Análise Combinatória

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1 Ftoril de um número: n!n.(n-1).(n-) Análise Combintóri Definições especiis: 0!1 1!1 100! 101! 1) Clcule o vlor d expressão. 99! 100! 101! ! ! ! 99! ) Resolv ( x 1)! 56 ( x 1)! x Respost : x ( x 1)! equção 56. ( x 1)! x 56 0 ( x 1)( x)( x 1)! 56 ( x 1)! 1± 5 x ( x 1)( x) 56 1± 15 x 7, pois não existe ftoril de um número negtivo. x x 7 x -8 x 56 3) Qutro times de futebol (Grêmio, Sntos, São Pulo e Flmengo) disputm o torneio dos cmpeões do mundo. Qunts são s possibiliddes pr os três primeiros lugres? R : Existem 4 possibiliddes pr o1º lugr, sobrndo 3 possibiliddes pr o º lugr e possibiliddes pr o 3º lugr Arrnjo simples: possibiliddes. A n, p n! ( n p)! 4) Clcule A 6, A A 9, 4,3 A A 8,1 6, A 5, A A 9, 4,3 A A 8,1 5,. 6! 4! 5! (6 )! (4 3)! (5 )! ! 8! 7 8 (9 )! (8 1)!

2 5) Quntos números de 3 lgrismos distintos sistem deciml (0,1,,3,4,5,6,7,8,9) sem os repetir, de modo que : ) COMECEM COM 1. R : O número pode possuir três lgrismos, sendo que pr o primeiro existe pens1 possibilidde (1) e pr os outros dois ind 1. A 9, 9! (9 )! 9! 7! 9.8.7! números. 7! podemos formr com o lgrismos do existem 9 números disponíveis : b) COMECEM COM E TERMINEM COM 5. R : Pr o primeiro lgrismo existe pens1 possibilidde (), e pr o terceiro tmbém existe pens1 possibilidde (5). Pr 1.1. A 8,1 8! (8 1)! 8! 7! 8.7! 8 números. 7! o segundo ind existem 8 possibiliddes : c) SEJAM DIVISÍVEISPOR 5. R : Pr um número ser divisível 5, ele deve terminr com 0 ou com 5. Primeirmente vmos clculr o número de divisíveis por 5 que terminm com 0 : Pr existem 9 números disponíveis. Portnto o número de divisíveis por 5 que terminm com 0 é : 1. A Agor clculmos quntos divisíveis por 5 terminm com 5 : pr o terceiro lgrismo existe pens um possibilidde (5). Pr pois o número não pode começr com 0 (senão seri um número de lgrismos). E pr o segundo lgrismo tmbém existem 8 possibiliddes (o segundo lgrismo pode ser 0). 1. A 9, 8,1 o terceiro lgrismo existe pens1 possibilidde (0), e pr os dois 9! (9 )!. A 8,1 9! 7! 8! 8!. (8 1)! (8 1)! 9.8.7! números. 7! 8!. 7! 8.7! 8.7! números. 7! 7! Respost :O número de divisíveis por 5 é números. 8! 7! primeiros ind o primeiro lgrismo existem ind 8 possibiliddes, 6) Quntos são os números compreendidos entre 000 e 3000 formdos por lgrismos distintos escolhidos entre1,,3,4,5,6,7,8 e 9? R : O número deve ter qutro lgrismos (pois está entre 000 e 3000). Pr lgrismo existe pens um possibilidde (), e pr disponíveis, então : 1. A 8,3 8! (8 3)! 8! 5! ! números. 5! o primeiro os outros três ind existem 8 números

3 Permutção Simples: É um cso prticulr de rrnjo simples. É o tipo de grupmento ordendo onde entrm todos os elementos. P n n! 7) Quntos números de 5 lgrismos distintos P 5 5! números. podem ser formdos por 1,,3,5 e 8? 8) Quntos ngrms d ) COMEÇAM POR A. existem 6 possibiliddes. Então o totl é : 1. P plvr EDITORA : Pr primeir letr existe pens um possibilidde (A), e pr s outrs 6 letrs 6 1.6! ngrms. b) COMEÇAM POR A e terminm com E. Pr primeir letr existe1 possibilidde (A), e pr e pr s outrs 5 letrs existem 5 possibiliddes. Então o totl é : 1.1. P ! ngrms. últim tmbém só existe1(e), 8) Clcule de qunts mneirs podem ser diposts 4 dms e 4 cvlheiros, num fil, de form que não fiquem juntos dois cvlheiros e dus dms. R :Existem dus mneirs de fzer isso : Colocndo um cvlheiro n primeir posição temos como número totl de mneirs : P. P 4 Colocndo um P. P 4 C - D - C - D - C - D - C - D 4 4 ou 4!.4! mneirs. dm n primeir posição temos tmbém : 4!.4! mneirs. Portnto o totl é mneirs. D - C - D - C - D - C - D - C Combinção Simples: é o tipo de grupmento em que um grupo difere do outro pens pel nturez dos elementos componentes. C n, p n! p!( n p)!

4 9) Resolver m! m! 0 3!( m 3)!!( m )! m.( m 1).( m ).( m 3)! m.( m 1).( m )! 0 3!( m 3)!!( m )! m.( m 1).( m ) m.( m 1) 0 3!! 3 m m m m m m m 3m m 3m 3m 0 6 m 6m 5 0 Respost : m 5. equção C m,3 C 6 ± m m, m m' 5 m'' 1 obs : m 1 não é respost porque não pode hver C m 3 5m 0 1,3. 10) Com10 espécies de fruts, quntos tipos de sld, contendo 6 espécies diferentes podem ser feits? C 10,6 10! 6!.(10 6)! ! 6!.4! ! tipos de slds. 4 11) Num reunião com 7 rpzes e 6 moçs, qunts comissões podemos formr com 3 RAPAZES- C rpzes e 4 moçs? MOÇAS - C 6,4 7,3 O resultdo é o produto C 7,3. C 6,4. 7! 6! ! 6.5.4! comissões. 3!(7 3)! 4!(6 4)! 3!.4! 4!.! 3! Binômio de Newton

5 Introdução Pelos produtos notáveis, sbemos que (b)² ² b b². Se quisermos clculr ( b)³, podemos escrever: ( b) b 3b b 3 Se quisermos clculr, podemos dotr o mesmo procedimento: ( b) 4 ( b) 3 (b) ( 3 3 b 3b b 3 ) (b) b 6 b 4b 3 b 4 De modo nálogo, podemos clculr s quints e sexts potêncis e, de modo gerl, obter o desenvolvimento d potênci prtir d nterior, ou sej, de. Porém qundo o vlor de n é grnde, este processo grdtivo de cálculo é muito trblhoso. Existe um método pr desenvolver enésim potênci de um binômio, conhecido como binômio de Newton (Isc Newton, mtemático e físico inglês, ). Pr esse método é necessário sber o que são coeficientes binomiis, lgums de sus proprieddes e o triângulo de Pscl. Coeficientes Binomiis Sendo n e p dois números nturis binomil de clsse p, do número n, o número, chmmos de coeficiente, que indicmos por (lê-se: n sobre p). Podemos escrever: O coeficiente binomil tmbém é chmdo de número binomil. Por nlogi com s frções, dizemos que n é o seu numerdor e p, o denomindor. Podemos escrever:

6 É tmbém imedito que, pr qulquer n nturl, temos: Exemplos: Proprieddes dos coeficientes binomiis 1ª) Se n, p, k então e p k n Coeficientes binomiis como esses, que tem o mesmo numerdor e som dos denomindores igul o numerdor, são chmdos complementres. Exemplos:

7 ª) Se n, p, k e p p-1 0 então Ess iguldde é conhecid como relção de Stifel (Michel Stifel, mtemático lemão, ). Exemplos: Triângulo de Pscl A disposição ordend dos números binomiis, como n tbel o ldo, recebe o nome de Triângulo de Pscl Nest tbel tringulr, os números binomiis com o mesmo numerdor são escritos n mesm linh e os de mesmo denomindor, n mesm colun. Por exemplo, os números binomiis,, e estão n linh 3 e os números binomiis,,,,...,,... estão n colun 1. Substituindo cd número binomil pelo seu respectivo vlor, temos:

8 Construção do triângulo de Pscl Pr construir o triângulo do Pscl, bst lembrr s seguintes proprieddes dos números binomiis, não sendo necessário clculá-los: 1ª) Como 1, todos os elementos d colun 0 são iguis 1. ª) Como 1, o último elemento de cd linh é igul 1. 3ª) Cd elemento do triângulo que não sej d colun 0 nem o último de cd linh é igul à som dquele que está n mesm colun e linh nterior com o elemento que se situ à esquerd deste último (relção de Stifel). Observe os pssos e plicção d relção de Stifel pr construção do triângulo: Propriedde do triângulo de Pscl P1 Em Qulquer linh, dois números binomiis eqüidistntes dos extremos são iguis.

9 De fto, esses binomiis são complementres. P Teorem ds linhs: A som dos elementos d enésim linh é. De modo gerl temos: P3 Teorem ds coluns: A som dos elementos de qulquer colun, do 1º elemento té um qulquer, é igul o elemento situdo n colun à direit d considerd e n linh imeditmente bixo.

10 P4 Teorem ds digonis: A som dos elementos situdos n mesm digonl desde o elemento d 1ª colun té o de um qulquer é igul o elemento imeditmente bixo deste Fórmul do desenvolvimento do binômio de Newton Como vimos, potênci d form, em que,, é chmd binômio de Newton. Além disso: qundo n 0 temos qundo n 1 temos qundo n temos qundo n 3 temos qundo n 4 temos

11 Observe que os coeficientes dos desenvolvimentos form o triângulo de Pscl. Então, podemos escrever tmbém: De modo gerl, qundo o expoente é n, podemos escrever fórmul do desenvolvimento do binômio de Newton: Note que os expoentes de vão diminuindo de unidde em unidde, vrindo de n té 0, e os expoentes de b vão umentndo de unidde em unidde, vrindo de 0 té n. O desenvolvimento de ( b) n possui n 1 termos. Fórmul do termo gerl do binômio

12 Observndo os termos do desenvolvimento de ( b) n, notmos que cd um deles é d form. Qundo p 0 temos o 1º termo: Qundo p 1 temos o º termo: Qundo p temos o 3º termo: Qundo p 3 temos o 4º termo: Qundo p 4 temos o 5º termo:... Percebemos, então, que um termo qulquer T de ordem p 1pode ser expresso por:

13 Cilindro N figur bixo, temos dois plnos prlelos e distintos, círculo R contido em e um ret r que intercept, ms não R:, um Pr cd ponto C d região R, vmos considerr o segmento, prlelo à ret r : Assim, temos:

14 Chmmos de cilindro, ou cilindro circulr, o conjunto de todos os segmentos congruentes e prlelos r. Elementos do cilindro Ddo o cilindro seguir, considermos os seguintes elementos: bses: os círculos de centro O e O'e rios r ltur: distânci h entre os plnos gertriz: qulquer segmento de extremiddes nos pontos ds circunferêncis ds bses ( por exemplo, ) e prlelo à ret r Áres

15 Num cilindro, considermos s seguintes áres: ) áre lterl (A L ) Podemos observr áre lterl de um cilindro fzendo su plnificção: Assim, áre lterl do cilindro reto cuj ltur é h e cujos rios dos círculos ds bses são r é um retângulo de dimensões : b) áre d bse ( A B ):áre do círculo de rio r c) áre totl ( A T ): som d áre lterl com s áres ds bses Volume Pr obter o volume do cilindro, vmos usr novmente o princípio de Cvlieri.

16 Ddos dois sólidos com mesm ltur e um plno, se todo plno, prlelo o plno, intercept os sólidos e determin secções de mesm áre, os sólidos têm volumes iguis: Se 1 é um prlelepípedo retângulo, então V A B h. Assim, o volume de todo prlelepípedo retângulo e de todo cilindro é o produto d áre d bse pel medid de su ltur: V cilindro A B h No cso do cilindro circulr reto, áre d bse é áre do círculo de rio r ; portnto seu volume é:

17 Esfer Chmmos de esfer de centro O e rio R o conjunto de pontos do espço cuj distânci o centro é menor ou igul o rio R. Considerndo rotção complet de um semicírculo em torno de um eixo e, esfer é o sólido gerdo por ess rotção. Assim, el é limitd por um superfície esféric e formd por todos os pontos pertencentes ess superfície e o seu interior. Volume O volume d esfer de rio R é ddo por: Prtes d esfer Superfície esféric A superfície esféric de centro O e rio R é o conjunto de pontos do es[ço cuj distânci o ponto O é igul o rio R. Se considerrmos rotção complet de um semicircunferênci em torno de seu diâmetro, superfície esféric é o resultdo dess rotção.

18 A áre d superfície esféric é dd por: Cone circulr Ddo um círculo C, contido num plno, e um ponto V ( vértice) for de, chmmos de cone circulr o conjunto de todos os segmentos. Elementos do cone circulr Ddo o cone seguir, considermos os seguintes elementos:

19 ltur: distânci h do vértice V o plno gertriz (g):segmento com um extremidde no ponto V e outr num ponto d circunferênci rio d bse: rio R do círculo eixo de rotção:ret determind pelo centro do círculo e pelo vértice do cone Cone reto Todo cone cujo eixo de rotção é perpendiculr à bse é chmdo cone reto, tmbém denomindo cone de revolução. Ele pode ser gerdo pel rotção complet de um triângulo retângulo em torno de um de seus ctetos. D figur, e pelo Teorem de Pitágors, temos seguinte relção:

20 G h R Secção meridin A secção determind, num cone de revolução, por um plno que contém o eixo de rotção é chmd secção meridin. Se o triângulo AVB for eqüilátero, o cone tmbém será eqüilátero: Áres Desenvolvendo superfície lterl de um cone circulr reto, obtemos um setor circulr de rio g e comprimento :

21 Assim, temos de considerr s seguintes áres: ) áre lterl (A L ): áre do setor circulr b) áre d bse (A B ):áre do circulo do rio R c) áre totl (A T ):som d áre lterl com áre d bse Volume Pr determinr o volume do cone, vmos ver como clculr volumes de sólidos de revolução. Observe figur: d distânci do centro de grvidde (CG) d su superfície o eixo e Sáre d superfície

22 Sbemos, pelo Teorem de Pppus - Guldin, que, qundo um superfície gir em torno de um eixo e, ger um volume tl que: Vmos, então, determinr o volume do cone de revolução gerdo pel rotção de um triângulo retângulo em torno do cteto h: O CG do triângulo está um distânci Logo: do eixo de rotção.

23 CONJUNTOS NUMÉRICOS Conjunto dos números nturis (IN) IN{0, 1,, 3, 4, 5,...} Um subconjunto importnte de IN é o conjunto IN*: IN*{1,, 3, 4, 5,...} o zero foi excluído do conjunto IN. Podemos considerr o conjunto dos números nturis ordendos sobre um ret, como mostr o gráfico bixo: Conjunto dos números inteiros (Z) Z{..., -3, -, -1, 0, 1,, 3,...} O conjunto IN é subconjunto de Z. Temos tmbém outros subconjuntos de Z: Z* Z-{0} Z conjunto dos inteiros não negtivos {0,1,,3,4,5,...} Z_ conjunto dos inteiros não positivos {0,-1,-,-3,-4,-5,...} Observe que Z IN. Podemos considerr os números inteiros ordendos sobre um ret, conforme mostr o gráfico bixo:

24 Conjunto dos números rcionis (Q) Os números rcionis são todos queles que podem ser colocdos n form de frção (com o numerdor e denomindor Z). Ou sej, o conjunto dos números rcionis é união do conjunto dos números inteiros com s frções positivs e negtivs. Então :-, 5, 4 1, 3,1, 5 3, por exemplo, são números rcionis. Exemplos: 3 6 ) b) Assim, podemos escrever: Q { x x, com Z, b Z e b 0} b É interessnte considerr representção deciml de um número rcionl, que se obtém dividindo por b. b Exemplos referentes às decimis exts ou finits: 1 0, , ,75 Exemplos referentes às decimis periódics ou infinits: 1 0, , , Tod deciml ext ou periódic pode ser representd n form de número rcionl. Conjunto dos números irrcionis

25 Os números irrcionis são decimis infinits não periódics, ou sej, os números que não podem ser escrito n form de frção (divisão de dois inteiros). Como exemplo de números irrcionis, temos riz qudrd de e riz qudrd de 3: 1, , Um número irrcionl bstnte conhecido é o número π 3, Conjunto dos números reis (IR) Ddos os conjuntos dos números rcionis (Q) e dos irrcionis, definimos o conjunto dos números reis como: IRQ {irrcionis} {x x é rcionl ou x é irrcionl} O digrm bixo mostr relção entre os conjuntos numéricos: Portnto, os números nturis, inteiros, rcionis e irrcionis são todos números reis. Como subconjuntos importntes de IR temos: IR* IR-{0} IR conjunto dos números reis não negtivos IR_ conjunto dos números reis não positivos Obs: entre dois números inteiros existem infinitos números reis. Por exemplo: Entre os números 1 e existem infinitos números reis: 1,01 ; 1,001 ; 1,0001 ; 1,1 ; 1, ; 1,5 ; 1,99 ; 1,999 ; 1, Entre os números 5 e 6 existem infinitos números reis: 5,01 ; 5,0 ; 5,05 ; 5,1 ; 5, ; 5,5 ; 5,99 ; 5,999 ; 5,

26 Determinntes Como já vimos, mtriz qudrd é que tem o mesmo número de linhs e de coluns (ou sej, é do tipo nxn). A tod mtriz qudrd está ssocido um número o qul dmos o nome de determinnte. Dentre s váris plicções dos determinntes n Mtemátic, temos: resolução de lguns tipos de sistems de equções lineres; cálculo d áre de um triângulo situdo no plno crtesino, qundo são conhecids s coordends dos seus vértices; Determinnte de 1ª ordem Dd um mtriz qudrd de 1ª ordem M[ 11 ], o seu determinnte é o número rel 11 : det M I 11 I 11 Observção: Representmos o determinnte de um mtriz entre dus brrs verticis, que não têm o significdo de módulo. Por exemplo: M [5] det M 5 ou I 5 I 5 M [-3] det M -3 ou I -3 I -3 Determinnte de ª ordem Dd mtriz, de ordem, por definição o determinnte ssocido M, determinnte de ª ordem, é ddo por:

27 Portnto, o determinnte de um mtriz de ordem é ddo pel diferenç entre o produto dos elementos d digonl principl e o produto dos elementos d digonl secundári. Vej o exemplo seguir. Menor complementr Chmmos de menor complementr reltivo um elemento ij de um mtriz M, qudrd e de ordem n>1, o determinnte MC ij, de ordem n - 1, ssocido à mtriz obtid de M qundo suprimimos linh e colun que pssm por ij. Vejmos como determiná-lo pelos exemplos seguir: ) Dd mtriz, de ordem, pr determinr o menor complementr reltivo o elemento 11 (MC 11 ), retirmos linh 1 e colun 1: D mesm form, o menor complementr reltivo o elemento 1 é:

28 b) Sendo, de ordem 3, temos: Coftor Chmmos de coftor ou complemento lgébrico reltivo um elemento ij de um mtriz qudrd de ordem n o número A ij tl que A ij (-1) ij. MC ij. Vej: ) Dd, os coftores reltivos os elementos 11 e 1 d mtriz M são: b) Sendo, vmos clculr os coftores A, A 3 e A 31 :

29 Teorem de Lplce O determinnte de um mtriz qudrd M [ ij ] mxn pode ser obtido pel som dos produtos dos elementos de um fil qulquer ( linh ou colun) d mtriz M pelos respectivos coftores. Assim, fixndo, temos: em que m,. é o somtório de todos os termos de índice i, vrindo de 1 té Regr de Srrus O cálculo do determinnte de 3ª ordem pode ser feito por meio de um dispositivo prático, denomindo regr de Srrus. Acompnhe como plicmos ess regr pr. 1º psso: Repetimos s dus primeirs coluns o ldo d terceir:

30 º psso: Encontrmos som do produto dos elementos d digonl principl com os dois produtos obtidos pel multiplicção dos elementos ds prlels ess digonl ( som deve ser precedid do sinl positivo): 3º psso: Encontrmos som do produto dos elementos d digonl secundári com os dois produtos obtidos pel multiplicção dos elementos ds prlels ess digonl ( som deve ser precedid do sinl negtivo): Assim:

31 Observção: Se desenvolvermos esse determinnte de 3ª ordem plicndo o Teorem de Lplce, encontrremos o mesmo número rel. Determinnte de ordem n > 3 Vimos que regr de Srrus é válid pr o cálculo do determinnte de um mtriz de ordem 3. Qundo mtriz é de ordem superior 3, devemos empregr o Teorem de Lplce pr chegr determinntes de ordem 3 e depois plicr regr de Srrus. Proprieddes dos determinntes Os demis ssocidos mtrizes qudrds de ordem n presentm s seguintes proprieddes: P 1 ) Qundo todos os elementos de um fil ( linh ou colun) são nulos, o determinnte dess mtriz é nulo. Exemplo: P ) Se dus fils de um mtriz são iguis, então seu determinnte é nulo. Exemplo: P 3 ) Se dus fils prlels de um mtriz são proporcionis, então seu determinnte é nulo. Exemplo:

32 P 4 ) Se os elementos de um fil de um mtriz são combinções lineres dos elementos correspondentes de fils prlels, então seu determinnte é nulo. Exemplos: P 5 ) Teorem de Jcobi: o determinnte de um mtriz não se lter qundo sommos os elementos de um fil um combinção liner dos elementos correspondentes de fils prlels. Exemplo: Substituindo 1ª colun pel som dess mesm colun com o dobro d ª, temos: P 6 ) O determinnte de um mtriz e o de su trnspost são iguis. Exemplo:

33 P 7 ) Multiplicndo por um número rel todos os elementos de um fil em um mtriz, o determinnte dess mtriz fic multiplicdo por esse número. Exemplos: P 8 ) Qundo trocmos s posições de dus fils prlels, o determinnte de um mtriz mud de sinl. Exemplo: P 9 ) Qundo, em um mtriz, os elementos cim ou bixo d digonl principl são todos nulos, o determinnte é igul o produto dos elementos dess digonl. Exemplos:

34 P 10 ) Qundo, em um mtriz, os elementos cim ou bixo d digonl secundári são todos nulos, o determinnte é igul o produto dos elementos dess digonl multiplicdo por. Exemplos: P 11 ) Pr A e B mtrizes qudrds de mesm ordem n, Exemplo:. Como: P 1 ) Exemplo:

35 Equções lgébrics (com um vriável) Introdução Equção é tod sentenç mtemátic bert que exprime um relção de iguldde. A plvr equção tem o prefixo equ, que em ltim quer dizer "igul". Exemplos: x 8 0 5x - 4 6x b - c 0 Não são equções: (Não é um sentenç bert) x - 5 < 3 (Não é iguldde) (não é sentenç bert, nem iguldde) A equção gerl do primeiro gru: xb 0 onde e b são números conhecidos e > 0, se resolve de mneir simples: subtrindo b dos dois ldos, obtemos: x -b dividindo gor por (dos dois ldos), temos: Consider equção x - 8 3x -10

36 A letr é incógnit d equção. A plvr incógnit signific " desconhecid". N equção cim incógnit é x; tudo que ntecede o sinl d iguldde denomin-se 1º membro, e o que sucede, º membro. Qulquer prcel, do 1º ou do º membro, é um termo d equção. Equção do 1º gru n incógnit x é tod equção que pode ser escrit n form xb, sendo e b números rcionis, com diferente de zero. Conjunto Verdde e Conjunto Universo de um Equção Considere o conjunto A {0, 1,, 3, 4, 5} e equção x 5. Observe que o número 3 do conjunto A é denomindo conjunto universo d equção e o conjunto {3} é o conjunto verdde dess mesm equção. Observe este outro exemplo: Determine os números inteiros que stisfzem equção x² 5

37 O conjunto dos números inteiro é o conjunto universo d equção. Os números -5 e 5, que stisfzem equção, formm o conjunto verdde, podendo ser indicdo por: V {-5, 5}. Dí concluímos que: Conjunto Universo é o conjunto de todos os vlores que vriável pode ssumir. Indic-se por U. Conjunto verdde é o conjunto dos vlores de U, que tornm verddeir equção. Indic-se por V. Observções: O conjunto verdde é subconjunto do conjunto universo. Não sendo citdo o conjunto universo, devemos considerr como conjunto universo o conjunto dos números rcionis. O conjunto verdde é tmbém conhecido por conjunto solução e pode ser indicdo por S. Rízes de um equção Os elementos do conjunto verdde de um equção são chmdos rízes d equção. Pr verificr se um número é riz de um equção, devemos obedecer à seguinte seqüênci: Substituir incógnit por esse número. Determinr o vlor de cd membro d equção.

38 Verificr iguldde, sendo um sentenç verddeir, o número considerdo é riz d equção. Exemplos: Verifique quis dos elementos do conjunto universo são rízes ds equções bixo, determinndo em cd cso o conjunto verdde. Resolv equção x - 0, sendo U {0, 1,, 3}. > - 0. (F) > (F) > 0 0. (V) > 1 0. (F) Pr x 0 n equção x - 0 temos: 0-0 Pr x 1 n equção x - 0 temos: 1-0 Pr x n equção x - 0 temos: - 0 Pr x 3 n equção x - 0 temos: 3-0 Verificmos que é riz d equção x - 0, logo V {}. Resolv equção x - 5 1, sendo U {-1, 0, 1, }. 5 1 > (F) 1 > (F) 1 > (F) 1 > (F) Pr x -1 n equção x temos:. (-1) - Pr x 0 n equção x temos:. 0-5 Pr x 1 n equção x temos:. 1-5 Pr x n equção x temos:. - 5 A equção x não possui riz em U, logo V Ø.

39 Função de 1º gru - Afim Definição Chm-se função polinomil do 1º gru, ou função fim, qulquer função f de IR em IR dd por um lei d form f(x) x b, onde e b são números reis ddos e 0. N função f(x) x b, o número é chmdo de coeficiente de x e o número b é chmdo termo constnte. Vej lguns exemplos de funções polinomiis do 1º gru: f(x) 5x - 3, onde 5 e b - 3 f(x) -x - 7, onde - e b - 7 f(x) 11x, onde 11 e b 0 Gráfico O gráfico de um função polinomil do 1º gru, y x b, com um ret oblíqu os eixos Ox e Oy. 0, é Exemplo: Vmos construir o gráfico d função y 3x - 1: Como o gráfico é um ret, bst obter dois de seus pontos e ligá-los com o uxílio de um régu: ) Pr x 0, temos y ; portnto, um ponto é (0, -1).. b) Pr y 0, temos 0 3x - 1; portnto, e outro ponto é Mrcmos os pontos (0, -1) e dois com um ret. no plno crtesino e ligmos os

40 x y Já vimos que o gráfico d função fim y x b é um ret. O coeficiente de x,, é chmdo coeficiente ngulr d ret e, como veremos dinte, está ligdo à inclinção d ret em relção o eixo Ox. O termo constnte, b, é chmdo coeficiente liner d ret. Pr x 0, temos y 0 b b. Assim, o coeficiente liner é ordend do ponto em que ret cort o eixo Oy. Zero e Equção do 1º Gru Chm-se zero ou riz d função polinomil do 1º gru f(x) x b, 0, o número rel x tl que f(x) 0. Temos: f(x) 0 x b 0 Vejmos lguns exemplos: 1. Obtenção do zero d função f(x) x - 5: f(x) 0 x Cálculo d riz d função g(x) 3x 6: g(x) 0 3x 6 0 x - 3. Cálculo d bsciss do ponto em que o gráfico de h(x) -x 10 cort o eixo ds bicisss: O ponto em que o gráfico cort o eixo dos x é quele em que h(x)

41 0; então: h(x) 0 -x 10 0 x 5 Crescimento e decrescimento Consideremos função do 1º gru y 3x - 1. Vmos tribuir vlores cd vez miores x e observr o que ocorre com y: x y Notemos que, qundo umentos o vlor de x, os correspondentes vlores de y tmbém umentm. Dizemos, então que função y 3x - 1 é crescente. Observmos novmente seu gráfico: Regr gerl: função do 1º gru f(x) x b é crescente qundo o coeficiente de x é positivo ( > 0); função do 1º gru f(x) x b é decrescente qundo o coeficiente de x é negtivo ( < 0); Justifictiv:

42 pr > 0: se x 1 < x, então x 1 < x. Dí, x 1 b < x b, de onde vem f(x 1 ) < f(x ). pr < 0: se x 1 < x, então x 1 > x. Dí, x 1 b > x b, de onde vem f(x 1 ) > f(x ). Sinl Estudr o sinl de um qulquer y f(x) é determinr os vlor de x pr os quis y é positivo, os vlores de x pr os quis y é zero e os vlores de x pr os quis y é negtivo. Consideremos um função fim y f(x) x b vmos estudr seu sinl. Já vimos que ess função se nul pr riz possíveis:. Há dois csos 1º) > 0 ( função é crescente) y > 0 x b > 0 x > y > 0 x b < 0 x < Conclusão: y é positivo pr vlores de x miores que riz; y é negtivo pr vlores de x menores que riz º) < 0 ( função é decrescente) y > 0 x b > 0 x <

43 y > 0 x b < 0 x < Conclusão: y é positivo pr vlores de x menores que riz; y é negtivo pr vlores de x miores que riz.

44 EQUAÇÕES EXPONENCIAIS Chmmos de equções exponenciis tod equção n qul incógnit prece em expoente. Exemplos de equções exponenciis: 1) 3 x 81 ( solução é x4) ) x-5 16 ( solução é x9) 3) 16 x -4 x-1-10 x-1 ( solução é x1) 4) 3 x-1-3 x -3 x-1 10 (s soluções são x 0 e x 1) Pr resolver equções exponenciis, devemos relizr dois pssos importntes: 1º) redução dos dois membros d equção potêncis de mesm bse; º) plicção d propriedde: m n m n ( 1 e > 0) EXERCÍCIOS RESOLVIDOS: 1) 3 x 81 Resolução: Como 813 4, podemos escrever 3 x 3 4 E dí, x4. ) 9 x 1 Resolução: 9 x 1 9 x 9 0 ; logo x0. 3 3) 4 x Resolução : x x x ; então x 4. 4) 3 x 4 7 Resolução :3 x x x ; logo x 3 4 5) 3x-1 3 x

45 Resolução: 3x-1 3 x 3x-1 ( 5 ) x 3x-1 10x ; dí 3x-110, de onde x-1/7. 6) Resolv equção 3 x 6.3 x 70. Resolução: vmos resolver est equção trvés de um trnsformção: 3 x 6.3 x 70 (3 x ) -6.3 x 70 Fzendo 3 x y, obtemos: y -6y 70 ; plicndo Bhskr encontrmos y -3 e y 9 Pr chr o x, devemos voltr os vlores pr equção uxilir 3 x y: y -3 3 x -3 não existe x, pois potênci de bse positiv é positiv y 9 3 x 9 3 x 3 x Portnto solução é x FUNÇÃO EXPONENCIAL Chmmos de funções exponenciis quels ns quis temos vriável precendo em expoente. A função f:ir IR definid por f(x) x, com IR e 1, é chmd função exponencil de bse. O domínio dess função é o conjunto IR (reis) e o contrdomínio é IR (reis positivos, miores que zero). GRÁFICO CARTESIANO DA FUNÇÃO EXPONENCIAL Temos csos considerr: qundo >1; qundo 0<<1. Acompnhe os exemplos seguintes: 1) y x (nesse cso,, logo >1) Atribuindo lguns vlores x e clculndo os correspondentes vlores de y, obtemos tbel e o gráfico bixo:

46 X y 1/4 1/ 1 4 ) y(1/) x (nesse cso, 1/, logo 0<<1) Atribuindo lguns vlores x e clculndo os correspondentes vlores de y, obtemos tbel e o gráfico bixo: X Y 4 1 1/ 1/4 Nos dois exemplos, podemos observr que ) o gráfico nunc intercept o eixo horizontl; função não tem rízes; b) o gráfico cort o eixo verticl no ponto (0,1); c) os vlores de y são sempre positivos (potênci de bse positiv é positiv), portnto o conjunto imgem é ImIR. Além disso, podemos estbelecer o seguinte: >1 0<<1

47 f(x) é crescente e ImIR Pr quisquer x 1 e x do domínio: x >x 1 y >y 1 (s desigulddes têm mesmo sentido) f(x) é decrescente e ImIR Pr quisquer x 1 e x do domínio: x >x 1 y <y 1 (s desigulddes têm sentidos diferentes) INEQUAÇÕES EXPONENCIAIS Chmmos de inequções exponenciis tod inequção n qul incógnit prece em expoente. Exemplos de inequções exponenciis: 1) ) 3) 4) 3 x 5 > 81 x- 4 5 x x ( solução é x > 4) x 1 x 3 (que é stisfeit pr todo x rel) (que é stisfeit pr x -3) 315 < 0 (que é stisfeit pr < x < 3) Pr resolver inequções exponenciis, devemos relizr dois pssos importntes: 1º) redução dos dois membros d inequção potêncis de mesm bse; º) plicção d propriedde: >1 0<<1 m > n m>n (s desigulddes têm mesmo sentido) m > n m<n (s desigulddes têm sentidos diferentes) EXERCÍCIO RESOLVIDO:

48 1) Resolução : x 4 x x A inequção pode ser escrit > 4 Multiplicndo mbos os ldos por 4 temos : 4 (1 4 16).4 Porém, Como bse (4) é mior que1, obtemos : 4 x x 4 x < x < 0 Portnto S IR x x x x x 1 > 11, ou sej : > 11 < 1 - x 11 > 4 4 x < 4 (reis negtivos) 0. x > 11 e dí, 4 x < 1 FUNÇÃO LOGARÍTMICA

49 A função f:ir IR definid por f(x)log x, com 1 e >0, é chmd função logrítmic de bse. O domínio dess função é o conjunto IR (reis positivos, miores que zero) e o contrdomínio é IR (reis). GRÁFICO CARTESIANO DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA Temos csos considerr: qundo >1; qundo 0<<1. Acompnhe nos exemplos seguintes, construção do gráfico em cd cso: 3) ylog x (nesse cso,, logo >1) Atribuindo lguns vlores x e clculndo os correspondentes vlores de y, obtemos tbel e o gráfico bixo: x 1/4 1/ 1 4 y ) ylog (1/) x (nesse cso, 1/, logo 0<<1) Atribuindo lguns vlores x e clculndo os correspondentes vlores de y, obtemos tbel e o gráfico bixo: x 1/4 1/ 1 4 y

50 Nos dois exemplos, podemos observr que d) o gráfico nunc intercept o eixo verticl; e) o gráfico cort o eixo horizontl no ponto (1,0). A riz d função é x1; f) y ssume todos os vlores reis, portnto o conjunto imgem é ImIR. Além disso, podemos estbelecer o seguinte: >1 0<<1 f(x) é crescente e ImIR Pr quisquer x 1 e x do domínio: x >x 1 y >y 1 (s desigulddes têm mesmo sentido) f(x) é decrescente e ImIR Pr quisquer x 1 e x do domínio: x >x 1 y <y 1 (s desigulddes têm sentidos diferentes)

51 EQUAÇÕES LOGARÍTMICAS Chmmos de equções logrítmics tod equção que envolve logritmos com incógnit precendo no logritmndo, n bse ou em mbos. Exemplos de equções logrítmics: 7) log 3 x 5 ( solução é x43) 8) log(x -1) log 3 (s soluções são x - e x ) 9) log (x3) log (x-3) log 7 ( solução é x4) 10) log x1 (x -x) ( solução é x-1/3) Alguns exemplos resolvidos: 1) log 3 (x5) Resolução: condição de existênci: x5>0 > x>-5 log 3 (x5) > x5 3 > x9-5 > x4 Como x4 stisfz condição de existênci, então o conjunto solução é S{4}. ) log (log 4 x) 1 Resolução: condição de existênci: x>0 e log 4 x>0 log (log 4 x) 1 ; sbemos que 1 log (), então log (log 4 x) log () > log 4 x > 4 x > x16 Como x16 stisfz s condições de existênci, então o conjunto solução é S{16}. 3) Resolv o sistem: log x log y 7 3.log x.log y 1 Resolução: condições de existênci: x>0 e y>0 D primeir equção temos: log xlog y7 > log y 7-log x Substituindo log y n segund equção temos: 3.log x.(7-log x)1 > 3.log x-14.log x 1 > 5.log x 15 > > log x 3 > x10 3 Substituindo x 10 3 em log y 7-log x temos:

52 log y 7- log 10 3 > log y 7-3 > log y 4 > y10 4. Como esss rízes stisfzem s condições de existênci, então o conjunto solução é S{(10 3 ;10 4 )}. INEQUAÇÕES LOGARÍTMICAS Chmmos de inequções logrítmics tod inequção que envolve logritmos com incógnit precendo no logritmndo, n bse ou em mbos. Exemplos de inequções logrítmics: 1) log x > 0 ( solução é x>1) ) log 4 (x3) 1 ( solução é 3<x 1) Pr resolver inequções logrítmics, devemos relizr dois pssos importntes: 1º) redução dos dois membros d inequção logritmos de mesm bse; º) plicção d propriedde: >1 0<<1 log m > log n m>n>0 (s desigulddes têm mesmo sentido) log m > log n 0<m<n (s desigulddes têm sentidos diferentes) EXERCÍCIOS RESOLVIDOS: 1) log (x) > log 8 Resolução: Condições de existênci: x>0, ou sej, x>- (S 1 ) Como bse () é mior que 1, temos: x>8 e, dí, x>6 (S ) O conjunto solução é S S 1 S {x IR x>6}. Portnto solução finl é intersecção de S 1 e S, como está representdo logo bixo no desenho:

53 ) log (log 3 x) 0 Resolução: Condições de existênci: x>0 e log 3 x>0 Como log 10, inequção pode ser escrit ssim: log (log 3 x) log 1 Sendo bse () mior que 1, temos: log 3 x 1. Como log 3 3 1, então, log 3 x log 3 3 e, dí, x 3, porque bse (3) é mior que 1. As condições de existênci estão stisfeits, portnto S{x IR x 3}.

54 Função Qudrátic Definição Chm-se função qudrátic, ou função polinomil do º gru, qulquer função f de IR em IR dd por um lei d form f(x) x bx c, onde, b e c são números reis e 0. Vejmos lguns exemplos de função qudrátics: 1. f(x) 3x - 4x 1, onde 3, b - 4 e c 1. f(x) x -1, onde 1, b 0 e c f(x) x 3x 5, onde, b 3 e c 5 4. f(x) - x 8x, onde 1, b 8 e c 0 5. f(x) -4x, onde - 4, b 0 e c 0 Gráfico O gráfico de um função polinomil do º gru, y x bx c, com 0, é um curv chmd prábol. Exemplo: Vmos construir o gráfico d função y x x: Primeiro tribuímos x lguns vlores, depois clculmos o vlor correspondente de y e, em seguid, ligmos os pontos ssim obtidos. x y

55 Observção: Ao construir o gráfico de um função qudrátic y x bx c, notremos sempre que: se > 0, prábol tem concvidde voltd pr cim; se < 0, prábol tem concvidde voltd pr bixo; Zero e Equção do º Gru Chm-se zeros ou rízes d função polinomil do º gru f(x) x bx c, 0, os números reis x tis que f(x) 0. Então s rízes d função f(x) x bx c são s soluções d equção do º gru x bx c 0, s quis são dds pel chmd fórmul de Bhskr: Temos: Observção A quntidde de rízes reis de um função qudrátic depende do vlor obtido pr o rdicndo, chmdo discriminnte, sber: qundo é positivo, há dus rízes reis e distints; qundo é zero, há só um riz rel; qundo é negtivo, não há riz rel. Coordends do vértice d prábol

56 Qundo > 0, prábol tem concvidde voltd pr cim e um ponto de mínimo V; qundo < 0, prábol tem concvidde voltd pr bixo e um ponto de máximo V. Em qulquer cso, s coordends de V são. Vej os gráficos: Imgem

57 O conjunto-imgem Im d função y x bx c, 0, é o conjunto dos vlores que y pode ssumir. Há dus possibiliddes: 1ª - qundo > 0, > 0 ª qundo < 0, < 0

58 Construção d Prábol É possível construir o gráfico de um função do º gru sem montr tbel de pres (x, y), ms seguindo pens o roteiro de observção seguinte: 1. O vlor do coeficiente define concvidde d prábol;. Os zeros definem os pontos em que prábol intercept o eixo dos x; Sinl 3. O vértice V indic o ponto de mínimo (se > 0), ou máximo (se < 0); 4. A ret que pss por V e é prlel o eixo dos y é o eixo de simetri d prábol; 5. Pr x 0, temos y 0 b 0 c c; então (0, c) é o ponto em que prábol cort o eixo dos y. Considermos um função qudrátic y f(x) x bx c e determinemos os vlores de x pr os quis y é negtivo e os vlores de x pr os quis y é positivos. Conforme o sinl do discriminnte b - 4c, podemos ocorrer os seguintes csos: 1º- >0 Nesse cso função qudrátic dmite dois zeros reis distintos (x1

59 x). prábol intercept o eixo Ox em dois pontos e o sinl d função é o indicdo nos gráficos bixo: qundo > 0 y > 0 (x < x 1 ou x > x ) y < 0 x 1 < x < x qundo < 0 y > 0 x 1 < x < x y < 0 (x < x 1 ou x > x )

60 º - 0 qundo > 0 qundo < 0

61 3º - < 0 qundo > 0 qundo < 0

62 GEOMETRIA ANALÍTICA Rets Introdução Entre os pontos de um ret e os números reis existe um correspondênci biunívoc, isto é, cd ponto de ret corresponde um único número rel e vice-vers. Considerndo um ret horizontl x, orientd d esquerd pr direit (eixo), e determinndo um ponto O dess ret ( origem) e um segmento u, unitário e não-nulo, temos que dois números inteiros e consecutivos determinm sempre nesse eixo um segmento de ret de comprimento u: Medid lgébric de um segmento Fzendo corresponder dois pontos, A e B, do eixo x os números reis x A e x B, temos:

63 A medid lgébric de um segmento orientdo é o número rel que corresponde à diferenç entre s bscisss d extremidde e d origem desse segmento. Plno crtesino A geometri nlític teve como principl idelizdor o filósofo frncês René Descrtes ( ). Com o uxílio de um sistem de eixos ssocidos um plno, ele fz corresponder cd ponto do plno um pr ordendo e vice-vers. Qundo os eixos desse sistems são perpendiculres n origem, ess correspondênci determin um sistem crtesino ortogonl ( ou plno crtesino). Assim, há um reciprocidde entre o estudo d geometri ( ponto, ret, circunferênci) e d Álgebr ( relções, equções etc.), podendo-se representr grficmente relções lgébrics e expressr lgebricmente representções gráfics. Observe o plno crtesino nos qudros qudrntes: Exemplos: A(, 4) pertence o 1º qudrnte (x A > 0 e y A > 0)

64 B(-3, -5) pertence o 3º qudrnte ( x B < 0 e y B < 0) Observção: Por convenção, os pontos loclizdos sobre os eixos não estão em nenhum qudrnte. Distânci entre dois pontos Ddos os pontos A(x A, y A ) e B(x B, y B ) e sendo d AB distânci entre eles, temos: Aplicndo o teorem de Pitágors o triângulo retângulo ABC, vem: Como exemplo, vmos determinr distânci entre os pontos A(1, -1) e B(4, -5):

65 Equções de um ret Equção gerl Podemos estbelecer equção gerl de um ret prtir d condição de linhmento de três pontos. Dd um ret r, sendo A(x A, y A ) e B(x B, y B ) pontos conhecidos e distintos de r e P(x,y) um ponto genérico, tmbém de r, estndo A, B e P linhdos, podemos escrever: Fzendo y A - y B, x B - x A b e x A y B - x B y A c, como e b não são simultnemente nulos, temos: x by c 0 (equção gerl d ret r) Ess equção relcion x e y pr qulquer ponto P genérico d ret. Assim, ddo o ponto P(m, n):

66 se m bn c 0, P é o ponto d ret; se m bn c 0, P não é ponto d ret. Acompnhe os exemplos: Vmos considerr equção gerl d ret r que pss por A(1, 3) e B(, 4). Considerndo um ponto P(x, y) d ret, temos: Vmos verificr se os pontos P(-3, -1) e Q(1, ) pertencem à ret r do exemplo nterior. Substituindo s coordends de P em x - y 0, temos: -3 - (-1) Como iguldde é verddeir, então P r. Substituindo s coordends de Q em x - y 0, obtemos: 1-0 Como iguldde não é verddeir, então Q r. Geometri Anlític: Circunferênci Equções d circunferênci Equção reduzid Circunferênci é o conjunto de todos os pontos de um plno eqüidistntes de um ponto fixo, desse mesmo plno, denomindo centro d circunferênci:

67 Assim, sendo C(, b) o centro e P(x, y) um ponto qulquer d circunferênci, distânci de C P(d CP ) é o rio dess circunferênci. Então: Portnto, (x - ) (y - b) r é equção reduzid d circunferênci e permite determinr os elementos essenciis pr construção d circunferênci: s coordends do centro e o rio. Observção: Qundo o centro d circunfer6enci estiver n origem ( C(0,0)), equção d circunferênci será x y r. Equção gerl Desenvolvendo equção reduzid, obtemos equção gerl d circunferênci:

68 Como exemplo, vmos determinr equção gerl d circunferênci de centro C(, -3) e rio r 4. A equção reduzid d circunferênci é: ( x - ) ( y 3 ) 16 Desenvolvendo os qudrdos dos binômios, temos: Elipse Geometri Anlític - Cônics Considerndo, num plno, dois pontos distintos, F 1 e F, e sendo um número rel mior que distânci entre F 1 e F, chmmos de elipse o conjunto dos pontos do plno tis que som ds distâncis desses pontos F 1 e F sej sempre igul. Por exemplo, sendo P, Q, R, S, F 1 e F pontos de um mesmo plno e F 1 F <, temos: A figur obtid é um elipse. Observções: 1ª) A Terr descreve um trjetóri elíptic em torno do sol, que é um dos focos dess trjetóri. A lu em torno d terr e os demis stélites em relção seus respectivos plnets tmbém presentm esse comportmento.

69 ª) O comet de Hlley segue um órbit elíptic, tendo o Sol como um dos focos. 3ª) As elipses são chmds cônics porque ficm configurds pelo corte feito em um cone circulr reto por um plno oblíquo em relção à su bse. Elementos Observe elipse seguir. Nel, considermos os seguintes elementos: focos : os pontos F 1 e F centro: o ponto O, que é o ponto médio de semi-eixo mior: semi-eixo menor: b semidistânci focl: c vértices: os pontos A 1, A, B 1, B eixo mior: eixo menor: distânci focl: Relção fundmentl

70 N figur cim, plicndo o Teorem de Pitágors o tri6ngulo OF B, retângulo em O, podemos escrever seguinte relção fundmentl: b c Excentricidde Chmmos de excentricidde o número rel e tl que: Pel definição de elipse, c <, então c < e, conseqüentemente, 0 < e < 1. Observção:Qundo os focos são muito próximos, ou sej, c é muito pequeno, elipse se proxim de um circunferênci. Equções Vmos considerr os seguintes csos: ) elipse com centro n origem e eixo mior horizontl Sendo c semidistânci focl, os focos d elipse são F 1 (-c, 0) e F (c, 0): Aplicndo definição de elipse elipse:, obtemos equção d

71 b) elipse com centro n origem e eixo mior verticl Nesss condições, equção d elipse é: Hipérbole Considerndo, num plno, dois pontos distintos, F 1 e F, e sendo um número rel menor que distânci entre F 1 e F, chmmos de hipérbole o conjunto dos pontos do plno tis que o módulo d diferenç ds dist6ncis desses pontos F 1 e F sej sempre igul. Por exemplo, sendo P, Q, R, S, F1 e F pontos de um mesmo plno e F 1 F c, temos:

72 A figur obtid é um hipérbole. Observção:Os dois rmos d hipérbole são determindos por um plno prlelo o eixo de simetri de dois cones circulres retos e opostos pelo vértice: Prábol Ddos um ret d e um ponto F, de um plno, chmmos de prábol o conjunto de pontos do plno eqüidistntes de F e d. Assim, sendo, por exemplo, F, P, Q e R pontos de um plno e d um ret desse mesmo plno, de modo que nenhum ponto pertenç d, temos:

73 Observções: 1ª) A prábol é obtid seccionndo-se obliqumente um cone circulr reto: ª) Os telescópios refletores mis simples têm espelhos com secções plns prbólics. 3ª) As trjetóris de lguns comets são prábols, sendo que o Sol ocup o foco. 4ª) A superfície de um líquido contido em um cilindro que gir em torno de seu eixo com velocidde constnte é prbólic.

74 Mtrizes Introdução O crescente uso dos computdores tem feito com que teori ds mtrizes sej cd vez mis plicd em áres como Economi, Engenhri, Mtemátic, Físic, dentre outrs. Vejmos um exemplo. A tbel seguir represent s nots de três lunos em um etp: Químic Inglês Litertur Espnhol A B C Se quisermos sber not do luno B em Litertur, bst procurr o número que fic n segund linh e n terceir colun d tbel.

75 Vmos gor considerr um tbel de números dispostos em linhs e coluns, como no exemplo cim, ms colocdos entre prênteses ou colchetes: Em tbels ssim disposts, os números são os elementos. As linhs são enumerds de cim pr bixo e s coluns, d esquerd pr direit: Tbels com m linhs e n coluns ( m e n números nturis diferentes de 0) são denominds mtrizes m x n. N tbel nterior temos, portnto, um mtriz 3 x 3. Vej mis lguns exemplos: é um mtriz do tipo x 3 é um mtriz do tipo x Notção gerl Costum-se representr s mtrizes por letrs miúsculs e seus elementos por letrs minúsculs, compnhds por dois índices que indicm, respectivmente, linh e colun que o elemento ocup. Assim, um mtriz A do tipo m x n é representd por:

76 ou, brevidmente, A [ ij ] m x n, em que i e j representm, respectivmente, linh e colun que o elemento ocup. Por exemplo, n mtriz nterior, 3 é o elemento d ª linh e d 3ª colun. N mtriz, temos: Ou n mtriz B [ ], temos: 11-1, 1 0, 13 e Denominções especiis Algums mtrizes, por sus crcterístics, recebem denominções especiis. Mtriz linh: mtriz do tipo 1 x n, ou sej, com um únic linh. Por exemplo, mtriz A [ ], do tipo 1 x 4. Mtriz colun: mtriz do tipo m x 1, ou sej, com um únic colun. Por exemplo,, do tipo 3 x 1

77 Mtriz qudrd: mtriz do tipo n x n, ou sej, com o mesmo número de linhs e coluns; dizemos que mtriz é de ordem n. Por exemplo, mtriz é do tipo x, isto é, qudrd de ordem. Num mtriz qudrd definimos digonl principl e digonl secundári. A principl é formd pelos elementos ij tis que i j. N secundári, temos i j n 1. Vej: Observe mtriz seguir: 11-1 é elemento d digonl principl, pis i j é elemento d digonl secundári, pois i j n 1 ( ) Mtriz nul: mtriz em que todos os elementos são nulos; é representd por 0 m x n. Por exemplo,. Mtriz digonl: mtriz qudrd em que todos os elementos que não estão n digonl principl são nulos. Por exemplo:

78 Mtriz identidde: mtriz qudrd em que todos os elementos d digonl principl são iguis 1 e os demis são nulos; é representd por I n, sendo n ordem d mtriz. Por exemplo: Assim, pr um mtriz identidde. Mtriz trnspost: mtriz A t obtid prtir d mtriz A trocndo-se ordendmente s linhs por coluns ou s coluns por linhs. Por exemplo: Desse modo, se mtriz A é do tipo m x n, A t é do tipo n x m. Note que 1ª linh de A corresponde à 1ª colun de A t e ª linh de A corresponde à ª colun de A t. Mtriz simétric: mtriz qudrd de ordem n tl que A A t. Por exemplo,

79 é simétric, pois 1 1 5, , 3 3 4, ou sej, temos sempre ij ij. Mtriz opost: mtriz -A obtid prtir de A trocndo-se o sinl de todos os elementos de A. Por exemplo,. Iguldde de mtrizes Dus mtrizes, A e B, do mesmo tipo m x n, são iguis se, e somente se, todos os elementos que ocupm mesm posição são iguis:. Operções envolvendo mtrizes Adição Dds s mtrizes mtrizes mtriz :, chmmos de som desss, tl que C ij ij b ij, pr todo A B C Exemplos:

80 Observção: A B existe se, e somente se, A e B forem do mesmo tipo. Proprieddes Sendo A, B e C mtrizes do mesmo tipo ( m x n), temos s seguintes proprieddes pr dição: ) comuttiv: A B B A b) ssocitiv: ( A B) C A ( B C) c) elemento neutro: A 0 0 A A, sendo 0 mtriz nul m x n d) elemento oposto: A ( - A) (-A) A 0 Subtrção Dds s mtrizes, chmmos de diferenç entre esss mtrizes som de A com mtriz opost de B: A - B A ( - B ) Observe: Multiplicção de um número rel por um mtriz Ddos um número rel x e um mtriz A do tipo m x n, o produto de x por A é um mtriz B do tipo m x n obtid pel multiplicção de cd elemento de A por x, ou sej, b ij x ij : B x.a Observe o seguinte exemplo:

81 Proprieddes Sendo A e B mtrizes do mesmo tipo ( m x n) e x e y números reis quisquer, vlem s seguintes proprieddes: ) ssocitiv: x. (ya) (xy). A b) distributiv de um número rel em relção à dição de mtrizes: x. (A B) xa xb c) distributiv de um mtriz em relção à dição de dois números reis: (x y). A xa ya d) elemento neutro : xa A, pr x1, ou sej, AA Multiplicção de mtrizes O produto de um mtriz por outr não é determindo por meio do produto dos sus respectivos elementos. Assim, o produto ds mtrizes A ( ij ) m x p e B ( b ij ) p x n é mtriz C (c ij ) m x n em que cd elemento c ij é obtido por meio d som dos produtos dos elementos correspondentes d i-ésim linh de A pelos elementos d j- ésim colun B. Vmos multiplicr mtriz obtém cd C ij : pr entender como se 1ª linh e 1ª colun 1ª linh e ª colun

82 ª linh e 1ª colun ª linh e ª colun Assim,. Observe que: Portnto,.A, ou sej, pr multiplicção de mtrizes não vle propriedde comuttiv. Vejmos outro exemplo com s mtrizes :

83 D definição, temos que mtriz produto A. B só existe se o número de coluns de A for igul o número de linhs de B: A mtriz produto terá o número de linhs de A (m) e o número de coluns de B(n): Se A 3 x e B x 5, então ( A. B ) 3 x 5 Se A 4 x 1 e B x 3, então não existe o produto Se A 4 x e B x 1, então ( A. B ) 4 x 1 Proprieddes Verificds s condições de existênci pr multiplicção de mtrizes, vlem s seguintes proprieddes: ) ssocitiv: ( A. B). C A. ( B. C ) b) distributiv em relção à dição: A. ( B C ) A. B A. C ou ( A B ). C A. C B. C c) elemento neutro: A. I n I n. A A, sendo I n mtriz identidde de ordem n Vimos que propriedde comuttiv, gerlmente, não vle pr multiplicção de mtrizes. Não vle tmbém o nulmento do produto, ou sej: sendo 0 m x n um mtriz nul, A.B 0 m x n não implic, necessrimente, que A 0 m x n ou B 0 m x n. Mtriz invers Dd um mtriz A, qudrd, de ordem n, se existir um mtriz A', de mesm ordem, tl que A. A' A'. A I n, então A' é mtriz invers de A. Representmos mtriz invers por A -1.

84 Grndezs - Introdução Entendemos por grndez tudo quilo que pode ser medido, contdo. As grndezs podem ter sus medids umentds ou diminuíds. Alguns exemplos de grndez: o volume, mss, superfície, o comprimento, cpcidde, velocidde, o tempo, o custo e produção. É comum o nosso di--di situções em que relcionmos dus ou mis grndezs. Por exemplo: Em um corrid de "quilômetros contr o relógio", qunto mior for velocidde, menor será o tempo gsto ness prov. Aqui s grndezs são velocidde e o tempo. Num forno utilizdo pr produção de ferro fundido comum, qunto mior for o tempo de uso, mior será produção de ferro. Nesse cso, s grndezs são o tempo e produção. Grndezs diretmente proporcionis Um forno tem su produção de ferro fundido de cordo com tbel bixo: Tempo (minutos) Produção (Kg) Observe que um grndez vri de cordo com outr. Esss grndezs são vriáveis dependentes. Observe que:

85 Qundo duplicmos o tempo, produção tmbém duplic. 5min ----> 100Kg 10 min ----> 00Kg Qundo triplicmos o tempo, produção tmbém triplic. 5min ----> 100Kg 15 min ----> 300Kg Assim: Dus grndezs vriáveis dependentes são diretmente proporcionis qundo rzão entre os vlores d 1ª grndez é igul rzão entre os vlores correspondentes d ª Verifique n tbel que rzão entre dois vlores de um grndez é igul rzão entre os dois vlores correspondentes d outr grndez. Grndezs inversmente proporcionis Um ciclist fz um treino pr prov de "1000 metros contr o relógio", mntendo em cd volt um velocidde constnte e obtendo, ssim, um tempo correspondente, conforme tbel bixo Velocidde (m/s) Tempo (s) , Observe que um grndez vri de cordo com outr. Esss grndezs são vriáveis dependentes. Observe que: Qundo duplicmos velocidde, o tempo fic reduzido à metde. 5m/s ----> 00s 10 m/s ----> 100s

86 Qundo qudriplicmos velocidde, o tempo fic reduzido à qurt prte. 5m/s ----> 00s 0 m/s ----> 50s Assim: Dus grndezs vriáveis dependentes são inversmente proporcionis qundo rzão entre os vlores d 1ª grndez é igul o inverso d rzão entre os vlores correspondentes d ª. Verifique n tbel que rzão entre dois vlores de um grndez é igul o inverso d rzão entre os dois vlores correspondentes d outr grndez.

87 POLINÔMIOS Definição Um função polinomil ou simplesmente polinômio, é tod função definid pel relção P(x) n x n n-1.x n-1 n-.x n-... x 1 x 0. Onde: n, n-1, n-,...,, 1, 0 são números reis chmdos coeficientes. n IN x C (n os complexos) é vriável. GRAU DE UM POLINÔMIO: Gru de um polinômio é o expoente máximo que ele possui. Se o coeficiente n 0, então o expoente máximo n é dito gru do polinômio e indicmos gr(p)n. Exemplos: ) P(x)5 ou P(x)5.x 0 é um polinômio constnte, ou sej, gr(p)0. b) P(x)3x5 é um polinômio do 1º gru, isto é, gr(p)1. c) P(x)4x 5 7x 4 é um polinômio do 5º gru, ou sej, gr(p)5. Obs: Se P(x)0, não se define o gru do polinômio. Vlor numérico O vlor numérico de um polinômio P(x) pr x, é o número que se obtém substituindo x por e efetundo tods s operções indicds pel relção que define o polinômio. Exemplo: Se P(x)x 3 x x-4, o vlor numérico de P(x), pr x, é: P(x) x 3 x x-4 P() P() 14

88 Observção: Se P()0, o número chmdo riz ou zero de P(x). Por exemplo, no polinômio P(x)x -3x temos P(1)0; logo, 1 é riz ou zero desse polinômio. Alguns exercícios resolvidos: 1º) Sbendo-se que 3 é riz de P(x)x 3 4x -x1, clculr o vlor de. Resolução: Se 3 é riz de P(x), então P(-3)0. P(-3)0 > (-3) 3 4(-3) -.(-3) > -10/3 Respost: -10/3 º) Clculr m IR pr que o polinômio P(x)(m -1)x 3 (m1)x -x4 sej: ) do 3ºgru b) do º gru c) do 1º gru Respost: ) pr o polinômio ser do 3º gru, os coeficientes de x e x 3 devem ser diferentes de zero. Então: m -1 0 > m 1 > m 1 m1 0 > m -1 Portnto, o polinômio é do 3º gru se m 1 e m -1. b) pr o polinômio ser do º gru, o coeficiente de x 3 deve ser igul zero e o coeficiente de x diferente de zero. Então: m -10 > m 1 > m±1 m1 0 > m -1 Portnto, o polinômio é do º gru se m1. c) pr o polinômio ser do 1º gru, os coeficientes de x e x 3 devem ser iguis zero. Então: m -10 > m 1 > m±1 m10 > m-1 Portnto, o polinômio é do 1º gru se m-1. 3º) Num polinômio P(x), do 3º gru, o coeficiente de x 3 é 1. Se P(1)P()0 e P(3)30, clcule o vlor de P(-1).

89 Resolução: Temos o polinômio: P(x)x 3 x bxc. Precismos encontrr os vlores de,b e c (coeficientes). Vmos utilizr os ddos fornecidos pelo enuncido do problem: P(1)0 > (1) 3.(1) b(1)c 0 > 1bc0 > bc-1 P()0 > () 3.() b()c 0 > 84bc0 > 4bc-8 P(3)30 > (3) 3.(3) b(3)c 30 > 793bc30 > 93bc3 Temos um sistem de três vriáveis: b c -1 4 b c b c 3 Resolvendo esse sistem encontrmos s soluções: 9, b-34, c4 Portnto o polinômio em questão é P(x) x 3 9x -34x4. O problem pede P(-1): P(-1) (-1) 3 9(-1) -34(-1)4 > P(-1) P(-1) 66 Respost: P(-1) 66 Polinômios iguis Dizemos que dois polinômios A(x) e B(x) são iguis ou idênticos (e indicmos A(x) B(x)) qundo ssumem vlores numéricos iguis pr qulquer vlor comum tribuído à vriável x. A condição pr que dois polinômios sejm iguis ou idênticos é que os coeficientes dos termos correspondentes sejm iguis. Exemplo: Clculr,b e c, sbendo-se que x -x1 (x x1)(bxc)(x1). Resolução: Eliminndo os prênteses e somndo os termos semelhntes do segundo membro temos: x -x1 x xbx bxcxc 1x -x1 (b)x (bc)x(c) Agor igulmos os coeficientes correspondentes: b 1 b c c 1

90 Substituindo 1ª equção n ª: 1c - > c-3. Colocndo esse vlor de c n 3ª equção, temos: -31 > 4. Colocndo esse vlor de n 1ª equção, temos: 4b1 > b-3. Respost: 4, b-3 e c-3. Obs: um polinômio é dito identicmente nulo se tem todos os seus coeficientes nulos. Divisão de polinômios Sejm dois polinômios P(x) e D(x), com D(x) não nulo. Efetur divisão de P por D é determinr dois polinômios Q(x) e R(x), que stisfçm s dus condições bixo: 1ª) Q(x).D(x) R(x) P(x) ª) gr(r) < gr(d) ou R(x)0 P( x) R( x) D( x) Q( x) Ness divisão: P(x) é o dividendo. D(x) é o divisor. Q(x) é o quociente. R(x) é o resto d divisão. Obs: Qundo temos R(x)0 dizemos que divisão é ext, ou sej, P(x) é divisível por D(x) ou D(x) é divisor de P(x). Se D(x) é divisor de P(x) R(x)0 Exemplo: Determinr o quociente de P(x)x 4 x 3-7x 9x-1 por D(x)x 3x-. Resolução: Aplicndo o método d chve, temos:

91 Verificmos que: Divisão de um polinômio por um binômio d form xb Vmos clculr o resto d divisão de P(x)4x -x3 por D(x)x-1. Utilizndo o método d chve temos: Logo: R(x)3 A riz do divisor é x-10 > x1/. Agor clculmos P(x) pr x1/. P(1/) 4(1/4) (1/) 3 P(1/) 3 Observe que R(x) 3 P(1/) Portnto, mostrmos que o resto d divisão de P(x) por D(x) é igul o vlor numérico de P(x) pr x1/, isto é, riz do divisor. Teorem do resto R(x) Q(x) D(x) P(x) 3 4 1) (x 1) x - (x ) 3x - (x 9x -1-7x x x x x x x x x O resto d divisão de um polinômio P(x) pelo binômio xb é igul P(-b/). ) ( ) ( x R x x x x x x x x x x x x Q x x x x x x x x x x x

92 Note que b/ é riz do divisor. Exemplo: Clcule o resto d divisão de x 5x-1 por x1. Resolução: Achmos riz do divisor: x10 > x-1 Pelo teorem do resto sbemos que o resto é igul P(-1): P(-1)(-1) 5.(-1)-1 > P(-1) -5 R(x) Respost: R(x) -5. Teorem de D Alembert Um polinômio P(x) é divisível pelo binômio xb se P(-b/)0 Exemplo: Determinr o vlor de p, pr que o polinômio P(x)x 3 5x - px sej divisível por x-. Resolução: Se P(x) é divisível por x-, então P()0. P()0 >.85.4-p0 > 160-p0 > p19 Respost: p19. Divisão de um polinômio pelo produto (x-)(x-b) Vmos resolver o seguinte problem: clculr o resto d divisão do polinômio P(x) pelo produto (x-)(x-b), sbendo-se que os restos d divisão de P(x) por (x-) e por (x-b) são, respectivmente, r 1 e r. Temos: é riz do divisor x-, portnto P()r 1 (eq. 1) b é riz do divisor x-b, portnto P(b)r (eq. ) E pr o divisor (x-)(x-b) temos P(x)(x-)(x-b) Q(x) R(x) (eq. 3) O resto d divisão de P(x) por (x-)(x-b) é no máximo do 1º gru, pois o divisor é do º gru; logo: R(x)cxd D eq.3 vem: P(x)(x-)(x-b) Q(x) cx d Fzendo: x > P() c()d (eq. 4)

93 xb > P(b) c(b)d (eq. 5) Ds equções 1,, 4 e 5 temos: c d cb d r r 1 Resolvendo o sistem obtemos: c r 1 r b Logo : R( x) e r r1 d, com b b r1 r r r1 x, com b b b Observções: 1ª) Se P(x) for divisível por (x-) e por (x-b), temos: P() r 1 0 P(b) r 0 Portnto, P(x) é divisível pelo produto (x-)(x-b), pois: R( x) r 1 r b x r r b ª) Generlizndo, temos: Se P(x) é divisível por n ftores distintos (x- 1 ), (x- ),..., (x- n ) então P(x) é divisível pelo produto (x- 1 )(x- )...(x- n ). Exemplo: Um polinômio P(x) dividido por x dá resto 6 e dividido por (x-1) dá resto 8. Qul o resto d divisão de P(x) por x(x-1)? Resolução: 0 é riz do divisor x, portnto P(0)6 (eq. 1) 1 é riz do divisor x-1, portnto P(1)8 (eq. ) E pr o divisor x(x-1) temos P(x)x(x-1) Q(x) R(x) (eq. 3) O resto d divisão de P(x) por x(x-1) é no máximo do 1º gru, pois o divisor é do º gru; logo: R(x)xb

94 D eq.3 vem: P(x)x(x-1) Q(x) x b Fzendo: x0 > P(0) (0)b > P(0) b (eq. 4) x1 > P(1) (1)b > P(1) b (eq. 5) Ds equções 1,, 4 e 5 temos: b 6 b 8 Logo, b6 e. Agor chmos o resto: R(x) xb x6 Respost: R(x) x6. O dispositivo de Briot-Ruffini Serve pr efetur divisão de um polinômio P(x) por um binômio d form (xb). Exemplo: Determinr o quociente e o resto d divisão do polinômio P(x)3x 3-5x x- por (x-). Resolução: RAIZ DO DIVISOR 3 5 COEFICIENTES DE P(x) 1 3.() 5 1.() COEFICIENTES DO QUOCIENTE Q(x) 3.() 4 RESTO Observe que o gru de Q(x) é um unidde inferior o de P(x), pois o divisor é de gru 1. Respost: Q(x)3x x3 e R(x)4. Pr resolução desse problem seguimos os seguintes pssos: 1º) Colocmos riz do divisor e os coeficientes do dividendo ordendmente n prte de cim d cerquinh. º) O primeiro coeficiente do dividendo é repetido bixo.

95 3º) Multiplicmos riz do divisor por esse coeficiente repetido bixo e sommos o produto com o º coeficiente do dividendo, colocndo o resultdo bixo deste. 4º) Multiplicmos riz do divisor pelo número colocdo bixo do º coeficiente e sommos o produto com o 3º coeficiente, colocndo o resultdo bixo deste, e ssim sucessivmente. 5º) Seprmos o último número formdo, que é igul o resto d divisão, e os números que ficm à esquerd deste serão os coeficientes do quociente. Decomposição de um polinômio em ftores Vmos nlisr dois csos: 1º cso: O polinômio é do º gru. De um form gerl, o polinômio de º gru P(x)x bxc que dmite s rízes r 1 e r pode ser decomposto em ftores do 1º gru, d seguinte form: x bxc (x-r 1 )(x-r ) Exemplos: 1) Ftorr o polinômio P(x)x -4. Resolução: Fzendo x -40, obtemos s rízes r 1 e r -. Logo: x -4 (x-)(x). ) Ftorr o polinômio P(x)x -7x10. Resolução: Fzendo x -7x100, obtemos s rízes r 1 5 e r. Logo: x -7x10 (x-5)(x-). º cso: O polinômio é de gru mior ou igul 3. Conhecendo um ds rízes de um polinômio de 3º gru, podemos decompô-lo num produto de um polinômio do 1º gru por um polinômio do º gru e, se este tiver rízes, podemos em seguid decompô-lo tmbém. Exemplo: Decompor em ftores do 1º gru o polinômio x 3 -x -x. Resolução: x 3 -x -x x.(x -x-1) colocndo x em evidênci Fzendo x.(x -x-1) 0 obtemos: x0 ou x -x-10.

96 Um ds rízes já encontrmos (x0). As outrs dus sem d equção: x -x-10 > r 1 1 e r -1/. Portnto, o polinômio x 3 -x -x, n form ftord é:.x.(x-1).(x(1/)). Generlizndo, se o polinômio P(x) n x n n-1 x n x 0 dmite n rízes r 1, r,..., r n, podemos decompô-lo em ftores d seguinte form: n x n n-1 x n x 0 n (x-r 1 )(x-r )...(x-r n ) Observções: 1) Se dus, três ou mis riz forem iguis, dizemos que são rízes dupls, tripls, etc. ) Um riz r 1 do polinômio P(x) é dit riz dupl ou de multiplicidde se P(x) é divisível por (x-r 1 ) e não por (x-r 1 ) 3.

97 PROBABILIDADE A históri d teori ds probbiliddes, teve início com os jogos de crts, ddos e de rolet. Esse é o motivo d grnde existênci de exemplos de jogos de zr no estudo d probbilidde. A teori d probbilidde permite que se clcule chnce de ocorrênci de um número em um experimento letório. Experimento Aletório É quele experimento que qundo repetido em iguis condições, podem fornecer resultdos diferentes, ou sej, são resultdos explicdos o cso. Qundo se fl de tempo e possibiliddes de gnho n loteri, bordgem envolve cálculo de experimento letório. Espço Amostrl É o conjunto de todos os resultdos possíveis de um experimento letório. A letr que represent o espço mostrl, é S. Exemplo: Lnçndo um moed e um ddo, simultnemente, sendo S o espço mostrl, constituído pelos 1 elementos: S {K1, K, K3, K4, K5, K6, R1, R, R3, R4, R5, R6} 1. Escrev explicitmente os seguintes eventos: A{crs e m número pr prece}, B{um número primo prece}, C{coros e um número ímpr precem}.. Idem, o evento em que:

98 ) A ou B ocorrem; b) B e C ocorrem; c) Somente B ocorre. 3. Quis dos eventos A,B e C são mutumente exclusivos Resolução: 1. Pr obter A, escolhemos os elementos de S constituídos de um K e um número pr: A{K, K4, K6}; Pr obter B, escolhemos os pontos de S constituídos de números primos: B{K,K3,K5,R,R3,R5} Pr obter C, escolhemos os pontos de S constituídos de um R e um número ímpr: C{R1,R3,R5}.. () A ou B AUB {K,K4,K6,K3,K5,R,R3,R5} (b) B e C B C {R3,R5} (c) Escolhemos os elementos de B que não estão em A ou C; B A c C c {K3,K5,R} 3. A e C são mutumente exclusivos, porque A C Conceito de probbilidde Se em um fenômeno letório s possibiliddes são igulmente prováveis, então probbilidde de ocorrer um evento A é: Por, exemplo, no lnçmento de um ddo, um número pr pode ocorrer de 3 mneirs diferentes dentre 6 igulmente prováveis, portnto, P 3/6 1/ 50%

99 Dizemos que um espço mostrl S (finito) é equiprovável qundo seus eventos elementres têm probbiliddes iguis de ocorrênci. Num espço mostrl equiprovável S (finito), probbilidde de ocorrênci de um evento A é sempre: Proprieddes Importntes: 1. Se A e A são eventos complementres, então: P( A ) P( A' ) 1. A probbilidde de um evento é sempre um número entre (probbilidde de evento impossível) e 1 (probbilidde do evento certo). Probbilidde Condicionl Antes d relizção de um experimento, é necessário que já tenh lgum informção sobre o evento que se desej observr. Nesse cso, o espço mostrl se modific e o evento tem su probbilidde de ocorrênci lterd. Fórmul de Probbilidde Condicionl P(E 1 e E e E 3 e...e E n-1 e E n ) é igul P(E 1 ).P(E /E 1 ).P(E 3 /E 1 e E )...P(E n /E 1 e E e...e n -1). Onde P(E /E 1 ) é probbilidde de ocorrer E, condiciond pelo fto de já ter ocorrido E 1 ; P(E 3 /E 1 e E ) é probbilidde ocorrer E 3, condiciond pelo fto de já terem ocorrido E 1 e E ; P(Pn/E 1 e E e...e n -1) é probbilidde de ocorrer E n, condiciond o fto de já ter ocorrido E 1 e E...E n -1. Exemplo:

100 Um urn tem 30 bols, sendo 10 vermelhs e 0 zuis. Se ocorrer um sorteio de bols, um de cd vez e sem reposição, qul será probbilidde de primeir ser vermelh e segund ser zul? Resolução: Sej o espço mostrl S30 bols, bolinhs e considerrmos os seguintes eventos: A: vermelh n primeir retird e P(A) 10/30 B: zul n segund retird e P(B) 0/9 Assim: P(A e B) P(A).(B/A) 10/30.0/9 0/87 Eventos independentes Dizemos que E 1 e E e...e n-1, E n são eventos independentes qundo probbilidde de ocorrer um deles não depende do fto de os outros terem ou não terem ocorrido. Fórmul d probbilidde dos eventos independentes: P(E 1 e E e E 3 e...e E n -1 e E n ) P(E 1 ).P(E ).p(e 3 )...P(E n ) Exemplo: Um urn tem 30 bols, sendo 10 vermelhs e 0 zuis. Se sortermos bols, 1 de cd vez e respondo sorted n urn, qul será probbilidde de primeir ser vermelh e segund ser zul? Resolução: Como os eventos são independentes, probbilidde de sir vermelh n primeir retird e zul n segund retird é igul o produto ds probbiliddes de cd condição, ou sej, P(A e B) P(A).P(B). Or, probbilidde de sir vermelh n primeir retird é 10/30 e de sir zul n segund retird 0/30. Dí, usndo regr do produto, temos: 10/30.0/30/9.

101 Observe que n segund retird form considerds tods s bols, pois houve reposição. Assim, P(B/A) P(B), porque o fto de sir bol vermelh n primeir retird não influenciou segund retird, já que el foi repost n urn. Probbilidde de ocorrer união de eventos Fórmul d probbilidde de ocorrer união de eventos: P(E 1 ou E ) P(E 1 ) P(E ).P(E 1 e E ) De fto, se existirem elementos comuns E 1 e E, estes eventos estrão computdos no cálculo de P(E 1 ) e P(E ). Pr que sejm considerdos um vez só, subtrímos P(E 1 e E ). Fórmul de probbilidde de ocorrer união de eventos mutumente exclusivos: P(E1 ou E ou E 3 ou... ou E n ) P(E 1 ) P(E )... P(E n ) Exemplo: Se dois ddos, zul e brnco, forem lnçdos, qul probbilidde de sir 5 no zul e 3 no brnco? Considerndo os eventos: A: Tirr 5 no ddo zul e P(A) 1/6 B: Tirr 3 no ddo brnco e P(B) 1/6 Sendo S o espço mostrl de todos os possíveis resultdos, temos: n(s) possibiliddes. Dí, temos:p(a ou B) 1/6 1/6 1/36 11/36 Exemplo: Se retirrmos letorimente um crt de brlho com 5 crts, qul probbilidde de ser um 8 ou um Rei? Sendo S o espço mostrl de todos os resultdos possíveis, temos: n(s) 5 crts. Considere os eventos: A: sir 8 e P(A) 4/5

102 B: sir um rei e P(B) 4/5 Assim, P(A ou B) 4/5 4/5 0 8/5 /13. Note que P(A e B) 0, pois um crt não pode ser 8 e rei o mesmo tempo. Qundo isso ocorre dizemos que os eventos A e B são mutumente exclusivos. Progressões Aritmétics Progressão ritmétic é um sequênci numéric n qul, prtir do segundo, cd termo é igul à som de seu ntecessor com um constnte, denomind rzão. Fórmul do termo gerl de um P.A.: n 1 ( n 1). r Som de termos de um P.A. finit : S n ( 1 n ). n Logo bixo temos lguns exercícios de progressões ritmétics resolvidos. 1) Dd P.A. (-19,-15,-11,...) clcule o seu enésimo termo. Primeirmente encontrmos rzão : Logo, o termo gerl é : n 1 ( n 1). r n r 19 ( n 1).4 1 r 15 ( 19) n 19 4n 4 r 4. n 4n 3

103 ) Interpole seis meios ritméticos entre 8 e 13. No problem : entre os dois extremos, que são -8 e13. Logo, existem 8 termos n P.A.). Pr interpolr os n 1 1 7r 1 r 7 Encontrd rzão, - 8, - 5, ( n 1). r -, 1 8, vlores, devemos encontrr rzão : n r 3. bst interpolr os meios ritméticos : 1, 4, 7, 10, 13 13, n (8 1). r (pois 6 meios ritméticos serão interpoldos r r 3) Escrev um P.A. de três termos, sbendo que som desses termos vle 1 e que som de seus qudrdos vle 80.

104 (8,4,0). ou :(0,4,8) Respost P.A :(8,4,0) 8 (-4) 4 - r 4-4 : Pr 1) P.A :(0,4,8) r 4-4 : Pr 1) Agor encontrmos o primeiro termo : 4 r 16 r 16 r 3 r r ) 6 (4 ) 8 3( ) 6(4 ) 3(4 Substituindo n segund equção temos : ) ( ) ( 1 ) ( ) ( no sistem cim : Então substituimos. e que Sbemos que ± r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r

105 4) Clcule quntos números inteiros existem entre 13 e 47 que não são múltiplos de 3. Entre13 e 47 existem 33 números. Pr clculr quntos números NÃO são múltiplos de 3, nós devemos clculr primeirmente quntos números SÃO múltiplos de 3, e logo pós subtrir o número totl de números (33) pelo número de múltiplos, o que drá como resultdo o número de NÃO múltiplos. Pr clculr o número de múltiplos de 3 : 1 15 (pois é o primeiro múltiplo de 3 depois do13) r 3, n 1 n ( n 1). r 46 (pois é o último múltiplo de 3 ntes do 47). Bst chr o (n -1)3 31 3n -3 n Dos 33 números, 78 são múltiplos de 3, logo155 não são múltiplos de n, que é o número de múltiplos : n 78

106 5) Encontre o vlor de x pr que sequênci (x, x1, 3x) sej um progressão ritmétic. 6) Num progressão ritmétic em que 7 4 k, o vlor de k é: 7) Se S n é som dos n primeiros termos d progressão ritmétic (-90,- 86,-8,...) então o menor vlor de n pr que se tenh S n >0 é: 8) A som dos n primeiros números pres positivos é 13. Encontre o vlor de n ) ( 1) ( 3 P.A.: ser um Pr 1 3 x x x x x x x x x x. 4 pois 5, Logo k ) 3 ( ) 6 ( ) ( r r r r r r r r r k k k k ).4 ( ). ( Bst encontrr o número de termos : deve ser mior que zero) (pois obtemos os seguintes ddos : Pelo enuncido, 1 n 1 n n n n n r n S r n n ) ( 13 ). ( temos : fórmul d som Substituindo n 1). ( 1). ( 13 ; ; ± ± ± n n n n n n n n n S n n n r n S r n n n n n n n

107 PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS Podemos definir progressão geométric, ou simplesmente P.G., como um sucessão de números reis obtid, com exceção do primeiro, multiplicndo o número nterior por um quntidde fix q, chmd rzão. Podemos clculr rzão d progressão, cso el não estej suficientemente evidente, dividindo entre si dois termos consecutivos. Por exemplo, n sucessão (1,, 4, 8,...), q. Cálculos do termo gerl Num progressão geométric de rzão q, os termos são obtidos, por definição, prtir do primeiro, d seguinte mneir: n xq 1 xq... 1 xq 19 1 xq n-1... Assim, podemos deduzir seguinte expressão do termo gerl, tmbém chmdo enésimo termo, pr qulquer progressão geométric. n 1 x q n-1 Portnto, se por exemplo, 1 e q 1/, então: n x (1/) n-1 Se quisermos clculr o vlor do termo pr n 5, substituindo-o n fórmul, obtemos: 5 x (1/) 5-1 x (1/) 4 1/8 A semelhnç entre s progressões ritmétics e s geométrics é prentemente grnde. Porém, encontrmos primeir diferenç substncil no momento de su definição. Enqunto s progressões ritmétics formm-se somndo-se um mesm quntidde de form repetid, ns progressões geométrics os termos são gerdos pel

108 multiplicção, tmbém repetid, por um mesmo número. As diferençs não prm í. Observe que, qundo um progressão ritmétic tem rzão positiv, isto é, r > 0, cd termo seu é mior que o nterior. Portnto, trt-se de um progressão crescente. Ao contrário, se tivermos um progressão ritmétic com rzão negtiv, r < 0, seu comportmento será decrescente. Observe, tmbém, rpidez com que progressão cresce ou diminui. Isto é conseqüênci diret do vlor bsoluto d rzão, r. Assim, qunto mior for r, em vlor bsoluto, mior será velocidde de crescimento e vice-vers. Som dos n primeiros termos de um PG Sej PG ( 1,, 3, 4,..., n,...). Pr o cálculo d som dos n primeiros termos S n, vmos considerr o que segue: S n n-1 n Multiplicndo mbos os membros pel rzão q vem: S n.q 1. q.q... n-1. q n.q Conforme definição de PG, podemos reescrever expressão como: S n. q 3... n n. q Observe que 3... n é igul S n - 1. Logo, substituindo, vem: S n. q S n - 1 n. q Dí, simplificndo convenientemente, chegremos à seguinte fórmul d som: Se substituirmos n 1. qn-1, obteremos um nov presentção pr fórmul d som, ou sej: Exemplo: Clcule som dos 10 primeiros termos d PG (1,,4,8,...) Temos:

109 Observe que neste cso Som dos termos de um PG decrescente e ilimitd Considere um PG ILIMITADA ( infinitos termos) e decrescente. Nests condições, podemos considerr que no limite teremos n 0. Substituindo n fórmul nterior, encontrremos: Exemplo: Resolv equção: x x/ x/4 x/8 x/ O primeiro membro é um PG de primeiro termo x e rzão 1/. Logo, substituindo n fórmul, vem: Dess equção encontrmos como respost x 50.

110 Proporções - Introdução Rogerião e Cludinho psseim com seus cchorros. Rogerião pes 10kg, e seu cão, 40kg. Cludinho, por su vez, pes 48kg, e seu cão, 16kg. Observe rzão entre o peso dos dois rpzes: Observe, gor, rzão entre o peso dos cchorros: Verificmos que s dus rzões são iguis. Nesse cso, podemos firmr que iguldde é um proporção. Assim: Proporção é um iguldde entre dus rzões. Elementos de um proporção Ddos qutro números rcionis, b, c, d, não-nulos, ness ordem, dizemos que eles formm um proporção qundo rzão do 1º pr o º for igul à rzão do 3º pr o 4º. Assim: ou :bc:d (lê-se " está pr b ssim como c está pr d") Os números, b, c e d são os termos d proporção, sendo:

111 b e c os meios d proporção. e d os extremos d proporção. Exemplo: Dd proporção, temos: Leitur: 3 está pr 4 ssim como 7 está pr 36. Meios: 4 e 7 Extremos: 3 e 36

112 Rzões - Introdução Vmos considerr um crro de corrid com 4m de comprimento e um krt com m de comprimento. Pr comprrmos s medids dos crros, bst dividir o comprimento de um deles pelo outro. Assim: (o tmnho do crro de corrid é dus vezes o tmnho do krt). Podemos firmr tmbém que o krt tem metde do comprimento do crro de corrid. A comprção entre dois números rcionis, trvés de um divisão, chm-se rzão. A rzão pode tmbém ser representd por 1: e signific que cd metro do krt corresponde m do crro de corrid. Denominmos de rzão entre dois números e b (b diferente de zero) o quociente ou :b. A plvr rzão, vem do ltim rtio, e signific "divisão". Como no exemplo nterior, são diverss s situções em que utilizmos o conceito de rzão. Exemplos: Dos 100 inscritos num concurso, pssrm 40 cndidtos. Rzão dos cndidtos provdos nesse concurso: provdo). (de cd 5 cndidtos inscritos, 1 foi Pr cd 100 conviddos, 75 erm mulheres. Rzão entre o número de mulheres e o número de conviddos:

113 (de cd 4 conviddos, 3 erm mulheres). Observções: 1) A rzão entre dois números rcionis pode ser presentd de três forms. Exemplo: Rzão entre 1 e 4: 1:4 ou ou 0,5. ) A rzão entre dois números rcionis pode ser express com sinl negtivo, desde que seus termos tenhm sinis contrários. Exemplos: A rzão entre 1 e -8 é. A rzão entre é. Observe rzão: (lê-se " está pr b" ou " pr b"). N rzão :b ou, o número é denomindo ntecedente e o número b é denomindo consequente. Vej o exemplo: 3:5 Leitur d rzão: 3 está pr 5 ou 3 pr 5.

114 Regr de três simples Regr de três simples é um processo prático pr resolver problems que envolvm qutro vlores dos quis conhecemos três deles. Devemos, portnto, determinr um vlor prtir dos três já conhecidos. Pssos utilizdos num regr de três simples: 1º) Construir um tbel, grupndo s grndezs d mesm espécie em coluns e mntendo n mesm linh s grndezs de espécies diferentes em correspondênci. º) Identificr se s grndezs são diretmente ou inversmente proporcionis. 3º) Montr proporção e resolver equção. Exemplos: 1) Com um áre de bsorção de rios solres de 1,m, um lnch com motor movido energi solr consegue produzir 400 wtts por hor de energi. Aumentndo-se ess áre pr 1,5m, qul será energi produzid? Solução: montndo tbel: Identificção do tipo de relção: Áre (m ) Energi (Wh) 1, 400 1,5 x Inicilmente colocmos um set pr bixo n colun que contém o x (ª colun). Observe que: Aumentndo áre de bsorção, energi solr ument. Como s plvrs correspondem (umentndo - ument), podemos firmr que s grndezs são diretmente proporcionis. Assim sendo, colocmos um outr set no mesmo sentido (pr bixo) n 1ª colun. Montndo proporção e resolvendo equção temos:

115 Logo, energi produzid será de 500 wtts por hor. ) Um trem, deslocndo-se um velocidde médi de 400Km/h, fz um determindo percurso em 3 hors. Em qunto tempo fri esse mesmo percurso, se velocidde utilizd fosse de 480km/h? Solução: montndo tbel: Velocidde (Km/h) Tempo (h) x Identificção do tipo de relção: Inicilmente colocmos um set pr bixo n colun que contém o x (ª colun). Observe que: Aumentndo velocidde, o tempo do percurso diminui. Como s plvrs são contráris (umentndo - diminui), podemos firmr que s grndezs são inversmente proporcionis. Assim sendo, colocmos um outr set no sentido contrário (pr cim) n 1ª colun. Montndo proporção e resolvendo equção temos: Logo, o tempo desse percurso seri de,5 hors ou hors e 30 minutos.

116 3) Binc comprou 3 cmisets e pgou R$10,00. Qunto el pgri se comprsse 5 cmisets do mesmo tipo e preço? Solução: montndo tbel: Cmisets Preço (R$) x Observe que: Aumentndo o número de cmisets, o preço ument. Como s plvrs correspondem (umentndo - ument), podemos firmr que s grndezs são diretmente proporcionis. Montndo proporção e resolvendo equção temos: Logo, Binc pgri R$00,00 pels 5 cmisets. 4) Um equipe de operários, trblhndo 8 hors por di, relizou determind obr em 0 dis. Se o número de hors de serviço for reduzido pr 5 hors, em que przo ess equipe frá o mesmo trblho? Solução: montndo tbel: Przo pr término Hors por di (dis) x Observe que: Diminuindo o número de hors trblhds por di, o przo pr término ument. Como s plvrs são contráris (diminuindo - ument), podemos firmr que s grndezs são inversmente proporcionis. Montndo proporção e resolvendo equção temos:

117 Regr de três compost A regr de três compost é utilizd em problems com mis de dus grndezs, diret ou inversmente proporcionis.

118 Exemplos: 1) Em 8 hors, 0 cminhões descrregm 160m 3 de rei. Em 5 hors, quntos cminhões serão necessários pr descrregr 15m 3? Solução: montndo tbel, colocndo em cd colun s grndezs de mesm espécie e, em cd linh, s grndezs de espécies diferentes que se correspondem: Hors Cminhões Volume x 15 Identificção dos tipos de relção: Inicilmente colocmos um set pr bixo n colun que contém o x (ª colun). A seguir, devemos comprr cd grndez com quel onde está o x. Observe que: Aumentndo o número de hors de trblho, podemos diminuir o número de cminhões. Portnto relção é inversmente proporcionl (set pr cim n 1ª colun). Aumentndo o volume de rei, devemos umentr o número de cminhões. Portnto relção é diretmente proporcionl (set pr bixo n 3ª colun). Devemos igulr rzão que contém o termo x com o produto ds outrs rzões de cordo com o sentido ds sets. Montndo proporção e resolvendo equção temos: Logo, serão necessários 5 cminhões.

119 ) Num fábric de brinquedos, 8 homens montm 0 crrinhos em 5 dis. Quntos crrinhos serão montdos por 4 homens em 16 dis? Solução: montndo tbel: Homens Crrinhos Dis x 16 Observe que: Aumentndo o número de homens, produção de crrinhos ument. Portnto relção é diretmente proporcionl (não precismos inverter rzão). Aumentndo o número de dis, produção de crrinhos ument. Portnto relção tmbém é diretmente proporcionl (não precismos inverter rzão). Devemos igulr rzão que contém o termo x com o produto ds outrs rzões. Montndo proporção e resolvendo equção temos: Logo, serão montdos 3 crrinhos. 3) Dois pedreiros levm 9 dis pr construir um muro com m de ltur. Trblhndo 3 pedreiros e umentndo ltur pr 4m, qul será o tempo necessário pr completr esse muro? Inicilmente colocmos um set pr bixo n colun que contém o x. Depois colocm-se flechs concordntes pr s grndezs diretmente proporcionis com incógnit e discordntes pr s inversmente proporcionis, como mostr figur bixo: Montndo proporção e resolvendo equção temos:

120 Logo, pr completr o muro serão necessários 1 dis. Exercícios complementres Agor chegou su vez de tentr. Prtique tentndo fzer esses exercícios: 1) Três torneirs enchem um piscin em 10 hors. Qunts hors levrão 10 torneirs pr encher piscins? Respost: 6 hors. ) Um equipe compost de 15 homens extri, em 30 dis, 3,6 tonelds de crvão. Se for umentd pr 0 homens, em quntos dis conseguirão extrir 5,6 tonelds de crvão? Respost: 35 dis. 3) Vinte operários, trblhndo 8 hors por di, gstm 18 dis pr construir um muro de 300m. Qunto tempo levrá um turm de 16 operários, trblhndo 9 hors por di, pr construir um muro de 5m? Respost: 15 dis. 4) Um cminhoneiro entreg um crg em um mês, vijndo 8 hors por di, um velocidde médi de 50 km/h. Qunts hors por di ele deveri vijr pr entregr ess crg em 0 dis, um velocidde médi de 60 km/h? Respost: 10 hors por di. 5) Com um cert quntidde de fio, um fábric produz 5400m de tecido com 90cm de lrgur em 50 minutos. Quntos metros de tecido, com 1 metro e 0 centímetros de lrgur, serim produzidos em 5 minutos? Respost: 05 metros.

121 Sistems Lineres Equção liner Equção liner é tod equção d form: 1 x 1 x 3 x 3... n x n b em que 1,, 3,..., n são números reis, que recebem o nome de coeficientes ds incógnits

122 x 1, x,x 3,..., x n, e b é um número rel chmdo termo independente ( qundo b0, equção recebe o nome de liner homogêne). Vej lguns exemplos de equções lineres: 3x - y 4z 7 -x 4z 3t - y 4 (homogêne) As equções seguir não são lineres: xy - 3z t 8 x - 4y 3t - 4 Sistem liner Um conjunto de equções lineres d form: é um sistem liner de m equções e n incógnits. A solução de um sistem liner é n-upl de números reis ordendos (r 1, r, r 3,..., r n ) que é, simultnemente, solução de tods s equções do sistem. Mtrizes ssocids um sistem liner A um sistem liner podemos ssocir s seguintes mtrizes: mtriz incomplet: mtriz A formd pelos coeficientes ds incógnits do sistem. Em relção o sistem:

123 mtriz incomplet é: mtriz complet: mtriz B que se obtém crescentndo à mtriz incomplet um últim colun formd pelos termos independentes ds equções do sitem. Assim, pr o mesmo sistem cim, mtriz complet é: Sistems homogêneos Um sistem é homogêneo qundo todos os termos independentes d equções são nulos: Vej um exemplo: A n-upl (0, 0, 0,...,0) é sempre solução de um sistem homogêneo com n incógnits e recebe o nome de solução trivil. Qundo existem, s demis soluções são chmds não-triviis. Clssificção de um sistem qunto o número de soluções

124 Resolvendo o sistem, encontrmos um únic solução: o pr ordendo (3,5). Assim, dizemos que o sistem é possível (tem solução) e determindo (solução únic). No cso do sistem, verificmos que os pres ordendos (0,8), (1,7),(,6),(3,5),(4,4),(5,3),...são lgums de sus infinits soluções. Por isso, dizemos que o sistem é possível (tem solução) e indetermindo (infinits soluções). Pr, verificmos que nenhum pr ordendo stisfz simultnemente s equções. Portnto, o sistem é impossível (não tem solução). Resumindo, um sistem liner pode ser: ) possível e determindo (solução únic); b) possível e indetermindo (infinits soluções); c) impossível (não tem solução). Sistem norml Um sistem é norml qundo tem o mesmo número de equções (m) e de incógnits (n) e o determinnte d mtriz incomplet ssocid o sistem é diferente de zero. Se mn e det A 0, então o sistem é norml. Regr de Crmer Todo sistem norml tem um únic solução dd por: em que i { 1,,3,...,n}, D det A é o determinnte d mtriz incomplet ssocid o sistem, e D xi é o determinnte obtido pel substituição, n

125 mtriz incomplet, d colun i pel colun formd pelos termos independentes. Discussão de um sistem liner Se um sistem liner tem n equções e n incógnits, ele pode ser: ) possível e determindo, se Ddet A 0; cso em que solução é únic. Exemplo: mn3 Então, o sistem é possível e determindo, tendo solução únic. b) possível e indetermindo, se D D x1 D x D x3... D xn 0, pr n. Se n 3, ess condição só será válid se não houver equções com coeficientes ds incógnits respectivmente proporcionis e termos independentes não-proporcionis. Um sistem possível e indetermindo present infinits soluções. Exemplo: D0, D x 0, D y 0 e D z 0 Assim, o sistem é possível e indetermindo, tendo infinits soluções. c) impossível, se D0 e D xi 0, 1 i n; cso em que o sistem não tem solução.

126 Exemplo: Como D0 e D x 0, o sistem é impossível e não present solução. Sistems Equivlentes Dois sistems são equivlentes qundo possuem o mesmo conjunto solução. Por exemplo, ddos os sistems: e verificmos que o pr ordendo (x, y) (1, ) stisfz mbos e é único. Logo, S 1 e S são equivlentes: S 1 ~ S. Proprieddes ) Trocndo de posição s equções de um sistem, obtemos outro sistem equivlente. Por exemplo: S 1 ~S e

127 b) Multiplicndo um ou mis equções de um sistem por um número K (K IR*), obtemos um sistem equivlente o nterior. Por exemplo: S 1 ~S c) Adicionndo um ds equções de um sistem o produto de outr equção desse mesmo sistem por um número k ( K IR*), obtemos um sistem equivlente o nterior. Por exemplo: Ddo, substituindo equção (II) pel som do produto de (I) por -1 com (II), obtemos: S 1 ~S, pois (x,y)(,1) é solução de mbos os sistems. Sistems esclondos Utilizmos regr de Crmer pr discutir e resolver sistems lineres em que o número de equções (m) é igul o número de incógnits (n). Qundo m e n são miores que três, torn-se muito trblhoso utilizr ess regr. Por isso, usmos técnic do esclonmento, que fcilit discussão e resolução de quisquer sistems lineres. Dizemos que um sistem, em que existe pelo menos um coeficiente nãonulo em cd equção, está esclondo se o número de coeficientes nulos ntes do primeiro coeficiente não nulo ument de equção pr equção. Pr esclonr um sistem dotmos o seguinte procedimento:

128 ) Fixmos como 1º equção um ds que possuem o coeficiente d 1º incógnit diferente de zero. b) Utilizndo s proprieddes de sistems equivlentes, nulmos todos os coeficientes d 1ª incógnit ds demis equções. c) Repetimos o processo com s demis incógnits, té que o sistem se torne esclondo. Vmos então plicr técnic do esclonmento, considerndo dois tipos de sistem: I. O número de equções é igul o número de incógnits (mn) Exemplo 1: 1ºpsso: Anulmos todos os coeficientes d 1º incógnit prtir d º equção, plicndo s proprieddes dos sistems equivlentes: Trocmos de posição 1º equção com º equção, de modo que o 1º coeficiente de x sej igul 1: Trocmos º equção pel som d 1º equção, multiplicd por -, com º equção: Trocmos 3º equção pel som d 1º equção, multiplicd por -3, com 3º equção:

129 º psso: Anulmos os coeficientes d º incógnit prtir d 3º equção: Trocmos 3º equção pel som d º equção, multiplicd por -1, com 3º equção: Agor o sistem está esclondo e podemos resolvê-lo. -z-6 z3 Substituindo z3 em (II): -7y - 3(3) - -7y y-1 Substituindo z3 e y-1 em (I): x (-1) 3 3 x Então, x, y-1 e z3 Exemplo : 1º psso: Anulmos todos os coeficientes d 1º incógnit prtir d º equção: Trocmos º equção pel som do produto d 1º equção por - com º equção:

130 Trocmos 3º equção pel som do produto d 1º equção por -3 com 3º equção: º psso: Anulmos os coeficientes d ª incógnit, prtir d 3º equção: Trocmos 3ª equção pel som do produto d ª equção por -1 com 3º equção: Dess form, o sistem está esclonndo. Como não existe vlor rel de z tl que 0z-, o sistem é impossível. II) O número de equções é menor que o número de incógnits (m < n) Exemplo: 1º psso: Anulmos todos os coeficientes d 1º incógnit prtir d º equção:

131 Trocmos º equção pel som do produto d 1º equção por - com º equção: Trocmos 3º equção pel som do produto d 1º equção por -1 com 3º equção: º psso: Anulmos os coeficientes d º incógnit, prtir d 3º equção: Trocmos 3º equção pel som do produto d º equção por -3 com 3º equção O sistem está esclondo. Como m<n, o sistem é possível e indetermindo, dmitindo infinits soluções. A diferenç entre o número de incógnits (n) e o de equções (m) de um sistem nesss condições é chmd gru de indeterminção (GI): GI n - m Pr resolver um sistem indetermindo, procedemos do seguinte modo: Considermos o sistem em su form esclond: Clculmos o gru de indeterminção do sistem nesss condições:

132 GI n-m Como o gru de indeterminção é 1, tribuímos um ds incógnits um vlor, supostmente conhecido, e resolvemos o sistem em função desse vlor. Sendo t, substituindo esse vlor n 3º equção, obtemos: 1z z 30 6 Conhecidos z e t, substituímos esses vlores n º equção: Conhecidos z,t e y, substituímos esses vlores n 1º equção: Assim, solução do sistem é dd por S IR., com Pr cd vlor que sej tribuído solução pr o sistem., encontrremos um quádrupl que é

133 Trigonometri Ctetos e Hipotenus Em um triângulo chmmos o ldo oposto o ângulo reto de hipotenus e os ldos djcentes de ctetos. Observe figur: Hipotenus: Ctetos: e Seno, Cosseno e Tngente Considere um triângulo retângulo BAC: Hipotenus:, m( ). Ctetos:, m( ) b., m( ) c. Ângulos:, e. Tomndo por bse os elementos desse triângulo, podemos definir s seguintes rzões trigonométrics: Seno de um ângulo gudo é rzão entre medid do cteto oposto esse ângulo e medid d hipotenus.

134 Assim: Cosseno de um ângulo gudo é rzão entre medid do cteto djcente esse ângulo e medid d hipotenus. Assim:

135 Tngente Tngente de um ângulo gudo é rzão entre medid do cteto oposto e medid do cteto djcente esse ângulo. Assim: Exemplo:

136 Observções: 1. A tngente de um ângulo gudo pode ser definid como rzão entre seno deste ângulo e o seu cosseno. Assim:. A tngente de um ângulo gudo é um número rel positivo. 3. O seno e o cosseno de um ângulo gudo são sempre números reis positivos menores que 1, pois qulquer cteto é sempre menor que hipotenus. As rzões trigonométrics de 30º, 45º e 60º Considere s figurs: qudrdo de ldo l e digonl Triângulo eqüilátero de ldo I e ltur Seno, cosseno e tngente de 30º

137 Aplicndo s definições de seno, cosseno e tngente pr os ângulos de 30º, temos: Seno, cosseno e tngente de 45º Aplicndo s definições de seno, cosseno e tngente pr um ângulo de 45º, temos: Seno, cosseno e tngente de 60º Aplicndo s definições de seno, cosseno e tngente pr um ângulo de 60º, temos:

138 Resumindo x sen x cos x tg x 30º 45º 60º