Física III Escola Politécnica GABARITO DA PS 30 de junho de 2016

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1 Fíic III Ecol Politécnic GABARITO DA PS 30 de junho de 2016 Quetão 1 Um brr fin, iolnte, de comprimento, com denidde liner de crg λ = Cx, onde C > 0 é contnte, etá dipot o longo do eixo x como motr figur bixo. Um crg q é colocd um ditânci > d origem O. y O q x () (1,0 ponto) Clcule o trblho pr trzer crg do infinito té poição (, 0, 0). (b) (1,5 ponto) Clcule forç de interção entre crg e o fio. 1

2 Solução d quetão 1 () O trblho W é igul à energi potencil d crg no ponto (, 0, 0). O potencil é V = 1 dq r = 1 Cxdx x = C [x + ln( x) 0 0 ( ) = C [ + ln = W = qv = qc [ ln ( ) +. (b) A forç de interção é dd por F = q E, onde E ó poui componente x. Portnto, E = de x î, onde O y x dq x q x de x = 1 dq r = 1 Cxdx 2 ( x) 2 E = 1 0 Cxdx ( x) 2 î = C [ + ln( x) î. x 0 F = qe = qc [ ( ) + ln î. Solução lterntiv: O cmpo tmbém pode er obtido derivndo o potencil obtido no item (). E x = V = qc [ ln( ) ln() = qc [ ln( ) + ln 1 Temo E = E x î, portnto F = q E = qc [ + ln = C [ + ln ( ) î. ( ) î. 2

3 Quetão 2 Um fio condutor muito longo e de eção cilíndric de rio etá envolto por um cc cilíndric de rio b, formndo um cbo coxil. No fio há um denidde de corrente uniforme J = Jĵ, onde J > 0. N cc flui um corrente I no entido negtivo do eixo y. y b J I () (1,0 ponto) Clcule o vetor cmpo mgnético no ponto onde 0 r b (r é ditânci do ponto té o eixo y). (b) (1,5 ponto) Determine rzão J/I pr qul o vetor cmpo mgnético e nul n região exterior à cc cilíndric (r > b). 3

4 Solução d quetão 2 A lei de Ampère C B d l = µ 0 I(r), onde C é um círculo de rio r, coxil com o cbo, e imetri cilíndric do problem reultm em C B d l = B(r)2πr = µ 0 I(r) B(r) = µ 0 I(r) 2πr. () Cálculo do cmpo B dentro do cbo coxil. Pr 0 r <, I(r) = J d A = πr 2 J. Logo; B(r < ) = µ 0J 2 r ˆφ. Pr r b, I(r) = J d A = π 2 J. Logo B( r b) = µ 0 2 J 2r ˆφ. (b) Cálculo do cmpo B for do cbo coxil (r > b). I(r) = J da I = π 2 J I. Logo π B(r 2 J I > b) = µ 0 ˆφ. 2πr A rzão J/I pr qul o cmpo mgnético e nul pr r > b é J I = 1 π 2. 4

5 Quetão 3 Um brr condutor verticl de comprimento L pode e mover delizndo em trito obre doi condutore prlelo fixo. A brr, o condutore e um brr fix o longo do eixo y formm um circuito fechdo com reitênci R. Próximo do condutor inferior, um ditânci, exite um fio horizontl infinito e prlelo o doi condutore como motr figur bixo. y L R O z x 0 I fio infinito x () (1,5 ponto) No intnte t = 0 começ pr no fio infinito um corrente que ument com o tempo egundo expreão I(t) = I f (1 e t/τ ), onde I f e τ ão contnte. Clcule corrente induzid i ind no circuito e o eu entido (horário ou nti-horário) no co em que brr é mntid fix n poição x 0. (b) (1,0 ponto) Clcule o módulo e o entido d forç extern F ext neceári pr mnter brr n poição x 0 enqunto corrente no fio infinito ument. Ddo: cmpo mgnético gerdo pelo fio B = µ 0 I φ/(2πr), onde r é ditânci té o fio. 5

6 Solução d quetão 3 () Como brr etá fix, o comprimento horizontl do circuito é x 0. O fluxo mgnético trvé do circuito é Φ = A fem induzid é B.d A = +L E ind = dφ dt = µ 0x 0 2π ln A corrente induzid é µ 0 Ix 0 dy 2πy ( + L = µ 0Ix 0 2π i ind = E ind R = µ 0x 0 2πR ln +L ) di dt = µ 0x 0 2π ln ( + L dy y = µ ( ) 0x 0 I + L 2π ln ( + L ) If τ e t/τ. ) If τ e t/τ. Como o fluxo etá umentndo, de cordo com lei de Lenz o cmpo deve ter o entido contrário do originl. horário. Portnto, corrente induzid deve er no entido (b) Pr que brr fique prd, reultnte d forç deve er nul. F ext = F mg. +L F ext = i ind d l B Portnto, F ext = µ 0x 0 2πR ln ( + L ) +L [ If µ 0 I τ e t/τ 2πy dy î = µ0 2π ln ( + L ) 2 x 0 I 2 f τr e t/τ (1 e t/τ ) î. F ext = [ µ0 2π ln ( + L ) 2 x 0 I 2 f τr e t/τ (1 e t/τ ) î. 6

7 Quetão 4 Um ond eletromgnétic pln hrmônic e propg no vácuo n direção e entido poitivo do eixo z, endo que o cmpo elétrico etá n direção do eixo x. A figur bixo motr o cmpo elétrico como função d coordend z no intnte t = 0. 2b 1b E 0-1b -2b Z () (1,0 ponto) Ecrev expreõe do cmpo elétrico e mgnético d ond. (b) (1,0 ponto) Clcule o vetor de Poynting e intenidde d ond. (c) (0,5 ponto) Clcule denidde médi de energi mgnétic. 7

8 Solução d quetão 4 () A expreão gerl do cmpo elétrico d ond do problem é [ 2π [ π E = E 0 co(kz ωt + φ)î = E 0 co (z ct) + φ î = 2b co λ 3 (z ct) + φ î, onde umo k = 2π/λ, ω = kc e obtivemo do gráfico E 0 = 2b e λ = 6. A condição E(0, 0) = 2b co φ = b = φ = 2π/3 ou 4π/3. M E(2, 0) = 2b = φ = 4π/3. Aim, [ π E = 2b co 3 (z ct) + 4π 3 î. O cmpo mgnético é E = k E c = 2b [ π c co 3 (z ct) + 4π 3 ĵ. (b) O vetor de Poynting é E S = B [ = 4b2 π co 2 µ 0 cµ 0 3 (z ct) + 4π 3 k. A intenidde é I =< S >= 2b2 cµ 0. (c) A denidde médi de energi < u > é om d denidde médi d energi elétric < u e > e mgnétic < u m >. Além dito, < u e >=< u m >. Portnto, < u >=< u e > + < u m >= 2 < u m >= < u m >= 1 2 < u >= 1 2c < S >= 1 2c I = < u m >= b2 c 2 µ 0. 8

9 F = qe, E 1 dq = r ˆr, 2 F = qe+q v B, Φ B = B d l = µ 0 I int, B d d l = µ 0 I+µ 0 ɛ 0 dt B = µ 0 J + µ0 ɛ 0 E t, Formulário B V B V A = A E d l, V = 1 dq r, E = V, B d A, df = Id l B, µ = IA, τ = µ B, db = µ 0I 4π E d A = q int, B d A ɛ = 0, E = E d l = d B d A 0 dt = dφ m dt, E d A, I = J d A, E ρ =, B = 0, B E = ɛ 0 t, tdt tdt = t c ln (c t), c t (c t) = c + ln (c t). 2 c t 2 E = µ0 ɛ 0 2 E t 2, 2 B = µ0 ɛ 0 2 B t 2, c = 1 µ0 ɛ 0, E = cb, E = E m co(kx±ωt+φ)ê y, B = Bm co(kx±ωt+φ)ê z, k = 2π λ, ω = 2π T, k c = ω, f = 1/T, S 1 = E B, S = uc, u = ue + u m = ɛ 0 E 2 + B2, I =< S >= E m B m, µ 0 2 2µ 0 2µ 0 d l r r 3, < co 2 (kx ωt+φ) >=< en 2 (kx ωt+φ) >= 1/2, < co(kx ωt+φ) en(kx ωt+φ) >= 0. 9

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