, de comprimento L muito grnde, percorrido por um corrente estcionári de intensidde 2I, cruz o centro do nel, perpendiculrmente o seu plno Qul o módulo d forç mgnétic entre espir e o fio? µ I 2 2µ I 2 µ LI 2 /R (d) µ LI 2 /(2R) 2 Um corrente estcionári, de intensidde I, percorre o circuito constituído por dois rcos circulres de rios e 2 e dois segmentos rdiis de comprimento Qul é rzão B /B 2 entre os módulos cmpos mgnéticos gerdos pelos rcos circulres de rio e de rio 2 no ponto centrl P? 2 1/ 2 1/2 (d) 2 1 θ/2 1 B ˆndA =, db = µ Idl ˆr 4π r 2,, Φ B [1] = LI 1 +MI 2, u B = 1 B 2 2 µ 3 Considere um plno(infinito) com um densidde de crg constnte (estcionári e uniforme) N figur, estão representds qutro superfícies fechds i (i = 1,2,3,4), com disposições prticulrmente simétrics com respeito o plno crregdo Dentre els, qul(is) extmente quel(s) que é(são) proprid(s) pr determinção de um expressão gerl pr o cmpo elétrico num ponto genérico, for do plno, prtir d lei de Guss? (d) 4 1 e 2 2 e 3 (g) 2 e 4 (h) 3 e 4 4 Considere distribuição de crgs d figur ão oito segmentos retilíneos de mesmo comprimento, uniformemente crregdos com densidde liner de mesmo módulo λ > O ângulo entre segmentos vizinhos é o mesmo (45 ) Qul ds lterntivs melhor represent o cmpo elétrico resultnte n origem O? (d) E = 5 Pr umentr uto-indutânci de um solenóide com N espirs compctds, de seção ret circulr de rio R, comprimento(ou ltur) h, percorrido por um corrente I, qul ds modificções seguir devemos efetur, mntido todo o resto inlterdo? Aumentr corrente que pss em sus espirs Diminuir o seu rio Aumentr o seu comprimento (ou ltur) (d) Aumentr o número de espirs Recher seu interior com um mteril isolnte 2 6 Entre s plcs circulres, de rio R, de um cpcitor plno-prlelo, o vetor cmpo elétrico E tem módulo vrindo n form E = E [1 exp( bt)], sendo b um constnte positiv Podemos firmr que um corrente de deslocmentoi D precenointerior docpcitor cujomódulo máximo é ddo por ǫ E bπr 2 µ ǫ E bπr 2 ǫ E br 2 (d) ǫ E πr 2 ǫ E πr 2 /µ 7 Um fio cilíndrico, de seção ret circulr, é constituído por um mteril condutor ôhmico homogêneo e dobrrmos tnto o seu comprimento qunto o seu rio, mntendo-o ligdo um mesm bteri, corrente que pssrá no fio terá mesm intensidde que ntes terá intensidde 2 vezes menor que ntes terá intensidde 2 vezes mior que ntes (d) terá intensidde 4 vezes menor que ntes terá intensidde 4 vezes mior que ntes 8 Um cpcitor de plcs em form de discos circulres, idêntics e de rio R, seprds por um distânci D, está conectdo um fonte de voltgem V constnte Ao introduzir um meio dielétrico entre s plcs do cpcitor, preenchendo totlmente região entre s plcs, podemos firmr, com respeito o módulo Q d crg em cd plc, à cpcitânci C e o módulo do cmpo elétrico E entre s plcs, que, respectivmente: permnece o mesmo, diminui e ument diminui, ument e ument ument, ument e permnece o mesmo (d) ument, ument e diminui (g) ument, permnece mesm e permnece o mesmo diminui, diminui e diminui permnece o mesmo, diminui e diminui

2 9 Um espir condutor circulr está em repouso, com seu plno perpendiculr um cmpo mgnético constnte (estcionário e uniforme) No instnte t =, espir começ girr em torno de um eixo de simetri que pss pelo seu centro e pertence seu plno Dentre s opções seguir, indique quel que melhor represent o fluxo co cmpo mgnético Φ B (curv contínu) e corrente induzid I ind (curv pontilhd) n espir condutor, em função do ângulo θ = ωt entre o vetor cmpo mgnético B e o vetor unitário norml à espir ˆn (d) 1 Um cmpo eletrostático possui superfícies equipotenciis plns, prlels, como mostrdo n figur, num vist de perfil, pels três rets trcejds, igulmente espçds de um distânci L, com V 1 = 2V 2 = 3V 3 > Além disso, são mostrds qutro trjetóris orientds, por curvs contínus, que prtem d equipotencil V 1 e pssm pels demis equipotenciis Considere s firmções: (I) o vetor cmpo elétrico (médio) E 12 entre s equipotenciis V 1 e V 2 é ddo por (V 2 /L)ŷ; (II) o trblho relizdo pel forç eletrostátic o deslocr-se um prtícul crregd é o mesmo em tods s trjetóris mostrds; (III) o trblho relizdo pel forç eletrostátic o deslocr-se um prtícul crregd positiv ntrjetóri de g prhénegtivo Qul(is) de tis firmtivs está(ão) corret(s)? I Nenhum II (d) III (g) I e II I e III II e III (h) Tods [2,5 pontos] A Fig 1 mostr um plc fin e muito grnde que possui um densidde superficil de crg constnte σ A plc é recobert lterlmente por dus lâmins de espessur D e densidde volumr de crg constnte ρ Utilizndo lei de Guss, obtenh o vetor cmpo elétrico E(z) produzido pel distribuição de crgs um distânci z d plc centrl pr os csos em que: (i) D z D e (ii) z D ou z D Fç um gráfico esboçndo o comportmento d componente E z versus z, no intervlo z ( 2D,2D), pr o cso em que σ e ρ são positivos [1,7 ponto] Usndo expressão pr o vetor E(z) e tomndo como referênci o potencil elétrico V D V(z = D) n superfície extern d lâmin lterl (à direit), obtenh expressão pr o potencil elétrico V(z) produzido pel distribuição de crgs um distânci z considerndo os mesmos csos cim, ou sej, em que: (i) D z D e (ii) z D ou z D Fç um gráfico esboçndo o comportmento de V versus z, no intervlo z ( 2D,2D), pr o cso em que σ e ρ são positivos [1,8 ponto] 2 [2,5 pontos] A Fig 2 mostr um cbo coxil muito longo constituído de um condutor cilíndrico, sólido, de rio envolvido por um csc cilíndric condutor, muito fin, de rio b be-se que esss dus prtes constituintes do cbo são percorrids por correntes elétrics estcionáris de mesmo módulo i e sentidos contrários, uniformemente distribuíds o longo de sus seções trnsversis Utilizndo lei deampère, obtenhocmpomgnético B(r) ns três regiões definidspor: (i) r ; (ii) r < b; e (iii) b < r <, sendo r distânci té o eixo do cbo [1,5 ponto] Clcule o fluxo do cmpo mgnético Φ B produzido pelo cbo coxil trvés do retângulo, de ltur h e lrgur b, indicdo n Fig 2b [,5 ponto] Clcule energi rmzend, por unidde de comprimento o longo do eixo de simetri, no cmpo mgnético entre o eixo de simetri r = e csc cilíndric r = b [,5 ponto] eção 2 Questões discursivs (2 2,5 = 5, pontos) 1 3 4

3 Gbrito pr Versão A eção 1 Múltipl escolh (1,5 = 5, pontos) 1 2 (d) (d) 6 eção 2 Questões discursivs (2 2,5 = 5, pontos) 1 Resolução: 1 Devido à simetri pln d distribuição de crg, é conveniente plicrmos lei de Guss pr determinção do cmpo elétrico De fto, tl simetri exige que ds 3 componentes crtesins que o cmpo elétrico possui, 2 são nuls, sber: componente não nul restnte é função somente d coordend crtesin z: E x (r) (1) E y (r) (2) E z (r) = E z (z) (3) Clculremos, primeiro, o fluxo, pel su própri definição, trvés d gussin Temos Φ E [] := E ˆndA = E ˆndA+ E ˆndA+ E ˆndA B e B d lt = E ˆndA+ E ˆndA [usmos que E ˆn em lt ] B e B d = E z ( z )ẑ ( ẑ)da+ E z ( z )ẑ ẑda B e(z = z <) B d (z = z >) = E z ( z )( 1)dA + E z ( z )da [usmos (4)] B e(z = z <) B d (z = z >) = 2 E z ( z )da B d (z = z >) = 2E z ( z )A (5) Nturlmente, tl expressão vle pr qulquer vlor de z, ou sej, tnto pr < z D, qunto pr D z <, pesr d Fig 1 só sugerir um gussin dentro d distribuição de crg A segund etp preprtóri pr plicção d lei de Guss implic em determinr crg no interior d correspondente gussin e, então, teremos dus possibiliddes: ess mesm componente stisfz um simetri de reflexão (ou especulr): E z ( z) = E z (z) (4) O cmpo elétrico ser determindo possui, portnto, linhs de cmpo retilínes prlels o eixo Z Isso tudo nos motiv tomr como superfície gussin quel mostrd n Fig 1, ou sej, um superfície cilíndric circulr, constituíd pel união de três superfícies disjunts: (i) um bse B e à esquerd d plc fin (bidimensionl), no plno z = z ; (ii) outr bse B d à direit d plc fin (bidimensionl), no plno z = z, e (iii) um superfície lterl lt < z D: D z < : Q int [] = σa+ρ2 z A = (σ +2ρ z )A (6) Q int [] = σa+ρ2da = (σ +2ρD)A (7) 1 2

4 Comprndo (5) e (6) ou (7), vi lei de Guss, obtemos, finlmente, pr o cmpo elétrico s expressões: (σ +2ρD)ẑ, se < z D; E(z) = 1 ( σ +2ρz)ẑ, se D z < ; 2ǫ (σ +2ρz)ẑ, se < z D; (σ +2ρD)ẑ, se D z < Devemos observr que o cmpo elétrico não é definido pr z = Contudo, pr pontos muitíssimo próximos d plc fin, E z tende o vlor E := σ/(2ǫ ) pel direit e E pel esquerd Já n região extern às lâmins, E z tem o vlor constnte E D := (σ +2ρD)/(2ǫ ) pel direit e E D pel esquerd O gráfico correspondente pr componente E z versus coordend z é mostrdo n Fig 1b (8) Nests condições o potencil elétrico n plc centrl será ddo por V o = V() = V D +(σd +ρd 2 )/( ) Procedendo d mesm form pr região extern à lâmin do ldo positivo do eixo Z (z D), teremos V ex = Eex d l = 1 z [ ] σ +2ρD (σ +2ρD)ẑdzẑ = V C e 2ǫ ex (z D) o D N região D z teremos (z) V() = Ein d l = 1 C i que, usndo o vlor de V(), podemos escrever como z ( σ +2ρz)ẑdzẑ = 1 (σz ρz 2 ) + 1 [σ(d +z)+ρ(d 2 z 2 )] Este resultdo mostr que, em prticulr, V( D) = V D Por fim, n região z D temos V ex = Eex d l = 1 C e D Portnto, o considerrmos os resultdos teremos que z [ ] σ +2ρD (σ +2ρD)ẑdzẑ = V ex + (D +z) V + 1 { [ σ(d z )+ρ(d 2 z 2 ) ], se z D; 2ǫ (σ +2ρD)(D z ), se D z < e será nulo qundo z = z o = [D +σ/(2ρ)] 2 + V D /ρ σ/(2ρ) O gráfico presentdo n figur 1c ilustr o comportmento de V(z) em gerl 2 Resolução: egundo lei de Ampère temos que B dl = µ i, onde i é som lgébric ds correntes englobds pelo percurso de integrção Ou justifictiv extens: Levndo em cont simetri xil presentd pelo sistem então podemos usr lei de Ampère ssumindo pr os circuitos fechdos círculos concêntricos o eixo do cbo e contidos em um plno ortogonl ele Neste cso dl = rdφ ˆφ e pel simetri do sistem devemos ter B = B φ (r) ˆφ Com isso podemos usr lei de Ampère de um mneir gerl considerndo i = i(r) N vlição do potencil elétrico, novmente considerndo simetri do sistem, tomemos como cminho de integrção C linhs ortogonis à plc centrl Deste modo, pr região intern à lâmin do ldo positivo do eixo Z ( < z D), teremos = Ein d l = 1 z (σ +2ρz)ẑdzẑ C i D ou sej, + 1 [σ(d z)+ρ(d 2 z 2 )] 3 Ou justifictiv compct: Considerndo simetri cilíndric do sistem e tomndo como contorno de integrção círculos de rio r prtir do eixo do cilindro, temos B dl = 2πrB φ (r) Então, Aplicndo lei de Ampère, B dl = 2π B φ (r) ˆφ rdφ ˆφ = B φ (r)r B(r) = µ i(r) 2πr ˆφ 2π dφ = 2πrB φ (r) Podemos gor prticulrizr este resultdo gerl pr s três regiões de nosso sistem 4

5 r < : Ou: i(r) = j 1 d = 1 r ( ) i ( r ) 2i π 2 2πrdr = Densidde de corrente trvés d áre A d seção ret do cilindro de rio : j = i/a = i/π 2 Densidde de corrente trvés d áre A < A definid pel curv mperin de rio r < : j = i(r)/a = i(r)/πr 2 Como esss densiddes são iguis, tem-se que i(r) = (r/) 2 i Então, < r < b : B(r) = µ ir 2π 2 ˆφ Considere figur cim A prtir dos resultdos encontrdos pr o cmpo mgnético e tomndo como elementos de áre tirs longitudinis (figur cim) com d = hdr ˆφ, então teremos que ou sej, b Φ B = B 1 d + B 2 d = µ { oih 1 2π 2 Φ B = µ [ ( )] oih b 1+2ln 4π b rdr + No cso d energi cumuld no cmpo mgnético, devemos lembrr que densidde de energi u B é dd por u B = B2 2µ o } dr, r Logo, r > b : i(r) = i B(r) = µ i 2πr ˆφ Por su vez, u B = d dv, onde dv é o elemento de volume: dv = 2πhrdr, com h sendo o comprimento de um pedço do cbo coxil Portnto, d = u B dv = B2 2µ o 2πhrdr Logo, i(r) = i i = B(r) = Como temos que b b = u B dv = u B dv + u B dv, r= r= r= Considerções sobre o cmpo B(r): (i) present o seu mior vlor B = µ o i/(2π) n superfície do cilindro mciço interno; (ii) não é definido pr r = b Contudo pr pontos internos muitíssimo próximos à csc cilíndric ele tende o vlor B = µ o i/(2πb) = πh µ o B 2 rdr+ πh µ o b B 2 rdr Usndo os resultdos obtidos pr B no item cim, determin-se que energi mgnétic rmzend por unidde de comprimento é: h = µ oi 2 [ ( )] b 1+4ln 16π 5 6