Fundamentos da Eletrostática Aula 12 Mais sobre a equação de Laplace

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1 Seprção de Vriáveis Fundmentos d Eletrostátic Aul 12 Mis sobre equção de Lplce Prof Alex G Dis Prof Alysson F Ferrri Dependendo d congurção do sistem que se desej trtr, pode ser extremmente difícil obter solução d equção de Lplce Entretnto, solução de muitos problems interessntes pode ser obtid trvés d plicção de certos métodos Um desses métodos, muito útil em váris áres d físic, é o d seprção de vriáveis Tl método consiste em supor que solução é escrit como um produto de funções ds vriáveis independentes Por exemplo, em coordends crtesins, isso signic ϕ x, y, z = X x Y y Z z A substituição dest form pr ϕ x, y, z n equção de Lplce, 2 ϕ = x2ϕ + y2ϕ + z 2ϕ, lev equções diferenciis ordináris que podem ser em princípio resolvids seprdmente Vejmos como isto funcion considerndo um problem em prticulr NH281 - Fundmentos d Eletrostátic - 29t1 NH281 - Fundmentos d Eletrostátic - 29t1 1

2 Problem Griths pp 133 Usndo isto n equção de Lplce, temos formdo pels plcs Considere dus plcs condutors in- nitmente longs e terrds mntids potencil nulo, prlels o plno xz, loclizds em y = e y = Esss plcs são conectds dus outrs plcs, de mneir isold, prlels o plno yz e loclizds em x = b e x = b, sendo mntids potencil V Determinr o potencil dentro do tubo retngulr 2 ϕ = 2 2 X x Y y + X x Y y x2 y2 = Y y 2 2 x2x x + X x y2y y =, dividindo equção por ϕ = XY, temos 1 2 X x X x x Y y Y y y X x X x x 2 = 1 2 Y y Y y y 2 = Solução: s condições de contorno são s seguintes: 1 ϕ = em y = 2 ϕ = em y = 3 ϕ = V em x = b 4 ϕ = V em x = b Pel simetri d congurção, não pode hver dependênci em z pr o potencil, isto é ϕ = ϕ x, y = X x Y y A últim equção preg iguldde entre um função que só depende de x 2 Xx 1 Xx x 2 com um função que só depende de y 1 2 Y y Y y x 2 ; iguldde só pode se mnter, pr todo x e y, se mbs s funções são n verdde constntes, ou sej, 1 2 X x X x x 2 = 1 2 Y y Y y y 2 = λ Note que o que conseguimos qui foi seprr equção diferencil prcil que tínhmos no começo em dus equções diferenciis ordináris, { 2 Xx x 2 2 Y y y 2 = λx x = λy y NH281 - Fundmentos d Eletrostátic - 29t1 2 NH281 - Fundmentos d Eletrostátic - 29t1 3

3 Ests podem ser gor resolvids usndo os métodos usuis pr equções diferenciis ordináris 2 se λ =, temos Y = B = Considere equção em y primeiro, el é d form Y y + λy y =, e novmente solução trivil; Y = A = A =, cujs possíveis soluções geris são: 3 se λ >, temos λ = K 2 e, portnto, 1 se λ <, Y = Ae λy + Be λy 2 se λ =, Y = Ay + B λy λy 3 se λ >, Y = A + B cos Y x = A Ky + B cos Ky A condição Y = nos fornece Y = B =, Precismos gor considerr s condições de contorno Pr qulquer x, em y = e y =, temos que ter ϕ x, y = X x Y y = ; isso é possível se Y = Y = Vmos ver s consequêncis dests condições de contorno em cd um ds possibiliddes pr λ, 1 se λ <, temos Y = A + B = B = A Y = A e λ e λ = A = = B A únic solução é trivil, o que exclui est possibilidde; enqunto que Y = implic em Y = A K =, e est iguldde é stisfeit se K = nπ, n =, 1, 2, Encontrmos ssim não pens um, ms um innidde de soluções, um pr cd n Z + Innits soluções é um pnorm certmente melhor do que nos outros csos, onde não hvi nenhum, e est possibilidde é únic lterntiv viável pr resolver o problem NH281 - Fundmentos d Eletrostátic - 29t1 4 NH281 - Fundmentos d Eletrostátic - 29t1 5

4 D nálise nterior, determinmos que só pode existir solução pr certos vlores de λ, sber, λ deve ser positivo, ou, mis precismente, nπ 2 λ =, n =, 1, 2, e podemos reescrever nosso sistem de equções como Observe que nosso problem é simétrico pel troc de x por x; isto signic que deve vler e portnto, ϕ x, y = ϕ x, y C n = D n X n x = C n e nπ x + e nπ x nπ = 2C n cosh x, { 2 Xx x 2 2 Y y y 2 = nπ 2 X x = nπ 2 Y y As soluções d equção em y, que stisfz s condições de contorno Y = Y = pr cd n = 1, 2,, são nπ Y n y = A n y, n =, 1, 2, onde A n são constntes rbitráris onde, por enqunto, C n é um constnte que deveri ser determind pel condição que ϕ b, y = V note que mesm condição em x = b será utomticmente vericd pel pridde d função X n que construímos Leiturs Adicionis Se você não está hbitudo lidr com funções hiperbólics como o cosh x, procure um bom livro de Cálculo Elementr Por exemplo, seção 79 de Anton H, Bivens I, Dvis S, Cálculo, Volume I, 8ª edição E equção em x? A solução gerl pr é d form 2 X n x x 2 nπ 2 Xn x = X n x = C n e nπ x + D n e nπ x O resumo do que zemos té gor é que, pr cd vlor inteiro positivo de n, existe um potencil solução, dd por nπ nπ ϕ n x, y = X n x Y n y = E n cosh x y, NH281 - Fundmentos d Eletrostátic - 29t1 6 NH281 - Fundmentos d Eletrostátic - 29t1 7

5 onde E n = 2A n C n é um constnte indetermind Se tentmos gor impor condição de contorno restnte, contudo, chegmos ϕ n x = b, y = E n cosh nπ b nπ y = V, e est equção não pode ser verddeir exceto qundo E n = V = Chegmos um prente beco-sem-síd: buscndo um solução pelo método de seprção de vriáveis, chegmos um número innito de cndidts solução, só que descobrimos que nenhum dels consegue stisfzer últim condição de contorno exceto no cso trivil V = e ϕ n = Ms não vmos desistir tão cedo A equção de Lplce é liner, o que signic que se ϕ 1, ϕ 2,, ϕ n são soluções, então qulquer superposição liner c 1 ϕ 1 + c 2 ϕ c n ϕ n tmbém é solução Se cd ϕ n x, y que encontrmos não é cpz de stisfzer condição ϕ n b, y = V, será que um som de tods s ϕ n x, y não poderi servir? Ou sej, podemos considerr ϕ x, y = = ϕ n x, y n= n= nπ nπ E n cosh x y e nos perguntr se podemos determinr E n tl que,, 1 primeiro, som cim sej convergente, e 2 segundo, solução ϕ x, y stisfç ϕ b, y = n= E n cosh nπ b nπ y = V A respost é positiv, e existe tod um áre d mtemátic que grnte isso: trt-se do estudo de séries de Fourier Sem entrr em miores detlhes d teori de séries de Fourier, n prátic os coecientes E n podem ser clculdos grçs à importnte propriedde de ortogonlidde ds funções nπ y, ou sej, ˆ onde δ mn é o delt de Kronecker, mπ nπ y y dy = 2 δ mn, δ mn = { 1, se m = n, se m n Usndo este resultdo, vmos multiplicr os dois ldos d igulde n= E n cosh nπ b nπ y = V NH281 - Fundmentos d Eletrostátic - 29t1 8 NH281 - Fundmentos d Eletrostátic - 29t1 9

6 por mπ y e integrr em y, ˆ V = = ˆ mπ y dy E n cosh n= mπ y n= nπ b E n cosh nπ b nπ y dy ˆ = E n cosh nπ b δ mn 2 n= = 2 E m cosh mπ b, mπ y nπ y dy } {{} 2 δ mn A solução do problem é então, ϕ x, y = 4V π n ímpr 1 cosh nπ x nπ ncosh nπ b y ou sej, encontrmos pr E m expressão, E m = 2V cosh mπ b ˆ mπ y dy 2V = cosh mπ b 1 cos mπ mπ {, se m é pr =, se m é impr 4V mπ coshmπ b Tbel 1: Gráco do potencil eletrostático encontrdo à esquerd, pr = 1, b = 1 e 4V /π = 1, somndo os 2 primeiros termos d solução; à direit, curvs de níveis e vetor cmpo elétrico, vistos num plno prlelo o plno xy NH281 - Fundmentos d Eletrostátic - 29t1 1 NH281 - Fundmentos d Eletrostátic - 29t1 11

7 Relção com Álgebr Liner Se você já estudou álgebr liner, deve estr fmilirizdo com seguinte idéi: um bse ortonorml de um espço liner de N tl que o produto dimensões V é um conjunto de N vetores u i interno entre elementos d bse é u i, u j = δ ij e qulquer vetor do espço pode ser escrito como V = N c i u i, i=1 neste cso, os coecientes c i podem ser fcilmente clculdos usndo o produto interno, c i = V, u i ; diz-se que c i é projeção de V sobre u i Ests idéis podem ser plicds pr entender expnsão de um função f x em séries de Fourier O espço vetoril é o conjunto de funções F que devem stisfzer certs condições de integrbilidde, e bse ortogonl, qui, é justmente o conjunto ds funções u n x = nπ x, se usmos o produto interno u n, u m = 2 ˆ u n x u m x dx = δ nm Então qulquer função f x F pode ser escrit em termos d bse innit u n x, f x = c n u n x, n= onde c n são obtidos pel projeção de f sobre u n, c n = f, u n = 2 ˆ nπ f x x dx Como bse tem innitos elementos, o espço vetoril F é dito de dimensão innit Embor teori mtemátic de espços vetoriis com innits dimensões é bstnte mis complex do que o cso de nits dimensões, muits ds idéis fundmentis ind se plicm A expnsão em série de Fourier, ssim, pode ser conceitulmente entendid como expressão de um função em termos de um bse de funções u n Voltndo o nosso exemplo, poderímos generlizr nosso resultdo d seguinte form: suponh que s plcs em x = ±b não estejm um potencil constnte, ms sim num potencil dependente de y, ou sej, ϕ ±b, y = f y A função f pode ser escrit em termos ds soluções u n y = cosh nπ b nπ y, NH281 - Fundmentos d Eletrostátic - 29t1 12 NH281 - Fundmentos d Eletrostátic - 29t1 13

8 com coecientes c n ddos por c n = f, u n = 2 cosh nπ b ˆ nπ f y y dy E solução pr nosso problem, neste cso, será ϕ x, y = n= nπ nπ c n cosh x y Leiturs Adicionis Vej outros problems de eletrostátic resolvidos com ests técnics mtemátics no Griths seção 331 Pr sber mis sobre séries de Fourier, lei Arfken cp 14 Eq de Lplce em Coord Esférics: potenciis independentes do ângulo zimutl Lembre-se d expressão do Lplcino em coordends esférics, 2 ϕ = 1 «r 2 ϕ + 1 r 2 r r r 2 θ 1 2 ϕ + r 2 2 θ φ 2 θ θ ϕ «θ A solução gerl d equção de Lplce 2 ϕ = pode ser encontrd, por exemplo, no livro do Jckson, cp 3 Vmos nos restringir qui o cso prticulr, qundo o potencil não depende de φ, isto é, ϕ = ϕ r, θ Neste cso, equção de Lplce reduz-se «1 r 2 ϕ + 1 r 2 r r r 2 θ θ θ ϕ «= θ Vmos tentr novmente seprção de vriáveis, ou sej, ϕ r, θ = R r P θ, 1 «d r 2 dr P θ + 1 r 2 dr dr r 2 θ multiplicndo por r2 RP, 1 d R r dr «r 2 dr = 1 dr d dθ d θ dθ θ dp «R r =, dθ θ dp «1 dθ P θ NH281 - Fundmentos d Eletrostátic - 29t1 14 NH281 - Fundmentos d Eletrostátic - 29t1 15

9 Novmente, os dois ldos d equção devem ser iguis um constnte K; seprmos ssim equção de Lplce em dus equções diferenciis ordináris, j d dr 1 d θ dθ dr `r2 dr = K R r ` θ dp dθ = K P θ Qundo resolvemos equção ngulr, contudo, 1 d θ dθ θ dp = l l + 1 P θ dθ Começmos resolvendo prte rdil, ou sej, equção d r 2dR = K R r dr dr Tentndo um solução d form R r α, encontrmos condição α α + 1 = K Escolhendo α = l, com l R, temos um solução R r l Pr o mesmo K, podemos tmbém escolher α = l + 1, o que ger um solução linermente independente d primeir, R r l+1 De fto, trt-se de um equção diferencil ordinári de segund ordem homogêne, solução gerl é um combinção liner de quisquer dus soluções linermente independentes, como s que cbmos de encontrr, ou sej, R l r = A l r l + B l r l+1 A est ltur, só temos que exigir que l 1 2, pr grntir que s dus soluções sejm linermente independentes Pode-se mostrr Jckson, cp 3 que est equção só tem soluções bem comportds se l é inteiro e não-negtivo l ; neste cso, s soluções são polinômios em cos θ chmds de polinômios de Legendre, P l cos θ Tis polinômios podem ser obtidos pel fórmul de Rodrigues, P l cos θ = 1 l d cos 2 2 l θ 1 l l! d cos θ Os primeiros polinômios de Legendre são, explicitmente, P cos θ = 1 P 1 cos θ = cos θ P 2 cos θ = 1 3 cos 2 θ 1 2 P 3 cos θ = 1 5 cos 3 θ 3 cos θ 2 e eles formm um conjunto completo e ortogonl de funções no intervlo θ π; ie, formm um bse ortogonl de funções NH281 - Fundmentos d Eletrostátic - 29t1 16 NH281 - Fundmentos d Eletrostátic - 29t1 17

10 denids neste intervlo, já que ˆ π P l cos θ P l cos θ θdθ = 2 2l + 1 δ ll O resumo d históri é que, pr cd l inteiro nãonegtivo, temos um solução pr equção de Lplce em coordends esférics; solução gerl será, portnto, d form ϕ r, θ = l= A l r l + B l r l+1 P l cos θ, onde A l e B l deverão ser xos pels condições de contorno Pr um exposição mis complet sobre s soluções d equção de Lplce em coordends esférics, vej Jckson cp cps 2 e 12 3 e Arfken Problem Determinr o potencil dentro e for de um superfície esféric de rio R, mntid um potencil vriável, ddo por um função ϕ θ num certo sistem de coordends esférics com origem no centro geométrico d esfer Solução: A solução gerl é ϕ r, θ = l= A l r l + B l r l+1 P l cos θ, e temos que considerr dus regiões: dentro e for d esfer Dentro d esfer: não deve hver gulriddes qundo r, logo B l = Ficmos com ϕ r R r, θ = A l r l P l cos θ, l= que deve stisfzer s condições de contorno n superfície, ϕ r R r = R, θ = A l R l P l cos θ = ϕ cos θ l= Observe que, novmente, isto é um expnsão d função ϕ θ em termos de um bse ortogonl de funções, no cso os polinômios de NH281 - Fundmentos d Eletrostátic - 29t1 18 NH281 - Fundmentos d Eletrostátic - 29t1 19

11 Legendre P l cos θ Os coecientes A l são determindos trvés d relção de ortogonlidde: ˆ π P l cos θ A l R l P l cos θ θdθ = l= ˆ π P l cos θ ϕ cos θ θdθ tem que vler A l =, ou sej, ϕ r R r, θ = l= B l 1 r l+1p l cos θ Novmente, temos que impor que ϕ r R r = R, θ = ϕ θ; isto vi nos permitir determinr B l, ˆ π P l cos θ ϕ cos θ θdθ = lˆ π A l R P l cos θ P l cos θ θdθ } {{} l= = A l R l 2 2l l+1 δ ll Portnto, trocndo o nome do índice de l pr l, encontrmos A l = 2l + 1 2R l ˆ π P l cos θ ϕ cos θ θdθ B l = 2l + 1 ˆ π R l+1 P l cos θ ϕ cos θ dθ 2 Observe que, se ϕ θ puder ser escrito como um som nit em P l cos θ, então teremos um número nito de coecientes A l e B l Ou sej, se ϕ θ = c P cos θ + c 1 P 1 cos θ + + c N P N cos θ, teremos dentro d esfer, { Al = c l R l, l =, 1,, N B l =, l For d esfer: Temos que nos preocupr se o potencil se mntém nito em todo região de r = R té r Mis que isso, podemos impor que o potencil vá zero no innito; pr tnto, e for d esfer, { A l =, l B l = c l R l+1, l =, 1,, N NH281 - Fundmentos d Eletrostátic - 29t1 2 NH281 - Fundmentos d Eletrostátic - 29t1 21

12 Problem Determinr o potencil e o cmpo elétrico n região extern um esfer condutor neutr e de rio R, que é colocd em um região onde há inicilmente um cmpo elétrico E = E ẑ Determine tmbém densidde de crg supercil induzid n esfer NH281 - Fundmentos d Eletrostátic - 29t1 22

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