Matemática Parte II: Análise Matemática

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1 Mtemátic Prte II: Lic. em Enologi 009/010

2 Funções reis de vriável rel Um função f, definid num certo conjunto D e com vlores num conjunto E, é um regr que fz corresponder cd elemento x de D um único elemento f (x) de E. O conjunto D é chmdo domínio de f e o conjunto C de E formdo por todos os elementos f (x) com x D, é o contrdomínio de f. Diz-se que f é um função rel se todos os vlores que ssume são números reis, i.e., se C R (qulquer que sej o conjunto D); diz-se que f é um função de vriável rel de D R (qulquer que sej C). Nturlmente, um função rel de vriável rel (f.r.v.r) é um qulquer função cujo domínio e contrdomínio sejm subconjuntos do conjunto dos números reis.

3 Gráfico de um função Fixdo, no plno, um referencil crtesino de eixos ortogonis, orientdos do modo hbitul e com mesm unidde de medid, define-se o gráfico d função f como sendo o conjunto dos dos pontos do plno correspondentes pres (x, f (x)), com x no domínio de f, i.e., Exemplo Grf (f ) = {(x, f (x)) : x D} O gráfico d função identidde, I(x) = x pr qulquer x R é bissectriz dos qudrntes ímpres; O gráfico d função módulo f (x) = x qulquer que sej x R é reunião ds bissectrizes do 1 o e o qudrntes. I x f x x x

4 Funções injectivs, sobrejectivs e bijectivs Um função f : A B diz-se injectiv sse quisquer objectos diferentes corresponderem imgens diferentes, i.e., ou equivlentemente Exemplo x 1, x A, x 1 x f (x 1 ) f (x ) x 1, x A, f (x 1 ) = f (x ) x 1 = x. 1 A função f : R R definid por f (x) = x + 1 é injectiv, pois x 1, x R: f (x 1 ) = f (x ) x = x + 1 x 1 = x ; A função g : R R definid por g(x) = x não é injectiv pois, por exemplo, g(1) = g( 1) = 1 e no entnto 1 1.

5 Um função f : A B diz-se sobrejectiv sse o seu contrdomínio coincidir com o conjunto de chegd, i.e., y B, x A : y = f (x). Exemplo A função : R R definid por f (x) = x 4 não é sobrejectiv pois não existe nenhum x R tl que f (x) = 1 (por exemplo). Neste cso, o contrdomínio de f são os reis não negtivos, D f = R + 0, e o conjunto de chegd é R. Um função f : A B diz-se bijectiv sse for simultnemente injectiv e sobrejectiv. y B, x A : y = f (x).

6 Sejm f : A B e g : C D dus f.r.v.r. Chm-se som de f e g, e design-se por f + g, à função definid em D f D g pel fórmul (f + g)(x) = f (x) + g(x); diferenç de f e g, e design-se por f g, à função definid em D f D g pel fórmul (f g)(x) = f (x) g(x); produto de f por g, e design-se por fg, à função definid em D f D g pel fórmul (fg)(x) = f (x)g(x); quociente de f por g, e design-se por f, à função definid em g D f D g {x D g : g(x) 0} pel fórmul ( ) f (x) = f (x) g g(x) ; compost de f com g, e design-se por f g, à função definid em D f g = {x R : x D g g(x) D f } pel fórmul (f g)(x) = f [g(x)].

7 Exemplo f (x) = x 1, g(x) = 1 x D f = {x R : x 1 0} = {x R : x 1} D g = {x R : x 0} D f g = {x R : x D g g(x) D f } = {x R : x 0 1x } 1 = {x R : x 0 x 1} = ], 1[ ]0, 1], ( ) 1 1 x D f g : (f g)(x) = f [g(x)] = f = x x 1 { D g f = {x R : x D f f (x) D g} = x R : x 1 } x 1 0 = {x R : x 1 x 1} = ]1, + [ x D g f : ( ) 1 (g f )(x) = g[f (x)] = g x 1 = x 1 Tl como este exemplo ilustr, gerlmente, f g g f.

8 Um função diz-se polinomil sse for definid em R por um expressão do tipo: f (x) = 0 x p + 1 x p p 1 x + p, com p N e 0, 1,..., p R. No cso prticulr em que f (x) = 0, f diz-se um função constnte. Um função diz-se rcionl sse for definid pelo quociente de dus funções polinomiis. Exemplo A f.r.v.r f (x) = 1 é um função rcionl. x 1 Um função lgébric é um função que result de soms, diferençs, produtos, quocientes ou rízes de funções polinomiis. Um função que não é lgébric, diz-se trnscendente.

9 Exemplos de funções trnscendentes Função Seno: f : R [ 1, 1] x sin x sen x Π 3 Π Π Π -0.5 Π Π 3 Π Π x -1 Função Coseno: f : R [ 1, 1] x cos x cos x Π 3 Π Π Π -0.5 Π Π 3 Π Π x -1

10 Função Tngente: f : R\ { π + kπ, k Z} R x tn x tn x = sin x cos x Π 3 Π Π Π tg x Π Π x 3 Π Função Cotngente: f : R\ {kπ, k Z} R x cot x cot x = cos x sin x Π Π cotg x Π Π 3 Π Π x

11 Função exponencil de bse : f : R R x x, R + 1 x x x x x x

12 Um função f : R R diz-se periódic sse existe um número rel α 0 tl que x R f (x + α) = f (x). Ao número rel α dá-se o nome de período d função. Um função f : R R diz-se pr sse f ( x) = f (x), x R, e diz-se ímpr sse f ( x) = f (x), x R, A função sin x e cos x são funções periódics de período π. A função sin x é impr e função cos x é pr. Not: A pridde ou impridde de um função trduz-se no seu gráfico de form evidente: s funções pres têm gráficos simétricos em relção o eixo ds ordends e s funções ímpres presentm gráficos simétricos em relção à origem do referencil.

13 Sej f : A B um função injectiv. Define-se invers de f como sendo função g : D f D f tl que (g f ) = (f g) = I, (I é função identidde) i.e., s igulddes y = f (x) e x = g(y) são equivlentes. É costume representr-se invers de um função por f 1 (Nunc confundir com 1 f!) Not:Pr obter o gráfico de f 1 bst efectur sobre o gráfico de f um simetri em relção à bissectriz dos qudrntes ímpres. y x y x y 3 3 x

14 Exemplo Sej f (x) = um f.r.v.r. x 3 D f = {x R : x 3 0} = R\ {3} D f = R f é um função injectiv (verifique-o) e como tl dmite invers, neste cso f 1 : R R\ {3}. Determinemos expressão de f 1 : De y = x 3 vem y(x 3) = x = + 3y y pelo que f 1 : R R\ {3} x + 3x x

15 Um f.r.v.r f diz-se limitd sse existir um número rel L > 0 tl que f (x) L pr qulquer x D f. Um f.r.v.r f diz-se crescente sse pr quisquer x 1, x D f x 1 x f (x 1 ) f (x ); No cso d desiguldde ser estrit, função diz-se estritmente crescente; Um f.r.v.r f diz-se decrescente sse pr quisquer x 1, x D f x 1 x f (x 1 ) f (x ); No cso d desiguldde ser estrit, função diz-se estritmente decrescente.

16 Funções circulres inverss As funções trigonométrics, sin x, cos x, tn x e cot x não são injectivs no seu domínio. Como tl, í não dmitem invers. No entnto, podemos fzer um restrição o seu domínio, à qul chmremos restrição principl, n qul els são injectivs. Considerndo s restrições principis: pr função sin x: [ π, π ] ; pr função cos x: [0, π]; pr função tn x: ] π, π [ ; pr função cot x: ]0, π[; podemos í definir s respectivs funções inverss.

17 A função rcsin x f : [ π, π ] [ 1, 1] x sin x f 1 : [ 1, 1] [ π, π x rcsin x ] sen x 1 rcsin Π x Π x Π -1 1 x -1 Π

18 A função rccos x f : [0, π] [ 1, 1] x cos x f 1 : [ 1, 1] [0, π] x rccos x cos x 1 rccos x Π Π Π x Π x

19 A função rctn x f : ] π, π [ R x tn x f 1 : R ] π, π [ x rctn x tn x rctn Π x Π 5-5 x Π x Π

20 A função rcotx f : ]0, π[ R x cot x f 1 : R ]0, π[ x rcotx cot x rccot x Π 5-5 Π Π x Π x

21 Função logrítmic Lembremos que função exponencil de bse, f (x) = x, é um bijecção de R sobre R + sse 1. À invers d função g : R R + x x, R + \{ 1} dá-se o nome de função logrítmic de bse : g 1 : R + R x log x, R + \{ 1}. log x x log x x

22 Proprieddes d função logritmo x, y R +,, b R + \{ 1}, p R : log (xy) = log x + log y; ( ) log x y = log x log y; log (x p ) = p log x; log b x = log x log b. Um cso prticulrmente importnte d função exponencil e d função logrítmic é ddo qundo = e (número de Nepper). Neste cso, log e x ou log x ou ind ln x é o chmdo logritmo nepperino.

23 Sej um número rel e ε um rel positivo. Chmmos vizinhnç ε do ponto, e denot-se por V ε (), o conjunto formdo por todos os números reis cuj distânci o ponto é inferior ε: V ε () = {x R : x < ε}. Diz-se que é um ponto de cumulção de um conjunto X R sse qulquer vizinhnç de tem pelo menos um elemento de X distinto do ponto, i.e.: ε > 0 V ε () (X\{}). Um ponto que não sej ponto de cumulção diz-se ponto isoldo.

24 Limite de um função num ponto Sej f um f.r.v.r. e um ponto de cumulção de D f. Diz-se que o limite de f qundo x tende pr é b, e escreve-se lim x f (x) = b, sse x D f : ε > 0 δ > 0 : 0 < x < δ f (x) b < ε. Mostremos que função ψ(x) = 1 ( ) x x + 1 não tem limite qundo x 0. De fcto, se tivessemos lim ψ(x) = b, sendo b um número rel qulquer, então ddo x 0 um ε rbitrário, por exemplo, ε = 1, deveri existir um δ > 0 e x 0 tl que x < δ ψ(x) b < 1. Em prticulr: ψ ( ) ε b < 1 e ψ ( ε ) b < 1, donde result

25 ( ) ( δ ψ ψ δ ) = o que é bsurdo pois ψ ( δ ( ( ) ) ( ( δ ψ b + b ψ δ )) ( ( ) δ ψ b) + ( ψ δ ) b < = 1 ) ( ) = 1 e ψ δ = 0 e portnto ( ) ( δ ψ ψ δ ) = 1. Not: Como ilustrdo neste exemplo, podemos clculr o limite de um função num ponto mesmo que / D f, um vez qu n definição pens se exige que 0 < x.

26 Exemplo Provemos que sendo g(x) = x 3 + 4, se tem lim g(x) = 5. x 3 Ddo um ε > 0 rbitrário, o que pretendemos mostrr é que exite um δ > 0 tl que se 0 < x 3 < ε então g(x) 5 < ε. Or g(x) 5 < ε x x < ε 3 1 < ε x 3 3 < ε x 3 < 3ε. Bst então escolher, p.e., δ = 3ε pr obtermos o pretendido.

27 Se um f.r.v.r f (x) tem limite qundo x, então esse limite é único. Dem.: Suponhmos que lim f (x) = b 1 e lim f (x) = b com b 1 b. Suponhmos x x ind, sem perd de generlidde, que b 1 < b. Sej ε tl que 0 < ε < 1 (b 1 b ). Assim sendo, os intervlos ]b 1 ε, b 1 + ε[ e ]b ε, b + ε[ são disjuntos. Como lim f (x) = b 1 então terá que existir um δ 1 > 0 tl que se x ] δ 1, + δ 1 [ x então f (x) ]b 1 ε, b 1 + ε[. E porque lim f (x) = b então existirá um δ > 0 tl que se x ] δ, + δ [ então x f (x) ]b ε, b + ε[. Tomndo δ = min {δ 1, δ } tem-se x ] δ, + δ[ f (x) ]b 1 ε, b 1 + ε[ f (x) ]b ε, b + ε[, o que é bsurdo um vez que estes dois intervlos são disjuntos. Teremos então que ter b 1 = b.

28 Se f (x) = mx + b, m, b R então lim x f (x) = m + b. Dem.: Temos que mostrr que seguinte proposição é verddeir: Or ε > 0 δ > 0 : 0 < x < δ mx + b (m + b) < ε. mx + b (m + b) < ε mx + b m b) < ε m x < ε x < ε m. Logo, n proposição cim bst tomr δ = ε m.

29 Sejm f (x) e g(x) dus f.r.v.r. pr s quis existe limite no ponto x =. Então: Exemplo lim (f (x) ± g(x)) = lim f (x) ± lim g(x); x x x ( ) ( ) lim (f (x)g(x)) = lim f (x) lim g(x) ; x x x f (x) lim x g(x) = lim f (x) x lim x lim (f x (x))n = g(x), desde que lim g(x) 0; x ( ) n, lim f (x) n N. x ( lim x x ) x 1 x ( x ) = lim (x) lim x 1 x 1 x lim (x ) x 1 = lim (x) x 1 lim (x 4 + 1) = 1 = 5. x 1

30 Se f é um função polinomil, então lim x f (x) = f (). Se f é um função rcionl e D f, então lim x f (x) = f (). lim x n f (x) = n lim x f (x), desde que lim x f (x) 0 qundo n é pr. ( ) lim (f (x)) m m n = lim f (x) n, m, n N x x desde que lim x (f (x)) m 0 qundo n é pr.

31 Se f (x) g(x) h(x) pr todo o x num intervlo berto contendo, excepto possivelmente em, e se lim f (x) = x lim h(x) = b então lim g(x) = b. x x Exemplo ) Mostremos que lim (x sin 1 = 0. x 0 x Or, x R\{0} temos: Como 1 sin 1 x 1 }{{} x x sin 1 x. x }{{}}{{} f (x) h(x) g(x) lim x 0 = 0 lim h(x) x 0 = 0, então, pelo resultdo nterior teremos lim x 0 g(x) = 0.

32 Diz-se que o limite de f (x) qundo x tende pr por vlores superiores é b, ou que b é o limite lterl direito de f (x) qundo x tende pr, e escreve-se lim f (x) = b, sse x + ε > 0 δ > 0 : x D f < x < + δ f (x) b < ε. Do mesmo modo, diz-se que o limite de f (x) qundo x tende pr por vlores inferiores é b, ou que b é o limite lterl esquerdo de f (x) qundo x tende pr, e escreve-se lim f (x) = b, sse x ε > 0 δ > 0 : x D f δ < x < f (x) b < ε. Exemplo A função de Heviside é f.r.v.r. definid por { 0, x < 0; H(x) = 1, x > 0. Os seus limites lteris qundo x tende pr zero são lim H(x) = 1 e lim H(x) = 0. x 0 + x 0

33 É condição necessári e suficiente pr que exist lim f (x) que existm e sejm x iguis os limites lteris lim f (x) e lim f (x). x + x Condição 1 necessári: Suficiente: Suponhmos que lim f (x) = lim f (x) = b, i.e. x + x ε > 0 δ 1 > 0 : x D f < x < + δ 1 f (x) b < ε ε > 0 δ > 0 : x D f δ < x < f (x) b < ε. Sendo δ = min δ1,δ tem-se ou sej ε > 0 δ > 0 : x D f < x < + δ f (x) b < ε ε > 0 δ > 0 : x D f δ < x < f (x) b < ε, ε > 0 δ > 0 : x D f δ < x < + δ f (x) b < ε, i.e. lim x f (x) = b.

34 Exemplo A função de Heviside H(x) não tem limite qundo x tende pr zero pois tl como vimos, os seus limites lteris são diferentes. lim f (x) = b ε > 0 δ > 0 x > 1 f (x) b < ε; x + δ lim f (x) = b ε > 0 δ > 0 x < 1 f (x) b < ε; x δ lim f (x) = + ε > 0 δ > 0 0 < x < δ f (x) > 1 x ε ; lim f (x) = ε > 0 δ > 0 0 < x < δ f (x) < 1 x ε ; lim f (x) = + ε > 0 δ > 0 x > 1 x + δ f (x) > 1 ε ; lim f (x) = ε > 0 δ > 0 x > 1 x + δ f (x) < 1 ε ; lim f (x) = + ε > 0 δ > 0 x < 1 x δ f (x) > 1 ε ; lim x + f (x) = + ε > 0 δ > 0 x < 1 δ f (x) < 1 ε.

35 Continuidde Sej f um f.r.v.r. Diz-se que f é contínu num ponto D f sse 1 f está definid num vizinhnç do ponto ; existe lim x f (x); 3 lim x f (x) = f (). ou equivlentemente ε > 0 δ > 0 : x < δ f (x) f () < ε. Exemplo A função de Heviside não é contínu em x = 0 pois, tl como vimos, não existe limite d função nesse ponto.

36 Diz-se que f é contínu à esquerd de um ponto D f sse lim f (x) = f (). x Do mesmo modo, diz-se que f é contínu à direit de um ponto D f sse lim f (x) = f (). x + Um função diz-se contínu no intervlo fechdo [, b] sse f é contínu em todos os pontos do intervlo ], b[ e se lim x f (x) = f () e lim f (x) = f (b). + x b

37 Se s funções f e g são contínus em, então tmbém o são s funções: f + g, f g, fg e f, desde que g() 0. g Dem.: Fremos pens demonstrção d continuidde de f + g. As restntes provs seguem o mesmo rciocínio e são deixds pr exercício. Queremos então mostrr que existe limite de f + g qundo x e que lim (f + g)(x) = (f + g)(). x Sendo f e g funções contínus em, então pelo que lim f (x) x = f () lim g(x) x = g() lim [(f + g)(x)] = lim [f (x) + g(x)] = lim f (x)+ lim g(x) = f ()+g() = (f +g)(). x x x x

38 Consequêncis deste resultdo: Um função polinomil é contínu em R; Um função rcionl é contínu em todo o seu domínio. Se f é um função contínu em b e se lim x g(x) = b, então Dem.: Pretendemos mostrr que ( ) lim f (g(x)) = f lim g(x) = f (b). x x ε > 0 δ > 0 : x D f g 0 < x < δ (f g)(x) f (b) < ε. Como f é contínu em b, existe δ 1 > 0tl que se y b < δ 1 então f (y) f (b) < ε. Em prticulr, pr y = g(x) tem-se g(x) b < δ 1 f (g(x)) f (b) < ε. (1) Por outro ldo, como lim x g(x) = b então existe δ > 0 tl que De (1) e () result então 0 < x < δ g(x) b < δ 1. () ε > 0 δ > 0 : 0 < x < δ f (g(x)) f (b) < ε lim x f (g(x)) = f (b).

39 Como consequênci do resultdo nterior temos que: Se s funções g e f são contínus em e b = g(), respectivmente, então função (f g) é contínu em. ( ) Dem.: lim f (g(x)) = f lim g(x) = f (g()) = (f g)(). x x O resultdo que se segue é conhecido como o teorem do vlor intermédio. Sej f um função contínu em [, b] e k um rel estritmente compreendido entre f () e f (b), f () f (b). Então existe pelo menos um rel c ], b[ tl que f (c) = k.

40 Um cso prticulrmente importnte é ddo qundo k = 0 ( teorem de Bolzno). Exemplo Mostremos que função f (x) = x ln x 1 tem um ríz no intervlo ]1, [. Or como f é um função contínu no intervlo [1, ] (porquê?) e como f (1) = 1 < 0 e f () = ln > 0 então pelo teorem do vlor intermédio, existe um c ]1, [ tl que f (c) = 0.

41 Teorem de Weierstrss Qulquer função contínu num intervlo limitdo, fechdo e não vzio tem máximo e mínimo nesse intervlo. Isto signific que sendo f um função contínu num intervlo I = [, b], então existe x min, x mx I tl que pr todo o x I se tem f (x min ) f (x) e f (x mx ) f (x). A x min e x mx dão-se os nomes de ponto de mínimo e ponto de máximo, respectivmente, de f em I. A m = f (x min ) e M = f (x mx ) dão-se os nomes de mínimo e máximo (respectivmente) de f em I. Exemplo A função f (x) = xe x 1 tem máximo e mínimo no intervlo I = [0, 1] um vez que f é contínu no intervlo I (porquê?) que é um intervlo limitdo e fechdo.

42 Rect tngente um curv num dos seus pontos Sej f um f.r.v.r. e P 0 = (x 0, y 0 ), P 1 = (x 1, y 1 ) pontos d curv representtiv d função. y t P1 O declive d rect secnte P 0 P 1 é y1 y0 P0 m 1 = y 1 y 0 x 1 x 0. x0 x1 x Qundo P 1 se move sobre curv e se proxim de P 0, s sucessivs secntes P 0 P n proximm-se cd vez mis d posição d rect t. y P0 P3 P P1 x

43 A rect t, tngente à curv no ponto P 0 pode então definir-se como sendo rect que ou sej, pss por P 0, tem por declive o limite dos declives ds rects secntes definids por P 0 e por um ponto P = (x, y) vriável, qundo P se proxim de P 0, e um equção d rect t é m = y y 0 lim x x0 x x 0 ou m = f (x) f (x 0 ) lim, x x0 x x 0 y y 0 = m(x x 0 )

44 Exemplo Determinemos equção d rect tngente o gráfico de f (x) = x 1 no ponto de bciss x = 1. Como f (1) = 0, s coordends do ponto são (x 0, y 0 ) = (1, 0). O declive d rect tngente é m = f (x) f (1) x 1 lim = lim x 1 x 1 x 1 x 1 = (x 1)(x + 1) lim = lim (x + 1) =. x 1 x 1 x 1 A equção d rect tngente é y 0 = (x 1) y = x.

45 Derivd de um função num ponto Sej y = f (x) um f.r.v.r. definid em ], b[. f diz-se derivável em x 0 ], b[ se existe f (x) f (x 0 ) lim x x 0 x x 0 que se chm derivd de f em x 0 e se represent por f (x 0 ). Fzendo x = x 0 + h, obtém-se fórmul equivlente f f (x 0 + h) f (x 0 ) (x 0 ) = lim. h 0 h

46 Exemplo Clculemos, prtir d definição, derivd de f (x) = x + 9 no ponto x = 4. f f (x) f (4) x (4) = lim = lim x 4 x 4 x 4 x 4 ( x = lim + 9 5)( x ) x 4 (x 4)( x ) = lim x 4 x 16 (x 4)( x ) = lim x 4 x + 4 = lim x 4 x = 8 10 = 4 5. (x 4)(x + 4) (x 4)( x )

47 Derivds lteris Consideremos função f x f (x) = { x + 7, x < x + 1, x x - 6 Vejmos se f é derivável no ponto =. Pr tl, procuremos o f (x) f () lim. x x

48 Já vimos que é condição necessári e suficiente pr que este limite exist, que existm e sejm iguis os limites lteris f (x) f () lim x + x e f (x) f () lim. x x A estes limites lteris chmm-se, respectivmente, derivd à esquerd e derivd à direit de f no ponto =. Como f () = 3, vem f (x) f () lim x + x f (x) f () lim x x (x + 1) 3 x = lim = lim x + x x + x = 1, = lim x ( x + 7) 3 x (x )(x + ) = lim = 4, x x e ssim sendo não existe lim x f (x) f () x e portnto f não é derivável no ponto =.

49 Diz-se que f é derivável: à esquerd de x 0 se existe o limite lim x x 0 f (x) f (x 0 ) x x 0 que se chm derivd lterl esquerd de f em x 0 e se represent por f e(x 0 ); à direit de x 0 se existe o limite lim x x + 0 f (x) f (x 0 ) x x 0 que se chm derivd lterl direit de f em x 0 e se represent por f d (x 0); derivável em x 0 sse existirem e forem iguis f e(x 0 ) = f d (x 0). Neste cso, f (x 0 ) = f e(x 0 ) = f d (x 0).

50 Not: Há csos em que existênci de derivd num ponto depende pens d existênci de um derivd lterl. É o cso d função f (x) = x 1, cujo domínio é D f = [1, + [ e portnto não fz sentido flr-se d derivd lterl esquerd no ponto x = 1. Como f d (1) = lim x 1 + x 1 x 1 = + f (1) = f d (1) e ssim derivd de f em x = 1 não é finit. Um função diz-se diferenciável num ponto se, nesse ponto, tiver derivd finit.

51 Tod função diferenciável num ponto é contínu nesse ponto. Dem.: Suponhmos que f é diferenciável em x 0. Como então donde f (x) f (x 0 ) = f (x) f (x 0) x x 0 (x x 0 ) f (x) f (x 0 ) lim (f (x) f (x 0 )) = lim (x x 0 ) x x 0 x x 0 x x 0 ou sej, f é contínu em x 0. f (x) f (x 0 ) = lim lim (x x 0 ) = 0, x x 0 x x 0 x x 0 }{{}}{{} f (x 0 ) 0 }{{} finit lim (f (x) f (x 0 )) = 0 lim f (x) = f (x 0 ), x x 0 x x 0

52 Not: O recíproco deste resultdo não é verddeiro, pois há funções que são contínus num ponto e nem sequer dmitem derivd nesse ponto. É o cso d função f x f (x) = x = { x, x 0 -x, x > x que em x = 0 é contínu pois lim f (x) = lim f (x) = f (0) = 0 x 0 x 0 + e não é derivável um vez que f d x 0 (0) = lim x 0 + x 0 = lim x x 0 + x = 1 f e(0) = lim x 0 x 0 x 0 = lim x 0 ( x x ) = 1

53 A função derivd Consideremos função f (x) = x. Podemos clculr derivd dest função em qulquer ponto x R. Por exemplo f f (x) f (1) x 1 (1) = lim = lim x 1 x 1 x 1 x 1 = lim (x 1)(x + 1) =. x 1 x 1 Sendo x 0 R rbitrário f f (x) f (x 0 ) x x0 (x 0 ) = lim = lim x 1 x x 0 x 1 x x 0 (x x 0 )(x + x 0 ) = lim = x 0 x 1 x 1 Podemos então escrever f (x 0 ) = x 0 ou, simplesmente, f (x) = x. Determinmos ssim função f (x) que se design função derivd de f.

54 Derivd de um função f é um nov função cujo domínio é o conjunto de todos os pontos nos quis f tem derivd finit; que cd ponto do seu domínio fz corresponder derivd d função nesse ponto. Um função diz-se diferenciável num intervlo ], b[ qundo tem derivd finit em todos os pontos desse intervlo; dizse diferenciável em [, b] se for diferenciável em ], b[ e diferenciável à direit de e à esquerd de b.

55 Derivd d função fim Sendo f (x) = x + b,, b R tem-se f (x) =, x R. Dem.: Sendo x 0 R rbitrário f (x 0 ) = f (x) f (x 0 ) x + b x 0 b lim = lim x x0 x x 0 x x0 x x 0 = (x x 0 ) lim =. x x0 x x 0

56 Derivd d som, diferenç e produto de funções Sendo f e g funções diferenciáveis em ], b[, s funções f ±g e fg são diferenciáveis em ], b[ e (f (x) ± g(x)) = f (x) + g (x); (f (x)g(x)) = f (x)g(x) + f (x)g (x) Dem: Provemos que o produto de funções diferenciáveis é um função diferenciável: (f (x)g(x)) = lim h 0 f (x + h)g(x + h) f (x)g(x) h f (x + h)g(x + h) f (x)g(x + h) + f (x)g(x + h) f (x)g(x) = lim h 0 h f (x + h) f (x) g(x + h) g(x) = lim g(x + h) + lim f (x) h 0 h h 0 h f (x + h) f (x) g(x + h) g(x) = lim g(x) + lim f (x) h 0 h h 0 h = f (x)g(x) + g (x)f (x).

57 Derivd do quociente de funções Sendo f e g funções diferenciáveis em ], b[, se g(x) 0 x ], b[, função f g é diferenciável em ], b[ e Dem: ( ) f (x) = f (x)g(x) f (x)g (x) g(x) (g(x)) ( ) f (x) f (x+h) g(x+h) = lim f (x) g(x) g(x) h 0 h = lim h 0 f (x + h)g(x) f (x)g(x + h) hg(x)g(x + h) = lim h 0 f (x + h)g(x) f (x)g(x) + f (x)g(x) f (x)g(x + h) hg(x)g(x + h) f (x + h) f (x) g(x) g(x + h) = lim g(x) + lim h 0 hg(x)g(x + h) h 0 hg(x)g(x + h) f (x) = lim f (x+h) f (x) h 0 g(x) h lim h 0 (g(x)g(x + h)) + lim g(x) g(x+h) h 0 f (x) h lim h 0 (g(x)g(x + h)) = f (x)g(x) (g(x)) + g (x)f (x) (g(x)) = f (x)g(x) f (x)g (x) (g(x)).

58 Sendo f um função diferenciável em ], b[, e n N então função f n é diferenciável em ], b[ e ( f n (x) ) = nf (x)f n 1 (x). Sendo g um função diferenciável em x 0 e f um função diferenciável em g(x 0 ), então (f g) é diferenciável em x 0 e (f g) (x 0 ) = f (g(x 0 ))g (x 0 ). Sendo f um função bijectiv e diferenciável em x 0 então invers de f, f 1, é diferenciável em y 0 = f (x 0 ) e ( ) f 1 1 (y 0 ) = f (x 0 ).

59 Exemplo 1 Sbendo que f é um f.r.v.r. tl que f (4) = 5 e f (4) =, clculemos ( f 1 (5) ). Atendendo o resultdo nterior, com x 0 = 4 e y 0 = 5, temos ( ) f 1 1 (5) = f (4) = 1. Sendo f (x) = n x, com n N, f (x) = 1 n n x n 1.

60 Derivd d função sin x A função sin x é diferenciável em R e Dem.: Sendo f (x) = sin x, (sin x) = cos x. f sin(x + h) sin x sin x+h x (x) = lim = lim h 0 h h 0 h sin h ( = lim lim h 0 h cos x + h ) ( = cos lim h 0 h 0 }{{} 1 cos x+h+x ( x + h Sendo u um função de x diferenciável em ], b[, então pel regr d derivd d função compost tem-se (sin u) = u cos u. )) = cos x

61 Derivd d função cos x A função cos x é diferenciável em R e (cos x) = sin x. Dem.: ( ( (cos x) π )) = sin x ( π ) = ( 1) cos x = sin x Sendo u um função de x diferenciável, então pel regr d derivd d função compost tem-se (cos u) = u sin u.

62 Derivd d função tn x A função tn x é diferenciável no seu domínio e (tn x) = 1 cos x = 1 + tn x = sec x. Dem.: Como tn x = sin x cos x, pel regr d derivção de um quociente (tn x) = ( ) sin x = (sin x) cos x sin x (cos x) cos x cos x = cos x + sin x cos x = 1 cos x Sendo u um função de x diferenciável, então pel regr d derivd d função compost tem-se (tn u) = u cos u.

63 Derivd d função cot x A função cot x é diferenciável no seu domínio e (cot x) = 1 sin x = 1 cot x = cosec x. Sendo u um função de x diferenciável, então pel regr d derivd d função compost tem-se (cot u) = u sin u.

64 Derivd d função rcsin x A função rcsin x é diferenciável no seu domínio e (rcsin x) = 1 1 x. Dem.: y = rcsin x, com π < y < π é função invers d funçõ x = sin y. Pel regr d dervd d função invers: y = = 1 (y 1 ) = 1 x = 1 (sin y) 1 cos y = 1 1 sin y = 1 1 x. Sendo u um função de x diferenciável, então pel regr d derivd d função compost tem-se (rcsin u) = u 1 u.

65 Derivd d função rccos x A função rccos é diferenciável no seu domínio e (rccos x) 1 =. 1 x Sendo u um função de x diferenciável, então pel regr d derivd d função compost tem-se (rccos u) = u 1 u.

66 Derivd d função rctn x A função rctn é diferenciável em R e (rctn x) = x. Sendo u um função de x diferenciável, então pel regr d derivd d função compost tem-se (rctn u) = u 1 + u.

67 Derivd d função rcotx A função rcot é diferenciável em R e (rcotx) = x. Sendo u um função de x diferenciável, então pel regr d derivd d função compost tem-se (rcotu) = u 1 + u.

68 Derivd d função e x A função e x é diferenciável em R e Dem.: (e x ) = e x. (e x ) = e x+h e x lim h 0 h = e x e h 1 lim h 0 h }{{} 1 = lim h 0 e x (e h 1) h = e x Sendo u um função de x diferenciável, então pel regr d derivd d função compost tem-se (e u ) = u e u.

69 Derivd d função x, > 0 A função x, > 0 é diferenciável em R e Dem.: ( x ) = ( x ) = x ln. (e ln x ) = (e x ln ) = (x ln ) e x ln = ln } e x {{ ln } = x ln x Sendo u um função de x diferenciável, então pel regr d derivd d função compost tem-se ( u ) = u u ln.

70 Derivd d função ln x A função ln x é diferenciável em R + e (ln x) = 1 x. Dem.:Sendo y = ln x, pel regr d derivd d função invers y = 1 (e y ) = 1 e y = 1 x Sendo u um função de x diferenciável, então pel regr d derivd d função compost tem-se (ln u) = u u.

71 Derivd d função log x, R + \{1} A função log x, R + \{1} é diferenciável em R + e Dem.: (log x) = 1 x ln. (log x) = (log e ln x) = 1 x log e = 1 x ln Sendo u um função de x diferenciável, então pel regr d derivd d função compost tem-se (log u) = u u ln.

72 Primitivs Dá-se o nome de primitivção ou integrção o processo de obter um função prtir d su derivd, i.e., dd um função f, função F tl que F (x) = f (x), é um primitiv de f. Resumindo, primitivr ou integrr é operção invers d operção derivção. Se um função tem um primitiv, então tem um infinidde dels, pois bst somr um constnte um primitiv pr se obter outr. Se F é um primitiv de f, então s primitivs de f são d form F(x) + C, onde C é um constnte, e são só esss.

73 Us-se o símbolo f (x)dx, e lê-se integrl de f em ordem x, pr representr form gerl ds primitivs de f. O símbolo dx indic vriável reltivmente à qul se primitiv. Exemplo A função F 1 (x) = x x é um primitiv de f (x) = x 1. O mesmo se pode dizer d função F (x) = x x 100. Podemos então escrever (x 1)dx = x x + c, onde C é um constnte rbitrári.

74 Primitivs imedits São tods quels que se obtêm por um simples reversão ds regrs de derivção. Alguns exemplos: x n dx = { x n+1 n+1 + C, n 1 ln x + C, n = 1 f n (x)f (x)dx = { f n+1 (x) n+1 + C, n 1 ln f (x) + C, n = 1 e x dx = e x + C e f (x) f (x)dx = e f (x) + C

75 cos xdx = sin x + C cos (f (x)) f (x)dx = sin (f (x)) + C sin xdx = cos x + C sin (f (x)) f (x)dx = cos (f (x)) + C tn xdx = sin x cos x dx = ( 1) sin x cos x dx = ( 1) (cos x) cos x dx = ln(cos x) + C 1 dx = rctn x + C 1+x f (x) dx = rctn f (x) + C 1+(f (x)) kf (x)dx = k f (x)dx, onde k é um constnte (f (x) + g(x))dx = f (x)dx + g(x)dx

76 Primitivção por prtes Result d regr d derivção de um produto: (u(x)v(x)) = u (x)v(x) + u(x)v (x) u (x)v(x) = (u(x)v(x)) u(x)v (x). As primitivs de funções iguis são iguis, logo u (x)v(x)dx = (u(x)v(x)) dx u(x)v (x)dx u (x)v(x)dx = u(x)v(x) u(x)v (x)dx A est últim iguldde dá-se o nome de fórmul de primitivção por prtes e us-se qundo o integrl de uv é mis simples que o integrl de u v.

77 Exemplo x }{{} v e }{{} x dx = e u x x e x dx = e x x e x + C u = e x e u = e x v = x e v = 1 u = 1 e u = x v = ln x e v = 1 x ln xdx = 1 ln x dx }{{}}{{} = u v x ln x x 1 x dx = x ln x 1dx = x ln x x + C

78 e }{{} x u cos x }{{} v dx = e x cos x e x ( sin x)dx = e x cos x + e }{{} x sin x dx }{{} u v = e x cos x + e x sin x e x cos xdx + C. Ou sej, e x cos xdx = e x cos x + e x sin x e x cos xdx + C e x cos xdx = e x cos x + e x sin x + C e x cos xdx = 1 ex (cos x + sin x + C)

79 Primitivção por substituição Result d regr de derivção d função compost. Se F(x) é um primitiv de f num intervlo I e se g(t) for um função diferenciável num intervlo J tl que g(j) I, então função compost θ(t) = F(g(t)) é diferenciável em J e θ (t) = F (g(t))g (t) = f (g(t))g (t). Ou sej, primitiv de f (g(t))g (t) será igul ( menos de um constnte ditiv) θ(t), i.e. à compost F g. Resumindo, se soubermos primitivr f (g(t))g (t), então pr obter F bst compor F g com invers de g, que pr tl há que supor invertível. f (x)dx = f [g(t)]g (t)dt

80 Exemplo Clculemos x 4 x 3 +1 dx. Fzendo substituição x = g(t) = t 4, g (t) = 4t 3, x 4 x dx = = = x 1 ( t 4 ) 1 x dx = 4t 3 dt (t 4 ) (4t 4t t t 5 t dt = 4t dt 4 3 3t t dt = ) dt = 4 3 t3 4 3 ln(t3 + 1) + C e como t = x 1 4 = 4 3 x ln ( x ) + C

81 Primitivs de funções rcionis Função rcionl: frcção de dus funções polinomiis N(x) D(x) Gru do polinómio do numerdor é superior ou igul o gru do polinómio do denomindor: Sendo N(x) um polinómio rbitrário e D(x) um polinómio de gru superior ou igul 1, existem sempre polinómios C(x) e R(x), univocmente determindos, verificndo s condições 1 N(x) = D(x)C(x) + R(x), x R; o gru do polinómio R é inferior o do polinómio D. Exemplo donde x 3 + x + x + x + x x 3 + x + x + x + x = x + x + x + x ( dx = x + x + ) x dx = x + ln x + + C + x

82 Gru do polinómio do numerdor é inferior o gru do polinómio do denomindor (frcções própris): (I) O denomindor é um polinómio de gru 1: A primitivção é imedit. Exemplo x dx = 1 dx = ln x + C x

83 (II) O denomindor é um polinómio de gru > 1: Tod função rcionl própri pode ser decompost n A som de frcções simples (i.e. frcções d form ou Bx+C ((x p) +q ) k, com A, B, C, α, p, q R, k N). (x α) k 1 Cd ríz rel α de D(x), de multiplicidde k dá origem à som ds k frcções simples A 1 (x α) k, A (x α) k 1,..., A k x α Cd pr de rízes complexs p ± qi de D(x), de multiplicidde k dá origem à som ds k frcções simples B 1 x + C 1 ((x p) + q ) k, B x + C ((x p) + q ) k 1,..., B k x + C k (x p) + q

84 Exemplo 4x + x + 1 x 3 x = A x + B x 1 + C x + 1. Determinemos s constntes A, B e C, pelo método dos coeficientes indetermindos. Desembrçndo os denomindores obtém-se 4x + x + 1 = A(x 1)(x + 1) + Bx(x + 1) + Cx(x 1) = (A + B + C)x + (B C)x A. A + B + C = 4 B C = 1 A = 1 A = 1, B = 3 e C = 4x + x + 1 x 3 x = 1 x + 3 x 1 + x + 1, 4x ( + x + 1 x 3 dx = 1 x x + 3 x 1 + ) dx x + 1 [ (x 1) 3 ] = ln x + 3 ln x 1 + ln x C = ln x (x + 1)

85 Exemplo x 3 + 5x + 6x + x(x 1) 3 = A 1 x A (x + 1) + A 3 (x + 1) 3 + B x. Pelo método dos coeficientes indetermindos, obtém-se (verifique) A 1 = 0, A = 1, A 3 = 1 e B =. Então x 3 + 5x + 6x + x(x 1) 3 dx = = = ( 1 (x + 1) 1 (x + 1) 3 + ) x 1 x ln x + C (x + 1) x + 1 (x + 1) + ln x + C

86 Exemplo x + x 3 1 = A x 1 + Bx + C x + x + 1. Pelo método dos coeficientes indetermindos, obtém-se A = 1, B = 1 e C = 1. Logo x + x 3 1 dx = 1 x 1 dx x x x dx = ln x 1 + x + 1 x + x + 1 dx + D 1 x + 1 = ln x 1 x + x + 1 dx 1 1 x + x + 1 dx + D = ln x 1 1 ) (x ln + x x dx + E. + x + 1 Rest-nos clculr 1 x + x + 1 dx = = 1 ( ) dx = 4 3 ( x ( ( rctn 3 x + 1 )) + F 3 3 x+ 1 3 ) dx

87 Sej f um f.r.v.r. contínu e positiv num intervlo [, b] y f x b x e suponhmos que pretendemos clculr áre d região zul, i.e., áre d região { } R = (x, y) R : x b, e 0 y f (x).

88 Pr clculr um vlor proximdo dest áre: considere-se um prtição P de [, b] em n subintervlos disjuntos, definid pelos pontos P = {x 0 =, x 1, x,..., x n = b} ; considerem-se os rectângulos de bse x i = x i+1 x i }{{} mplitude do intervlo [x i,x i+1 ] e de ltur f (c i ), c i [x i, x i+1 ]; y f x x0 x1 x... xn 1 b xn x

89 Independentemente d escolh do ponto c i, áre de cd rectângulo é dd por x i f (c i ), i = 0, 1,..., n 1, e portnto um proximção d áre pretendid pode ser dd pel expressão n 1 R P = x i f (c i ) i=0 }{{} Som de Riemnn de f em relção à prtição P É clro que qunto mior for o número de pontos n prtição, melhor será proximção, pelo que n 1 A = lim x i f (c i ) n i=0.

90 x = mx i=0,1,...,n 1 x i, Sej f um f.r.v.r. definid em [, b] e I um número rel. Dizemos que n 1 lim x i f (c i ) = I x 0 i=0 sse ε > 0 δ > 0 : n 1 x < δ x i f (c i ) I i=0 < ε. Sej f um f.r.v.r. definid em [, b]. O integrl definido de f desde té b, representdo por b f (x)dx, é ddo por b n 1 f (x)dx = lim x i f (c i ) x 0 i=0 desde que este limite exist, cso contrário dizemos que f não é integrável em [, b]. e b são os chmdos extremos de integrção, inferior e superior, respectivmente. A f dá-se o nome de função integrnd.

91 Sej f um f.r.v.r. definid e integrável em [, b]. Então b f (x)dx = se D f então f (x)dx = 0. b f (x)dx Se f é contínu em [, b] então f é integrável em [, b]. Not: O recíproco deste teorem nem sempre é verdde!isto signific que podemos ter funções integráveis num ddo intervlo que não sejm contínus nesse intervlo.

92 Resumindo: Se f é um f.r.v.r. contínu e positiv em [, b] então A = b f (x)dx represent áre d região sob curv de f e cim do eixo dos xx, limitd pels rects x = e x = b.

93 Proprieddes do integrl definido (I) Se f é um função constnte em [, b], i.e., f (x) = C, x [, b], então b Dem.: Com efeito, b f (x)dx = f (x)dx = C(b ). lim i f (c i) x i. x 0 Como f é constnte e igul C em [, b], então f (c i ) = C, i, logo f (c i ) x i = C x i = C x i = C(b ). i i i Exemplo 5 1 πdx = π(5 1) = 4π.

94 (II) Se f é integrável em [, b] e se C é um constnte, então Cf tmbém é integrável em [, b] e b b Cf (x)dx = C f (x)dx. Dem.: Or, b Cf (x)dx = lim Cf (c i ) x i = lim C f (c i ) x i x 0 x 0 i i b = C lim f (c i ) x i = C f (x)dx 0 i

95 (III) b (IV) Se c b, (f (x) + g(x)) dx = b f (x)dx = (V) Se f (x) 0 x [, b] b c b b f (x)dx + g(x)dx. b f (x)dx + f (x)dx. c f (x)dx 0.

96 (VI) Se f e g são funções integráveis em [, b] e se f (x) g(x), x [, b] então b f (x)dx b g(x)dx. Dem.: Se f é integrável, por (II), g tmbém o é. Por (III) conclui-se que o mesmo é verdde pr (f + ( g)) = (f g). Finlmente, tendendo (V ), como f (x) g(x) f (x) g(x) 0, x [, b], result b (f (x) g(x)) dx 0 b b f (x)dx + ( g(x)) dx 0 b b b b f (x)dx g(x)dx 0 f (x)dx g(x)dx

97 (VII) Se f é integrável em [, b] e se m f (x) M, x [, b] então m(b ) b f (x)dx M(b ). Dem.: De (VI) result b mdx }{{} m(b ) b b f (x)dx Mdx }{{} M(b )

98 (VIII) Se f é contínu e não negtiv em [, b] e se existe pelo menos um c [, b] tl que f (c) > 0 então b f (x)dx > 0. (IX) Sendo f e g funções contínus em [, b] tis que f (x) g(x), x [, b]. Se f g, então b f (x)dx > b g(x)dx.

99 Teorem do vlor intermédio pr integris Se f é um f.r.v.r. contínu em [, b], então existe pelo menos um c ], b[ tl que b f (x)dx = f (c)(b ). Dem.: Se f é um função constnte em [, b], este resultdo já está provdo em (I). Suponhmos então que f não é constnte em [, b]. Se m e M forem, respectivmente, o mínimo e o máximo de f em [, b], então m < M e pelo teorem do vlor intermédio, existe pelo menos um w ], b[ tl que m < f (w) < M. Como lém disto, m f (x) M, x [, b], de (IX) result que b b b mdx < f (x)dx < Mdx }{{}}{{} m(b ) M(b ) m < 1 b Supondo que m e M são tingidos em u e v, respectivmente, temos f (u) < 1 b b f (x)dx < f (v) e novmente pelo teorem do vlor intermédio, existe um c ], b[ tl que f (c) = 1 b b f (x)dx < M. b b f (x)dx f (x)dx = f (c)(b )

100 Teorem fundmentl do cálculo Se f é um f.r.v.r. contínu em [, b], então função G(x) = x f (t)dt, pr x [, b] é um primitiv de f em [, b]. Dem.: Temos que mostrr que G (x) = f (x) em [, b]. Por definição G G(x + h) G(x) (x) = lim. h 0 h G(x + h) G(x) = = x+h x f (t)dt f (t)dt x+h x+h f (t)dt + f (t)dt = f (t)dt. x x Pelo teorem do vlor médio pr integris, existe c ]x, x + h[ tl que x+h G(x + h) G(x) f (t)dt = f (c)(x + h x) = f (c)h = f (c), com x < c < x + h. x h Como f é contínu, lim f (c) = lim f (c) = f (x) = lim f (c) = lim f (c) pelo que h 0 + c x + x c + h 0 G(x + h) G(x) lim h 0 h = lim f (c) = f (x). h 0

101 Fórmul de Brrow Se f é um f.r.v.r. contínu em [, b]. Sendo F um primitiv de f então b f (x)dx = F(b) F(). Dem.: Sbemos já que função G(x) = x f (t)dt, pr x [, b] é um primitiv de f em [, b]. Sendo F um outr primitiv de f no mesmo intervlo, sbemos tmbém que x f (t)dt F (x) = C, C é um constnte, x [, b]. Se x = então f (t)dt F () = C F () = C, e portnto } {{ } 0 x f (t)dt F (x) = F (), x [, b]. Em prticulr, est iguldde é stisfeit qundo x = b, donde b b f (t)dt F (b) = F () f (t)dt = F (b) F ().

102 Not: É usul representr-se F(b) F() por [F(x)] b. Exemplo (4x 1)dx = [ x x ] 1 = ( 1) (0 0) = 1; x dx = [rctn x] 1 0 = rctn 1 rctn 0 = π 4 0 = π 4 ; 1 1 x dx = 0 1 x dx x dx = 0 1 ( x)dx xdx = 1 0 xdx + [ ] 1 0 xdx = x 1 [ ] + x 1 0 = = 1.

103 Not: De cordo com definição de integrl definido, se função integrnd f é contínu e não negtiv em [, b], então b f (x)dx represent áre limitd pels rects verticis x =, x = b, Pelo eixo dos xx e pel curv y = f (x). E se f for um função negtiv em [, b]? Neste cso, b f (x)dx não represent áre pretendid, ms sim o simétrico dess áre, i.e.: b A = f (x)dx y y x b y f x y f x b x y f x

104 E se pretendermos clculr áre limitd por dus curvs contínus y = f (x) e y = g(x) e pels rects verticis x = e x = b? y y f x y g x Supondo que f e g são não negtivs, b x b f (x)dx represent áre limitd por x =, x = b, y = 0 e y = f (x); y y f x y g x b x b g(x)dx represent áre limitd por x =, x = b, y = 0 e y = g(x); y y f x y g x b x logo, áre pretendid é dd por A = b f (x)dx b g(x)dx = b (f (x) g(x)) dx.

105 Exemplo Clculemos áre limitd pels curvs de equções y 1 y x 1 x y x = y, x = y 1, y = 1 e y = x A = = 0 1 ( ) 1 ( ) (x + 1 ( 1)) dx + 1 x dx + x ( 1) dx [ ( ) x ] 0 [ (x + ) dx + x dx = 0 + x + x x ] = = 8 3

106 Pode definir-se tmbém o integrl definido de x = g(y) de c d do mesmo modo que foi feito pr um função y = f (x) de b. Se função x = g(y) for contínu no intervlo [c, d] e se g(y) 0 y [c, d], então d c g(y)dy represent áre limitd pels rects y = c, y = d, pelo eixo dos yy e pel Do mesmo modo, curv x = g(y). y d x g y c x d c (g(y) h(y)) dy, g(y) h(y), y [c, d], represent áre limitd pels rects y = c, y = d, pelo eixo dos yy e pels curvs x = g(y) e x = h(y). y d c x h y x g y x

107 Exemplo A áre pretendid do exemplo nterior pode ssim ser representd trvés de um único integrl definido: A = = 1 1 ( ) 1 y (y 1) dy = [ y 3 3 y + y ] 1 1 = ( ) y y + 1 dy

108 Volumes de sólidos de revolução Considere-se um região pln limitd pel curv y = f (x) que se supõe positiv e contínu em [, b], pelo eixo dos xx e pels rects verticis x = e x = b. Considere-se o sólido obtido por revolução dess região em torno do eixo dos xx que, ssim sendo, se chm eixo de revolução. y f x x0 x1 x... xn 1 b xn x A um decomposição do intervlo [, b] em n subintervlos [x k 1, x k ] corresponde um decomposição do volume V em n volumes V k. Sendo m k e M k o mínimo e o máximo de f em [x k 1, x k ], então πm k (x k x k 1 ) V k πm k (x k x k 1 ), k = 1,..., n,

109 pelo que π n mk (x k x k 1 ) k=1 }{{} S. de Riemnn de f n V k π k=1 n Mk (x k x k 1 ) k=1 }{{} S. de Riemnn de f Or f contínu em [, b] f contínu em [, b] f integrável em [, b], logo se fizermos tender pr zero mplitude dos intervlos: n lim π mk (x k x k 1 ) = π x 0 k=1 n k=1 b Mk (x k x k 1 ) = π [f (x)] dx. e portnto V = n k=1 b V k = π [f (x)] dx.

110 Exemplo Um esfer de rio r pode ser considerd como um sólido de revolução gerdo por rotção de um semi-círculo (f (x) = r x, r x r) em torno dos xx. Assim, o seu volume é ddo por r V = π r = π [r x x 3 3 ( r x ) dx = π r ] r r = π 3 r 3 = 4 3 πr 3 r ( r x ) dx ( = π r 3 r r 3 r 3 3 )

111 Exemplo Fz-se rodr em torno do eixo dos yy região do primeiro qudrnte limitd pels curvs y = 1 8 x 3 x = y 1 3 e y = x x = y. Determinemos o volume do sólido ssim obtido. y x 8 V = π 0 = π = π [ 4y 5 3 [ ( ) y 1 ( y ) ] 3 dy = π ] 8 y ( ) [ 1 = π = π y ] 8 1 y 3 (4y 3 14 y ) dy 0

112 Cscs cilindrics Considere-se rotção em torno do eixo dos yy de de um rectângulo limitdo pelo eixo dos xx, rect y = h e s rects x = r 1 e x = r, com 0 r 1 r e h > 0. O sólido ssim obtido design-se por csc cilindric e o seu volume é ddo por V = πr h πr 1 ( h ) = πh r r 1 = πh r 1 + r (r r 1 ) i.e., o volume de um csc cilíndric obtém-se multiplicndo π pelo rio médio, ltur e espessur.

113 Sej f um função contínu e não negtiv em [, b] com > 0 e R um região do plno limitd pelo gráfico de f, pelo eixo dos xx e pels rects x = e x = b. Suponhmos que pretendemos determinr o volume do sólido gerdo por rotção d região R em torno do eixo dos yy. Pr tl, considere-se um prtição de [, b] em n subintervlos [x k 1, x k ], k = 1,..., n e sej x k o ponto médio de cd um desses intevlos: x k = x k 1 +x k. O volume V k d csc cilíndric obtid por rotção em torno do eixo dos yy do rectângulo de bse x k x k 1 e de ltur f ( x k ) é ddo por V k = πf ( x k ) x k (x k x k 1 ), k = 1,..., n. Somndo estes n volumes obtemos o volume totl pretendido: n πf ( x k ) x k (x k x k 1 ) k=1 }{{} Som de Riemnn de πxf (x) Fzendo mplitude dos subintervlos tender pr zero, obtemos b V = π xf (x)dx.

114 Exemplo Considere-se região limitd pelo gráfico d função y = x x y e pelo eixo dos xx, rodr em torno do eixo dos yy. Clculemos 0. o volume do sólido ssim obtido x V = π = π = 8π 3 0 x ( x x ) dx = π [ 3 x x 4 ] 0 0 ( x x 3) dx

115 Comprimento do rco de um curv pln Sej f um função derivável com derivd contínu em [, b]. O comprimento do rco d curv y = f (x) entre x = e x = b é ddo por Exemplo s = b 1 + [f (x)] dx. Clculemos o comprimento do rco d curv y = 4 x entre x = 0 e x =. Sendo f (x) = 4 x, então f (x) = 4 x x e portnto s = 1 + x 0 4 x dx = x dx. Efectundo substituição x = sin t vem π s = sin t π cos tdt = 0 π cos tdt = cos t 0 1 cos t cos tdt = π = π.