CAPÍTULO 1 - CONJUNTOS NUMÉRICOS

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1 CAPÍTULO - CONJUNTOS NUMÉRICOS.- Considerções Geris Sobre os Conjuntos Numéricos. Ao inicir o estudo de qulquer tipo de mtemátic não podemos provr tudo. Cd vez que introduzimos um novo conceito precismos defini-lo em termos de conceitos cujos significdos já são por nós conhecidos sendo quse impossível estr retornndo sempre definição de todos os conceitos nteriores. Então, precismos escolher o nosso ponto de prtid, isto é, o que vmos dmitir já sbido e o que vmos eplicr e provr em termos do que já foi suposto conhecido. Em nosso estudo dmitiremos o conhecimento dos números d dição, d subtrção, multiplicção e divisão por número diferente de zero..- Sistemtizção dos Conjuntos Numéricos Eistem diversos processos pr introduzir o conceito de número rel, entre os quis destcm-se o processo construtivo e o processo iomático. No processo construtivo prte-se de um número reduzido de conceitos primitivos medinte os quis surge o conjunto dos números nturis N={,,3,...}. Define-se depois sobre N dus operções dição e multiplicção, bem como um relção de ordem. Complet-se o estudo dos números nturis demonstrndo s proprieddes..3- Conjunto dos Números Nturis (N) Proprieddes: ) N. ) n N, n+ N e n+ é o sucessor de n. 3) m, n N se m+ = n+ m = n. 4) Sej S N com s proprieddes: ) S. b) s S s+ S. Logo, S = N (Princípio d Indução) Assim tem-se: N = {,,3,...} A som e o produto de dois números nturis ind são nturis, isto signific que o conjunto N é fechdo em relção dição e multiplicção. Eemplo: Sejm, b N = + b e =.b São equções que têm solução em N. Porém + = b ou. = b nem sempre tem solução em N.

2 .4- Conjunto dos Números Inteiros (Z) O conjunto dos números inteiros foi estruturdo prtir dos números nturis pr resolver s equções cim. Este conjunto foi sistemtizdo com introdução do elemento oposto. Ddo um número nturl, eiste (-) tl que + (-) = 0. Com isso nós incorpormos o zero. Z = {...,-3,-,-,0,,,3,...} O conjunto dos números inteiros é fechdo em relção s operções de dição, subtrção e multiplicção, ms não é em relção divisão, por est rzão equções d form. = b nem sempre tem solução em Z. Eemplo: = 5 = 5 Z.5- Conjunto dos Números Rcionis (Q) Q é um conjunto numérico formdo por números d form p q, onde p e q Z e q 0. Eemplo:,3,4/5... O conjunto dos números rcionis é fechdo em relção s operções de dição, subtrção, multiplicção e divisão, eceto divisão por 0; porém no conjunto dos números rcionis nem sempre é possível resolver equção = Eemplo: = = Q. Demonstrção que Q : O qudrdo de um número pr é pr:.n onde n é inteiro. (.n) = 4.n =.(.n ) é PAR. 3 N O qudrdo de um número ímpr é ímpr: n + (n + ) = 4n + 4n + =.(n + n) + é ÍMPAR. 443 N Demonstrção por contrdição: Suponh que Q Q = m m = = = m = n m é pr. n n m, n 0 e m e n não simultnemente pres, nem ímpres Se m é pr m =.k, então: (.k) =.n 4k = n k = n n é pr. O que contrdiz hipótese logo Q. Eemplos de números não rcionis:,379...; ;π;e.

3 .6- Conjunto dos Números Reis (R) É o conjunto dos números obtidos pel união dos números rcionis e irrcionis..6.- Conjunto dos Números Irrcionis (Q ) É o conjunto dos números tis que equção = tem sempre solução qundo é um número rcionl positivo. Os números irrcionis n notção deciml corresponde os decimis infinitos e não periódicos. Eemplos:, , π, e. Q Q'= φ ou { } Q Q' = R.6.- Aproimção Intuitiv d Noção do Conjunto dos Números Reis Os Números reis são ssocidos os pontos sobre um eio coordendo, que é um ret sobre qul está mrcd um escl como ret mostrd n Figur. O número 0 está ssocido o ponto mrcdo 0 sobre o eio. A set indic que os números positivos estão ssocidos os pontos à direit do ponto 0. A distânci entre os pontos mrcdos 0 e é distânci unitári. A letr indic que el está sendo usd pr se referir pontos sobre o eio coordendo e os números reis que eles representm Eio dos Proprieddes dos Números Reis Lei comuttiv d dição, R + = + Lei comuttiv d multiplicção, R. =. Lei ssocitiv d dição,, z R ( + ) + z = + ( + z) Lei ssocitiv d multiplicção,, z R (. ). z =. (. z) Lei d eistênci do elemento neutro d dição o 0 R / + 0 = : R Lei d eistênci do elemento neutro d multiplicção R /. = : R Lei d eistênci do elemento simétrico (oposto) d dição 3

4 R, R / + = 0 Lei d eistênci do elemento simétrico (inverso) d multiplicção R, 0, R /. = = - Lei distributiv d multiplicção em relção dição,, z R ( + z) =. +.z Lei do fechmento d dição, R + R Lei do fechmento d multiplicção, R. R Lei do cncelmento em relção dição,, z R se + z = + z = Lei do cncelmento em relção multiplicção,, z R e z 0 se. z =. z = Lei d tricotomi, R, vle um e somente um ds firmções: > ou < ou = Obs.: fzendo = 0, temos: > 0 ou < 0 ou = 0 Lei d comptibilidde d relção de ordem com dição,, z R se + z > + z > Lei d comptibilidde d relção de ordem com multiplicção,, z R e z > 0 se >. z >. z Obs.: se z < 0 : >. z <. z Lei d trnsitividde,, z R se > e > z > z Eercícios ) Respond (V) ou (F) e justifique. ) Se é um número positivo 5 é um número positivo b) Se < 3 e > 3 < 4

5 c) Se -5-5 d) Se 9 3 e) Se e > > 0 Resposts: (V) É certo pois se é positivo, 5 multiplicdo por um número positivo () sempre terá como resultdo um número positivo.] (V) É verddeiro porque se < 3, é qulquer número menor que 3 e sendo > 3, é qulquer número mior que 3. Assim <. (V) Podemos simplificr equção: -5-5 em. (F) É flso pois resolvendo inequção teremos: 9 = 9 = ± (V) > >.6.4- Representção Geométric dos Números Reis Eiste um correspondênci bionívoc entre os pontos de um ret e o conjunto dos números reis de tl form que cd ponto d ret fic determindo por um único número rel e todo número rel está ssocido um único ponto d ret negtivos 0 positivos Figur - Representção geométric dos números reis Espço Rel Unidimensionl Definições ) Conjunto liner Chm-se conjunto liner qulquer conjunto de números reis ou de seus pontos representtivos. ) Intervlos Os conjuntos de números encontrdos mis freqüentemente em cálculo são os intervlos e são subconjuntos d ret. Consider-se os seguintes csos: (sejm e b números reis tis que < b) ) Intervlo fechdo de etremos e b ou intervlo limitdo fechdo. É o conjunto que stisfz um condição d form b [ [ ] { R / b} b [, b] b) Intervlo berto de etremos e b ou intervlo limitdo berto. É o conjunto de números que stisfzem um condição d form <<b. ( ou ] [ ] { R / < < b} b (, b) ou ], b[ 5

6 c) Intervlos reis semi-bertos: c.) à esquerd ( ] { R / < b} b (, b] ou ], b] c.) à direit [ ) { R / < b} b [, b) ou [, b[ d) Intervlos reis ilimitdos d.) (-, b] { R / b} ] b d.) (-, b) { R / < b} ) b d.3) [, ) { R / } [ d.4) (, ) { R / > } ( d. e d.3 são chmdos de semi-rets fechds d. e d.4 são chmdos de semi-rets berts Intervlo degenerdo { R / = } = [, ].6.6- Supremo (limite superior) Um número rel L é supremo de um conjunto liner A se e somente se ( ) são verificds s seguintes condições: L, A Ddo L < L, então ( ) A / L < < L Ínfimo (limite inferior) Um número rel l é ínfimo de um conjunto liner são verificds s seguintes condições: l, A Ddo l > l A / l < < l Máimo de um conjunto Um número rel L é máimo de um conjunto liner A são verificds s seguintes condições: 6

7 L é supremo de A L A Mínimo de um conjunto Um número rel l é mínimo de um conjunto liner A são verificds s seguintes condições: l é ínfimo de A l A. Eercício: A = (, 5] B = { R / > } C = { R / 3} Determinr: Superior (A) : 5 Superior (B) : Superior (C) : 3 Ínfimo (A) : Ínfimo (B) : Ínfimo (C) : Máimo (A) : 5 Máimo (B) : Máimo (C) : 3 Mínimo (A) : Mínimo (B) : Mínimo (C) :.6.0- Vlor bsoluto ou módulo de um número rel A noção de vlor bsoluto desempenh um importnte ppel n geometri nlític e no cálculo, especilmente em epressões que presentem distânci entre dois pontos num ret. Denomin-se módulo ou vlor bsoluto de um número R, o número definido por = se 0 = 0 = 0 = - se < 0 Pel definição podemos notr que o módulo de um número rel é ele mesmo cso esse número sej positivo e será o oposto dele cso ele sej negtivo. Geometricmente o módulo de um número rel ( ) represent distânci que um ponto P () se encontr d origem. 0 P Q P -3 5 Genericmente se P () e Q (b) são dois pontos d ret numéric, então distânci de P té Q poderá ser clculd por: d (P, Q) = b = b = d (P, Q) = (b ) (b ) 7

8 Proprieddes decorrentes d definição: ) 0 e = 0 = 0 ) = 3) = 4). =. 5) = se 0 6) + + desiguldde tringulr 7) = = ± Sej 0 = = ± 8) - 9) - ou Demonstrções ds proprieddes cim P) 0 e = 0 = 0 R Pel Lei d Tricotomi; ou > 0 ou < 0 ou = 0. Se > 0: = ms > 0 > 0 Se < 0: = - ms < 0 - > 0 > 0 Se = 0: = 0 P) = Se > 0: = = Se < 0: = - = (-) = Se = 0: = = P3) = indic riz qudrd positiv de um número 0. = pel propriedde = 8

9 P4). =.. = (. ). =. = (. ).. =.. =. P5) = ( 0) P6) + + ( + ) = + + ( + ) = + + Obs.: ( + ) ( + ) + + P7) = = ± = = = ± P8) 0 = 0 [ ] < 0 = [ - [ ] - P9) ou - 0 = [ < 0 = ] 9

10 ] [ ou Distânci em R (unidimensionl) Considere dois pontos quisquer P e Q cujs coordends são e b respectivmente. Se o número é mior que o número b, então, distânci entre os pontos e b sobre um eio é o número positivo -b. Se é menor que b, distânci entre os dois pontos e b é o número positivo b-. Em qulquer cso distânci de P té Q indicd por d (P, Q) é dd por b P Q b b b = (b ) d (P, Q) = b ou d (P, Q) = (b ) Eercícios Resolver s equções e inequções: ) 3 = = = ± 3 = 3 = - 3 = 3 = - = 5 = Respost: = 5 ou =. b) 5 = 3 = = ± 5 = 3-5 = -3 + = -4 4 = 6 3 = - = Respost: = - ou = 3. c) Respost:

11 d) > > > ou < > < - 7 > - < 3 Respost: > - ou < e) < f) 5 + g) ( 3)( + ) < 0

12 CAPÍTULO - FUNÇÕES.- Sistem de Coordends Crtesins Introdução: Vimos como um ponto P d ret numéric pode ser loclizdo especificndo-se um número rel chmdo de coordend do ponto P. Anlogmente, podem-se loclizr pontos num plno especificndo-se dois números reis denomindos de coordends. Isto é relizdo estbelecendo-se um sistem de coordends dequdo no plno, de modo que se fç corresponder, os pontos, pres de números reis de modo sistemático. Descreve-se gor o sistem de coordends crtesins, ssim denomindo em homengem o filósofo e mtemático frncês do século 7 René Descrtes...- Pr Ordendo É um conjunto de elementos, indicdo por (, ) em que ordem dos elementos deve ser respeitd. (, ) = (, ) = (, ) = (, ) = e = No pr ordendo (, ) o elemento é chmdo primeiro elemento, primeir projeção ou bsciss; o elemento é chmdo segundo elemento, segund projeção ou ordend...- Produto Crtesino Ddos os conjuntos lineres A e B diferentes do vzio, denomin-se produto crtesino de A por B e se indic por A B. O conjunto de todos os pres ordendos (, )/ A e B. A B = {(, ) / A e B}..3- Plno Crtesino Denomin-se plno crtesino o conjunto de todos os pres ordendos de números reis representdo pelo seguinte conjunto: R R = R. No plno crtesino os pres ordendos (, ) são referidos como pontos e o elemento é chmdo bsciss e o elemento ordend do ponto...4- Representção do Plno Crtesino Eiste um correspondênci bionívoc entre os infinitos pontos de um plno e os infinitos pres ordendos, dest mneir podemos representr estes pontos trvés de dus rets perpendiculres. (eio ds ordends) P (, ) II I 0 (eio ds bscisss) III IV Sistem de coordends crtesins.

13 ..5- Distânci Bidimensionl (R ) Um ds proprieddes mis notáveis do sistem de coordends crtesins é fcilidde com qul distânci entre dois pontos P e Q pode ser clculd em função de sus coordends. Simboliz-se o segmento de ret entre P e Q por PQ e utiliz-se notção PQ pr o comprimento deste segmento, de tl modo que d= PQ. Assim podemos enuncir o seguinte teorem: Teorem - A fórmul d distânci Se P=(,) e Q=(,) são dois pontos no plno crtesino, então [d(p, Q)] = + [d(p, Q)] = ( ) + ( ) d (P,Q) = ( ) + ( ) A fórmul d distânci é simplesmente conseqüênci do teorem de Pitágors, o que pode ser comprovdo pel Figur bio Q (, ) d P (, ) Distânci.- Relções Bináris e Funções Reis..- Relções Bináris Sejm A e B conjuntos lineres não vzios, chm-se relção pln de A em B qulquer subconjunto de pres ordendos (, ) do produto crtesino A B...- Domínio, Imgem, Contrdomínio e Gráfico de Relções ) Domínio de relções: Sej S um relção de A em B, chm-se domínio de S e se indic por D S o conjunto liner: D S = { A / R e (, ) S} A b) Contrdomínio: Se S é um relção de A em B, o contrdomínio de S que se indic por Cd S é o conjunto B. Cd S = B c) Imgem: Se S é um relção de A em B, imgem de S indicd por Im S é o conjunto liner: Im S = { B / R e (, ) S} B 3

14 d) Gráfico: Sendo S um relção, denomin-se gráfico de S o conjunto: G S = {(, ) R / (, ) S} e) Gráficos ds principis relções: ) {(, ) R / = } = é função não é função 45 o ) {(, ) R / = + b} e b R coeficiente ngulr >0 b coeficiente liner = tn α Se: > 0 tn α > 0 α < 90 o : gudo b α α <0 < 0 tn α < 0 α > 90 o : obtuso 3) (, ) R / = + b + c prábol Se: > 0 < 0 = 0 + b + c = 0 b ± =. = b 4..c > 0 rízes b < 0 não eiste V, 4 3 4

15 = 0 únic riz 3 = 4 9 tmbém é um prábol > 0 < 0 { R / + = 4} 4) (, ) Pode ser circunferênci, elipse ou hipérbole (qundo o sinl entre e é de subtrção) Equção gerl d circunferênci ( α ) + ( β) = r C ( α, β ) rio = r - - Eercícios - Ddos R = (, ) { R / + 5} e R = (, ) ) Gráfico de R R ) Domínio de R R 3) Imgem de R R R / 4. 9, determine: ) = 9 + = = 9 Pr = = 9 = 0 ) Pontos de interseção Sistem + 4 = = 5 = = 5

16 = 0 9 ± = 00 = ( 4 ).( 00 ).( 4 ) = 4 9 ± 4 = 5 8 ' = 4 9 = = = 9 4 = ± 3 D = { R / -3 3} 3) { R} = Im Im = { R / 0 5} - Esboce o gráfico de f() = Função Rel de Vriável Rel Sej F um relção de um conjunto A em um conjunto B tl que pr todo pertencente A corresponde um único B, então est relção denomin-se função. Notção: F: A B = F () Domínio: Se F: A B, então o domínio de F é o conjunto A já que todo A deve figurr em um único pr ordendo (, ) de F. D F = A Contrdomínio: Se F: A B, o contrdomínio de F é o conjunto B. C F = B Imgem: A imgem de F é o conjunto dos B que estão relciondos por F, isto é, o conjunto dos B que são obtidos prtir de pel lei F, já que = F (). Im F B 6

17 ..5- Determinção do domínio ou Cmpo de Eistênci de Funções Reis de Vriáveis Reis Qundo definimos um relção como função pens pel lei de correspondênci = f(), estmos dmitindo que o domínio ou cmpo de eistênci d função é o conjunto de todo R que sej possível determinr R e = F (). Eemplos: ) Determinr o domínio ou cmpo de eistênci ds seguintes funções: ) 3 f () = Df = Df = { R / 0} { R / } - + Ponto de cumulção ssíntot b) g ( ) = + + D = R + + = 0 = - c) f ( ) = ( 4 )(. + 3) D f = { R/ ( 4 )(. + 3) 0} ( 4 )(. + 3) = { R / 3 ou 4} D f

18 d) f () = 9 D f = R / { R / 3 < 0 ou 3} D f = > e) f) f () = D f = 0 e 9 { R / 0 e 9 > 0} 9 > f () = log { R / 3} D f = > D f = R / 3 + > > { R / < < ou } D f = > 8

19 O gráfico d função cim foi plotdo no progrm de álgebr simbólic Mple. g) f () = log rcsen ( ) D f = R / e > 0 e / > 0 > - { R / < } D f = < O gráfico d função cim foi plotdo no progrm de álgebr simbólic Mple. 9

20 .3- Funções Sobrejetors, Injetors e Bijetors ) Função Injetor: Um função = F () de A em B é injetor se os elementos B são imgens de um único A. b) Função Sobrejetor: Um função = F () de A em B é sobrejetor se imgem de F for igul o contrdomínio de F, isto é, todo B deve ser imgem de pelo menos um A. c) Função Bijetor: Um função = F () é bijetor se e somente se F for injetor e sobrejetor..4- Clssificção ds Funções As funções são clssificds em dois grndes grupos: I) Funções Algébrics Elementres ) Funções Algébrics Rcionis.) Inteirs.) Frcionáris b) Funções Algébrics Irrcionis II) Funções Trnscendentis ) Trigonométrics b) Eponenciis c) Logrítmics I) Funções Algébrics Elementres São funções cujs vriáveis são operções lgébrics elementres (dição, subtrção, multiplicção, divisão e potencição). E são clssificds como segue: ) Funções Algébrics Rcionis: As funções lgébrics rcionis são quels em que s vriáveis não se encontrm bio de rdicis ou não estão elevds epoentes frcionários e se clssificm em:.) Rcionis Inteirs: São quels em que sus vriáveis não se encontrm em denomindor ou não estão elevds epoentes negtivos. São s funções conhecids como POLINOMIAIS. E.: f() = 0. n +. n n.) Rcionis Frcionáris: f () São funções d form Q () =, onde f() e g() são funções rcionis inteirs. g() 0. E.: f () = b. 0 n n + + b.. n- n b n n b) Funções Algébrics Irrcionis: São funções lgébrics cujs vriáveis estão sob rdicis ou elevds epoentes frcionários positivos ou negtivos. 0

21 II) Funções Trnscendentis: São funções cujs vriáveis estão sujeits s operções d trigonometri, d eponencição e d logritmizção. Eemplos: Clssificr s seguintes funções: ) ) f ( 3 ) = função lgébric elementr rcionl + g( ) = função lgébric irrcionl ) f ( ) = + + função lgébric elementr rcionl inteir 4) t ( t ) = função lgébric rcionl frcionári t + 5 f 3 5) sen + 4 g( ) = função trnscendentl + 6) h ( ) = log( + ) função trnscendentl 7) f ( ) = função lgébric rcionl inteir 8) F( ) = função lgébric irrcionl 5 Aind com referênci clssificção s funções lgébrics e s funções trnscendentis podem ser clssificds em: Funções Eplícits: São quels em que um ds vriáveis é resolvid em função d outr, isto é, isol-se um vriável em função d outr. ( = f() ) E.: = +3 Funções Implícits: São quels em que não é possível resolver um ds vriáveis em relção outr. (F(, )=0) E.: sen=0.5- Composição de Funções Sejm f e g dus funções que stisfzem condição de que pelo menos um número pertencente imgem de g pertence o domínio de f, então composição de f por g, indicd por fog é definid por: fog = f ( g () ) Evidentemente, o domínio d função compost f g é o conjunto de todos os vlores de no domínio de g, tis que g() pertence o domínio de f. Então composição de f e g, simbolizd por f g é justmente o conjunto de todos os números d form f[g()], construíd à medid que percorre o domínio de f g. Eemplo: ) Determinr fog e gof, sendo f () = 3 e g () = + 4

22 fog = f ( g () ) = 3 (+4) = gof = g ( f () ) = ) Dds s seguintes funções f()=3-, ( ) 3 -(fog)() e (gof)() g = e p()=/3(+), clcule; - (fop)() e (pof)() 3- (fog)() e (gof)() 4- (fof)() 5- [fo(g+p)]() e [(fog)+(fop)]().6- Função Invers Dus funções f e g são inverss se e somente se: ) A imgem de g está contid no domínio de f; b) Pr todo o domínio de f, fog = ; c) A imgem de f deve estr contid no domínio de g; d) Pr todo do domínio de f, gof =. Nests condições f é dit invertível. Pr que ests condições sejm stisfeits é necessário que f sej bijetor. Notção: Se = f () é invertível, invers de f é indicd por = f - () ou = g (). Gráfico: O gráfico de funções inverss são simétricos em relção ret =. TÉCNICA PARA DETERMINAR A INVERSA E REPRESENTÁ-LA NO PLANO CARTESIANO ) Isol-se n equção originl.

23 ) Troc-se por pr respeitr convenção de representção de função no plno crtesino que usulmente vriável independente é e vriável dependente é. Eemplos: Determinr s inverss ds seguintes funções: f () = + 4 = + 4 = 4 = 4 Função invers 3 = + ( + ) = 3 + = 3 = 3 ( ) = 3 3 = 3 = Função invers + = rctn 8 8 = tn = tn 8 tn = Função invers 8 4 = e 4 = ln = ln 4 = ln 4 = ln 4 Função invers = log 3 0 = 3 = 3.0 = 3.0 Função invers 3

24 6) Suponh que f e g sejm definids pels equções bio. Prove que f e g são inverss. f()=3 e g()=/3.7- Funções Pres e Funções Ímpres Função Pr: Sej = f () definid em um domínio D, dizemos que f é pr, se e somente se pr todo D, - D e f (-) = f (). Observe que o gráfico de funções pres são simétricos o eio dos. - Função Ímpr: Sej = f () definid em um domínio D, dizemos que f é ímpr, se e somente se pr todo D, - D e f (-) = - f (). Observe que o gráfico de funções ímpres é simétrico em relção origem f() f(-) Eemplos: Verificr se s funções são pres, ímpres ou nem pr nem ímpr: + ) f ( ) = 4 f ( ) = ( ) f ( ) = f ( ) = f ( ) Função pr + ) f ( ) = f ( ) = ( ) f ( ) = f ( ) = ( + ( ) + ) Não é pr nem ímpr 4

25 3 + 3) f ( ) = 4 f ( ) = ( ) f ( ) = f ( ) = ( f ( ) = 3 + 4( ) ) f ( ) Função ìmpr 4) f ( ) = cos f ( ) = cos( ) f ( ) = cos f ( ) = f ( ) Função Pr 5) f () = sen f ( ) = sen( ) f ( ) = sen f ( ) = f () Função ímpr 6) f ( f ( f ( e ) = + e e + e ) = ) = f ( ) Função pr 7) f ( ) e = e f ( f ( f ( e e ) = e e ) + = ) = f ( ) Função ímpr.8- Trnslções A form de um curv não é fetd pel posição dos eios coordendos; no entnto equção d curv é fetd. Por eemplo, se um circunferênci com rio 3 tem seu centro no ponto (4,-), então equção dest circunferênci é ( 4) + ( + ) = 9 ou = 0 Entretnto, se origem estiver no centro, mesm circunferênci terá um equção mis simples, sber, + = 9 5

26 Em gerl, se no plno em que os eios dos e são ddos, são escolhidos novos eios coordendos prlelos os já ddos, dizemos que ocorreu um trnslção de eios no plno. B B' P (,) (',') O O'(h,k) A' A ' temos: ' = - h ou = ' + h ' = - k ou = ' + k Estes resultdos são enuncidos como um teorem Teorem: Se (, ) represent um ponto P em relção um conjunto ddo de eios e (', ') é um representção de P. depois que os eios são trnslddos pr um nov origem, tendo coordends (h, k) em relção os eios ddos, então; = ' + h e = ' + k ' = - h e ' = - k As equções cim são chmds de equções de trnslção dos eios. Se equção de um curv é dd em e então equção em ' e ' é obtid, se substituirmos por (' + h) e por (' + k). O gráfico d equção em e, em relção os eios e, é etmente o mesmo conjunto de pontos que o gráfico d equção correspondente em ' e ', em relção os eios ' e '. Eercícios ) Dd equção = 0 encontre equção do gráfico em relção os eios ' e ', pós um trnslção de eios à nov origem(-5,)..9- Gráficos de Funções Trigonométrics Básics Com os elementos que dispomos té gor, ficri muito trblhoso definir e, em seguid, demonstrr s cinco principis proprieddes ds funções seno e co-seno. Observmos, entretnto, que pens cinco proprieddes são suficientes pr descrever completmente tis funções. Teorem: Eiste um único pr de funções definids em R, indicds por sen e cos, stisfzendo s proprieddes () sen 0 = () cos 0 = (3) Quisquer que sejm os reis e b sen(-b) = sen cos b - sen b cos (4) Quisquer que sejm os reis e b 6

27 cos(-b) = cos cos b +sen sen b (5)Eiste r>0 tl que sen 0<sen << tg tg = pr 0<<r cos Vejmos gor outrs proprieddes que decorrem ds cinco mencionds no teorem cim. Fzendo em (4) =b=t, obtemos cos 0 = cos t cos t + sen t sen t ou sej, pr todo t rel, (6) cos t + sen t = Deste modo, pr todo t, o ponto (cos t, sen t) pertence à circunferênci + = - sen t cos t P = (cos t, sen t) A Pr efeito de interpretção geométric você poderá olhr pr o t d mesm form como prendeu no colégio: t é medid em rdinos do rco AP. Lembrmos que medid de um rco é rd (rd=rdino) se o comprimento for ' rd igul o rio d circunferênci ( ) (7) Eiste um menor número positivo tl que cos = 0. Pr este, sen = O número cim pode ser usdo pr definirmos o número π. Definição: Definimos o número π por π =, onde é o número que se refere propriedde (7). Assim π é o menor número positivo tl que cos π = 0. Temos, tmbém, sen π =. Eercícios e demonstrções de lgums identiddes trigonométrics: ) Mostre que ) sen é um função ímpr b) cos é um função pr ) Mostre que quisquer que sejm os reis e b 7

28 cos ( + b) = cos cos b - sen sen b e sen ( + b)= sen cos b + sen b cos 3) Mostre que, pr todo. cos = cos sen e sen = sen cos 4) Moste que, pr todo, cos = + cos e sen = 5) Clcule ) cos π 4 b) cosπ cos c) sen π 4 d) senπ Observções Importntes: cos > 0 e sen >0 em 0, π pr todo, ( + π) sen sen = e ( ) cos cos + π = As funções sen e cos são periódics com período π Os gráficos ds funções sen e cos tem os seguintes spectos: = sen -π -π π π 8

29 = cos -π -π π -π Eercício resolvido - Esboce o gráfico d função dd por = sen / Solução: π Vmos estudr o comportmento d função, qundo 0 <, ou sej pr sen diminui de tendendo zero, qundo tende infinito. Pr qundo tende infinito. π π, medid que ument,, função vi de - tendendo zero () (b) Observe que pr =, = sen = π π Vejmos gor o comportmento de sen pr 0 < <. π π 4 sen = = kπ + = ( k inteiro) 4kπ + π k π 5π 9π 3π 9

30 sen = 0 = kπ = kπ k 3 4 π π 3π π sen = = kπ 3π + = 4kπ + 3π k 0 3 3π 7π π π Qundo vri em 0, π, sen fic oscilndo entre e - como mostr Figur (b) As funções tngente, co-tngente, secnte e co-secnte sen A função tg dd por tg = denomin-se função tngente; seu domínio é o conjunto de todos os tis que cos cos 0. O gráfico d tngente tem o seguinte specto: Geometricmente, interpretmos tg como medid lgébric do segmento AT, onde T é interseção d ret OP com o ^ eio ds tngentes e AP o rco de medid rd. N Figur bio, os triângulos OMP e OAT são semelhntes. Assim AT sen = ou tg = cos MP OM 30

31 P T tg O M A Eio ds tngentes As funções sec (secnte), cotg (co-tngente) e cosec (co-secnte) são dds por cos sec =,cot g = e cos ec = cos sen sen O gráfico d secnte tem o seguinte specto Trblho pr Cs ) Esboce o gráfico ) sen b) = cos c) f() = sen d) g() = / sen e) = f) + sen sen 3

32 ) Sejm p e q quisquer. Verifique que p + q p q ) sen p + sen q = sen cos p q p + q b) sen p sen q = sen cos c) cos p + cos q = cos p + q cos p q d) cos p cos q = sen p q sen p + q 3) Determine o domínio e esboce o gráfico ) f()= cotg 4) Verifique que sec = + tg pr todo tl que cos 0 5) Mostre que, pr todo, com cos 0, tem -se: tg ) sen = + tg b) cos tg = + tg.0- Gráficos e Proprieddes ds funções eponencil e logrítmic.0.- Potênci com epoente rel Teorem. Sej >0 e r um rel qulquer. Eiste um únic função f, definid e contínu em R, tl que f () r = pr todo rcionl r. Definição: Sejm >0,, e f como no teorem nterior. Definimos potênci de bse e epoente rel por = f ( ) A função f, definid em R, e dd por ( ) Sejm, >0, b>0, e reis quisquer, tem-se s seguintes proprieddes + () = () ( ) = f =, >0 e, denomin-se função eponencil de bse. b = b (3) ( ) 3

33 (4) Se > e <, então < (5) Se 0<< e <, então > A propriedde (4) cont-nos que função eponencil ( ) (5) cont-nos que ( ) O gráfico de ( ) f =, 0<<, é estritmente decrescente em R. f = tem o seguinte specto: f =, > é estritmente crescente em R. A propriedde > 0<< Eercícios ) Esboce o gráfico de f = ) ( ) b) f ( ) = Not importnte: A função eponencil de bse e (, 788 importnte em todo o curso. e ), ( ) f = e desempenhrá um ppel bstnte.0.- Logritmo Teorem: Sejm >0,, e β > 0 dois reis quisquer. Então eiste um único γ rel tl que γ = β. Sejm >0, e β > 0 dois reis quisquer. O único número rel γ tl que γ = β denomin-se logritmo de β n bse e indic-se por γ = log β γ = β Observe: log β somente está definido pr β > 0, >0 e. 33

34 Eercícios: Clcule ) log 4 b) log c) log 5 Observção Importnte: γ = β log β ssim β = log β O logritmo de β n bse é o epoente que se deve tribuir à bse pr reproduzir β. O logritmo n bse e é indicdo por ln, ssim, = ln e = D observção cim, segue que, pr todo >0, e ln = ln = log e. Temos então Sejm > 0,,b > 0,b, α > 0 e β > 0 reis quisquer. São válids s seguintes proprieddes: () log αβ = log α + log β () log α β = β log α α (3) log = log α log β β (4) Mudnç de Bse log log b α α= log b (5) Se > e α< β, então log α < log β (6) Se 0<< e α< β, então log α > log β Obs: Demonstrções em sl Not importnte: Sej 0, de bse. >. A função f dd por f ( ) log, > 0 A propriedde (5) cont-nos que se >, função logrítmic f ( ) log, > 0 propriedde (6) segue que se 0<<, função logrítmic f ( ) log, > 0 =, denomin-se função logrítmic =, é estritmente crescente. D =, é estritmente decrescente. 34

35 Eercícios: ) Clcule ) log 0 00 b) log 6 c) log 0 d) log 9 3 e) log 5 ( 5) ) Determine o domínio ) f ( ) = log ( + ) b) g( ) = ln( ) c) g( ) = ln( ) d) ( ) = log f 3 e) ( ) = log f f) f ( ) = log 3) Ache o domínio e esboce o gráfico ) ( ) = log f 3 b) g( ) = ln( ) c) g ( ) = ln d) ( ) ln g = e) f ( ) = ln( ) 35