Folhas. Cálculo Diferencial e Integral I MEEC, MEAmb 2 o semestre 2008/09

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1 Folhs Cálculo Diferencil e Integrl I MEEC, MEAmb 2 o semestre 2008/09 Miguel Abreu Rui Loj Fernndes Mnuel Ricou Deprtmento de Mtemátic Instituto Superior Técnico 28 de Agosto de 2009

2 DMIST

3 Conteúdo Os Números Reis. Axioms Algébricos Desigulddes e Relção de Ordem Números Nturis e Indução Definições por Recorrênci O Axiom do Supremo Limites e Continuidde Funções Reis de Vriável Rel Exemplos de Funções Funções e Operções Algébrics Limite de um função num ponto Proprieddes Elementres de Limites Limites Lteris, Infinitos e no Infinito Indeterminções Continuidde Funções Contínus em Intervlos Derivds Derivd de Um Função num Ponto Regrs de Derivção Derivd de Funções Composts Os Teorems de Rolle, Lgrnge e Cuchy Extremos e Concvidde As Funções Derivds Polinómios de Tylor Integris 9 4. Introdução O Integrl de Riemnn Funções Integráveis Os Teorems Fundmentis do Cálculo Técnics de Primitivção e Integrção i

4 ii CONTEÚDO Primitivção e Integrção por Prtes Primitivção e Integrção por Substituição Primitivção de Funções Rcionis Primitivção de Funções Trigonométrics Primitivção de Funções Rcionis de Senos e Cosenos Sucessões e Séries Definições Básics Sucessões Séries de Termos Não-Negtivos Critério de Comprção Critério Integrl Critério do Limite Critério d Rzão

5 Cpítulo Os Números Reis O estudo de qulquer áre d Mtemátic requer selecção de um ponto de prtid proprido, que é n prátic um conjunto de noções e resultdos mtemáticos que tommos como ceites, ou sej, que não crecem de definição ou demonstrção no contexto d teori desenvolver. As noções usr sem prévi definição são por isso mesmo os termos indefinidos dess teori, e s proprieddes que não são demonstrds ms que são tomds como verddeirs são os seus xioms. Este é finl o modelo de qulquer teori dedutiv há mis de 25 séculos, pelo menos desde que os mtemáticos d Gréci Antig fizerm s sus descoberts fundmentis sobre estrutur lógic d Geometri. Existem múltipls possibiliddes de escolh pr bser o estudo dos números reis, incluindo o de começr com proprieddes dos números nturis, ou mesmo directmente com Teori dos Conjuntos, que é liás, e em últim nálise, bse de tod Mtemátic ctul. A noss opção qui é muito mis expedit, ntes do mis por evidentes rzões de economi de tempo, e tommos os próprios números reis como termos indefinidos. Seleccionmos, lém disso, um pequeno conjunto de proprieddes básics dos números reis como xioms. Com um únic excepção (o chmdo Axiom do Supremo), tods esss proprieddes são bem conhecids, e o leitor estrá provvelmente hbitudo tomá-ls como evidentes. Supomos conhecidos os resultdos e ideis bse d Teori dos Conjuntos, ms tods s restntes definições qui introduzids não envolvem outros conceitos, e tods s firmções qui incluíds são teorems demonstrdos prtir dos xioms iniciis, usndo s leis d Lógic. Nturlmente, é indispensável dquirir, em prlelo com o desenvolvimento rigoroso d teori, um entendimento intuitivo dos resultdos obtidos, que jud em prticulr identificr s condições em que s ideis em cus podem ser úteis n construção de modelos mtemáticos d relidde físic. Sob este specto, supomos conhecid em especil correspondênci entre os números reis e os pontos de um qulquer rect (dit rect rel). Ess correspondênci é

6 2 CAPÍTULO. OS NÚMEROS REAIS fixd, como sbemos, um vez escolhidos dois pontos específicos, que representm os reis zero e um. Ess escolh determin tmbém um sentido crescente n rect, do ponto 0 pr o ponto, que mteriliz outr ds proprieddes mis fundmentis dos reis, que é o seu ordenmento.. Axioms Algébricos O nosso primeiro xiom é um simples firmção de existênci: Axiom... Existe um conjunto R, dito dos números reis. Existem dus operções lgébrics em R, som (ou dição) e o produto (ou multiplicção), designds por + e, ou sej, se x,y R então x + y R e x y R. As proprieddes fundmentis ds operções de dição e multiplicção são s seguintes, onde usmos s hbituis convenções sobre prênteses. Axiom..2. Pr quisquer, b, c R temos. Comuttividde: + b = b +, e b = b. 2. Associtividde: ( + b) + c = + (b + c) e ( b) c = (b c). 3. Distributividde: (b + c) = b + c. 4. Elementos Neutros: Existem elementos 0, R, onde 0, tis que + 0 = =. 5. Simétricos: A equção + x = 0 tem solução x R. 6. Inversos: Se 0, equção y = tem solução y R. Como é usul, muits vezes omitimos o símbolo, indicndo o produto por simples juxtposição (xy em vez de x y). Sendo certo que s proprieddes indicds cim são bem conhecids, e são normlmente considerds como óbvis, deve notr-se que estão longe de crcterizr complet e especificmente os números reis. Por exemplo, deve ser intuitivmente evidente que se substituirmos R por Z (os números inteiros), Q (os números rcionis), ou C (os números complexos), então s proprieddes 5 são sempre verddeirs, e 6 só não é verddeir pr os inteiros( ). Por outro ldo, existem proprieddes indesmentíveis dos números reis, como o fcto Qulquer conjunto não vzio com dus operções lgébrics que stisfçm s proprieddes 5 diz-se um nel comuttivo com identidde, e se 6 for igulmente stisfeit diz-se um corpo. Portnto, Z é um nel comuttivo com identidde, e Q, R e C são corpos.

7 .. AXIOMAS ALGÉBRICOS 3 de R ser um conjunto infinito( 2 ), que não se podem deduzir ds qui indicds como xioms. Voltremos mis dinte os conjuntos Z, Q e C, em prticulr pr os definir no contexto d noss teori, ms pssmos mostrr que, em qulquer cso, podemos desde já obter muits outrs proprieddes lgébrics elementres dos reis, ms gor como teorems. O leitor mis tento terá notdo que no xiom..2 não se fz qulquer referênci à unicidde dos elementos 0 e que são referidos em 4, nem muito menos à unicidde (pr cd elemento ) dos reis x e y referidos em 5 e 6. É interessnte mostrr que tl referênci seri supérflu, porque unicidde se segue de um princípio lgébrico básico: Teorem..3. (Leis do Corte) Pr quisquer, b, c R temos ) Lei do Corte pr Som: b + = c + b = c. b) Lei do Corte pr o Produto: 0 e b = c b = c. Em prticulr, c) Unicidde do Elemento Neutro d Som: Se u R e x + u = x pr qulquer x R então u = 0. d) Unicidde dos Simétricos: Pr cd existe um único x R tl que + x = 0. e) Unicidde do Elemento Neutro do Produto: Se v R e x v = x pr qulquer x R então v =. f) Unicidde dos Inversos: Pr cd 0 existe um único y R tl que y =. Demonstrção. Mostrmos qui que s firmções cim são consequêncis lógics ds firmções no xiom..2. Pr provr ), temos (b + ) + x = (c + ) + x (Pel hipótese inicil, e se x R,) b + ( + x) = c + ( + x) (Porque som é ssocitiv:..2.2.) b + 0 = c + 0 (Se x é simétrico de :..2.5.) b = c (Porque 0 é neutro d som:..2.4.) A verificção de c) é tmbém muito simples. Temos em prticulr (fzendo x = u) que u + u = u. Por outro ldo, temos de..2.4 e..2. que 0 + u = u + 0 = u, e segue-se de ) que u + u = 0 + u u = 0. 2 O conjunto X = {0, } com s operções (d ritmétic binári) dds por = + = 0 = 0 0 = 0 = 0, 0+ = +0 = = stisfz s proprieddes 6, ms é evidentemente finito, pelo que o fcto de R ser infinito não pode ser consequênci lógic dests proprieddes! É clro que ind não definimos rigorosmente noção de conjunto infinito, ms por enqunto o nosso entendimento intuitivo deve ser suficiente.

8 4 CAPÍTULO. OS NÚMEROS REAIS Pr demonstrr d), supomos que x,y R stisfzem +x = 0 = +y. Temos então de..2. que x + = y +, e segue-se de ) que x = y. As firmções b), e) e f) provm-se de form nálog, e ficm como exercício. Deve notr-se que, como som e o produto são comuttivos, muits ds firmções no xiom..2 e no teorem..3 podem tomr múltipls forms, que usremos sem comentários dicionis. Por exemplo, é clro que + 0 = 0 + = 0 e = = (..2.4), e que + b = c + b = c (..3 )). Pssmos introduzir mis lgums definições elementres: Definição..4. (simétricos e inversos, diferençs e quocientes) ) Se R, únic solução de + x = x + = 0 é o simétrico de, e design-se. b) Se R e 0, únic solução de y = y = é o inverso de, e design-se. c) Se,b R, diferenç b menos design-se b, e é dd por b = b + ( ). d) Se,b R e 0, o quociente de b por design-se b/ ou b, e é ddo por b/ = b ( ).( 3 ) É curioso observr que se segue d unicidde de simétricos e inversos que o simétrico de 0 é 0, i.e., 0 = 0, e o inverso de é, = (porquê?). Deve tmbém notr-se que diferenç e o quociente são exemplos simples de operções lgébrics que não são comuttivs nem ssocitivs. O próximo teorem list mis lgums proprieddes lgébrics elementres dos números reis. Mis um vez, deve notr-se que é válido tnto em R como em Q e C( 4 ). O resultdo é tmbém válido substituindo R por Z, com excepção de b), e notndo em g) que o inverso de um inteiro não-nulo não é, em gerl, um inteiro. Teorem..5. Se, b R então: ) x = b é únic solução de + x = b em R. b) Se 0 então y = b/ é únic solução de y = b em R. c) 0 = 0 = 0. d) Se b = 0 então = 0 ou b = 0. 3 Seguindo s convenções usuis sobre prioridde ds operções elementres, podemos escrever b sem prênteses. 4 N relidde, o teorem..5 é válido em qulquer corpo.

9 .. AXIOMAS ALGÉBRICOS 5 e) ( ) = e ( + b) = ( ) + ( b) = b.( 5 ) f) ( b) = ( ) b = ( b) e ( ) ( b) = b. g) Se b 0, então (b ) = ( b). Demonstrção. Provmos lgums dests firmções, título de exemplo, começndo com c). É clro que 0 = 0, por comuttividde. Pr mostrr que 0 = 0, notmos que: = (0 + 0) (Por distributividde:..2.3.) = 0 (Porque = 0:..2.4.) = (Por..2.4.) 0 = 0 (Pel ) de..3.) Pr provr d), temos que demonstrr que se b = 0 e b 0 então = 0 (porquê?). Procedemos como se segue: ( b) b = 0 b (Por hipótese.) (b b ) = 0 (Por ssocitividde e c).) = 0 (Porque b b =.) = 0 (Porque =.) As demonstrções ds restntes firmções são sobretudo plicções d lei do corte proprid. Por exemplo, pr mostrr que ( ) =, bstnos verificr que ( ) + = 0 (Por definição.) ( ) + ( ( )) = 0 (Tmbém por definição.) ( ) + = ( ) + ( ( )) (Por rzões óbvis.) = ( ) (Pel lei do corte pr som.) A demonstrção d identidde ( b) = ( ) b é ligeirmente mis complex: b + ( ) b = [ + ( )] b (Por distributividde.) b + ( ) b = 0 b (Porque + ( ) = 0.) b + ( ) b = 0 (Porque 0 b = 0, por c).) b + ( ) b = b + [ ( b)] (Porque b + [ ( b)] = 0.) ( ) b = ( b) (Pel lei do corte pr som.) 5 É comum referirmo-nos às línes e) g) como regrs dos sinis.

10 6 CAPÍTULO. OS NÚMEROS REAIS Terminmos est breve introdução às proprieddes lgébrics dos reis com s usuis regrs pr mnipulr frcções, e os chmdos csos notáveis d multiplicção, que são tmbém consequêncis dos xioms já presentdos. A su demonstrção não deve presentr dificulddes. Teorem..6. Sejm,b,c,d R, com b 0 e d 0. Temos então: ) /b 0 se e só se 0. b) b/b =, pr qulquer b 0. c) /b ± c/d = ( d ± b c)/(b d), (/b) (c/d) = ( c)/(b d). d) Se c/d 0 então (/b)/(c/d) = ( d)/(b c). e) x 2 y 2 = (x y)(x + y) e (x + y) 2 = x 2 + y 2 + 2x y..2 Desigulddes e Relção de Ordem Os conjuntos Z, Q e R podem ser ordendos, e resolução de desigulddes (por vezes chmds inequções) result d plicção de proprieddes dequds desse ordenmento. Introduzimos qui esss proprieddes, nturlmente sob form de um xiom, que é conveniente formulr em termos do conjunto dos reis positivos, designdo por R +. Axiom.2.. Existe um conjunto R + R, formdo pelos reis positivos, tl que:. Fecho de R + em relção à som e o produto: Pr quisquer,b R +, temos + b R +, b R Tricotomi: Qulquer R verific um e um só ds seguintes três condições: R + ou = 0 ou ( ) R +. Definimos o conjunto dos reis negtivos, designdo R, por R = {x R : x R + }. A propriedde de tricotomi é equivlente firmr que os conjuntos R +, R e {0} são disjuntos, e su união é R. Us-se por vezes o símbolo pr representr uniões de conjuntos disjuntos, ou sej, identidde C = A B signific que C é união de A e B, e A B = é o conjunto vzio. Nest notção, propriedde de tricotomi escreve-se R = R + {0} R.

11 .2. DESIGUALDADES E RELAÇÃO DE ORDEM 7 Note-se de pssgem que o xiom.2. é válido, com s lterções óbvi, pr Z e Q, e é portnto clro que os xioms..,..2 e.2. não podem ser considerdos como um crcterizção dequd de R, porque se plicm igulmente Q( 6 ). A relção de ordem em R pode ser definid directmente prtir do conjunto R + como se segue: Definição.2.2. (Relção de Ordem em R) Se,b R, dizemos que é menor que b ou que b é mior que, escrevendo < b ou b >, qundo (b ) R +. Dizemos tmbém que é menor ou igul b ou que b é mior ou igul, escrevendo b ou b, qundo b > ou b =. De cordo com est definição, temos > 0 R + e < 0 R + R. O xiom.2. conduz então directmente : Teorem.2.3. Se,b R então ) > 0 e b > 0 + b > 0 e b > 0. b) Verific-se exctmente um de três csos possíveis: > b, b > ou = b. O próximo teorem indic lgums ds mis elementres proprieddes ds desigulddes em R. Teorem.2.4. Pr quisquer, b, c, d R, tem-se que: ) Trnsitividde: < b e b < c = < c. b) < b > b. c) Lei do Corte: < b + c < b + c. d) < c e b < d = + b < c + d. Dem. Começmos por verificr ): < b e b < c (Por hipótese.) (b ),(c b) R + (Pel definição.2.2.) (b ) + (c b) R + (Pel ) do teorem.2.3.) (c ) R + (Porque c = (b ) + (c b).) < c (Pel definição.2.2.) 6 É tmbém interessnte verificr que.2. não é válido pr os complexos, por rzões muito simples que pontremos dinte.

12 8 CAPÍTULO. OS NÚMEROS REAIS A b) result de observr, prtir de..5 e), que ( ) ( b) = ( b) + ( ) = b + ( ) = b. Temos ssim < b b R + ( ) ( b) R + b <. A c) result de (b + c) ( + c) = b : < b b R + (b + c) ( + c) R + + c < b + c. Pr provr d), notmos que, como c > e d > b, temos c R + e d b R +, donde (d b) + (c ) R + de.2.., donde c + d > + b (c + d) ( + b) = (d b) + (c ) R + A mnipulção de desigulddes que envolvem produtos e divisões é mis delicd, e lguns dos erros mis comuns n su resolução resultm d incorrect utilizção de regrs referids no próximo resultdo! Note-se que, como é usul, escrevemos 2 =. Teorem.2.5. Pr quisquer, b, c, d R, tem-se que: ) b > 0 ( > 0 e b > 0) ou ( < 0 e b < 0). b) Lei do Corte: c < b c ( < b e c > 0) ou ( > b e c < 0). c) 2 > 0 se e só se 0, e em prticulr > 0.( 7 ) Dem. Pr provr ), nlismos todos os csos possíveis: (i) > 0 e b > 0 b > 0 (.2.3 ).) (ii) < 0 e b < 0 > 0 e b > 0 (.2.4 b).) b = ( ) ( b) > 0 (..5 f) e.2.3 ).) (iii) < 0 e b > 0 > 0 e b > 0 (.2.4 b).) ( ) b = ( b) > 0 (..5 f) e.2.3 ).) b < 0 (.2.4 b).) (iv) > 0 e b < 0 b < 0 (Análogo (iii).) (v) = 0 ou b = 0 b = 0 (..5 c).) Result clrmente que ( > 0 e b > 0) ou ( < 0 e b < 0) b > 0. 7 É por est rzão que é impossível ordenr os complexos. Como = i 2 em C, se os complexos pudessem ser ordendos terímos simultnemente > 0 e > 0, o que viol propriedde de tricotomi.

13 .2. DESIGUALDADES E RELAÇÃO DE ORDEM 9 A Lei do Corte em b) é um plicção simples de ): c < b c 0 < b c c 0 < (b ) c (b > 0 e c > 0) ou (b < 0 e c < 0) (b > e c > 0) ou (b < e c < 0) A observção em c) result de tomr = b em ), e em prticulr de tomr =, porque 2 =. O módulo ou vlor bsoluto de um rel x represent, como deve sber, distânci de x à origem: Definição.2.6. O módulo ou vlor bsoluto de x R é definido por x = { x, se x 0; x, se x < 0. É clro que x = 0 se e só se x = 0, e que pr x 0 temos x > 0. Note-se igulmente que x 2 = ( x) 2 = x 2, e em prticulr x = x 2.( 8 ) Pssmos indicr outrs proprieddes elementres do vlor bsoluto. Teorem.2.7. Pr quisquer,x,y R temos:( 9 ) ) x x x e x x x. b) x ǫ ǫ x ǫ, e x ǫ ǫ x + ǫ. c) x y = x y e, se y 0, x / y = x/y. d) Desiguldde Tringulr: x + y x + y, x,y R. e) x 2 y 2 x y. f) x y x y. Dem. Deixmos demonstrção de ) como exercício. Pr s restntes firmções, procedemos como se segue 8 A Ríz Qudrd de, se existir, é únic solução x = d equção x 2 = com x 0. 9 Se z = x + iy é um complexo, com x, y R, então z = p x 2 + y 2 é o módulo de z, e represent distânci no plno complexo entre z e origem. As proprieddes em.2.7 são válids tmbém pr complexos, com óbvi excepção de c). Se C e ǫ > 0, os conjuntos {z C : z ǫ} e {z C : z ǫ} são círculos de rio ǫ, centrdos respectivmente n origem, e em.

14 0 CAPÍTULO. OS NÚMEROS REAIS b): Considermos seprdmente os csos x 0 e x < 0: x 0 e x ǫ 0 x ǫ. x < 0 e x ǫ 0 < x ǫ ǫ < x < 0. A equivlênci x ǫ ǫ x + ǫ é um consequênci d nterior, obtid substituindo n primeir x por x. x ǫ ǫ x ǫ ǫ x + ǫ. c): O resultdo é evidente se x y = 0 ou se x > 0 e y > 0. Os restntes csos seguem-se de regrs dos sinis do teorem..5. Considermos (pens título de exemplo) o cso x > 0 e y < 0, em que x y < 0 e x/y < 0. x y = (x y) = x ( y) = x y e x/y = (x/y) = x/( y) = x / y. d): A desiguldde tringulr result de observr que x + y = x + y ou x + y = (x + y) = ( x) + ( y), As desigulddes em ) mostrm gor que e): É clro que x + y x + y e ( x) + ( y) x + y. x 2 = y 2 x = ±y x = y. Se x 2 < y 2, notmos que x 2 y 2 = x 2 y 2 = ( x y )( x + y ) e x 2 < y 2 ( x y )( x + y ) < 0 x y < 0 x < y f): Como x y 2 = (x y) 2 = x 2 + y 2 2x y, e x y 2 = ( x y ) 2 = x 2 + y 2 2 x y = x 2 + y 2 2 x y, segue-se que x y 2 x y 2 = 2x y + 2 x y 0 Os intervlos são subconjuntos de R prticulrmente simples, e correspondem segmentos de rect, semi-rects, ou própri rect rel: Definição.2.8. (Intervlos) Se, b R definimos os seguintes intervlos com extremos e b: O intervlo berto ],b[ = {x R : < x < b}.

15 .2. DESIGUALDADES E RELAÇÃO DE ORDEM O intervlo fechdo [,b] = {x R : x b}. Os intervlos semi-bertos (e semi-fechdos) [,b[ = {x R : x < b} e ],b] = {x R : < x b}. Definimos ind intervlos com extremos infinitos: bertos: ],+ [ = {x R : x > } e ],b[ = {x R : x < b}. fechdos: [,+ [ = {x R : x } e ],b] = {x R : x b}. Dizemos ind que ], [= R é um intervlo berto e fechdo.( 0 ). Note-se título de ilustrção que ],[ =,[,] = {} e ],[= {x R : x < }. É tmbém importnte reconhecer que ] ǫ, + ǫ[= {x R : x < ǫ}. Se x é um proximção ou vlor proximdo de, então x é o erro dess proximção, e o conjunto {x R : x < ǫ} é formdo por todos os reis que são proximções de com erro inferior ǫ. Est idei é utilizd por todo o Cálculo Diferencil e Integrl, e deve ser por isso muito bem compreendid. Qulquer intervlo berto I tl que I diz-se liás um vizinhnç de, e chmd vizinhnç-ǫ de é dd por V ǫ () =] ǫ, + ǫ[= {x R : x < ǫ}. As noções de máximo e de mínimo de um conjunto A R são certmente bem conhecids. Dizemos que é máximo de A, e escrevemos = mx A, se e só se A e x, pr qulquer x A. Anlogmente, b é mínimo de A, e escrevemos b = min A, se e só se b A e b x, pr qulquer x A. É evidente que min A e mx A são únicos, cso existm. Introduzimos qui tmbém s noções um pouco mis geris de mjornte e minornte do conjunto A: Definição.2.9. (Mjornte e Minornte de A): Se A R, e,b R, dizemos que 0 A noção de intervlo pode ser usd em qulquer conjunto ordendo, ms pode conduzir resultdos inesperdos. Por exemplo, em Z temos ]0, 3[= {, 2}, e ]0, [=. É clro que em R e em Q estes dois intervlos são conjuntos infinitos.

16 2 CAPÍTULO. OS NÚMEROS REAIS ) é mjornte de A se e só se x, pr qulquer x A. Se A tem mjorntes, diz-se que A é um conjunto mjordo. b) b é minornte de A se e só se b x, pr qulquer x A. Se A tem minorntes, diz-se que A é minordo. c) Se A tem mjorntes e minorntes, então dizemos que A é um conjunto limitdo. Cso contrário, A diz-se ilimitdo. Sendo óbvio que o máximo de A, se existir, é mjornte de A, e o mínimo de A, tmbém se existir, é minornte de A, deve ser tmbém clro que os mjorntes e os minorntes de A, se existirem, formm conjuntos infinitos. Repre-se ind que se A e e b são respectivmente mjornte e minornte de A então b.( ) Ilustrmos ests ideis com lguns exemplos simples:. O intervlo [0,] tem mínimo 0 e máximo. Os seus mjorntes formm o intervlo [, [, e os minorntes formm o intervlo ],0]. Note-se que o mínimo é o mior minornte e o máximo é o menor mjornte. O intervlo é limitdo. 2. O intervlo ]0,[] não tem mínimo nem máximo. Os seus mjorntes formm o intervlo [, [, e os minorntes formm o intervlo ],0]. Note-se que 0 é ind o mior minornte e é o menor mjornte. O intervlo é limitdo. 3. R + é minordo, ms não é mjordo, logo é ilimitdo. Os minorntes de R + formm o intervlo ],0], que tem máximo 0. Este máximo não é no entnto o mínimo de R +, porque 0 R +. O mior minornte e o menor mjornte do conjunto A, qundo existem, dizem-se: Definição.2.0. (Supremo e Ínfimo de A) Sej A R. Se o conjunto dos mjorntes de A tem mínimo s, então s diz-se o supremo de A, e design-se por supa. Se o conjunto dos minorntes de A tem máximo i, então i diz-se o ínfimo de A, e design-se por inf A. Com A =]0,[, temos então que = supa e 0 = inf A. No cso do intervlo fechdo B = [0,], temos novmente = supb e 0 = inf B, ms temos igulmente = supb = mxb e 0 = inf B = min B. Registmos seguir lgums proprieddes elementres, ms importntes, dests noções. Quis são os mjorntes e os minorntes de?

17 .3. NÚMEROS NATURAIS E INDUÇÃO 3 Teorem.2.. Sej A R e i,s R. ) Se s é máximo de A então s = supa, e se i é mínimo de A então i = inf A. b) Se s R é mjornte de A, então s = supa se e só se, pr qulquer ǫ > 0, V ǫ (s) A. c) Se i R é minornte de A, então i = inf A se e só se, pr qulquer ǫ > 0, V ǫ (i) A. Demonstrção. Demonstrmos pens b), como exemplo. Supomos primeiro que s = supa. Ddo ǫ > 0, observmos que existe lgum elemento x A tl que s ǫ < x s < s + ǫ, porque cso contrário s ǫ seri mjornte de A, e s não poderi ser o menor mjornte. Concluímos ssim que V ǫ (s) A. Supomos gor que s é mjornte de A, e V ǫ (s) A pr qulquer ǫ > 0. Ddo t < s, tommos ǫ = s t, e recordmos que V ǫ (s) A, ou sej, existe x A tl que x > s ǫ = t. Em prticulr, t não é mjornte de A, e s é certmente o menor mjornte de A, i.e., s = supa..3 Números Nturis e Indução É tlvez surpreendente reconhecer que é possível, prtir dos xioms já presentdos, definir os números nturis, e demonstrr o clássico Princípio de Indução. Note-se que, de um ponto de vist intuitivo, s seguintes proprieddes do conjunto N são evidentes: (i) N e n N = n + N. É igulmente evidente que N não é o único subconjunto de R que stisfz s proprieddes em (i). Por exemplo, os conjuntos Z, Q, R + e o próprio R todos stisfzem propriedde (i), se nel substituirmos referênci N pel referênci o conjunto proprido. A título de ilustrção, e no cso de Q, temos certmente que (i) Q e n Q = n + Q. Os conjuntos que stisfzem propriedde (i) dizem-se: Definição.3.. (Conjuntos Indutivos) Um subconjunto A R diz-se indutivo se e só se stisfz s seguintes dus condições: (i) A e (ii) A ( + ) A.

18 4 CAPÍTULO. OS NÚMEROS REAIS Um momento de reflexão sugere que os números nturis, não sendo o único conjunto indutivo, estão contidos em qulquer conjunto indutivo, e formm por isso o menor conjunto indutivo em R. A seguinte definição formliz est idei: Definição.3.2. (Números Nturis) O conjunto dos números nturis design-se por N, e é ddo por N = {n R : n pertence qulquer subconjunto indutivo de R}. O conjunto dos números inteiros é Z = Z + {0} Z, onde Z + = N e Z = {m R : m N}. O conjunto dos números rcionis é Q, onde Q = {n/m : n,m Z,m 0}. O Princípio de indução mtemátic pss ser ssim mis um teorem d teori que qui desenvolvemos: Teorem.3.3. (Princípio de Indução Mtemátic) ) N é o menor conjunto indutivo em R, ou sej, (i) Se A R é indutivo então N A, e (ii) N é indutivo. b) Em prticulr, se A N é indutivo então A = N. Dem. A firmção (i) d ) é evidente: Por definição de N, se n N e A é indutivo então n A, ou sej, N A. Pr verificr que N é indutivo, notmos que N, porque pertence clrmente qulquer conjunto indutivo. Se n N e A é indutivo, então n A, porque os nturis pertencem por definição qulquer conjunto indutivo. Segue-se que n + A, porque A é indutivo. Como A é um conjunto indutivo rbitrário, concluímos que n + está em todo e qulquer conjunto indutivo, pelo que n + N, mis um vez por definição de N. Em resumo, N e n N n + N, ou sej, N é um conjunto indutivo. A firmção em b) é tmbém imedit. Como A é indutivo, temos N A, de ). Como por hipótese A N, é óbvio que A = N.

19 .3. NÚMEROS NATURAIS E INDUÇÃO 5 É intuitivmente evidente que N = {, 2 = +, 3 = 2+ = (+)+, 4 = 3+ = ((+)+)+,...}. Veremos dinte como est idei pode ser formuld mis rigorosmente, dizendo essencilmente que os números nturis são s soms com um número finito (ms rbitrário) de prcels, cd um ds quis é igul. O Princípio d Indução Mtemátic do teorem.3.3 é bse d técnic de demonstrção que conhecemos como Método de Indução Mtemátic. Recorde-se que, sendo P(n) um determind proposição ou propriedde que se pretende mostrr verddeir pr todo o n N, este método consiste em Verificr que firmção P() é verddeir, e Mostrr que, pr qulquer n N, e se P(n) é verddeir, então P(n + ) é igulmente verddeir. Concluídos com sucesso estes dois pssos, estbelecemos que P(n) é verddeir, pr qulquer n N. Exemplo.3.4. (Fich 2, I.()) Consideremos seguinte firmção, que queremos mostrr ser verddeir pr qulquer n N: (i) n = n(n + ) 2. Neste cso, firmção em (i) é P(n), ou sej, P(n) firm que, pr o nturl n, som dos nturis( 2 ) de té n é dd por n(n + )/2. Pelo Método de Indução Mtemátic, prov fz-se em dois pssos. P() é verddeir: Se n =, som n reduz-se um único termo igul. Por outro ldo, qundo n =, temos n(n + )/2 = ( + )/2 =. Se P(n) é verddeir, então P(n + ) é tmbém verddeir: P(n + ) é obtid de P(n) por um substituição imedit, e firm que n + (n + ) = (n + )((n + ) + ) 2 = (n + )(n + 2). 2 2 Veremos imeditmente seguir como definir com mis exctidão noções como som dos nturis de té n.

20 6 CAPÍTULO. OS NÚMEROS REAIS A chmd hipótese de indução é P(n), que sbemos ser Temos então que Pr o nturl n, n = n(n + ) n + (n + ) = ( n) + (n + ) = n(n+) 2 + (n + ),usndo P(n). o que estbelece P(n + ). = n(n+)+2(n+) 2 = (n+)(n+2) 2, Concluímos ssim que n = n(n + ),pr qulquer nturl n. 2 Pr reconhecer que o Método de Indução Mtemátic é um consequênci do Princípio de Indução Mtemátic, bst notr que qulquer firmção P(n) tem ssocido o conjunto dos nturis pr os quis P(n) é verddeir, ou sej, o conjunto A = {n N : P(n) é verdde}. O propósito d demonstrção por indução é concluir que P(n) é verddeiro pr qulquer n, ou sej, concluir que A = N. Repre-se gor que Provr P() é mostrr que A, e Mostrr que (P(n) P(n+)) é verificr que (n A (n+) A). Dito doutr form, o Método de Indução Mtemátic consiste em mostrr que o conjunto A é indutivo. Aplicdo com sucesso, e tendo em cont que A N, conclusão A = N é um plicção direct do teorem.3.3. Muits ds proprieddes dos nturis que estmos hbitudos considerr como óbvis podem ser demonstrds pelo método de indução, e enuncimos qui lgums, título de exemplo: Teorem.3.5. O conjunto N goz ds seguintes proprieddes: ) Fecho em relção à dição e produto: n,m N n + m,n m N. b) O menor nturl: é o mínimo de N. c) Diferenç em N: Se n,m N e n > m então n m N.

21 .3. NÚMEROS NATURAIS E INDUÇÃO 7 d) Distânci entre nturis: Se n,m N então n > m n m+. Em prticulr, n m n m. e) Supremo e Máximo: Se A N tem supremo s R, então s é nturl, e é o máximo de A. f) Princípio d Bo Ordenção: Se A N e A então A tem mínimo. Demonstrção. Apens esboçmos os rgumentos que são necessários, deixndo su finlizção como exercício. ): Não é óbvio como se pode provr firmção ) por indução, em prticulr por envolver dois nturis. Supomos pr isso n N fixo, e considermos o conjunto A n = {m N : n + m N}. Demonstre gor, por indução em m, que qulquer nturl m A n. Use um rgumento nálogo pr o produto. b): Considere o conjunto B = {n N : n }. Demonstre por indução em n que qulquer nturl n B, ou sej, B = N. c): Este é um exemplo interessnte de indução dupl. Considere firmção: Proced como se segue: P(n,m) = n,m N e n > m n m N Prove P(n,) pr qulquer n N por indução em n (mostre que se n N então n = ou n N). Suponh que, pr um ddo m, P(n,m) é verddeir pr qulquer n N, e mostre que P(n,m + ) é tmbém verddeir pr qulquer n N. Conclu que P(n,m) é verddeir pr quisquer n,m N. d): Se n > m então n m N, logo n m, ou sej, n m +. e): Sej s = supa, e note-se que existe n A tl que s < n s, porque cso contrário s seri mjornte de A, o que é impossível. Se n < s, e pel mesm rzão, existe um nturl m A tl que s < n < m s, e portnto m n <, o que é impossível de c) e b). Concluímos ssim que n = s, donde s N. f): Considere firmção P(n) = Se A N e A [,n] então A tem mínimo. Pr demonstrr est firmção por indução em n, comece por observr que é óbvi pr n =, porque nesse cso A. É interessnte descobrir porque rzão P(n) P(n + )!

22 8 CAPÍTULO. OS NÚMEROS REAIS Deixmos como exercício estbelecer s proprieddes lgébrics básics de Z e Q, com bse nos xioms já presentdos. Teorem.3.6. Z e Q são fechdos reltivmente à som e o produto, e ) Substituindo R por Z e R + por Z + = N nos xioms..2 e.2., então Z stisfz.2. e s proprieddes 5 de..2. b) Substituindo R por Q e R + por Q + = Q R + nos xioms..2 e.2., então Q stisfz..2 e Definições por Recorrênci Existem múltipls entiddes mtemátics que são introduzids com recurso às chmds Definições por Recorrênci, que estão directmente ligds o Princípio de Indução. Tlvez o cso mis usul sej o de potênci de expoente nturl n, designd por x n, onde podemos supor, por gor, que x R. Ests potêncis são informlmente descrits como produtos com n fctores, todos iguis x ( 3 ), usndo nest descrição um nível de rigor comprável o que cbámos de usr pr flr d som de todos os nturis de n. A su definição mis rigoros pode ser feit como se segue: Se n =, então x n = x = x, e Se n, então x n+ = x n x. As proprieddes usuis ds potêncis, em prticulr s identiddes x n x m = x n+m,(x n ) m = x nm e x n y n = (x y) n podem e devem ser demonstrds por indução, e são válids pr quisquer n,m N e quisquer x,y R.( 4 ) Anlogmente, e designndo por S n dit som de todos os nturis de n, podemos definir S n por Se n =, então S n = S =, e, Se n N, então S n+ = S n + (n + ).( 5 ) 3 Não se segue dqui que sej necessário clculr n produtos pr determinr x n. Qunts multiplicções são necessáris pr clculr, por exemplo, 2 00? 4 Qundo x 0 definimos igulmente x n qundo n 0 é um inteiro. Pr n = 0 tommos x 0 = e pr n < 0 fzemos x n = (x ) n, onde é clro que n N. As proprieddes cim são n verdde válids pr quisquer n, m Z, desde que x y 0. 5 Repre-se que form exctmente ests s proprieddes de S n que usámos n nterior demonstrção por indução.

23 .4. DEFINIÇÕES POR RECORRÊNCIA 9 Não nos detemos formulr com todo o rigor relção entre o Princípio de Indução e s Definições por Recorrênci, ms sublinhe-se que s usremos com frequênci, desde já pr introduzir Definição.4.. Pr qulquer n N e números reis, 2,..., n R, o símbolo de somtório n k= define-se por recorrênci d seguinte form: n k = se n =, e k= Ou sej, 2 k = k= 3 k = k= k n k = k= ( n ) k + n se n >. k= k + 2 = + 2, k= 2 k + 3 = ,.... k= Exemplo.4.2. A fórmul que provámos por indução no Exemplo.3.4, pode ser escrit usndo o símbolo de somtório d seguinte form: n k = k= n(n + ) 2 (i.e. neste cso k = k pr k =,...,n). Exemplo.4.3. Nd impede que os termos do somtório sejm constntes. Note-se que se k = pr qulquer k N então n n k = = n, pr qulquer n N. k= k= Est firmção pode ser demonstrd por indução, e mostr que, como nunciámos trás, os nturis são s soms finits com prcels iguis, ou sej, n N = { : n N} k= Este fcto torn ind mis intuitivmente evidente que N é fechdo em relção à som e o produto, i.e., n,m N = n + m,n m N. Clro que, em últim nálise, mesmo est firmção elementr requer demonstrção, que deve ser feit por indução.

24 20 CAPÍTULO. OS NÚMEROS REAIS Note-se que o símbolo utilizdo pr designr o índice do somtório, que nos exemplos cim é letr k, é efectivmente irrelevnte. Por outrs plvrs, se mudrmos o índice do somtório em tods s sus ocorrêncis, som em questão não se lter. Em prticulr, um mesm som pode precer n notção de somtório de forms diferentes. Dizemos por isso que o índice do somtório é mudo. Por exemplo: n k = k= n i = i= n j e j= 5 k = k= 5 i = 5. Teorem.4.4. (Proprieddes do Somtório Fich 2, II 2.) n n n () ( k + b k ) = k + (prop. ditiv) (b) (c) k= k= k= b k i= ( n n ) (c k ) = c k, c R (homogeneidde) k= k= n ( k k ) = n 0 (prop. telescópic) k= Dem. () e (b) ficm como exercício. Provmos (c) por indução. [P()]. Mostrr que fórmul dd em (c) é válid qundo n =, i.e. que ( k k ) = 0, k= o que é imedito prtir d Definição.4. do símbolo de somtório qundo n =. [P(n) P(n + )]. Assumindo como verddeir hipótese P(n), i.e. n ( k k ) = n 0, pr um determindo n N, k= há que mostrr vlidde d tese P(n + ), i.e. n+ ( k k ) = n+ 0, pr o mesmo determindo n N. k= Isto pode ser feito d seguinte form: n+ ( k k ) = k= n ( k k ) + ( n+ n+ ) (por definição) k= = ( n 0 ) + ( n+ n ) (pel hipótese P(n)) = n+ 0

25 .4. DEFINIÇÕES POR RECORRÊNCIA 2 Nem o Método de Indução, nem o Símbolo de Somtório, têm necessrimente que começr em n =. Ambos dmitem generlizções simples, tendo como ponto de prtid um ddo m Z. O cso m = 0 é ilustrdo no exemplo seguinte, ms n verdde todos os csos se podem reduzir o originlmente considerdo, por simples substituições de vriáveis, do tipo: 4 2 k = k= i+ = 2 j+2 = i= j=0 Exemplo.4.5. (Fich 2, II. 6) Vmos neste exemplo mostrr que, pr qulquer r R com r, r 0 e qulquer n N 0 = N {0}, (.) n k=0 r k = rn+ r. Usremos o Método de Indução começndo em n = 0. [P(0)]. Mostrr que fórmul (.) é válid qundo n = 0, i.e., que 0 k=0 r k = r r o que é verdde (mbos os termos são iguis, porque r 0 = ). [P(n) P(n + )]. Assumindo como verddeir hipótese P(n), i.e. n k=0 r k = rn+ r, pr qulquer r R e um determindo n N 0, há que mostrr vlidde d tese P(n + ), i.e. n+ r k = rn+2 r k=0, pr qulquer r R e o mesmo determindo n N 0. Isto pode ser feito d seguinte form: n+ r k = k=0 n r k + r n+ k=0 = rn+ r (por def. de somtório) + r n+ (pel hipótese P(n)) = rn+ + r n+ r n+2 r = rn+2 r Note-se de pssgem que lguns dos exemplos cim reflectem proprieddes de progressões ritmétics ou geométrics. A título de exemplo, progressão geométric de o termo e rzão r é definid por:.

26 22 CAPÍTULO. OS NÚMEROS REAIS x = e, pr n N,x n+ = x n r A som dos seus n primeiros termos é dd por n k= x k = rn r desde que r..5 O Axiom do Supremo É fácil fzer firmções que são verddeirs pr R e flss pr Q. Um exemplo clássico é A equção x 2 = 2 tem soluções. Não existem soluções de x 2 = 2 com x Q, rzão pel qul dizemos que 2 é irrcionl, ou sej, é um número rel que não é rcionl, e este é mis um fcto já conhecido dos mtemáticos d Gréci Antig, que liás criou difíceis problems de nturez filosófic os seus descobridores. Pr mostrr que equção x 2 = 2 não tem soluções x Q, usmos um técnic de demonstrção conhecid por redução o bsurdo, ou por contrdição. Est técnic resume-se supor negção do que queremos demonstrr, (neste cso, começmos por supor que existe x Q tl que x 2 = 2), e deduzir dí um contrdição lógic. Segue-se que negção do que queremos provr só pode ser fls, ou sej, o que queremos provr é verddeiro. Supomos então que existe x Q tl que x 2 = 2. Sbemos que existem inteiros n e m tis que x = n/m, e podemos supor que n,m N, porque n 0, m 0 e o sinl lgébrico de n e m é irrelevnte n equção em cus. Temos então( 6 ) Existem n,m N tis que (n/m) 2 = 2, donde n 2 = 2m 2. Podemos igulmente supor que frcção n/m está simplificd (reduzid), ou sej, n e m são coprimos, o que quer dizer que não têm quisquer fctores comuns lém dos triviis ±. N verdde, se equção tem soluções n e m e o máximo divisor comum destes nturis é d, então n = dn e m = dm, e é clro que n e m são ind soluções d equção, ms gor coprimos. Temos então que existem nturis coprimos n e m tis que n 2 = 2m 2. É evidente que n 2 é pr, e é fácil verificr que tl só é possível se n for 6 As equções como n 2 = 2m 2, em que s incógnits são inteiros, dizem-e equções diofntins. Alguns dos problems mis difíceis d Mtemátic são n relidde sobre equções diofntins, em prticulr questão do fmoso Último Teorem de Fermt, cuj resolução demorou mis de três séculos.

27 .5. O AXIOMA DO SUPREMO 23 tmbém pr (porque o qudrdo de um número ímpr é sempre ímpr). Então n = 2k, e equção pode escrever-se ns forms equivlentes n 2 = 2m 2 (2k) 2 = 2m 2 4k 2 = 2m 2 2k 2 = m 2. Segue-se que m 2 é tmbém pr, e concluímos nlogmente que m é pr. Ms n e m são coprimos, e portnto não podem ser mbos pres. Est contrdição mostr que noss suposição inicil é fls, e portnto mostr que equção n 2 = 2m 2 não pode ter soluções em N, e x 2 = 2 não pode ter soluções em Q. O rgumento nterior permite-nos concluir que, se equção x 2 = 2 tem soluções x R, então esss soluções são irrcionis, ms nd dint sobre existênci ou não de soluções irrcionis. Como podemos demonstrr que esss soluções existem? Certmente que esse fcto não pode ser deduzido dos xioms já presentdos, que se plicm igulmente Q e R. De um ponto de vist intuitivo, existênci do número rel 2 é fácil de entender, se ssumirmos como ddo que qulquer dízim infinit, periódic ou não, represent um número rel. N verdde, o cálculo numérico proximdo de 2 nd mis é do que expressão dess idei. Atente-se ns proximções( 7 ) n n b n 2 n b 2 n 2 4 2,4,5,96 2,25 3,4,42,98 2,0 4,44,45,9993 2,002 5,442,443, ,0002 Todos ceitmos que este processo converge pr um único número rel, que designmos 2, e considermos óbvio que 2 =,442. Ms o que este processo mostr é pens que existem números (sempre rcionis!) tis que 2 n < 2 < b2 n, 2 n, e b b 2 b n, b n n = 0 n, e n n+ < b n+ b n 2. 7 A tbel present n linh n, n posição n, o mior rcionl com n css decimis tl que 2 n < 2. Existem lgoritmos muito mis eficientes pr clculr proximções de 2. Experimente-se por exemplo sucessão x = 2, x n+ = f(x n), onde f(x) = x2 +2 2x.

28 24 CAPÍTULO. OS NÚMEROS REAIS Como vimos, este processo de cálculo não pode terminr num número finito de pssos, porque nunc pode conduzir igulddes do tipo 2 n = 2 ou b 2 n = 2. Pr um nálise menos superficil deste procedimento, considermos os intervlos I n = [ n,b n ] e o conjunto que result d intersecção de todos eles, ou sej, I = I n = {x R : n x b n, pr qulquer n N} n= Prece mis um vez intuitivmente óbvio que x =,442 é o único rel x que stisfz n < x < b n pr qulquer n, ou sej, {x} = I, e que só podemos ter x 2 = 2. É clro que ests firmções não podem ser por enqunto provds, já que, como temos dito, todos os xioms que introduzimos se plicm indistinitmente R e Q, ms sugerem pelo menos um esboço do cminho percorrer: () Estbelecer que I = n= I n, e (2) Provr que x I x 2 = 2. O grnde mtemático George Cntor, cridor d Teori dos Conjuntos, reconheceu em () um propriedde muito relevnte d rect rel R, hoje conhecid como o Princípio de Encixe. Declr-se neste princípio que se intervlos fechdos não-vzios I,I 2, formm um fmíli decrescente (ou sej, se cd intervlo I n contém o intervlo seguinte I n+ ), então existem pontos que são comuns todos os intervlos dess fmíli: I n = [ n,b n ] e I n+ I n, pr qulquer n N = I n. Mesmo o Princípio de Encixe não resolve completmente questão d existênci de um solução rel de x 2 = 2! Sbemos que, no exemplo considerdo, temos (3) b n n = 0 n, n < b n 2 e 2 n < 2 < b 2 n. Supondo que o Princípio de Encixe é válido, podemos concluir que existe x R tl que n= n < x < b n donde 2 n < x 2 < b 2 n, pr qulquer n N. Cálculos elementres mostrm que neste cso x 2 2 b 2 n 2 n = (b n n )(b n + n ) 4 0n, pr qulquer n N.

29 .5. O AXIOMA DO SUPREMO 25 A conclusão x 2 = 2 segue-se de observr, por exemplo, que o ínfimo do conjunto formdo pels frcções 3 0 é zero, ms mesmo est idei tão óbvi n não é consequênci dos xioms já presentdos. N relidde, e utilizndo qui informlmente noção de limite de um sucessão, os xioms presentdos não permitem ind provr que /n 0 qundo n! Esbrrmos com ests mesms dificulddes qundo tentmos mostrr que um qulquer conjunto mjordo e não-vzio tem supremo, observção que podemos chmr de Princípio do Supremo. É fácil reconhecer que o Princípio do Supremo é relevnte pr o estudo d equção x 2 = 2, em prticulr porque implic o Princípio de Encixe, como pssmos mostrr. Suponh-se que os intervlos fechdos não-vzios I n = [ n,b n ] formm um sucessão decrescente, e considere-se o conjunto A = { n : n N} formdo pelos extremos inferiores dos intervlos I n. Atente-se que A, e tem mjorntes, porque qulquer b n é mjornte de A. Se o Princípio do Supremo é válido, então existe s = supa. É evidente que n s, pr qulquer n N, porque s = supa. s b n, pr qulquer n N, porque s é o menor dos mjorntes. É portnto clro que n s b n, i.e., s I n, pr qulquer n N, o que prov que I = n= I n. Por outrs plvrs, o Princípio do Supremo implic o Princípio do Encixe, como dissémos. Não é imeditmente óbvio se o Princípio de Encixe implic por su vez o Princípio do Supremo, ou sej, se os dois Princípios são logicmente equivlentes. Suponh-se pr isso que A é um qulquer conjunto mjordo não-vzio, e o Princípio de Encixe é válido. Fixmos um qulquer elemento A, e um mjornte b de A. É óbvio que, se existe s = supa, então s [,b], porque s b. Pssmos definir (por recorrênci!) um sucessão de intervlos encixdos que contém supa, se este existir. Tommos primeiro =,b = b e I = [,b ]. Observe-se que () I A e b é mjornte de A. O intervlo I 2 result de dividir I pelo seu ponto médio c = ( + b )/2, e escolher um dos subintervlos resultntes. A escolh é feit observndo que um ds seguintes lterntivs é sempre verddeir: (2) Existem pontos de A no intervlo [c,b ], ou (3) A [c,b ] =, donde x < c pr qulquer x A, e c é mjornte de A.

30 26 CAPÍTULO. OS NÚMEROS REAIS No cso (), tommos 2 = c e b 2 = b. Em (2), fzemos 2 = e b 2 = c. Em mbos os csos, e com I 2 = [ 2,b 2 ], temos que (4) I 2 A e b 2 é mjornte de A. Podemos prosseguir indefinidmente este processo, obtendo ssim um sucessão de intervlos I n = [ n,b n ] encixdos, tis que b n é mjornte de A, I n A e b n n = (b )/2 n. Se o Princípio de Encixe é válido então existe x n= I n, ms não podemos concluir que x é o supremo de A sem mostrr que b n n 0, o que é um problem nálogo o que encontrámos no estudo d equção x 2 = 2. Est observção sugere que o Princípio do Supremo contém mis informção sobre os números reis, e não é por isso totlmente surpreendente que sej ess firmção trdicionlmente usd pr completr xiomátic dos reis: Axiom.5. (Axiom do Supremo). Se A R é mjordo e não-vzio então A tem supremo. Como já vimos, e prtindo deste xiom, podemos provr o Princípio de Encixe: Teorem.5.2 (Princípio de Encixe). Se I n = [ n,b n ] e I n+ I n pr qulquer n N então I n. n= Podemos igulmente demonstrr lgums proprieddes de N, que pesr de elementres envolvem, como já nos percebemos, lgum subtilez n su nálise. Teorem.5.3. O conjunto dos nturis não é mjordo em R. Temos em prticulr que ) Se ǫ > 0 então existe n N tl que /n < ǫ. b) Propriedde Arquimedin: Se,b > 0, existe n N tl que n > b. Demonstrção. Argumentmos novmente por redução o bsurdo, supondo que N é mjordo. Temos então N tem supremo s R, de cordo com o xiom.5.. s < s, logo s não é mjornte de N. Como s não é mjornte de N, existe lgum n N tl que n > s.

31 .5. O AXIOMA DO SUPREMO 27 Então n + N e n + > s = sup N, o que é bsurdo. Tnto ) com b) são plicções directs dest idei. ): Como N não é mjordo em R e /ǫ R, existe pelo menos um nturl n > /ǫ, ou sej, /n < ǫ. b): Mis gerlmente, como N não é mjordo em R e b/ R, existe pelo menos um nturl n > b/, ou sej, n > b. O próximo teorem indic outrs proprieddes que são n verdde consequênci sobretudo do Axiom do Supremo. Teorem.5.4. Qulquer subconjunto de N não-vzio e mjordo em R tem máximo. Em prticulr, ) Prte inteir de x: Se x R existe um único inteiro n, dito prte inteir de x, qui designd int(x), tl que int(x) x < int(x) +. b) Densidde dos Rcionis: Se R e ǫ > 0 então V ǫ () Q. Demonstrção. Qulquer conjunto I N não-vzio e mjordo em R tem supremo, pelo xiom do supremo. Segue-se de.3.5 que o supremo de I é o seu máximo. ): Supomos primeiro que x 0, e considermos I = {m N : m x}. Se I é vzio então 0 x <, e int(x) = 0. Cso contrário, I tem máximo m, como cbámos de ver. Temos ssim que m x < m + e int(x) = m. Qundo x < 0, observmos que se x Z então x = int(x). Cso contrário, é fácil verificr que (x) = int( x). b): Sej n = int(x), donde 0 x n <, e m um nturl m tl que /m < ǫ. Sej ind k = int(m(x n)), donde 0 k < m. Temos então 0 m(x n) k < 0 x (n + k/m) < /m < ǫ É clro que q = n + k/m = (mn + k)/m é rcionl, e x q < ǫ. Exercícios

32 28 CAPÍTULO. OS NÚMEROS REAIS. Recorrendo o Método d Indução Mtemátic, mostre que Z é fechdo pr dição e subtrcção, e que Q é fechdo pr dição, multiplicção, subtrcção e divisão. 2. Mostre que o conjunto Q, dos números rcionis, stisfz todos os Axioms de Corpo (Proprieddes -5) e de Ordem (Proprieddes.2. e.2.). 3. Verifique que se p N e p 2 é um número pr então p tmbém é pr. 4. (Propriedde do Ínfimo) Mostre que qulquer subconjunto de R minordo e não-vzio tem ínfimo.

33 Cpítulo 2 Limites e Continuidde 2. Funções Reis de Vriável Rel A noção de função é um ds mis geris d Mtemátic, e é normlmente introduzid em termos bstrctos, no contexto d Teori dos Conjuntos. De um ponto de vist mermente intuitivo, e ddos conjuntos A e B, um função f : A B é simplesmente um regr que permite, pelo menos em princípio, ssocir um determindo elemento y B cd elemento x A. O specto fundmentl qui é que regr é plicável qulquer elemento de A, e pr cd elemento x A identific um único elemento y B, que se diz imgem de x (pel função f). Escrevemos por isso y = f(x). A seguinte terminologi deve ser conhecid: A é o domínio de f, B é o contrdomínio de f, Sendo A A, o conjunto {f(x) : x A }, formdo por todos os pontos de B que são imgens de lgum ponto de A é imgem (direct) de A por f, e design-se f(a ). O conjunto f(a) diz-se simplesmente imgem de f, e design-se por Im(f). Sendo B B, o conjunto {x A : f(x) B }, formdo pelos pontos de A cuj imgem está em B, é imgem invers de B por f, e design-se f (B ). Observções () Temos f(a) B, ms é possível que f(a) B. Qundo f(a) = B, dizemos que f é um função sobrejectiv. Este é o cso em que equção y = f(x) tem sempre soluções x A, pr qulquer y B. (2) Temos f (B) = A. 29

34 30 CAPÍTULO 2. LIMITES E CONTINUIDADE (3) É sempre verdde que f (f(a )) = A e f(f (B )) B pr quisquer A A e B B, ms podemos ter f(f (B )) B. (4) Se y B, imgem invers f ({y}) contém tods s soluções x A d equção y = f(x). Se pr qulquer y B existe no máximo um elemento x A n imgem invers f ({y}), dizemos que f é injectiv. Por outrs plvrs, função é injectiv qundo, pr cd y B, equção y = f(x) tem no máximo um solução. (5) Qundo f : A B é injectiv e sobrejectiv, então diz-se bijectiv. Neste cso, equção y = f(x) tem um únic solução pr cd y B, e existe um função g : B A, dit invers de f, tl que x = g(y) y = f(x). A invers de f design-se por vezes por f. Estudmos sobretudo funções definids em subconjuntos de R com vlores em R, e que se dizem por isso funções reis de vriável rel. Ests funções podem ser dds por expressões simples, ms podem igulmente corresponder regrs complexs de tribuição de vlores, que em termos práticos podem redundr em cálculos extremmente difíceis de executr. Exemplos 2... () A função f : R R dd por f(x) = x 2 + não é sobrejectiv nem injectiv. A su imgem Im(f) = [, [. O cálculo dest função envolve pens dus operções (um produto e um som). (2) A função g : R R dd por f(x) = x 3 + é sobrejectiv e injectiv, ou sej, é bijectiv. O cálculo dest função envolve pens três operções (dois produto e um som). A su função invers f : R R é dd por f (x) = 3 x. (3) A função de Heviside H : R R é um exemplo clássico crido por Oliver Heviside, um engenheiro electrotécnico inglês dos séculos XIX- XX. É dd por {, se x 0, H(x) = 0, se x < 0 (4) A função de Dirichlet dir : R R é outro exemplo clássico introduzido no século XIX pelo mtemático com o mesmo nome. É dd por dir(x) = {, se x é rcionl, 0, se x é irrcionl O cálculo dest função pode ser mis complicdo, porque requer determinr se x é rcionl ou irrcionl. Repre-se que se I R é um intervlo com mis do que um ponto, então é clro que dir(i) = {0,}.

35 2.. FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL 3 (5) Alguns dos problems mis interessntes d Mtemátic contemporâne estão ligdos à função que cont, pr cd x R, os números primos no intervlo ], x]. É usul designr est função por π. A título de ilustrção, π(0) = 4, porque os primos p 0 são 4: 2, 3, 5, e 7. Já π(23) = 9, porque os números primos p 23 são 9: 2, 3, 5, 7,, 3, 7, 9 e 23. O seu cálculo excto é muito difícil qundo x é grnde, ms como existe um número infinito de primos podemos pelo menos dizer que Im(π) = N {0}.( ) Sendo o domínio D R um conjunto rbitrário, o cso especil em que D = N corresponde às funções que convencionmos chmr sucessões: Definição Um sucessão rel é um função u : N R. Dizemos que u(n) é o termo gerl, ou termo de ordem n, d sucessão u, representndo-o normlmente por u n. Usremos qulquer um dos símbolos u, (u n ) n N ou (u n ) pr representr um mesm sucessão rel. Exemplos () u n = 3 é o termo gerl d sucessão u = (3,3,3,...). (2) Se u n = 2 + 3n então u = (5,8,,...). (3) Se u n = 3 2 n então u = (6,2,24,...). (4) Um Progressão Aritmétic é um qulquer sucessão que stisfz condição u n+ = u n + r (onde r é constnte), pr todo o n N. O seu termo gerl é u n = +(n )r, onde = u é o primeiro termo, e r é rzão. A sucessão u n = 2+3n do Exemplo (2) é um progressão ritmétic, com primeiro termo = 5 e rzão r = 3. (5) Um Progressão Geométric é um qulquer sucessão que stisfz condição u n+ = u n r (r constnte), pr todo o n N. O seu termo gerl é u n = r n, onde = u é o primeiro termo, e r é rzão. A sucessão u n = 3 2 n do Exemplo (3) é um progressão geométric, com primeiro termo = 6 e rzão r = 2. (6) É comum definir sucessões por recorrênci. Um exemplo clássico é sucessão de Fiboncci, dd por u = u 2 = e u n+2 = u n+ + u n, pr qulquer n N. Note-se que u = (,,2,3,5,8,3, 2,34,... ). Em Setembro de 2008, o mior número primo conhecido é o recém-descoberto primo de Mersenne M p = 2 p, onde p = A representção deciml de M p tem mis de 3 milhões de dígitos.

36 32 CAPÍTULO 2. LIMITES E CONTINUIDADE (7) Por vezes não se conhecem expressões prátics pr o termo gerl de um sucessão, nem qulquer relção de recorrênci pr os seus termos. Um exemplo clássico é qui o d sucessão de todos os números nturis primos, i.e., sucessão u = (2,3,5,7,,3,7,9, 23,29,...). Sendo f : D R, com D R, e A D, então f diz-se mjord (respectivmente minord) em A se imgem f(a) é um conjunto mjordo (respect., minordo). Por outrs plvrs, f é mjord em A se e só se existe M R tl que f(x) M, pr qulquer x A, e f é minord em A se e só se existe m R tl que f(x) m, pr qulquer x A. Um função que é simultnemente mjord e minord em A diz-se limitd em A. O máximo e o mínimo de f em A são, qundo existem, o máximo e o mínimo de f(a). O supremo e o ínfimo de f em A são o supremo e o ínfimo de f(a), cso estes existm. Em todos os csos referidos, qundo se omite referênci o conjunto A entende-se que A é todo o domínio de f. Ilustrndo ests ideis com os exemplos nteriores, notmos que Exemplos () A função f : R R dd por f(x) = x 2 + é minord ms não é mjord (em R). Tem mínimo, que é f(0) =. (2) A função g : R R dd por f(x) = x 3 + não é minord nem mjord em R. (3) As funções de Heviside e de Dirichlet são limitds, e têm máximo e mínimo (respectivmente e 0). (4) A função π tem mínimo 0, ms não é mjord. e que π(x) = 0 pr qulquer x < 2. É clro que π(x) 0, Se f : D R então o conjunto { (x,y) R 2 : x D e y = f(x) } é o gráfico de f. É clro que o gráfico de f é um subconjunto do plno R2, ou sej, é um figur pln, e é um poderoso uxilir do estudo de f, porque permite interpretr e visulizr s proprieddes de f como proprieddes geométrics dest figur. Por exemplo, f tem minornte m e mjornte M se e só se o seu gráfico está entre s linhs horizontis de equções y = m e y = M. O conhecimento mesmo que proximdo do gráfico de f é por isso muito útil, o que não quer dizer que sej sempre fácil ou mesmo possível esboçá-lo com necessári exctidão. Sublinhe-se liás que idei intuitiv de que o gráfico de f é sempre um linh, mis ou menos curv, está