y ax b y x Cálculo I Limite de uma função Sartori, C. S. 01 Revisão - Funções: - Definição:

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1 Cálculo I Limite de um função Srtori, C. S. Revisão - Funções: - Definição: Lemrndo que um função é um relção entre dois conjuntos que oedecem às restrições: ) Est relção envolve um elemento do primeiro conjunto, chmdo domínio d função f em pens um elemento do outro conjunto denomindo contr-domínio. ) Um vez definido o conjunto X (domínio) todos elementos deste devem ser relciondos. Notção: f : X Clssificção: Sorejetor: Um função é sorejetor, qundo seu conjunto imgem é igul o seu contr domínio. Injetor: Um função é injetor qundo todos os elementos de seu domínio possuem imgens distints. {, Dom f() ( ) f( ) f( )} Y Bijetor: Qundo for injetor e sorejetor. Clssificção qunto á Pridde: Função Pr: Um função é qundo f(+)=f(-) O gráfico d função pr é simétrico em relção o eio O. Eemplo - Esoce o gráfico de f() = / I - Funções Elementres: I. - A Função Liner: A função liner é definid, em su form reduzid, por: = +. O vlor de é denomindo de coeficiente ngulr e relcion-se com inclinção d ret com o eio. Já o vlor de é interceção d ret com o eio O, ou sej o ponto de coordends (,). Sejm dois pontos por onde ret pss: P(, ); P (, ) É útil tmém sermos equção do feie de rets que pss pelo ponto P (, ): f ( ) f ( ) ( ) Grficmente, qundo >, ret tem inclinção gud com o eio, qundo <, ret possui inclinção otus: ) > ) < Função Ímpr Um função é qundo f(+)=-f(-) O gráfico d função ímpr é simétrico em relção à origem. Eemplo - Esoce o gráfico d função: f() = /

2 Cpítulo - O Limite de um função Srtori, C. S Tente encontrr, prtir do gráfico, s equções dests rets. Oserve que o domínio é o conjunto dos números reis (R) e o conjunto imgem (Im f = R). I.. Função módulo. A função módulo é definid por: ; ; ) Domínio: R; conjunto imgem: [, ). ) Gráfico: I. > f() possui rízes reis e distints. II. = f() possui únic riz rel. III. < f( ) Nenhum riz rel. A função qudrátic, ou práol, poderá ter um ponto de máimo ou de mínimo, conforme o sinl de : IV. > Concvidde pr cim - Ponto de mínimo em v. V. < Concvidde pr io - Ponto de máimo em v. VI. f() = ++c = (- )(- ) Onde e são rízes de f() As coordends do vértice d práol são dds por: V ( v, v ); v ; v VI. Conjunto Imgem: Se > Im f = [ v, ) Se < Im f = (-, v ] - VII. Relção entre coeficientes e rízes: Som e Produto : S P. c VIII. Gráfi: 8 6 > > c) Proprieddes: i) R ii) iii) iv) ; R ; ; R v) I.c - A Função Qudrátic: A função qudrátic é tod epressão do tipo: F: A B; f ( ) c; Rízes: Ao resolvermos equção: f ( ) c ; teremos como solução: c c (Equção de Báscr) Dependendo do vlor do delt teremos os seguintes csos: < >

3 Cpítulo - O Limite de um função Srtori, C. S I.e - A Função rítmic: A função rítmic é definid por : f :(, ) R; Condições de Eistênci :, e Assim, temos pr que função rítmic sej definid, deve-se stisfzer sempre s condições de eistênci. é chmdo de ritmndo e de se.. I.d - A Função eponencil: A função eponencil é definid nid por: f : R R; f ( ), ;. Qundo for mior que, função é crescente; qundo < < função é dit decrescente. O Domínio d função eponencil é o conjunto dos números reis (Dom f = R). Já o conjunto imgem é o intervlo: { R > }, ou sej, função eponencil é etritmente positiv, tnto crescente como decrescente. I. Gráfi: I. Domínio: (, ) II. Imgem: R. III. Proprieddes: A função rítmic é função invers d função eponencil de mesm se. i) ii) iii) (. ) iv) ( ) v) vi) Se e vii) Se < e vii) Sej, e, viii) n n Note que ret = nunc intercept o gráfico d função eponencil; el é dit um ssíntot à função. II. Conjunto Imgem: { R > } e i) ii) v) III. Domínio: R. IV - Proprieddes: Sej > e. Sejm R. As seguintes proprieddes são válids:.. vii)se viii)se e e < iii)( iv) vi ) ) iv) Gráfi: A função rítmic pode ser crescente decrescente ( < < ). O gráfico io ilustr cd cso ( > ) ou Notr que ssíntot à função rítmic é ret =

4 Cpítulo - O Limite de um função Srtori, C. S - II - Funções Trigonométrics II. - Métrics: sen tg 8 c c tg sen Triângulo Retângulo: Relções c sec sec ctg c c sen tg Estudo de sinis: Círculo Trigonométrico: II Q sen III Q / 9 I Q 7 IV Q tg Qudrnte sen tg I Q ( < < 9) ) I IQ (9 < < 8 ) I Q (8 < < 7 ) I Q (7 < < 6 ) Tel de Conversão: Então: Qudrnte: sen tg II Q sen( - ) - ( - ) - tg ( -) 9 < < 8 III Q -sen ( - ) - ( - ) tg ( - ) 8 < < 7 IV Q -sen ( - ) ( - ) -tg( - ) 9 < < 6 II.) Relções Fundmentis: Oservção: sen sec sec sen Vlores prticulres: tg ctg sen tg II.c) Gráfi: IIc.) Função seno:.5 Sej I qudrnte e um ângulo qulquer: Podemos encontrr s funções trigonométrics desse ângulo prtir do correspondente ângulo do primeiro qudrnte, fzendo chmd conversão o primeiro qudrnte

5 Cpítulo - O Limite de um função Srtori, C. S - 5 Domínio: { } Imgem: { [-.]} Período: IIc.) Função seno: Domínio: { k + / ;k } Imgem: { (-,-) (, )} Período: IIc.5) Função Cossecnte: Domínio: { } Imgem: { [-.]} Período: IIc.) Função tngente: Domínio: { k ; k } Imgem: { (-,-) (, )} Período: IIc.) Função Cotngente: Domínio: { k + / ;k } Imgem: { } Período: IIc.) Função secnte: 5 - Domínio: { k ; k } Imgem: { } Período: II.d) Relções: Som e sutrção de r, rco duplo, rco metde: ) Som e Sutrção: sen( ) sen. sen. ( ). sen.sen tg( ) tg tg tg. tg 5

6 Cpítulo - O Limite de um função Srtori, C. S - 6 ) Ar Duplos: sen( ) sen. ( ) sen tg( ) tg tg ) Trnsformção Som-Produto: sen( A B) sen ( A B) ( A B) sen( A B) ( A B) sen ( A B) ( A B) ( A B) ( A B) ( A B) sen ( A B) sen ( B A) II - Introdução à teori de Limite Vizinhnç de um ponto: Como os números reis são representdos por pontos de um ret, trvés de sus cisss, é tume utilizr plvr ponto em lugr de número. Dizemos que um número rel é ponto interior um conjunto ddo C se esse conjunto contém um intervlo (,), que por su vez contém, isto é : (,) C Segundo ess definição, todos os elementos de um intervlo erto são pontos interiores desse intervlo. O interior de um conjunto C é o conjunto de todos seus pontos interiores. Logo, o intervlo (,) é seu próprio conjunto interior. Tmém é o interior do intervlo fechdo [,]. Dizemos que o conjunto C é erto, se todo ponto de C é interior C, isto é, se o conjunto coincide com seu interior. O conjunto vzio é erto pois coincide com seu interior, que é vzio. Denomin-se vizinhnç de um número ou ponto qulquer conjunto que contenh interiormente. Se esse conjunto estiver simetricmente distriuido, com no centro, e à distânci de + e - de ; dizemos que temos um vizinhnç de centro e de rio. Podemos representr d seguinte mneir: V (-,+ ) Representmos n ret rel: - + Podemos considerr um vizinhnç de ecluindo o próprio vlor de :Denominmos V (): 6 V ()= V ()-{}={ < } Diz-se que o número é ponto de cumulção de um conjunto C se tod vizinhnç de contém infinitos elementos de C. Equivle-se dizer que: tod vizinhnç de contém lgum elemento de C diferente de. Ou: Ddo > :V () contém lgum elemento de C. Um ponto de cumulção de um conjunto pode ou não pertencer o conjunto. Eemplo: os pontos e de um intervlo erto (,) são pontos de cumulção desse conjunto, ms não pertencem ele. Todos os pontos do intervlo tmém são seus pontos de cumulção e pertencem ele. Dizemos que um ponto é ponto de derênci de um conjunto C, ou ponto derente um conjunto C, se qulquer vizinhnç de contém lgum elemento de C. Isso signific que pode ser um elemento de C ou não, se não for será ponto de cumulção de C. O conjunto dos pontos derentes C é chmdo de fecho ou derênci de C, denotdo pelo símolo C. Oserve que C é união de C com o conjunto C de seus pontos de cumulção. C C C

7 Cpítulo - O Limite de um função Srtori, C. S - 7 Diz-se que um conjunto é fechdo qundo ele C C C C, ou coincide com su derênci: sej, qundo ele contém todos seus pontos de cumulção: C C. Esse é o cso de um intervlo [,], do tipo que já se conheci como fechdo. Como eemplo citmos o conjunto: A n {,,,..., n,...} discreto, pois seus pontos são todos isoldos, e seu único ponto de cumulção é o número, que não pertence o conjunto. Se o incluirmos o conjunto A, teremos derênci de A, que é o conjunto: n B A { } {,,,,..., n,...} Oservmos que esse conjunto C é fechdo. Isso contece sempre que juntrmos o conjunto C com o C de seus pontos de cumulção, derênci C C C não terá outros pontos de cumulção lém dos que já estvm em C. Assim veremos lguns teorems que confirmm isso: Teorem: A derênci conjunto C é um conjunto fechdo. C de qulquer Teorem: ) A interseção de um número finito de conjuntos ertos é um conjunto erto. ) A união de um fmíli qulquer de conjuntos ertos é um conjunto erto. Teorem: Um conjunto F é fechdo se e somente se seu complementr A = F C =R-F é erto. Teorem: A união de um conjunto finito de u conjuntos fechdos é um conjunto fechdo. Eercícios:. Dd o centro e o rio, represente n ret s vizinhnçs dds V (-,+ ): ) =, e = ) =, e = c) =, e =- d) =, e =/ e) =, e =/5 f) =,5 e = g) =,5 e =-5. Escrev n form de intervlo erto s vizinhnçs do prolem nterior.. Dê pontos de cumulção ds vizinhnçs do prolem. II.q - O Limite de um Função: Significção intuitiv: No cálculo e sus plicções, é importnte eplorr vlores e comportmento de funções próimos determindos números de seu domínio, ou de vlores que não estão definidos em seu domínio. Considere função : f ( ) 6 Vmos eplorr seu comportmento em torno de =. Vej que el não é definid em = pois torn-se nulo o denomindor. Cuiddo! Divisão por zero não é definid! Com o uílio do progrm Ecel construimos tel (,f()).( Fç: Colun A idêntic à mostrd e digite n B:= (A^-*A^)/(*A-6)),9,,99,,999,,9999,,99999,,999999,, ,, ,, ,, , Prece que qunto mis próimo de está, mis próimo de / está f(); entretnto não podemos ter certez disto pois clculmos pens lguns vlores d função pr próimos de. Pr otermos um vlor mis convincente ftormos o numerdor e o denomindor de f(): ( ) f ( ) ( ) Se podemos simplificr e vemos que: f ( ) Vej que o ponto (, ) deve ser omitido pr ess função. Assim, qunto mis próimo de estiver, mis próimo de / estrá f(). Em gerl, se um função f é definid em todo um intervlo erto contendo um número rel, eceto possivelmente no próprio podemos perguntr: 7

8 Cpítulo - O Limite de um função Srtori, C. S - 8. A medid que está cd vez mis próimo de (ms ) o vlor de f() tende pr um número rel L?. Podemos tornr o vlor d função f() tão próimo de L qunto queirmos, escolhendo suficientemente próimo de (ms )? Cso sej possível isso escrevemos: f ( ) L Dizemos que o ite de f(), qundo tende pr é L, ou que f() se proim de L qundo se proim de. Eemplo - Outro comportmento interessnte ocorre com função: f ( ) sen Vej tel io: (Constru no Ecel). f ( ) sen,,5687,,87988,5, ,, ,, ,,99665,,998665,,99998,, ,, ,,,, Oserve que qunto mis se proim de, tnto trvéz de vlores positivos como trvés de vlores negtivos, o vlor de sen f ( ) se proim de. Assim dizemos que esse ite, denomindo de ite trigonométrico fundmentl, vle: sen Mis trde demonstrremos tl relção. Eemplo Considere gor função: f ) ( ) ( Vmos tomr vlores stnte grndes de. De novo constru um tel no Ecel, nos tempos de hoje isso é fcil e rto. f ( ) ( ),,5976,7889,7699,785968,78687,78869,78869,788786,7888 Vej que há um cert convergênci ns css decimis. Provremos mis trde que esse ite dess função, qundo torn-se incrivelmente grnde; diz-se tende infinito, proim-se do número de Npier e.788, que é um número irrcionl. ) Definição: Sej f um funçãoerror! Bookmrk not defined. definid em todo número de lgum intervloerror! Bookmrk not defined. erto I, contendo, eceto possivelmente no próprio número. O ite de f() qundo proim-seerror! Bookmrk not defined. Error! Bookmrk not defined.de é L, que pode ser escrito por: f ( ) L se pr qulquer >, mesmo pequeno, eistir um > tl que: f ( ) L sempre que Isto signific que os vlores d função f se proimmse de um ite Error! Bookmrk not defined.l qundo proim-se de um número se o vlor soluto d diferenç entre f() e L puder ser tão pequeno qunto desejrmos, tomndo suficientemente próimo ms não igul. É importnte notr que nd é menciondo sore o vlor d função qundo =. Isto é, não é necesssário que função sej definid em pr que eist o ite. Eemplo : Sej função definid por :f()=-. ddo que f ( ) encontre um pr. tl que f ( ). sempre que Solução: f ( ) ( ). sempre que. 5sempre que. 5 ( ). sempre que. 5 Teorem : Se m e são constntes quisquer: ( m ) m ou 8

9 Cpítulo - O Limite de um função Srtori, C. S - 9 Teorem : Se c é um constnte, então: c c; Teorem : Se: f ( ) L; g( ) M ( f ( ) g( )) L M h f ( ) Teorem : Se: L; g( ) ( f ( ). g( )) Teorem 5: Se: L. M M f ( ) L; n Z;[ f ( )] L Teorem 6: Se: ( ) ; ;[ n n f L n Z f() ] L Teorem7: Se f ( ) L; g( ) ( f ( )/ g( )) n M, M L/ M Eemplo : Encontre os ites: ) ( 7) ( )( 9) ( ) n ( 9) 7 ) Sej função definid por: se f ( ) determine se f ( ) ) Limites Unilteris: f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) Eemplo 5 : Sej h definid por: se h ( ) Encontre os ites unilteris: se função: ( ) ( ) h( ) ( ) ; Portnto: h( ) Eemplo 6 : Clcule os ites unilteris em torno de pr f ( ) Oserve, lemrndo d definição d função módulo, que qundo tende zero pel esquerd: f ( ) Ao considerrmos o vlor de estmos interessdos nos vlores de num intervlo erto contendo, ms não no próprio, isto é, em vlores de miores ou menores do que. Supomos que se proim de pel direit e pel esquerd, respectivmente.e denotmos por: f ( ) L; f ( ) L. L Eemplo 7: Determine os ites : ( ) ( ) eistirem Teorem: f ( ) L se e somente se f ( ); f ( )e: 9

10 Cpítulo - O Limite de um função Srtori, C. S - 6 i) r r ii) r se r é pr se r é ímpr iii) -6 (i) Se c > e se f(), trvés de vlores positivos de g ) Limites no infinito, ( ) f ( ) Definição: Sej f um função definid em todo número (ii) Se c > e se f(), trvés de vlores negtivos de um intervlo erto (,+ ), o ite de f(), qundo g de, ( ) cresce iitdmente é L, que pode ser trnscrito como: f ( ) f ( ) L (iii) Se c < e se f(), trvés de vlores positivos g de, ( ) D mesm form, se tende um número f ( ) negtivo que cresce em módulo e possui no ite o (iv) Se c < e se f(), trvés de vlores negtivos vlor L, denotmos por: g de, ( ) f ( ) L f ( ) O teorem tmém é vlido se " " for sustituído Teorem: Se r é um número inteiro e positivo, então: por ;, ;. i) ii) r r Eemplo 9: Encontre: ) Eemplo 8 : Encontre o ite io: ( )( ) 5 ( 5 ) / O ite do numerdor é e no denomindor é, o 5 ( 5) / que pode ser verificdo por: 5 5 ( )( ) ( ) ( ). 5 5 ) Limites Infinitos: Definição: Sej f um função definid em todo número do intervlo erto I contendo um número, eceto, possivelmente no próprio número. Qundo se proim de, f cresce iitdmente, o que é escrito como: f ( ) Cso se proime de e f() decresce iitdmente, escrevemos como: f ( ) Definição: f ( ) é equivlente f ( ) - - Teorem: Se r é um número inteiro positivo qulquer, então: - - Teorem: Se é um número rel qulquer e se f ( ) e g( ) c, onde c é um constnte não nul, então: Verificmos que o denomindor está se proimndo de trvés de vlores positivos. Aplicndo o terorem de ite (i), teremos: ) ( )( ) O ite do numerdor é e no denomindor é, o que pode ser verificdo por: ( )( ) ( ) ( ). Verificmos que o denomindor está se proimndo de trvés de vlores negtivos. Aplicndo o terorem de ite (ii), teremos: c) pois

11 Cpítulo - O Limite de um função Srtori, C. S - Teorem: Se f ( ) e g( ) c um constnte qulquer, então: [ f ( ) g( )], onde c é Vemos que: f( ) e f ( ) Assíntots verticis: e Teorem: Se f ( ) e g( ) c, onde c é um constnte qulquer, eceto, então: (i) Se c > [ f ( ). g( )] (ii) Se c < [ f ( ). g( )] Teorem: Se f ( ) e g( ) c onde c é um constnte qulquer, eceto, então: (i) Se c > [ f ( ). g( )] (ii) Se c < [ f ( ). g( )] O teorem tmém é vlido se " " for sustituído por ;, ;. 5) Assíntots: Definição: Diz-se que ret = é um ssíntot verticl do gráfico de um função f se pelo menos um ds firmções seguintes for verddeir: (i) f ( ) (ii) (ii) f ( ) (iii) f ( ) (iv) f ( ) Definição: Diz-se que ret = é um ssíntot horizontl do gráfico de um função f se pelo menos um ds firmções seguintes for verddeir: (i) f ( ) (ii) f ( ) Eemplo : Encontre s ssíntots verticis e horizontis d equção e trce um esoço do gráfico: Resolvendo equção: Assíntots horizontis: A seguir representmos os gráfi de f( ) e f ( ), oservndo sus ssíntots pr: f( ) : = e = e pr f ( ) : = - e = =[(/(-)] / ) Continuidde de um função: Continuidde em um número: Definição: Diz-se que um função é contínu em um número se, e somente se s seguintes condições são stisfeits: (i) Eiste f() (ii) Eiste f ( ) (iii) f ( ) f ( ) Se um ou mis dests condições não for verificd em, dizemos que função é descontínu em. Eemplo 6) A função do eemplo 5 é descontínu em =, pois não é definid neste. = =- = =-[/(-)] /

12 Cpítulo - O Limite de um função Srtori, C. S - Eemplo : Sej função definid por: se f ( ) Discut su se continuidde em =. Oserve que: f ( ) f ( ). Portnto condição (iii) não é stisfeit; função é descontínu em =. função: f ( ) Eemplo : Discutir continuidde d Est função não é contínu em = pois seu vlor não é definido. II.r - Teorems sore continuidde: Teorem. Se f e g são funções contínus em um número, então: I) f+g é contínu em II) f-g é contínu em III) f.g é continu em IV) f/g é contínu em desde que g() Teorem. Um contínu em todo número. função polinomil é Teorem. Um função rcionl é contínu em todo número do seu domínio. Teorem. Se g( ) e se função f é contínu em, ( fog( )) f ( ) ( f ( g( ))) f ( g( )) Continuidde em um intervlo Definição: Diz-se que um função é contínu em um intervlo erto se e somente se el for contínu em todo número do intervlo erto. (iii) f ( ) f ( c ) c Definição: Dizemos que um função f é contínu no número à direit se e somente se s três condições io forem stisfeits: (i) Eiste f() (ii) Eiste f ( ) (iii) f ( ) f ( ) Definição: Dizemos que um função f é contínu no número à direit se e somente se s três condições io forem stisfeits: (i) Eiste f() (ii) Eiste f ( ) (iii) f ( ) f ( ) Oservção: dizemos que descontinuidde de um função é essencil qundo não eistir o ite d função no ponto; é removível qundo eistir o ite d função. Trtremos gor descontinuidde com um puco de rigor. Sej um ponto de cumulção do domínio D de um função f; dizemos que f é descontínu em = se, ou f não tem ite unilterl em, ou esse ite eiste e é diferente de f() ou f não está definid em. Anmente define-se descontinuidde à esquerd e descontinuidde à direit. De cordo com ess definição, estmos dmitindo que um ponto poss ser descontinuidde de um função mesmo que ele não pertenç o domínio de f. A rigor, não deverímos ssim dmitir, só deverímos ceitr descontinuiddes em pontos pertencentes o domínio de f. Ms é nturl considerr o que se pss ns proimiddes de pontos de cumulção do domínio de um função, mesmo que tis pontos não pertençm o domínio. Como eemplo oserve que s funções: f ( ) sen ; g( ) ; h( ) ; t( ) sen são tods contínus em seu domínio: -{} e emor = não pertenç esse domínio é nturl considerr o que contece com esss funções qundo tende zero, tnto pel esquerd como pel direit. Identifique s curvs nos gráfi io: Definição: Dizemos que um função cujo domínio inclui o intervlo fechdo [,] é contínu em [,], se e somente se for contínu pr todo c (,) e se el for contínu em à direit e em à esquerd e tmém, pr c (,) s condições io forem stisfeits: (i) Eiste f(c) (ii) Eiste f ( ) c

13 Cpítulo - O Limite de um função Srtori, C. S De cordo com noss definição, primeir funçáão f() seri clssificd como descontínu em = simplesmente por não estr í definid. Atriuindo o vlor em = el será definid e será contínu em todo. Por isso dizemos que su descontinuidde é removível. A segund, g(), tem ites lteris diferentes qundo tende. El será contínu à direit se impusermos g()= e contínu à esquerd se impusermos g()=-. A terceir função tende qundo tende.não há pois, como remover descontinuidde, o que contece com função t() por não presentr ite. A descontinuidde é de primeir espécie ou do tipo slto qundo função possui, no ponto considerdo, ites à direit e à esquerd porém distintos. É o cso d função g(). A descontinuidde é de segund espécie qundo, função tende no ponto considerdo (cso d função h()), ou não tem ite neste ponto (cso d função t()). Teorem Os pontos de descontinuidde de um função monóton f num intervlo I (itdo ou não) só podem ser do tipo slto; e formm um conjunto no máimo enumerável. Definição: Chm-se conjunto compcto todo conjunto C que sej itdo e fechdo. Um conjunto C diz-se compcto se tod sequênci n C possui um susequênci convergindo pr um ponto de C. Teorem: Todo conjunto compcto C possui máimo e mínimo. Teorem : Se f é um função contínu num domínio compcto D, então f(d) é um conjunto compcto. Teorem (de Weierstrss): Teorem (Do vlor intermediário) Sej f um função contínu num intervlo I=[,], com f() f(). Então, ddo qulquer número d compreendido entre f() e f(), eiste c (,) tl que f(c) = d. Em outrs plvrs, f() ssume todos os vlores compreendidos entre f() e f(), com vrindo entre (,). Teorem : Se f é um função contínu num intervlo I = [,], então f(i) é tmém um intervlo [m,m], onde m e M são os vlores mínimo e máimo respectivmente, d função f. Teorem : A imgem de qulquer intervlo por um função contínu f é um intervlo. Teorem : Tod função f, contínu e injetiv num intervlo I é crescente ou decrescente. Su invers tmém é contínu. Teorem do Confronto ou Snduíche: Suponhmos que f() h() g() pr todo em um intervlo erto contendo, eceto possivelmente pr o próprio. Se: sen Então: f ( ) L h( ) g( ) Como plicção desse teorem vmos demonstrr que, que é o ite trigonométrico fundmentl. É possível mostrr que, pr pequeno ocorre um ordem entre lgums funções de cordo com: L Sen< <Tg Isso é ilustrdo no gráfico seguir: Sej f um função com domínio compcto D. Então f ssume vlores máimo e mínimo em D, isto é, eistem pontos e em D tis que: f() f() f() Pr todo D.

14 Cpítulo - O Limite de um função Srtori, C. S - sen sen sen tg sen Simplificndo, invertendo e trocndo ordenção, consequentemente oteremos: sen Oservmos que: e portnto, plicndo o teorem do confronto, teremos: Eercícios: ) Encontrr os ites indicdos: 5 6 ) ) c) d) 8 9 e) f) 7 g) i) ) Se tende. ) Dd t h) t t 5 j) 9 F( ) encontre seu ite qundo ) f ( ) ) f ( ) se f ( ) Encontre: se sen Aplicções: A velocidde médi é definid como sendo rzão entre vrição d posição num certo intervlo de tempo: Pr definirmos velocidde instntâne necessitmos que o intervlo de tempo tend zero, ou sej velocidde instntâne é o ite qundo o intervlo de tempo vi zero d rzão entre vrição d posição e o intervlo de tempo: v v t s t s t ) Dd f ( ) se se Encontre: ) f ( ) ) f ( ) 5) Dd f ( ) encontre: ) f ( ) ) f ( ) c) f ( ) 6) Dd f ( ) encontre: ) f ( ) ) f ( ) c) f ( ) 7) Discutir continuidde ds funções dos prolems ), 5) e 6). 8) Determine os ites: ) c) 5 ) d) 5 8 e)

15 Cpítulo - O Limite de um função Srtori, C. S - 5 t f) g) t t t t h) i) t t t t j) k) 9 l) m) n) o) ( ) 5 p) ( ) 5 q) 9) Nos prolems io, encontre s ssíntots verticis e horizontis e trce um esoço do gráfico. d) f ( ) (, ),[, ];(, );[, ) ) Nos eercícios io determine o vlor ds constntes de k e c que fzem com que função f sej contínu em (-,+ ) e trce um esoço d função resultnte: ) ) c) f ( ) k 7 se se k se f ( ) k se f ( ) c se k se se ) Trce um esoço do gráfico e discut continuidde ds funções io: e) f ( ) g) f ( ) ) f ( ) c) f ( ) f) f ( ) h) f ( ) ) f ( ) d) f ( ) 9 ( ) 9 ) f ( ) ) h( ) ( )( ) ) Nos eercícios io, encontrr s ssíntots verticis e horizontis e fç um esoço do gráfico: ) ) c) ( )( ) 6 ) Determine se função é contínu ou descontínu nos intervlos indicdos: ) f ( ) 5 ;(, 7);[ 6, ];(, ) ) f ( ) 9;(, ),(, ],(, ),[, ) c) se f ( ) 5 se se ;(,);(, );(,);[,) 5

16 Cpítulo - O Limite de um função Srtori, C. S - 6 II - RESUMOS Y = Sec. Áres Triângulos C r A= r A = h/ h A =.h A B D c c sena senb senc c C D=A+C A = r / (s=r ) r s A r ( sen Funções trigonométrics e Identiddes trigonométrics sen =/r =/r tg =/ cotg =/ csc =r/ sec = r/ sen ( ( tg ) ) sen sen r sen sec tg c sec cotg sen sen sen sen sen( ) sen sen ( ) sen sen tg( ) tg tg tg tg sen sen sen ( ) ( ( ) sen ( ) sen ( ( ) ) ) ) Teorem Binomil n n( n ) n...(!! n n( n ) n...(!! Epnsões em séries n e...!! n! ln( cot gh ) sen! 5 5! n...(...!!... e i isen i i e e sen i i e e i Funções Hiperólics senh e e h e e h senh senh tgh h ;sec h ;sec h tgh h ) ) ) senh 6

17 Cpítulo - O Limite de um função Srtori, C. S - 7 Volumes n p Números Binomiis: n! n n n ( n p)! p! ;!! ( )... Cilindro: V= r h Prlelepípedo: V=c Prism: V = S.h Pirâmide: V = S.h/ Cone: V= r h/ Vetores kˆ kˆ kˆ iˆ kˆ kˆ iˆ; kˆ iˆ i ˆ iˆ i ˆ kˆ i ˆ iˆ iˆ kˆ; kˆ Qulquer vetor pode ser escrito como CL de { i ˆ, ˆ, j k ˆ }, que formm um se ortonorml do R iˆ kˆ z iˆ kˆ Produtos especiis e ftorção: ) ( ) ) ( ) ) ( )( ) ) ( )( ) n n n 5) ( )... n n n n n n z z Alfeto Grego: lf (, et gm ( delt ( épsilon ( zet ( et ( tet ( iot ( cp ( lmd ( mu ( nu ( csi ( ômicron ( pi ( ro ( sigm ( tu ( upsilon ( fi ( chi ( psi ( omeg ( Proprieddes: Funções Logrítmics e Eponenciis: i) iii) iv) v) vi) Se vii) Se viii) vii) Sej n < ( ) n e, e e, ii) (. ) i). iii ) ( ). ii) iv ) v) vi ) vii) Se e viii ) Se e < 7

18 Cpítulo - O Limite de um função Srtori, C. S - 8 Referêncis: Mtemátic, Astor e Remo, Volume, Volume e Volume. Editor Scipione. "O Cálculo com Geometri Anlític", Swokovski, Volume. "O Cálculo com Geometri Anlític", L. Leithold, Volume I. "Introdução à Análise Mtemátic", Gerldo Ávil. Editor Edgrd Blücher "Mthemtic", Stephen Wolfrm, A Sstem for doing Mthemtics computer. Addison Wesle Pulishing Compn 8