Análise Combinatória

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1 Ftoril de um número: n!n.(n-1).(n-) Análise Combintóri Definições especiis: 0!1 1!1 100! 101! 1) Clcule o vlor d expressão. 99! 100! 101! ! ! ! 99! ) Resolv ( x 1)! 56 ( x 1)! x Respost : x ( x 1)! equção 56. ( x 1)! x 56 0 ( x 1)( x)( x 1)! 56 ( x 1)! 1± 5 x ( x 1)( x) 56 1± 15 x 7, pois não existe ftoril de um número negtivo. x x 7 x -8 x 56 3) Qutro times de futebol (Grêmio, Sntos, São Pulo e Flmengo) disputm o torneio dos cmpeões do mundo. Qunts são s possibiliddes pr os três primeiros lugres? R : Existem 4 possibiliddes pr o1º lugr, sobrndo 3 possibiliddes pr o º lugr e possibiliddes pr o 3º lugr Arrnjo simples: possibiliddes. A n, p n! ( n p)! 4) Clcule A 6, A A 9, 4,3 A A 8,1 6, A 5, A A 9, 4,3 A A 8,1 5,. 6! 4! 5! (6 )! (4 3)! (5 )! ! 8! 7 8 (9 )! (8 1)!

2 5) Quntos números de 3 lgrismos distintos sistem deciml (0,1,,3,4,5,6,7,8,9) sem os repetir, de modo que : ) COMECEM COM 1. R : O número pode possuir três lgrismos, sendo que pr o primeiro existe pens1 possibilidde (1) e pr os outros dois ind 1. A 9, 9! (9 )! 9! 7! 9.8.7! números. 7! podemos formr com o lgrismos do existem 9 números disponíveis : b) COMECEM COM E TERMINEM COM 5. R : Pr o primeiro lgrismo existe pens1 possibilidde (), e pr o terceiro tmbém existe pens1 possibilidde (5). Pr 1.1. A 8,1 8! (8 1)! 8! 7! 8.7! 8 números. 7! o segundo ind existem 8 possibiliddes : c) SEJAM DIVISÍVEISPOR 5. R : Pr um número ser divisível 5, ele deve terminr com 0 ou com 5. Primeirmente vmos clculr o número de divisíveis por 5 que terminm com 0 : Pr existem 9 números disponíveis. Portnto o número de divisíveis por 5 que terminm com 0 é : 1. A Agor clculmos quntos divisíveis por 5 terminm com 5 : pr o terceiro lgrismo existe pens um possibilidde (5). Pr pois o número não pode começr com 0 (senão seri um número de lgrismos). E pr o segundo lgrismo tmbém existem 8 possibiliddes (o segundo lgrismo pode ser 0). 1. A 9, 8,1 o terceiro lgrismo existe pens1 possibilidde (0), e pr os dois 9! (9 )!. A 8,1 9! 7! 8! 8!. (8 1)! (8 1)! 9.8.7! números. 7! 8!. 7! 8.7! 8.7! números. 7! 7! Respost :O número de divisíveis por 5 é números. 8! 7! primeiros ind o primeiro lgrismo existem ind 8 possibiliddes, 6) Quntos são os números compreendidos entre 000 e 3000 formdos por lgrismos distintos escolhidos entre1,,3,4,5,6,7,8 e 9? R : O número deve ter qutro lgrismos (pois está entre 000 e 3000). Pr lgrismo existe pens um possibilidde (), e pr disponíveis, então : 1. A 8,3 8! (8 3)! 8! 5! ! números. 5! o primeiro os outros três ind existem 8 números

3 Permutção Simples: É um cso prticulr de rrnjo simples. É o tipo de grupmento ordendo onde entrm todos os elementos. P n n! 7) Quntos números de 5 lgrismos distintos P 5 5! números. podem ser formdos por 1,,3,5 e 8? 8) Quntos ngrms d ) COMEÇAM POR A. existem 6 possibiliddes. Então o totl é : 1. P plvr EDITORA : Pr primeir letr existe pens um possibilidde (A), e pr s outrs 6 letrs 6 1.6! ngrms. b) COMEÇAM POR A e terminm com E. Pr primeir letr existe1 possibilidde (A), e pr e pr s outrs 5 letrs existem 5 possibiliddes. Então o totl é : 1.1. P ! ngrms. últim tmbém só existe1(e), 8) Clcule de qunts mneirs podem ser diposts 4 dms e 4 cvlheiros, num fil, de form que não fiquem juntos dois cvlheiros e dus dms. R :Existem dus mneirs de fzer isso : Colocndo um cvlheiro n primeir posição temos como número totl de mneirs : P. P 4 Colocndo um P. P 4 C - D - C - D - C - D - C - D 4 4 ou 4!.4! mneirs. dm n primeir posição temos tmbém : 4!.4! mneirs. Portnto o totl é mneirs. D - C - D - C - D - C - D - C Combinção Simples: é o tipo de grupmento em que um grupo difere do outro pens pel nturez dos elementos componentes. C n, p n! p!( n p)!

4 9) Resolver m! m! 0 3!( m 3)!!( m )! m.( m 1).( m ).( m 3)! m.( m 1).( m )! 0 3!( m 3)!!( m )! m.( m 1).( m ) m.( m 1) 0 3!! 3 m m m m m m m 3m m 3m 3m 0 6 m 6m 5 0 Respost : m 5. equção C m,3 C 6 ± m m, m m' 5 m'' 1 obs : m 1 não é respost porque não pode hver C m 3 5m 0 1,3. 10) Com10 espécies de fruts, quntos tipos de sld, contendo 6 espécies diferentes podem ser feits? C 10,6 10! 6!.(10 6)! ! 6!.4! ! tipos de slds. 4 11) Num reunião com 7 rpzes e 6 moçs, qunts comissões podemos formr com 3 RAPAZES- C rpzes e 4 moçs? MOÇAS - C 6,4 7,3 O resultdo é o produto C 7,3. C 6,4. 7! 6! ! 6.5.4! comissões. 3!(7 3)! 4!(6 4)! 3!.4! 4!.! 3! Binômio de Newton

5 Introdução Pelos produtos notáveis, sbemos que (b)² ² b b². Se quisermos clculr ( b)³, podemos escrever: ( b) b 3b b 3 Se quisermos clculr, podemos dotr o mesmo procedimento: ( b) 4 ( b) 3 (b) ( 3 3 b 3b b 3 ) (b) b 6 b 4b 3 b 4 De modo nálogo, podemos clculr s quints e sexts potêncis e, de modo gerl, obter o desenvolvimento d potênci prtir d nterior, ou sej, de. Porém qundo o vlor de n é grnde, este processo grdtivo de cálculo é muito trblhoso. Existe um método pr desenvolver enésim potênci de um binômio, conhecido como binômio de Newton (Isc Newton, mtemático e físico inglês, ). Pr esse método é necessário sber o que são coeficientes binomiis, lgums de sus proprieddes e o triângulo de Pscl. Coeficientes Binomiis Sendo n e p dois números nturis binomil de clsse p, do número n, o número, chmmos de coeficiente, que indicmos por (lê-se: n sobre p). Podemos escrever: O coeficiente binomil tmbém é chmdo de número binomil. Por nlogi com s frções, dizemos que n é o seu numerdor e p, o denomindor. Podemos escrever:

6 É tmbém imedito que, pr qulquer n nturl, temos: Exemplos: Proprieddes dos coeficientes binomiis 1ª) Se n, p, k então e p k n Coeficientes binomiis como esses, que tem o mesmo numerdor e som dos denomindores igul o numerdor, são chmdos complementres. Exemplos:

7 ª) Se n, p, k e p p-1 0 então Ess iguldde é conhecid como relção de Stifel (Michel Stifel, mtemático lemão, ). Exemplos: Triângulo de Pscl A disposição ordend dos números binomiis, como n tbel o ldo, recebe o nome de Triângulo de Pscl Nest tbel tringulr, os números binomiis com o mesmo numerdor são escritos n mesm linh e os de mesmo denomindor, n mesm colun. Por exemplo, os números binomiis,, e estão n linh 3 e os números binomiis,,,,...,,... estão n colun 1. Substituindo cd número binomil pelo seu respectivo vlor, temos:

8 Construção do triângulo de Pscl Pr construir o triângulo do Pscl, bst lembrr s seguintes proprieddes dos números binomiis, não sendo necessário clculá-los: 1ª) Como 1, todos os elementos d colun 0 são iguis 1. ª) Como 1, o último elemento de cd linh é igul 1. 3ª) Cd elemento do triângulo que não sej d colun 0 nem o último de cd linh é igul à som dquele que está n mesm colun e linh nterior com o elemento que se situ à esquerd deste último (relção de Stifel). Observe os pssos e plicção d relção de Stifel pr construção do triângulo: Propriedde do triângulo de Pscl P1 Em Qulquer linh, dois números binomiis eqüidistntes dos extremos são iguis.

9 De fto, esses binomiis são complementres. P Teorem ds linhs: A som dos elementos d enésim linh é. De modo gerl temos: P3 Teorem ds coluns: A som dos elementos de qulquer colun, do 1º elemento té um qulquer, é igul o elemento situdo n colun à direit d considerd e n linh imeditmente bixo.

10 P4 Teorem ds digonis: A som dos elementos situdos n mesm digonl desde o elemento d 1ª colun té o de um qulquer é igul o elemento imeditmente bixo deste Fórmul do desenvolvimento do binômio de Newton Como vimos, potênci d form, em que,, é chmd binômio de Newton. Além disso: qundo n 0 temos qundo n 1 temos qundo n temos qundo n 3 temos qundo n 4 temos

11 Observe que os coeficientes dos desenvolvimentos form o triângulo de Pscl. Então, podemos escrever tmbém: De modo gerl, qundo o expoente é n, podemos escrever fórmul do desenvolvimento do binômio de Newton: Note que os expoentes de vão diminuindo de unidde em unidde, vrindo de n té 0, e os expoentes de b vão umentndo de unidde em unidde, vrindo de 0 té n. O desenvolvimento de ( b) n possui n 1 termos. Fórmul do termo gerl do binômio

12 Observndo os termos do desenvolvimento de ( b) n, notmos que cd um deles é d form. Qundo p 0 temos o 1º termo: Qundo p 1 temos o º termo: Qundo p temos o 3º termo: Qundo p 3 temos o 4º termo: Qundo p 4 temos o 5º termo:... Percebemos, então, que um termo qulquer T de ordem p 1pode ser expresso por:

13 Cilindro N figur bixo, temos dois plnos prlelos e distintos, círculo R contido em e um ret r que intercept, ms não R:, um Pr cd ponto C d região R, vmos considerr o segmento, prlelo à ret r : Assim, temos:

14 Chmmos de cilindro, ou cilindro circulr, o conjunto de todos os segmentos congruentes e prlelos r. Elementos do cilindro Ddo o cilindro seguir, considermos os seguintes elementos: bses: os círculos de centro O e O'e rios r ltur: distânci h entre os plnos gertriz: qulquer segmento de extremiddes nos pontos ds circunferêncis ds bses ( por exemplo, ) e prlelo à ret r Áres

15 Num cilindro, considermos s seguintes áres: ) áre lterl (A L ) Podemos observr áre lterl de um cilindro fzendo su plnificção: Assim, áre lterl do cilindro reto cuj ltur é h e cujos rios dos círculos ds bses são r é um retângulo de dimensões : b) áre d bse ( A B ):áre do círculo de rio r c) áre totl ( A T ): som d áre lterl com s áres ds bses Volume Pr obter o volume do cilindro, vmos usr novmente o princípio de Cvlieri.

16 Ddos dois sólidos com mesm ltur e um plno, se todo plno, prlelo o plno, intercept os sólidos e determin secções de mesm áre, os sólidos têm volumes iguis: Se 1 é um prlelepípedo retângulo, então V A B h. Assim, o volume de todo prlelepípedo retângulo e de todo cilindro é o produto d áre d bse pel medid de su ltur: V cilindro A B h No cso do cilindro circulr reto, áre d bse é áre do círculo de rio r ; portnto seu volume é:

17 Esfer Chmmos de esfer de centro O e rio R o conjunto de pontos do espço cuj distânci o centro é menor ou igul o rio R. Considerndo rotção complet de um semicírculo em torno de um eixo e, esfer é o sólido gerdo por ess rotção. Assim, el é limitd por um superfície esféric e formd por todos os pontos pertencentes ess superfície e o seu interior. Volume O volume d esfer de rio R é ddo por: Prtes d esfer Superfície esféric A superfície esféric de centro O e rio R é o conjunto de pontos do es[ço cuj distânci o ponto O é igul o rio R. Se considerrmos rotção complet de um semicircunferênci em torno de seu diâmetro, superfície esféric é o resultdo dess rotção.

18 A áre d superfície esféric é dd por: Cone circulr Ddo um círculo C, contido num plno, e um ponto V ( vértice) for de, chmmos de cone circulr o conjunto de todos os segmentos. Elementos do cone circulr Ddo o cone seguir, considermos os seguintes elementos:

19 ltur: distânci h do vértice V o plno gertriz (g):segmento com um extremidde no ponto V e outr num ponto d circunferênci rio d bse: rio R do círculo eixo de rotção:ret determind pelo centro do círculo e pelo vértice do cone Cone reto Todo cone cujo eixo de rotção é perpendiculr à bse é chmdo cone reto, tmbém denomindo cone de revolução. Ele pode ser gerdo pel rotção complet de um triângulo retângulo em torno de um de seus ctetos. D figur, e pelo Teorem de Pitágors, temos seguinte relção:

20 G h R Secção meridin A secção determind, num cone de revolução, por um plno que contém o eixo de rotção é chmd secção meridin. Se o triângulo AVB for eqüilátero, o cone tmbém será eqüilátero: Áres Desenvolvendo superfície lterl de um cone circulr reto, obtemos um setor circulr de rio g e comprimento :

21 Assim, temos de considerr s seguintes áres: ) áre lterl (A L ): áre do setor circulr b) áre d bse (A B ):áre do circulo do rio R c) áre totl (A T ):som d áre lterl com áre d bse Volume Pr determinr o volume do cone, vmos ver como clculr volumes de sólidos de revolução. Observe figur: d distânci do centro de grvidde (CG) d su superfície o eixo e Sáre d superfície

22 Sbemos, pelo Teorem de Pppus - Guldin, que, qundo um superfície gir em torno de um eixo e, ger um volume tl que: Vmos, então, determinr o volume do cone de revolução gerdo pel rotção de um triângulo retângulo em torno do cteto h: O CG do triângulo está um distânci Logo: do eixo de rotção.

23 CONJUNTOS NUMÉRICOS Conjunto dos números nturis (IN) IN{0, 1,, 3, 4, 5,...} Um subconjunto importnte de IN é o conjunto IN*: IN*{1,, 3, 4, 5,...} o zero foi excluído do conjunto IN. Podemos considerr o conjunto dos números nturis ordendos sobre um ret, como mostr o gráfico bixo: Conjunto dos números inteiros (Z) Z{..., -3, -, -1, 0, 1,, 3,...} O conjunto IN é subconjunto de Z. Temos tmbém outros subconjuntos de Z: Z* Z-{0} Z conjunto dos inteiros não negtivos {0,1,,3,4,5,...} Z_ conjunto dos inteiros não positivos {0,-1,-,-3,-4,-5,...} Observe que Z IN. Podemos considerr os números inteiros ordendos sobre um ret, conforme mostr o gráfico bixo:

24 Conjunto dos números rcionis (Q) Os números rcionis são todos queles que podem ser colocdos n form de frção (com o numerdor e denomindor Z). Ou sej, o conjunto dos números rcionis é união do conjunto dos números inteiros com s frções positivs e negtivs. Então :-, 5, 4 1, 3,1, 5 3, por exemplo, são números rcionis. Exemplos: 3 6 ) b) Assim, podemos escrever: Q { x x, com Z, b Z e b 0} b É interessnte considerr representção deciml de um número rcionl, que se obtém dividindo por b. b Exemplos referentes às decimis exts ou finits: 1 0, , ,75 Exemplos referentes às decimis periódics ou infinits: 1 0, , , Tod deciml ext ou periódic pode ser representd n form de número rcionl. Conjunto dos números irrcionis

25 Os números irrcionis são decimis infinits não periódics, ou sej, os números que não podem ser escrito n form de frção (divisão de dois inteiros). Como exemplo de números irrcionis, temos riz qudrd de e riz qudrd de 3: 1, , Um número irrcionl bstnte conhecido é o número π 3, Conjunto dos números reis (IR) Ddos os conjuntos dos números rcionis (Q) e dos irrcionis, definimos o conjunto dos números reis como: IRQ {irrcionis} {x x é rcionl ou x é irrcionl} O digrm bixo mostr relção entre os conjuntos numéricos: Portnto, os números nturis, inteiros, rcionis e irrcionis são todos números reis. Como subconjuntos importntes de IR temos: IR* IR-{0} IR conjunto dos números reis não negtivos IR_ conjunto dos números reis não positivos Obs: entre dois números inteiros existem infinitos números reis. Por exemplo: Entre os números 1 e existem infinitos números reis: 1,01 ; 1,001 ; 1,0001 ; 1,1 ; 1, ; 1,5 ; 1,99 ; 1,999 ; 1, Entre os números 5 e 6 existem infinitos números reis: 5,01 ; 5,0 ; 5,05 ; 5,1 ; 5, ; 5,5 ; 5,99 ; 5,999 ; 5,

26 Determinntes Como já vimos, mtriz qudrd é que tem o mesmo número de linhs e de coluns (ou sej, é do tipo nxn). A tod mtriz qudrd está ssocido um número o qul dmos o nome de determinnte. Dentre s váris plicções dos determinntes n Mtemátic, temos: resolução de lguns tipos de sistems de equções lineres; cálculo d áre de um triângulo situdo no plno crtesino, qundo são conhecids s coordends dos seus vértices; Determinnte de 1ª ordem Dd um mtriz qudrd de 1ª ordem M[ 11 ], o seu determinnte é o número rel 11 : det M I 11 I 11 Observção: Representmos o determinnte de um mtriz entre dus brrs verticis, que não têm o significdo de módulo. Por exemplo: M [5] det M 5 ou I 5 I 5 M [-3] det M -3 ou I -3 I -3 Determinnte de ª ordem Dd mtriz, de ordem, por definição o determinnte ssocido M, determinnte de ª ordem, é ddo por:

27 Portnto, o determinnte de um mtriz de ordem é ddo pel diferenç entre o produto dos elementos d digonl principl e o produto dos elementos d digonl secundári. Vej o exemplo seguir. Menor complementr Chmmos de menor complementr reltivo um elemento ij de um mtriz M, qudrd e de ordem n>1, o determinnte MC ij, de ordem n - 1, ssocido à mtriz obtid de M qundo suprimimos linh e colun que pssm por ij. Vejmos como determiná-lo pelos exemplos seguir: ) Dd mtriz, de ordem, pr determinr o menor complementr reltivo o elemento 11 (MC 11 ), retirmos linh 1 e colun 1: D mesm form, o menor complementr reltivo o elemento 1 é:

28 b) Sendo, de ordem 3, temos: Coftor Chmmos de coftor ou complemento lgébrico reltivo um elemento ij de um mtriz qudrd de ordem n o número A ij tl que A ij (-1) ij. MC ij. Vej: ) Dd, os coftores reltivos os elementos 11 e 1 d mtriz M são: b) Sendo, vmos clculr os coftores A, A 3 e A 31 :

29 Teorem de Lplce O determinnte de um mtriz qudrd M [ ij ] mxn pode ser obtido pel som dos produtos dos elementos de um fil qulquer ( linh ou colun) d mtriz M pelos respectivos coftores. Assim, fixndo, temos: em que m,. é o somtório de todos os termos de índice i, vrindo de 1 té Regr de Srrus O cálculo do determinnte de 3ª ordem pode ser feito por meio de um dispositivo prático, denomindo regr de Srrus. Acompnhe como plicmos ess regr pr. 1º psso: Repetimos s dus primeirs coluns o ldo d terceir:

30 º psso: Encontrmos som do produto dos elementos d digonl principl com os dois produtos obtidos pel multiplicção dos elementos ds prlels ess digonl ( som deve ser precedid do sinl positivo): 3º psso: Encontrmos som do produto dos elementos d digonl secundári com os dois produtos obtidos pel multiplicção dos elementos ds prlels ess digonl ( som deve ser precedid do sinl negtivo): Assim:

31 Observção: Se desenvolvermos esse determinnte de 3ª ordem plicndo o Teorem de Lplce, encontrremos o mesmo número rel. Determinnte de ordem n > 3 Vimos que regr de Srrus é válid pr o cálculo do determinnte de um mtriz de ordem 3. Qundo mtriz é de ordem superior 3, devemos empregr o Teorem de Lplce pr chegr determinntes de ordem 3 e depois plicr regr de Srrus. Proprieddes dos determinntes Os demis ssocidos mtrizes qudrds de ordem n presentm s seguintes proprieddes: P 1 ) Qundo todos os elementos de um fil ( linh ou colun) são nulos, o determinnte dess mtriz é nulo. Exemplo: P ) Se dus fils de um mtriz são iguis, então seu determinnte é nulo. Exemplo: P 3 ) Se dus fils prlels de um mtriz são proporcionis, então seu determinnte é nulo. Exemplo:

32 P 4 ) Se os elementos de um fil de um mtriz são combinções lineres dos elementos correspondentes de fils prlels, então seu determinnte é nulo. Exemplos: P 5 ) Teorem de Jcobi: o determinnte de um mtriz não se lter qundo sommos os elementos de um fil um combinção liner dos elementos correspondentes de fils prlels. Exemplo: Substituindo 1ª colun pel som dess mesm colun com o dobro d ª, temos: P 6 ) O determinnte de um mtriz e o de su trnspost são iguis. Exemplo:

33 P 7 ) Multiplicndo por um número rel todos os elementos de um fil em um mtriz, o determinnte dess mtriz fic multiplicdo por esse número. Exemplos: P 8 ) Qundo trocmos s posições de dus fils prlels, o determinnte de um mtriz mud de sinl. Exemplo: P 9 ) Qundo, em um mtriz, os elementos cim ou bixo d digonl principl são todos nulos, o determinnte é igul o produto dos elementos dess digonl. Exemplos:

34 P 10 ) Qundo, em um mtriz, os elementos cim ou bixo d digonl secundári são todos nulos, o determinnte é igul o produto dos elementos dess digonl multiplicdo por. Exemplos: P 11 ) Pr A e B mtrizes qudrds de mesm ordem n, Exemplo:. Como: P 1 ) Exemplo:

35 Equções lgébrics (com um vriável) Introdução Equção é tod sentenç mtemátic bert que exprime um relção de iguldde. A plvr equção tem o prefixo equ, que em ltim quer dizer "igul". Exemplos: x 8 0 5x - 4 6x b - c 0 Não são equções: (Não é um sentenç bert) x - 5 < 3 (Não é iguldde) (não é sentenç bert, nem iguldde) A equção gerl do primeiro gru: xb 0 onde e b são números conhecidos e > 0, se resolve de mneir simples: subtrindo b dos dois ldos, obtemos: x -b dividindo gor por (dos dois ldos), temos: Consider equção x - 8 3x -10

36 A letr é incógnit d equção. A plvr incógnit signific " desconhecid". N equção cim incógnit é x; tudo que ntecede o sinl d iguldde denomin-se 1º membro, e o que sucede, º membro. Qulquer prcel, do 1º ou do º membro, é um termo d equção. Equção do 1º gru n incógnit x é tod equção que pode ser escrit n form xb, sendo e b números rcionis, com diferente de zero. Conjunto Verdde e Conjunto Universo de um Equção Considere o conjunto A {0, 1,, 3, 4, 5} e equção x 5. Observe que o número 3 do conjunto A é denomindo conjunto universo d equção e o conjunto {3} é o conjunto verdde dess mesm equção. Observe este outro exemplo: Determine os números inteiros que stisfzem equção x² 5

37 O conjunto dos números inteiro é o conjunto universo d equção. Os números -5 e 5, que stisfzem equção, formm o conjunto verdde, podendo ser indicdo por: V {-5, 5}. Dí concluímos que: Conjunto Universo é o conjunto de todos os vlores que vriável pode ssumir. Indic-se por U. Conjunto verdde é o conjunto dos vlores de U, que tornm verddeir equção. Indic-se por V. Observções: O conjunto verdde é subconjunto do conjunto universo. Não sendo citdo o conjunto universo, devemos considerr como conjunto universo o conjunto dos números rcionis. O conjunto verdde é tmbém conhecido por conjunto solução e pode ser indicdo por S. Rízes de um equção Os elementos do conjunto verdde de um equção são chmdos rízes d equção. Pr verificr se um número é riz de um equção, devemos obedecer à seguinte seqüênci: Substituir incógnit por esse número. Determinr o vlor de cd membro d equção.

38 Verificr iguldde, sendo um sentenç verddeir, o número considerdo é riz d equção. Exemplos: Verifique quis dos elementos do conjunto universo são rízes ds equções bixo, determinndo em cd cso o conjunto verdde. Resolv equção x - 0, sendo U {0, 1,, 3}. > - 0. (F) > (F) > 0 0. (V) > 1 0. (F) Pr x 0 n equção x - 0 temos: 0-0 Pr x 1 n equção x - 0 temos: 1-0 Pr x n equção x - 0 temos: - 0 Pr x 3 n equção x - 0 temos: 3-0 Verificmos que é riz d equção x - 0, logo V {}. Resolv equção x - 5 1, sendo U {-1, 0, 1, }. 5 1 > (F) 1 > (F) 1 > (F) 1 > (F) Pr x -1 n equção x temos:. (-1) - Pr x 0 n equção x temos:. 0-5 Pr x 1 n equção x temos:. 1-5 Pr x n equção x temos:. - 5 A equção x não possui riz em U, logo V Ø.

39 Função de 1º gru - Afim Definição Chm-se função polinomil do 1º gru, ou função fim, qulquer função f de IR em IR dd por um lei d form f(x) x b, onde e b são números reis ddos e 0. N função f(x) x b, o número é chmdo de coeficiente de x e o número b é chmdo termo constnte. Vej lguns exemplos de funções polinomiis do 1º gru: f(x) 5x - 3, onde 5 e b - 3 f(x) -x - 7, onde - e b - 7 f(x) 11x, onde 11 e b 0 Gráfico O gráfico de um função polinomil do 1º gru, y x b, com um ret oblíqu os eixos Ox e Oy. 0, é Exemplo: Vmos construir o gráfico d função y 3x - 1: Como o gráfico é um ret, bst obter dois de seus pontos e ligá-los com o uxílio de um régu: ) Pr x 0, temos y ; portnto, um ponto é (0, -1).. b) Pr y 0, temos 0 3x - 1; portnto, e outro ponto é Mrcmos os pontos (0, -1) e dois com um ret. no plno crtesino e ligmos os

40 x y Já vimos que o gráfico d função fim y x b é um ret. O coeficiente de x,, é chmdo coeficiente ngulr d ret e, como veremos dinte, está ligdo à inclinção d ret em relção o eixo Ox. O termo constnte, b, é chmdo coeficiente liner d ret. Pr x 0, temos y 0 b b. Assim, o coeficiente liner é ordend do ponto em que ret cort o eixo Oy. Zero e Equção do 1º Gru Chm-se zero ou riz d função polinomil do 1º gru f(x) x b, 0, o número rel x tl que f(x) 0. Temos: f(x) 0 x b 0 Vejmos lguns exemplos: 1. Obtenção do zero d função f(x) x - 5: f(x) 0 x Cálculo d riz d função g(x) 3x 6: g(x) 0 3x 6 0 x - 3. Cálculo d bsciss do ponto em que o gráfico de h(x) -x 10 cort o eixo ds bicisss: O ponto em que o gráfico cort o eixo dos x é quele em que h(x)

41 0; então: h(x) 0 -x 10 0 x 5 Crescimento e decrescimento Consideremos função do 1º gru y 3x - 1. Vmos tribuir vlores cd vez miores x e observr o que ocorre com y: x y Notemos que, qundo umentos o vlor de x, os correspondentes vlores de y tmbém umentm. Dizemos, então que função y 3x - 1 é crescente. Observmos novmente seu gráfico: Regr gerl: função do 1º gru f(x) x b é crescente qundo o coeficiente de x é positivo ( > 0); função do 1º gru f(x) x b é decrescente qundo o coeficiente de x é negtivo ( < 0); Justifictiv:

42 pr > 0: se x 1 < x, então x 1 < x. Dí, x 1 b < x b, de onde vem f(x 1 ) < f(x ). pr < 0: se x 1 < x, então x 1 > x. Dí, x 1 b > x b, de onde vem f(x 1 ) > f(x ). Sinl Estudr o sinl de um qulquer y f(x) é determinr os vlor de x pr os quis y é positivo, os vlores de x pr os quis y é zero e os vlores de x pr os quis y é negtivo. Consideremos um função fim y f(x) x b vmos estudr seu sinl. Já vimos que ess função se nul pr riz possíveis:. Há dois csos 1º) > 0 ( função é crescente) y > 0 x b > 0 x > y > 0 x b < 0 x < Conclusão: y é positivo pr vlores de x miores que riz; y é negtivo pr vlores de x menores que riz º) < 0 ( função é decrescente) y > 0 x b > 0 x <

43 y > 0 x b < 0 x < Conclusão: y é positivo pr vlores de x menores que riz; y é negtivo pr vlores de x miores que riz.

44 EQUAÇÕES EXPONENCIAIS Chmmos de equções exponenciis tod equção n qul incógnit prece em expoente. Exemplos de equções exponenciis: 1) 3 x 81 ( solução é x4) ) x-5 16 ( solução é x9) 3) 16 x -4 x-1-10 x-1 ( solução é x1) 4) 3 x-1-3 x -3 x-1 10 (s soluções são x 0 e x 1) Pr resolver equções exponenciis, devemos relizr dois pssos importntes: 1º) redução dos dois membros d equção potêncis de mesm bse; º) plicção d propriedde: m n m n ( 1 e > 0) EXERCÍCIOS RESOLVIDOS: 1) 3 x 81 Resolução: Como 813 4, podemos escrever 3 x 3 4 E dí, x4. ) 9 x 1 Resolução: 9 x 1 9 x 9 0 ; logo x0. 3 3) 4 x Resolução : x x x ; então x 4. 4) 3 x 4 7 Resolução :3 x x x ; logo x 3 4 5) 3x-1 3 x

45 Resolução: 3x-1 3 x 3x-1 ( 5 ) x 3x-1 10x ; dí 3x-110, de onde x-1/7. 6) Resolv equção 3 x 6.3 x 70. Resolução: vmos resolver est equção trvés de um trnsformção: 3 x 6.3 x 70 (3 x ) -6.3 x 70 Fzendo 3 x y, obtemos: y -6y 70 ; plicndo Bhskr encontrmos y -3 e y 9 Pr chr o x, devemos voltr os vlores pr equção uxilir 3 x y: y -3 3 x -3 não existe x, pois potênci de bse positiv é positiv y 9 3 x 9 3 x 3 x Portnto solução é x FUNÇÃO EXPONENCIAL Chmmos de funções exponenciis quels ns quis temos vriável precendo em expoente. A função f:ir IR definid por f(x) x, com IR e 1, é chmd função exponencil de bse. O domínio dess função é o conjunto IR (reis) e o contrdomínio é IR (reis positivos, miores que zero). GRÁFICO CARTESIANO DA FUNÇÃO EXPONENCIAL Temos csos considerr: qundo >1; qundo 0<<1. Acompnhe os exemplos seguintes: 1) y x (nesse cso,, logo >1) Atribuindo lguns vlores x e clculndo os correspondentes vlores de y, obtemos tbel e o gráfico bixo:

46 X y 1/4 1/ 1 4 ) y(1/) x (nesse cso, 1/, logo 0<<1) Atribuindo lguns vlores x e clculndo os correspondentes vlores de y, obtemos tbel e o gráfico bixo: X Y 4 1 1/ 1/4 Nos dois exemplos, podemos observr que ) o gráfico nunc intercept o eixo horizontl; função não tem rízes; b) o gráfico cort o eixo verticl no ponto (0,1); c) os vlores de y são sempre positivos (potênci de bse positiv é positiv), portnto o conjunto imgem é ImIR. Além disso, podemos estbelecer o seguinte: >1 0<<1

47 f(x) é crescente e ImIR Pr quisquer x 1 e x do domínio: x >x 1 y >y 1 (s desigulddes têm mesmo sentido) f(x) é decrescente e ImIR Pr quisquer x 1 e x do domínio: x >x 1 y <y 1 (s desigulddes têm sentidos diferentes) INEQUAÇÕES EXPONENCIAIS Chmmos de inequções exponenciis tod inequção n qul incógnit prece em expoente. Exemplos de inequções exponenciis: 1) ) 3) 4) 3 x 5 > 81 x- 4 5 x x ( solução é x > 4) x 1 x 3 (que é stisfeit pr todo x rel) (que é stisfeit pr x -3) 315 < 0 (que é stisfeit pr < x < 3) Pr resolver inequções exponenciis, devemos relizr dois pssos importntes: 1º) redução dos dois membros d inequção potêncis de mesm bse; º) plicção d propriedde: >1 0<<1 m > n m>n (s desigulddes têm mesmo sentido) m > n m<n (s desigulddes têm sentidos diferentes) EXERCÍCIO RESOLVIDO:

48 1) Resolução : x 4 x x A inequção pode ser escrit > 4 Multiplicndo mbos os ldos por 4 temos : 4 (1 4 16).4 Porém, Como bse (4) é mior que1, obtemos : 4 x x 4 x < x < 0 Portnto S IR x x x x x 1 > 11, ou sej : > 11 < 1 - x 11 > 4 4 x < 4 (reis negtivos) 0. x > 11 e dí, 4 x < 1 FUNÇÃO LOGARÍTMICA

49 A função f:ir IR definid por f(x)log x, com 1 e >0, é chmd função logrítmic de bse. O domínio dess função é o conjunto IR (reis positivos, miores que zero) e o contrdomínio é IR (reis). GRÁFICO CARTESIANO DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA Temos csos considerr: qundo >1; qundo 0<<1. Acompnhe nos exemplos seguintes, construção do gráfico em cd cso: 3) ylog x (nesse cso,, logo >1) Atribuindo lguns vlores x e clculndo os correspondentes vlores de y, obtemos tbel e o gráfico bixo: x 1/4 1/ 1 4 y ) ylog (1/) x (nesse cso, 1/, logo 0<<1) Atribuindo lguns vlores x e clculndo os correspondentes vlores de y, obtemos tbel e o gráfico bixo: x 1/4 1/ 1 4 y

50 Nos dois exemplos, podemos observr que d) o gráfico nunc intercept o eixo verticl; e) o gráfico cort o eixo horizontl no ponto (1,0). A riz d função é x1; f) y ssume todos os vlores reis, portnto o conjunto imgem é ImIR. Além disso, podemos estbelecer o seguinte: >1 0<<1 f(x) é crescente e ImIR Pr quisquer x 1 e x do domínio: x >x 1 y >y 1 (s desigulddes têm mesmo sentido) f(x) é decrescente e ImIR Pr quisquer x 1 e x do domínio: x >x 1 y <y 1 (s desigulddes têm sentidos diferentes)

51 EQUAÇÕES LOGARÍTMICAS Chmmos de equções logrítmics tod equção que envolve logritmos com incógnit precendo no logritmndo, n bse ou em mbos. Exemplos de equções logrítmics: 7) log 3 x 5 ( solução é x43) 8) log(x -1) log 3 (s soluções são x - e x ) 9) log (x3) log (x-3) log 7 ( solução é x4) 10) log x1 (x -x) ( solução é x-1/3) Alguns exemplos resolvidos: 1) log 3 (x5) Resolução: condição de existênci: x5>0 > x>-5 log 3 (x5) > x5 3 > x9-5 > x4 Como x4 stisfz condição de existênci, então o conjunto solução é S{4}. ) log (log 4 x) 1 Resolução: condição de existênci: x>0 e log 4 x>0 log (log 4 x) 1 ; sbemos que 1 log (), então log (log 4 x) log () > log 4 x > 4 x > x16 Como x16 stisfz s condições de existênci, então o conjunto solução é S{16}. 3) Resolv o sistem: log x log y 7 3.log x.log y 1 Resolução: condições de existênci: x>0 e y>0 D primeir equção temos: log xlog y7 > log y 7-log x Substituindo log y n segund equção temos: 3.log x.(7-log x)1 > 3.log x-14.log x 1 > 5.log x 15 > > log x 3 > x10 3 Substituindo x 10 3 em log y 7-log x temos:

52 log y 7- log 10 3 > log y 7-3 > log y 4 > y10 4. Como esss rízes stisfzem s condições de existênci, então o conjunto solução é S{(10 3 ;10 4 )}. INEQUAÇÕES LOGARÍTMICAS Chmmos de inequções logrítmics tod inequção que envolve logritmos com incógnit precendo no logritmndo, n bse ou em mbos. Exemplos de inequções logrítmics: 1) log x > 0 ( solução é x>1) ) log 4 (x3) 1 ( solução é 3<x 1) Pr resolver inequções logrítmics, devemos relizr dois pssos importntes: 1º) redução dos dois membros d inequção logritmos de mesm bse; º) plicção d propriedde: >1 0<<1 log m > log n m>n>0 (s desigulddes têm mesmo sentido) log m > log n 0<m<n (s desigulddes têm sentidos diferentes) EXERCÍCIOS RESOLVIDOS: 1) log (x) > log 8 Resolução: Condições de existênci: x>0, ou sej, x>- (S 1 ) Como bse () é mior que 1, temos: x>8 e, dí, x>6 (S ) O conjunto solução é S S 1 S {x IR x>6}. Portnto solução finl é intersecção de S 1 e S, como está representdo logo bixo no desenho:

53 ) log (log 3 x) 0 Resolução: Condições de existênci: x>0 e log 3 x>0 Como log 10, inequção pode ser escrit ssim: log (log 3 x) log 1 Sendo bse () mior que 1, temos: log 3 x 1. Como log 3 3 1, então, log 3 x log 3 3 e, dí, x 3, porque bse (3) é mior que 1. As condições de existênci estão stisfeits, portnto S{x IR x 3}.

54 Função Qudrátic Definição Chm-se função qudrátic, ou função polinomil do º gru, qulquer função f de IR em IR dd por um lei d form f(x) x bx c, onde, b e c são números reis e 0. Vejmos lguns exemplos de função qudrátics: 1. f(x) 3x - 4x 1, onde 3, b - 4 e c 1. f(x) x -1, onde 1, b 0 e c f(x) x 3x 5, onde, b 3 e c 5 4. f(x) - x 8x, onde 1, b 8 e c 0 5. f(x) -4x, onde - 4, b 0 e c 0 Gráfico O gráfico de um função polinomil do º gru, y x bx c, com 0, é um curv chmd prábol. Exemplo: Vmos construir o gráfico d função y x x: Primeiro tribuímos x lguns vlores, depois clculmos o vlor correspondente de y e, em seguid, ligmos os pontos ssim obtidos. x y

55 Observção: Ao construir o gráfico de um função qudrátic y x bx c, notremos sempre que: se > 0, prábol tem concvidde voltd pr cim; se < 0, prábol tem concvidde voltd pr bixo; Zero e Equção do º Gru Chm-se zeros ou rízes d função polinomil do º gru f(x) x bx c, 0, os números reis x tis que f(x) 0. Então s rízes d função f(x) x bx c são s soluções d equção do º gru x bx c 0, s quis são dds pel chmd fórmul de Bhskr: Temos: Observção A quntidde de rízes reis de um função qudrátic depende do vlor obtido pr o rdicndo, chmdo discriminnte, sber: qundo é positivo, há dus rízes reis e distints; qundo é zero, há só um riz rel; qundo é negtivo, não há riz rel. Coordends do vértice d prábol

56 Qundo > 0, prábol tem concvidde voltd pr cim e um ponto de mínimo V; qundo < 0, prábol tem concvidde voltd pr bixo e um ponto de máximo V. Em qulquer cso, s coordends de V são. Vej os gráficos: Imgem

57 O conjunto-imgem Im d função y x bx c, 0, é o conjunto dos vlores que y pode ssumir. Há dus possibiliddes: 1ª - qundo > 0, > 0 ª qundo < 0, < 0

58 Construção d Prábol É possível construir o gráfico de um função do º gru sem montr tbel de pres (x, y), ms seguindo pens o roteiro de observção seguinte: 1. O vlor do coeficiente define concvidde d prábol;. Os zeros definem os pontos em que prábol intercept o eixo dos x; Sinl 3. O vértice V indic o ponto de mínimo (se > 0), ou máximo (se < 0); 4. A ret que pss por V e é prlel o eixo dos y é o eixo de simetri d prábol; 5. Pr x 0, temos y 0 b 0 c c; então (0, c) é o ponto em que prábol cort o eixo dos y. Considermos um função qudrátic y f(x) x bx c e determinemos os vlores de x pr os quis y é negtivo e os vlores de x pr os quis y é positivos. Conforme o sinl do discriminnte b - 4c, podemos ocorrer os seguintes csos: 1º- >0 Nesse cso função qudrátic dmite dois zeros reis distintos (x1

59 x). prábol intercept o eixo Ox em dois pontos e o sinl d função é o indicdo nos gráficos bixo: qundo > 0 y > 0 (x < x 1 ou x > x ) y < 0 x 1 < x < x qundo < 0 y > 0 x 1 < x < x y < 0 (x < x 1 ou x > x )

60 º - 0 qundo > 0 qundo < 0

61 3º - < 0 qundo > 0 qundo < 0

62 GEOMETRIA ANALÍTICA Rets Introdução Entre os pontos de um ret e os números reis existe um correspondênci biunívoc, isto é, cd ponto de ret corresponde um único número rel e vice-vers. Considerndo um ret horizontl x, orientd d esquerd pr direit (eixo), e determinndo um ponto O dess ret ( origem) e um segmento u, unitário e não-nulo, temos que dois números inteiros e consecutivos determinm sempre nesse eixo um segmento de ret de comprimento u: Medid lgébric de um segmento Fzendo corresponder dois pontos, A e B, do eixo x os números reis x A e x B, temos:

63 A medid lgébric de um segmento orientdo é o número rel que corresponde à diferenç entre s bscisss d extremidde e d origem desse segmento. Plno crtesino A geometri nlític teve como principl idelizdor o filósofo frncês René Descrtes ( ). Com o uxílio de um sistem de eixos ssocidos um plno, ele fz corresponder cd ponto do plno um pr ordendo e vice-vers. Qundo os eixos desse sistems são perpendiculres n origem, ess correspondênci determin um sistem crtesino ortogonl ( ou plno crtesino). Assim, há um reciprocidde entre o estudo d geometri ( ponto, ret, circunferênci) e d Álgebr ( relções, equções etc.), podendo-se representr grficmente relções lgébrics e expressr lgebricmente representções gráfics. Observe o plno crtesino nos qudros qudrntes: Exemplos: A(, 4) pertence o 1º qudrnte (x A > 0 e y A > 0)

64 B(-3, -5) pertence o 3º qudrnte ( x B < 0 e y B < 0) Observção: Por convenção, os pontos loclizdos sobre os eixos não estão em nenhum qudrnte. Distânci entre dois pontos Ddos os pontos A(x A, y A ) e B(x B, y B ) e sendo d AB distânci entre eles, temos: Aplicndo o teorem de Pitágors o triângulo retângulo ABC, vem: Como exemplo, vmos determinr distânci entre os pontos A(1, -1) e B(4, -5):

65 Equções de um ret Equção gerl Podemos estbelecer equção gerl de um ret prtir d condição de linhmento de três pontos. Dd um ret r, sendo A(x A, y A ) e B(x B, y B ) pontos conhecidos e distintos de r e P(x,y) um ponto genérico, tmbém de r, estndo A, B e P linhdos, podemos escrever: Fzendo y A - y B, x B - x A b e x A y B - x B y A c, como e b não são simultnemente nulos, temos: x by c 0 (equção gerl d ret r) Ess equção relcion x e y pr qulquer ponto P genérico d ret. Assim, ddo o ponto P(m, n):

66 se m bn c 0, P é o ponto d ret; se m bn c 0, P não é ponto d ret. Acompnhe os exemplos: Vmos considerr equção gerl d ret r que pss por A(1, 3) e B(, 4). Considerndo um ponto P(x, y) d ret, temos: Vmos verificr se os pontos P(-3, -1) e Q(1, ) pertencem à ret r do exemplo nterior. Substituindo s coordends de P em x - y 0, temos: -3 - (-1) Como iguldde é verddeir, então P r. Substituindo s coordends de Q em x - y 0, obtemos: 1-0 Como iguldde não é verddeir, então Q r. Geometri Anlític: Circunferênci Equções d circunferênci Equção reduzid Circunferênci é o conjunto de todos os pontos de um plno eqüidistntes de um ponto fixo, desse mesmo plno, denomindo centro d circunferênci:

67 Assim, sendo C(, b) o centro e P(x, y) um ponto qulquer d circunferênci, distânci de C P(d CP ) é o rio dess circunferênci. Então: Portnto, (x - ) (y - b) r é equção reduzid d circunferênci e permite determinr os elementos essenciis pr construção d circunferênci: s coordends do centro e o rio. Observção: Qundo o centro d circunfer6enci estiver n origem ( C(0,0)), equção d circunferênci será x y r. Equção gerl Desenvolvendo equção reduzid, obtemos equção gerl d circunferênci:

68 Como exemplo, vmos determinr equção gerl d circunferênci de centro C(, -3) e rio r 4. A equção reduzid d circunferênci é: ( x - ) ( y 3 ) 16 Desenvolvendo os qudrdos dos binômios, temos: Elipse Geometri Anlític - Cônics Considerndo, num plno, dois pontos distintos, F 1 e F, e sendo um número rel mior que distânci entre F 1 e F, chmmos de elipse o conjunto dos pontos do plno tis que som ds distâncis desses pontos F 1 e F sej sempre igul. Por exemplo, sendo P, Q, R, S, F 1 e F pontos de um mesmo plno e F 1 F <, temos: A figur obtid é um elipse. Observções: 1ª) A Terr descreve um trjetóri elíptic em torno do sol, que é um dos focos dess trjetóri. A lu em torno d terr e os demis stélites em relção seus respectivos plnets tmbém presentm esse comportmento.

69 ª) O comet de Hlley segue um órbit elíptic, tendo o Sol como um dos focos. 3ª) As elipses são chmds cônics porque ficm configurds pelo corte feito em um cone circulr reto por um plno oblíquo em relção à su bse. Elementos Observe elipse seguir. Nel, considermos os seguintes elementos: focos : os pontos F 1 e F centro: o ponto O, que é o ponto médio de semi-eixo mior: semi-eixo menor: b semidistânci focl: c vértices: os pontos A 1, A, B 1, B eixo mior: eixo menor: distânci focl: Relção fundmentl

70 N figur cim, plicndo o Teorem de Pitágors o tri6ngulo OF B, retângulo em O, podemos escrever seguinte relção fundmentl: b c Excentricidde Chmmos de excentricidde o número rel e tl que: Pel definição de elipse, c <, então c < e, conseqüentemente, 0 < e < 1. Observção:Qundo os focos são muito próximos, ou sej, c é muito pequeno, elipse se proxim de um circunferênci. Equções Vmos considerr os seguintes csos: ) elipse com centro n origem e eixo mior horizontl Sendo c semidistânci focl, os focos d elipse são F 1 (-c, 0) e F (c, 0): Aplicndo definição de elipse elipse:, obtemos equção d

71 b) elipse com centro n origem e eixo mior verticl Nesss condições, equção d elipse é: Hipérbole Considerndo, num plno, dois pontos distintos, F 1 e F, e sendo um número rel menor que distânci entre F 1 e F, chmmos de hipérbole o conjunto dos pontos do plno tis que o módulo d diferenç ds dist6ncis desses pontos F 1 e F sej sempre igul. Por exemplo, sendo P, Q, R, S, F1 e F pontos de um mesmo plno e F 1 F c, temos:

72 A figur obtid é um hipérbole. Observção:Os dois rmos d hipérbole são determindos por um plno prlelo o eixo de simetri de dois cones circulres retos e opostos pelo vértice: Prábol Ddos um ret d e um ponto F, de um plno, chmmos de prábol o conjunto de pontos do plno eqüidistntes de F e d. Assim, sendo, por exemplo, F, P, Q e R pontos de um plno e d um ret desse mesmo plno, de modo que nenhum ponto pertenç d, temos:

73 Observções: 1ª) A prábol é obtid seccionndo-se obliqumente um cone circulr reto: ª) Os telescópios refletores mis simples têm espelhos com secções plns prbólics. 3ª) As trjetóris de lguns comets são prábols, sendo que o Sol ocup o foco. 4ª) A superfície de um líquido contido em um cilindro que gir em torno de seu eixo com velocidde constnte é prbólic.

74 Mtrizes Introdução O crescente uso dos computdores tem feito com que teori ds mtrizes sej cd vez mis plicd em áres como Economi, Engenhri, Mtemátic, Físic, dentre outrs. Vejmos um exemplo. A tbel seguir represent s nots de três lunos em um etp: Químic Inglês Litertur Espnhol A B C Se quisermos sber not do luno B em Litertur, bst procurr o número que fic n segund linh e n terceir colun d tbel.

75 Vmos gor considerr um tbel de números dispostos em linhs e coluns, como no exemplo cim, ms colocdos entre prênteses ou colchetes: Em tbels ssim disposts, os números são os elementos. As linhs são enumerds de cim pr bixo e s coluns, d esquerd pr direit: Tbels com m linhs e n coluns ( m e n números nturis diferentes de 0) são denominds mtrizes m x n. N tbel nterior temos, portnto, um mtriz 3 x 3. Vej mis lguns exemplos: é um mtriz do tipo x 3 é um mtriz do tipo x Notção gerl Costum-se representr s mtrizes por letrs miúsculs e seus elementos por letrs minúsculs, compnhds por dois índices que indicm, respectivmente, linh e colun que o elemento ocup. Assim, um mtriz A do tipo m x n é representd por:

76 ou, brevidmente, A [ ij ] m x n, em que i e j representm, respectivmente, linh e colun que o elemento ocup. Por exemplo, n mtriz nterior, 3 é o elemento d ª linh e d 3ª colun. N mtriz, temos: Ou n mtriz B [ ], temos: 11-1, 1 0, 13 e Denominções especiis Algums mtrizes, por sus crcterístics, recebem denominções especiis. Mtriz linh: mtriz do tipo 1 x n, ou sej, com um únic linh. Por exemplo, mtriz A [ ], do tipo 1 x 4. Mtriz colun: mtriz do tipo m x 1, ou sej, com um únic colun. Por exemplo,, do tipo 3 x 1

77 Mtriz qudrd: mtriz do tipo n x n, ou sej, com o mesmo número de linhs e coluns; dizemos que mtriz é de ordem n. Por exemplo, mtriz é do tipo x, isto é, qudrd de ordem. Num mtriz qudrd definimos digonl principl e digonl secundári. A principl é formd pelos elementos ij tis que i j. N secundári, temos i j n 1. Vej: Observe mtriz seguir: 11-1 é elemento d digonl principl, pis i j é elemento d digonl secundári, pois i j n 1 ( ) Mtriz nul: mtriz em que todos os elementos são nulos; é representd por 0 m x n. Por exemplo,. Mtriz digonl: mtriz qudrd em que todos os elementos que não estão n digonl principl são nulos. Por exemplo:

78 Mtriz identidde: mtriz qudrd em que todos os elementos d digonl principl são iguis 1 e os demis são nulos; é representd por I n, sendo n ordem d mtriz. Por exemplo: Assim, pr um mtriz identidde. Mtriz trnspost: mtriz A t obtid prtir d mtriz A trocndo-se ordendmente s linhs por coluns ou s coluns por linhs. Por exemplo: Desse modo, se mtriz A é do tipo m x n, A t é do tipo n x m. Note que 1ª linh de A corresponde à 1ª colun de A t e ª linh de A corresponde à ª colun de A t. Mtriz simétric: mtriz qudrd de ordem n tl que A A t. Por exemplo,

79 é simétric, pois 1 1 5, , 3 3 4, ou sej, temos sempre ij ij. Mtriz opost: mtriz -A obtid prtir de A trocndo-se o sinl de todos os elementos de A. Por exemplo,. Iguldde de mtrizes Dus mtrizes, A e B, do mesmo tipo m x n, são iguis se, e somente se, todos os elementos que ocupm mesm posição são iguis:. Operções envolvendo mtrizes Adição Dds s mtrizes mtrizes mtriz :, chmmos de som desss, tl que C ij ij b ij, pr todo A B C Exemplos:

80 Observção: A B existe se, e somente se, A e B forem do mesmo tipo. Proprieddes Sendo A, B e C mtrizes do mesmo tipo ( m x n), temos s seguintes proprieddes pr dição: ) comuttiv: A B B A b) ssocitiv: ( A B) C A ( B C) c) elemento neutro: A 0 0 A A, sendo 0 mtriz nul m x n d) elemento oposto: A ( - A) (-A) A 0 Subtrção Dds s mtrizes, chmmos de diferenç entre esss mtrizes som de A com mtriz opost de B: A - B A ( - B ) Observe: Multiplicção de um número rel por um mtriz Ddos um número rel x e um mtriz A do tipo m x n, o produto de x por A é um mtriz B do tipo m x n obtid pel multiplicção de cd elemento de A por x, ou sej, b ij x ij : B x.a Observe o seguinte exemplo:

81 Proprieddes Sendo A e B mtrizes do mesmo tipo ( m x n) e x e y números reis quisquer, vlem s seguintes proprieddes: ) ssocitiv: x. (ya) (xy). A b) distributiv de um número rel em relção à dição de mtrizes: x. (A B) xa xb c) distributiv de um mtriz em relção à dição de dois números reis: (x y). A xa ya d) elemento neutro : xa A, pr x1, ou sej, AA Multiplicção de mtrizes O produto de um mtriz por outr não é determindo por meio do produto dos sus respectivos elementos. Assim, o produto ds mtrizes A ( ij ) m x p e B ( b ij ) p x n é mtriz C (c ij ) m x n em que cd elemento c ij é obtido por meio d som dos produtos dos elementos correspondentes d i-ésim linh de A pelos elementos d j- ésim colun B. Vmos multiplicr mtriz obtém cd C ij : pr entender como se 1ª linh e 1ª colun 1ª linh e ª colun

82 ª linh e 1ª colun ª linh e ª colun Assim,. Observe que: Portnto,.A, ou sej, pr multiplicção de mtrizes não vle propriedde comuttiv. Vejmos outro exemplo com s mtrizes :

83 D definição, temos que mtriz produto A. B só existe se o número de coluns de A for igul o número de linhs de B: A mtriz produto terá o número de linhs de A (m) e o número de coluns de B(n): Se A 3 x e B x 5, então ( A. B ) 3 x 5 Se A 4 x 1 e B x 3, então não existe o produto Se A 4 x e B x 1, então ( A. B ) 4 x 1 Proprieddes Verificds s condições de existênci pr multiplicção de mtrizes, vlem s seguintes proprieddes: ) ssocitiv: ( A. B). C A. ( B. C ) b) distributiv em relção à dição: A. ( B C ) A. B A. C ou ( A B ). C A. C B. C c) elemento neutro: A. I n I n. A A, sendo I n mtriz identidde de ordem n Vimos que propriedde comuttiv, gerlmente, não vle pr multiplicção de mtrizes. Não vle tmbém o nulmento do produto, ou sej: sendo 0 m x n um mtriz nul, A.B 0 m x n não implic, necessrimente, que A 0 m x n ou B 0 m x n. Mtriz invers Dd um mtriz A, qudrd, de ordem n, se existir um mtriz A', de mesm ordem, tl que A. A' A'. A I n, então A' é mtriz invers de A. Representmos mtriz invers por A -1.

84 Grndezs - Introdução Entendemos por grndez tudo quilo que pode ser medido, contdo. As grndezs podem ter sus medids umentds ou diminuíds. Alguns exemplos de grndez: o volume, mss, superfície, o comprimento, cpcidde, velocidde, o tempo, o custo e produção. É comum o nosso di--di situções em que relcionmos dus ou mis grndezs. Por exemplo: Em um corrid de "quilômetros contr o relógio", qunto mior for velocidde, menor será o tempo gsto ness prov. Aqui s grndezs são velocidde e o tempo. Num forno utilizdo pr produção de ferro fundido comum, qunto mior for o tempo de uso, mior será produção de ferro. Nesse cso, s grndezs são o tempo e produção. Grndezs diretmente proporcionis Um forno tem su produção de ferro fundido de cordo com tbel bixo: Tempo (minutos) Produção (Kg) Observe que um grndez vri de cordo com outr. Esss grndezs são vriáveis dependentes. Observe que:

85 Qundo duplicmos o tempo, produção tmbém duplic. 5min ----> 100Kg 10 min ----> 00Kg Qundo triplicmos o tempo, produção tmbém triplic. 5min ----> 100Kg 15 min ----> 300Kg Assim: Dus grndezs vriáveis dependentes são diretmente proporcionis qundo rzão entre os vlores d 1ª grndez é igul rzão entre os vlores correspondentes d ª Verifique n tbel que rzão entre dois vlores de um grndez é igul rzão entre os dois vlores correspondentes d outr grndez. Grndezs inversmente proporcionis Um ciclist fz um treino pr prov de "1000 metros contr o relógio", mntendo em cd volt um velocidde constnte e obtendo, ssim, um tempo correspondente, conforme tbel bixo Velocidde (m/s) Tempo (s) , Observe que um grndez vri de cordo com outr. Esss grndezs são vriáveis dependentes. Observe que: Qundo duplicmos velocidde, o tempo fic reduzido à metde. 5m/s ----> 00s 10 m/s ----> 100s

86 Qundo qudriplicmos velocidde, o tempo fic reduzido à qurt prte. 5m/s ----> 00s 0 m/s ----> 50s Assim: Dus grndezs vriáveis dependentes são inversmente proporcionis qundo rzão entre os vlores d 1ª grndez é igul o inverso d rzão entre os vlores correspondentes d ª. Verifique n tbel que rzão entre dois vlores de um grndez é igul o inverso d rzão entre os dois vlores correspondentes d outr grndez.

87 POLINÔMIOS Definição Um função polinomil ou simplesmente polinômio, é tod função definid pel relção P(x) n x n n-1.x n-1 n-.x n-... x 1 x 0. Onde: n, n-1, n-,...,, 1, 0 são números reis chmdos coeficientes. n IN x C (n os complexos) é vriável. GRAU DE UM POLINÔMIO: Gru de um polinômio é o expoente máximo que ele possui. Se o coeficiente n 0, então o expoente máximo n é dito gru do polinômio e indicmos gr(p)n. Exemplos: ) P(x)5 ou P(x)5.x 0 é um polinômio constnte, ou sej, gr(p)0. b) P(x)3x5 é um polinômio do 1º gru, isto é, gr(p)1. c) P(x)4x 5 7x 4 é um polinômio do 5º gru, ou sej, gr(p)5. Obs: Se P(x)0, não se define o gru do polinômio. Vlor numérico O vlor numérico de um polinômio P(x) pr x, é o número que se obtém substituindo x por e efetundo tods s operções indicds pel relção que define o polinômio. Exemplo: Se P(x)x 3 x x-4, o vlor numérico de P(x), pr x, é: P(x) x 3 x x-4 P() P() 14

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