Pequenos Erros que Causam Grandes Dificuldades

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1 Universidde Federl de Mins Geris Instituto de Ciêncis Exts ICEx Deprtmento de Mtemátic Cálculo Diferencil e Integrl I Pequenos Erros que Cusm Grndes Dificulddes 1

2 Conteúdo 1 Dificulddes com Frções Simplificção de termos comuns do numerdor e denomindor Erro 1: Erro 2: Erro 3: Erro 4: Divisão de frção por frção Dificulddes com Desigulddes (Expressões envolvendo os sinis >, <,, ) 7 3 Dificulddes com Prêntesis e Hierrqui de Operdores Usndo prêntesis Multiplicção envolvendo termo com sinl negtivo Multiplicção por frção Encontrndo Rets Tngentes Curvs Exemplo Dificulddes pr encontrr Assíntots Que são ssíntots? Um ssíntot pode tocr o gráfico d função? Que não são ssíntots? Como clculr ssíntots? Erros frequentes n determinção de ssíntots Um lend sobre ssíntots verticis Dificulddes com Regr de L Hôpitl Erros frequentes n plicção d regr de L Hôpitl

3 Temos notdo que mior dificuldde que lguns lunos têm encontrdo não diz respeito o conteúdo de Cálculo I, ms sim um cert flt de firmez com conteúdos nteriores. Este texto tem o objetivo de indicr lguns dos erros mis frequentes. Sugerimos fortemente que os lunos pssem os olhos pelos diversos itens, pois mesmo queles que precem muito simples podem cusr dificuldde, se o luno pens o souber sem ter complet segurnç dquilo que está fzendo. 1 Dificulddes com Frções Um dificuldde ds mis recorrentes tem sido mnipulção de frções. 1.1 Simplificção de termos comuns do numerdor e denomindor Um operção importnte, o se lidr com frções, é simplificção de termos comuns presentes no numerdor e no denomindor. A operção, feit corretmente, tem seguinte prênci: Ou sej, operção corret envolve: b+c p+q (b+c) (p+q) b+c p+q Colocr em evidênci o termo comum, tnto no numerdor qunto no denomindor; Qundo tivermos um mesmo termo multiplicndo todo o numerdor e tmbém todo o denomindor, podemos cncelr esse termo, o que é o mesmo que substituir frção por 1. Os seguintes dois csos prticulres d mesm situção ocorrem tmbém com frequênci: b+c p b p+q (b+c) p b+c p b (p+q) b p+q Alguns erros que têm precido com surpreendente frequênci nos testes de Cálculo I são discutidos seguir. A lógic d presentção seguir é de mostrr estrutur do erro, e depois presentr um exemplo numérico que ilustre flsidde d fórmul errd. O luno que tiver dúvids, deve exminr tentmente o exemplo numérico té ficr convencido de que fórmul errd de fto está errd. 3

4 1.1.1 Erro 1: O erro mis frequente tem sido tenttiv do luno pr cncelr um constnte que está presente em pens um termo do numerdor com ess mesm constnte no denomindor: b+c b+c d d O luno deve observr o que ocorreri qundo usmos números: Deve ficr clro que expressão à esquerd vle 11 6, enqunto expressão à direit vle 2, e que, portnto, els não são iguis Erro 2: O mesmo erro nterior prece às vezes de form mis escondid, com seguinte form: 1 b+c b+c d d Ou sej, o luno peg um termo que está dividindo pens um dos termos do numerdor, e pss esse termo pr o denomindor, dividindo portnto todo o numerdor. Observe-se o que ocorre com números: O termo à esquerd result em 1, enqunto o termo à direit result em 5 6, o que mostr que s expressões não são iguis Erro 3: Um erro precido com esse tem seguinte form: b+c 2 b+c. b+c Olunoqui,imgintivmente,distribuiuotermo 2 em.(téínenhum problem), edepoiscnceloucdumdoscomumdosquemultiplicvm cd um dos termos do numerdor (ess operção cusou o erro). Fzendo com números, deve-se observr o que ocorreri: Deve-se observr que expressão mis à esquerd vle 4, enqunto expressão mis à direit vle 8. A form corret de proceder seri: b+c 2 (b+c). 4 b+c

5 1.1.4 Erro 4: Por fim, tmbém tem precido o seguinte erro: 2 b 2 b Aqui, o luno se confundiu com operção de simplificr um termo do numerdor com outro do denomindor, que vle pr termos que multiplicm tnto o numerdor qunto o denomindor, e pensou que operção tmbém vlesse pr simplificr potêncis. Vej-se o que ocorre qundo fzemos operção com números: A expressão à direit vle 9 4, enqunto expressão à esquerd vle Divisão de frção por frção A seguinte operção tem sido um pesdelo pr vários lunos: b c d Os lunos muits vezes ficm confusos, sem sber ordem n qul s operções devem ser executds. Chmmos tenção pr o fto de que ess notção signific seguinte sequênci de operções: Dividir por b; Depois dividir c por d; Finlmente, dividindo o resultdo d operção b operção c d. pelo resultdo d O resultdo pode ficr completmente errdo qundo o luno plic operções em ordem letóri, por exemplo dividindo por b, depois o resultdo por c e finlmente o resultdo por d (se você estiver em dúvid qunto isso, fç um teste usndo números e vej como fic diferente o resultdo). A regr pr se resolver problems ssim é: b c b.d c d Muits vezes os lunos ficm confusos qundo operção é mis simples, de um ds forms: c d b c 5

6 Pr evitr confusão, pode-se escrever operção no formto nterior: c d b c 1 c d b c 1 1.d c.d c b.1 c b.c 6

7 2 Dificulddes com Desigulddes (Expressões envolvendo os sinis >, <,, ) Muits vezes é necessário nlisr o sinl de um expressão, ou sej, descobrir pr quis vlores de x ess expressão fic positiv, pr quis fic negtiv, e pr quis fic igul zero. Muitos lunos simplesmente não entendem o que está sendo pedido, nesss situções. Exminemos um cso, psso psso. A questão bixo preceu em um teste recente: Questão: Determine os vlores de x que stisfzem desiguldde: 2x 2 +10x 12 0 O luno, muits vezes, olh pr expressão, e not um semelhnç com ess outr expressão: 2x 2 +10x 12 = 0, que é mis comum (pelo menos no ensino médio). Ess outr expressão é um equção do segundo gru, e pode ser resolvid pel clássic fórmul ds rízes de equções do segundo gru. Não sbendo o que fzer, no cso d expressão d desiguldde, ou simplesmente não notndo que s dus coiss são diferentes, o luno tent lnçr como respost s rízes d equção de segundo gru, e evidentemente err questão. Exminemos, primeiro, por quê desiguldde cim é diferente d equção cim: N desiguldde, queremos sber pr quis vlores de x expressão ( 2x 2 +10x 12) fic mior ou igul zero. Nequção,queremossberprquisvloresdexexpressão( 2x x 12) fic igul zero. Pr resolver questão, notmos que sbemos muits coiss sobre o gráfico dos vlores d expressão ( 2x 2 +10x 12). Sbemos, por exemplo, que esse gráfico será um prábol (pois expressões que são polinômios do segundo gru têm sempre o gráfico n form de um prábol), e que ess prábol será vird pr bixo (ou sej terá um ponto de máximo, e não de mínimo), pois o coeficiente do termo x 2 é negtivo. A figur bixo mostr o gráfico dess prábol, que cruz o eixo dos x extmente ns rízes, ou sej, em x = 2 e x = 3: 7

8 O luno deve ser cpz de desenhr esse gráfico, com seus principis elementos qulittivos (se prábol está vird pr cim ou pr bixo, e onde el cort o eixo dos x), prtir ds informções, já encontrds, dos vlores ds rízes d expressão e do sinl do coeficiente de x 2. Por esse gráfico, deve ficr clro que expressão é negtiv pr todo x < 2 e todo x > 3, e positiv pr todo x pertencente o intervlo 2 < x < 3. Finlmente, deve-se notr que o enuncido pede os vlores de x pr os quis expressão fic mior ou igul zero. Assim, respost é: 2x 2 +10x 12 0 pr todo x no intervlo 2 x 3 8

9 3 Dificulddes com Prêntesis e Hierrqui de Operdores 3.1 Usndo prêntesis O uso de prêntesis (ou colchetes) é importnte sempre que um operção for incidir sobre um expressão inteir, o invés de um únic vriável ou constnte. Assim, por exemplo, pode-se escrever: senx sem usr prêntesis. No entnto, se queremos tirr o seno de um expressão mior, por exemplo x 2 +3x 1, é preciso escrever: sen(x 2 +3x 1) Seri errdo tentr representr o seno de x 2 +3x 1 d seguinte form: senx 2 +3x 1 pois o que ocorreri, neste cso, seri função seno incidir pens sobre o termo x Multiplicção envolvendo termo com sinl negtivo Um problem grve, que tem fetdo té mesmo lunos que tirm bos nots nos testes, diz respeito à notção d operção de um produto envolvendo um expressão com o sinl negtivo. O luno costum pensr que s seguintes expressões são mesm cois:.( b). b b A expressão à esquerd está corret, pr expressr o produto de com b. A expressão centrl está ml formd. Não se deve escrever lgo ssim. A terceir expressão está completmente errd se o luno queri representr o produto de com b; é clro que o que ele representou foi diferenç entre e b. 3.3 Multiplicção por frção Outro erro que tem sido comum tem seguinte estrutur: b+c b+c d d O luno, provvelmente por press, multiplic constnte que multiplic tod frção pens pelo primeiro termo do numerdor, o que cus erro. A form corret de proceder seri: b+c d b+c d 9

10 4 Encontrndo Rets Tngentes Curvs Têm precido grves dificulddes em problems de determinção de rets tngentes curvs. Os lunos devem notr, em primeiro lugr, que qundo se pede que sej encontrd um ret, estmos procurndo um expressão do seguinte tipo: y = x+b A tref se restringe, portnto, determinr os vlores ds constntes e b. Isso signific que expressões com estruturs tis como: y = x+1 x y = 1 x+1 x+2 y = ln(x+1)x constituem resposts completmente errds pr problems de determinção de rets tngentes, começr pelo fto dests não serem expressões de rets. Há diverss vrições possíveis pr esse tipo de problem. O cso mis simples é quele em que o enuncido pede um ret que sej tngente um curv, tngencindo- em um ponto específico pertencente à curv. O roteiro pr se resolver um situção ssim é: O enuncido pede que sej encontrd um ret tngente um curv y = f(x), no ponto P = (p,q). Verifique, inicilmente, se o ponto stisfz à equção d curv, ou sej, se é verdde que q = f(p). Se for verdde, o problem se restringe encontrr ret y = x+b que pss no ponto (p,q) cuj inclinção é igul f (p). A constnte (que é inclinção d ret) é dd por: = f (p), ou sej, é o vlor d função derivd de f, clculd no ponto x = p. Atenção: pr chr f (p), primeiro encontre função f (x) ( expressão d derivd de f) e então encontre f (p) (ou sej, substitu s ocorrêncis d vriável x n expressão encontrd pelo vlor p, encontrndo um número, que signific inclinção d ret tngente à curv nquele ponto específico). A constnte b pode ser determind usndo-se informção de que ret pss no ponto (p,q). Ou sej: q =.p+b. Como são conhecidos, neste ponto, os vlores de p, q e, pode-se clculr b como: b = q.p. 4.1 Exemplo Pr exemplificr esse roteiro, vmos resolver um questão com o seguinte enuncido: Encontre equção d ret tngente à curv y = ln(x + 1) no ponto P = (0,0). 10

11 Pr inicir resolução, é preciso sber se o ponto P = (0,0) pertence ou não à curv y = ln(x+1). Substituindo x = 0, obtém-se: y = ln(0+1) = ln(1) = 0. Logo, o ponto P encontr-se sobre curv. Prosseguindo, temos então de encontrr os vlores de e b, pr um ret que pss pelo ponto P = (0,0), e cuj inclinção tem de ser tl que ret tngencie curv nesse ponto. Ess inclinção, portnto, tem de ser igul à derivd d função. Clculndo derivd: f (x) = dln(x+1) dx = 1 x+1 A derivd d função é um expressão que depende de x. Um erro muito comum dos lunos tem sido pensr que ess expressão é igul à inclinção d ret, ou sej, chr que ret terá inclinção vriável, tendo um vlor de inclinção pr cd vlor de x. Se os lunos pensrem um pouco mis, poderão concluir que tod ret tem inclinção constnte, que não pode mudr pr cd vlor de x. Como fzer então pr chr o vlor d inclinção d ret, se derivd fornece um vlor pr cd vlor diferente de x? Bst perceber que ret tem de ter inclinção igul à derivd d função no ponto em que ocorre tngênci d ret à função. Ou sej, inclinção d ret tngente é igul o vlor d derivd pr x = 0, ou sej, pr o x do ponto (0,0), no qul se pede que ret sej tngente à curv. Então: = f (0) = = 1 Agor que temos o vlor de, flt chr b. Pr isso, usmos o fto de que ret deve pssr no ponto P = (0,0): y = x+b 0 =.0+b b = 0 Tendo chdo e b, expressão d ret, solicitd no enuncido d questão, é dd por: y = x 11

12 5 Dificulddes pr encontrr Assíntots 5.1 Que são ssíntots? Assíntots são rets ds quis o gráfico de um função y = f(x) se proxim de tl form que, qundo estmos infinitmente longe d origem (ou sej, do ponto (0,0)), o gráfico d função tende encostr no gráfico d ret, sem entretnto tocr ou cruzr ess ret. Há ssíntots de três tipos: Assíntots horizontis: São rets horizontis (ou sej, rets do tipo y = c, sendo c um constnte qulquer) ds quis o gráfico d função se proxim qundo nos fstmos infinitmente d origem. Como, neste cso, vriável y d ret é um constnte, pr nos fstrmos infinitmente d origem nos proximndo dess ret, vriável x d função tem de ir pr + ou pr. Assíntots verticis: São rets verticis (ou sej, rets do tipo x = c, sendo c um constnte qulquer) ds quis o gráfico d função se proxim qundo nos fstmos infinitmente d origem. Como, neste cso, vriável x d ret é um constnte, pr nos fstrmos infinitmente d origem nos proximndo dest ret, vriável y d função tem de ir pr + ou pr qundo su vriável x se proxim dquele vlor c. Assíntots oblíqus: São rets oblíqus (nem verticis nem horizontis) ds quis o gráfico d função se proxim qundo nos fstmos infinitmente d origem. Neste cso, tnto vriável x qunto vriável y d função crescem rbitrrimente em módulo, enqunto o gráfico d função se proxim do gráfico d ret. No cso d disciplin de Cálculo I, dmos mior ênfse o prendizdo dos primeiros dois csos (ssíntot horizontl e ssíntot verticl). A discussão seguir bord, portnto, pens esses dois csos. 5.2 Um ssíntot pode tocr o gráfico d função? Écomumconfusãodeseimginrqueumretssíntot,prserssíntot, não poss nunc tocr o gráfico d função que el proxim ssintoticmente. Ess confusão decorre té mesmo do nome ssíntot, que signific sem tocr. N relidde, o conceito de ssíntot está relciondo um comportmento do gráfico d função no infinito. O que esse gráfico fz em pontos loclizdos um distânci finit d origem é irrelevnte pr nálise de ssíntots. Assim, exminemos por exemplo função y = xe x. Qundo x = 0, temos que y = 0, ou sej, o gráfico d função toc ret y = 0. Entretnto, clculndo o limite de y qundo x +, podemos observr que y novmente se proxim de 0, ou sej, o gráfico d função se proxim do gráfico 12

13 d ret y = 0, dest vez sem nunc tocr ess ret, pr nenhum outro vlor de x. Exminemos os requisitos pr função ter como ssíntot ret y = 0: Qundo nos fstmos infinitmente d origem, fzendo x +, vriável y tem o comportmento y 0. Ou sej, função y tende encostr n ret y = 0; Qundo nos fstmos infinitmente d origem, fzendo x +, vriável y não toc ou cruz ret y = 0. (O oposto desse comportmento pode ser observdo, por exemplo, n função y = e x sen(x), que tmbém se proxim d ret y = 0 qundo x +, entretnto gor cruzndo infinits vezes ess ret à medid em que x vi pr infinito). Como os dois requisitos estão stisfeitos, então ret y = 0 é um ssíntot horizontl de y = xe x, mesmo existindo um ponto no qul ret efetivmente toc o gráfico d função. 5.3 Que não são ssíntots? Algums confusões são muito comuns. Vmos discutir s mis frequentes: () O luno pens, às vezes, que ssíntot é um número. Por exemplo, o professor pergunt qul é ssíntot horizontl de um função, e o luno responde que ssíntot é 4 (ou 27, ou outro número qulquer). O que há de errdo nisso? O erro é que um ssíntot é um ret. A respost, no cso de um ssíntot horizontl, teri de ser por exemplo que ssíntot é ret y = 4 (ou y = 27, ou y igul lgum outro número). (b) Olunoàsvezesconfundeoconceitoderet tngentecomodessíntot. Por exemplo, qundo perguntdo pr dizer se função y = x 2 teri um ssíntot horizontl, o luno às vezes responde que sim, dizendo que ret y = 0 seri um ssíntot horizontl. O que há de errdo nisso? O erro é que o gráfico d função y = x 2 não se proxim do gráfico d ret y = 0 nem qundo x se proxim de + nem qundo x se proxim de. O luno provvelmente se confundiu o consttr que o gráfico de y = x 2 tem como tngente horizontl ret y = 0, confundindo os dois conceitos. Deve-se notr que o gráfico d função y = x 2 não pens se proxim do gráfico d ret y = 0, ms té mesmo toc ess ret qundo x = 0; isso não quer dizer que ret y = 0 sej ssíntot de y = x 2, pois qundo nos fstmos infinitmente d origem, o gráfico d função e o gráfico d ret se distncim infinitmente. 13

14 5.4 Como clculr ssíntots? O roteiro de cálculo ds ssíntots é: Assíntots horizontis: Clculmos o limite d função f(x) qundo vriável vi pr + e tmbém qundo vriável vi pr. Se um dos dois limites der igul um constnte c, então ret y = c será ssíntot horizontl. Assíntots verticis: Primeiro devemos loclizr um ponto x = c em que função y = f(x) é descontínu. Tendo loclizdo esse ponto, clculmos o limite d função f(x) qundo x se proxim desse ponto. Se esse limite der + ou, então ret x = c será um ssíntot verticl d função. 5.5 Erros frequentes n determinção de ssíntots Alguns erros precem muits vezes, no cálculo de ssíntots: () Muits vezes o luno vi tentr descobrir se um função possui ssíntot horizontl, porém ele test pens o limite qundo x vi pr +. Assim, ele deix de identificr presenç de ssíntots qundo o comportmento ssintótico ocorre pr vlores negtivos. Por exemplo, função y = e x possui como ssíntot horizontl ret y = 0. O luno só consegue identificr ess ssíntot se ele fz x, pois qundo x tende +, função tmbém vi pr +, ou sej, o gráfico d função se proxim d ret y = 0 qundo x vi pr, porém se fst dess ret qundo x vi pr +. (b) Ocorre muits vezes que, qundo perguntdo se um função teri ssíntot verticl, o luno simplesmente procur se função possui lgum ponto de descontinuidde. Ao chr um ponto de descontinuidde x = c, o luno já pss firmr que ret x = c seri um ssíntot verticl. O que há de errdo nisso? O problem qui é que função y = f(x) tlvez não se proxime de infinito qundo x se proximr de c. Nesse cso, ret y = c não seri ssíntot verticl. Um exemplo de situção ssim ocorre n função y = sen(x) x. É clro que função é descontínu em x = 0. Entretnto, função y não tende infinito qundo x tende 0 (os lunos são conviddos verificr esse fto). 5.6 Um lend sobre ssíntots verticis Um lend surpreendentemente dissemind entre os lunos, relciond com determinção de ssíntots verticis d função y = f(x), é de que pr clculr esss ssíntots bstri clculr o limite de f(x) qundo x 0. Não se sbe origem dess lend, ms isso não fz qulquer sentido. 14

15 Alertmos os lunos: tudo o que é ensindo em Cálculo I possui um lógic, e o importnte no curso é extmente o prendizdo dess lógic. Qundo vocês flgrrem si mesmos fzendo conts (tis como o cálculo desse limite) que vocês não tiverem mínim idéi do que significm, dêm um prd e procurem jud. Cálculo I NÃO É um conjunto de receits de bolo que devem ser decords. Entender mtéri NÃO É sinônimo de sber fzer um punhdo de conts cegmente. 15

16 6 Dificulddes com Regr de L Hôpitl A regr de L Hôpitl pr cálculo de limites envolvendo indeterminções pode ser enuncid como: f(x) Você necessit clculr um limite do tipo lim x g(x), ou sej, um limite envolvendo um frção, com um função no numerdor e outr função no denomindor. Se, o tentr clculr esse limite, você descobrir que o limite tnto d função f(x) (que está no numerdor) qunto d função g(x) (que está no denomindor) tenderem pr 0 (simultnemente) ou pr ou (tmbém simultnemente), nesse cso se plic regr de L Hôpitl, pois ocorreu um indeterminção do tipo 0 0 ou do tipo. Em nenhum outro cso, regr se plic. Tendo determindo que regr de L Hôpitl é plicável, fz-se trnsformção: f(x) lim x g(x) = lim f (x) x g (x) ou sej, deriv-se função f(x), obtendo-se f (x), deriv-se g(x), obtendo-se g (x), e mont-se um nov frção f (x) g (x), cujo limite é igul o limite que se desej clculr. 6.1 Erros frequentes n plicção d regr de L Hôpitl Os seguintes erros se verificm com grnde regulridde: () O luno pens que deve derivr frção f(x) g(x), e não cd um ds funções f(x) e g(x) seprdmente. A cont fic muito mis complicd, clro, lém de ficr errd. Então, tenção: (i) derive f(x), obtendo f (x); (ii) depois derive g(x), obtendo g (x); (iii) monte então frção f (x) g (x), e clcule o limite dess nov frção. (b) O luno muits vezes pens que regr de L Hôpitl é um simplificdor universl pr o cálculo de limites quisquer, e si derivndo função cujo limite se desej clculr, sem sequer verificr se regr de L Hôpitl se plic. Então, repetindo, deve-se primeiro ver se: A expressão cuj derivd se desej clculr está n form de f(x) um frção de dus funções: g(x). Se não estiver, regr não pode ser plicd. A expressão cuj derivd se desej clculr reci em um ds 0 dus indeterminções: 0 ou. Se não recir em nenhum desses dois csos, regr tmbém não pode ser plicd. 16

17 (c) Um cso prticulr do erro nterior, que destcmos qui devido à grnde frequênci com que ocorre, é qundo deve-se encontrr o limite de um expressão do tipo: lim [f(x) g(x)]. x Ess expressão reci em um indeterminção qundo se obtém como resultdo lgo precido com. É muitíssimo comum o luno, chegndo nesse ponto, proceder simplesmente clculndo s derivds de f(x) e de g(x), tentndo seguir clculr o limite: lim x [f (x) g (x)]. Isso está completmente errdo! O quê deveri ser feito, então? O procedimento correto seri tentr mnipulr expressão de form que preç lgum nov expressão n form de um frção com indeterminção do tipo 0 0 ou, pr s quis regr de L Hôpitl se plic. Por exemplo, às vezes dá certo fzer lgo como: [ ( lim[f(x) g(x)] = lim f(x) 1 g(x) )] x x f(x) (d) Por fim, chmmos tenção pr um erro que tende confundir o luno que está quse entendendo como plicr regr de L Hôpitl. O erro é ssim: o luno encontr um problem de cálculo de limite em que ele not que é evidente que ocorre um indeterminção do tipo 0 0 ou. Pensndo que bst ele perceber que pode-se plicr regr de L Hôpitl, o luno então plic e cheg o resultdo correto no cálculo do limite, ficndo muito surpreso qundo recebe not zero n questão. Qul foi o problem qui? O problem é que o luno tem de indicr que ele encontrou um indeterminção do tipo 0 0 ou, como fundmento pr poder plicr regr de L Hôpitl. Se ele não escreve isso n prov, su respost fic igul à de um outro luno que simplesmente não sbe que é preciso verificr existênci desse tipo de indeterminção pr poder plicr regr, e que vi plicndo s conts indiscrimindmente, qundo se pode fzer isso, e tmbém qundo não se pode. 17