Métodos Matemáticos Aplicados a Processos Químicos e Bioquímicos. Capítulo III : Equações Diferenciais Ordinárias
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- Davi Giovanni Fernandes Candal
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1 J.L. de Medeiros & Oféli Q.F. rújo DISCILI Métodos Mtemáticos plicdos rocessos Químicos e Bioquímicos Cpítulo III : Equções Difereciis Ordiáris José Luiz de Medeiros e Oféli Q.F. rújo Egehri Químic FRJ jlm@eq.ufrj.br, ofeli@eq.ufrj.br Tel
2 J.L. de Medeiros & Oféli Q.F. rújo k ) EDO Ordem : : Cp. III : Equções Difereciis Ordiáris EDO). Defiições :Vriável idepedete :Vriável k d :, k,,... k d : Re lção mtemátic Equção Mior depedete Difereci l ordem de procurd Ordiári difereci ção Eq. EDO com,, ), )...
3 J.L. de Medeiros & Oféli Q.F. rújo Cp. III : Equções Difereciis Ordiáris EDO). Defiições Lieridde - EDO de O) é Lier qudo tem form : k k k ) R Coeficietes d EDO Lier depedem pes d Vriável Idepedete EDO Lier bio, tem seguite ropriedde : g,, ),..., ) ) R g, B, ) ) B g,,...,, ) ),..., ) B ) ) ) g, B, ) B,..., ) B )
4 J.L. de Medeiros & Oféli Q.F. rújo 4 Cp. III : Equções Difereciis Ordiáris EDO). Defiições Lieridde - EDO de O) é Lier qudo tem form : k k k ) R Coeficietes d EDO Lier depedem pes d Vriável Idepedete EDO Lier bio, tem seguite ropriedde : g,, ),..., ) ) R g, B, ) ) B g,,...,, ) ),..., ) B ) ) ) g, B, ) B,..., ) B ) ) ) ep 7 É ão Lier
5 J.L. de Medeiros & Oféli Q.F. rújo 5 Cp. III : Equções Difereciis Ordiáris EDO). Defiições SOLÇÕES Solução Gerl SG) : Solução d EDO com costtes rbitráris Solução rticulr S) : Solução obtid d SG fido-se vlor pr costtes rbitráris Solução Sigulr SS) : Solução que ão pode ser obtid d SG por tribuição às costtes rbitráris Solução Complet SC) : SG que produz qulquer solução d EDO pel tribuição dequd de vlor às costtes rbitráris
6 J.L. de Medeiros & Oféli Q.F. rújo 6 Cp. III : Equções Difereciis Ordiáris EDO). EDO Lier de Ordem ) R Dividido-se por ) ) e redefiido-se termos : ) p q p q R / /
7 J.L. de Medeiros & Oféli Q.F. rújo 7 Cp. III : Equções Difereciis Ordiáris EDO). EDO Lier de Ordem ) p q Resolução Multiplic-se EDO por um ftor especificr F) : F ) p F F q Escolhe-se F) tl que df d p F df d p F df F p d l F ) p d F ep p d ssim Eq. ), escreve-se F ) df d F q d d F F q
8 J.L. de Medeiros & Oféli Q.F. rújo 8 Cp. III : Equções Difereciis Ordiáris EDO). EDO Lier de Ordem ) p q Resolução d d F F q F Cte F q d Cte / F F F q d b F) é o Ftor de Itegrção d EDO F ep p d c
9 J.L. de Medeiros & Oféli Q.F. rújo 9 Cp. III : Equções Difereciis Ordiáris EDO). EDO Lier de Ordem ) p q Resolver EDO bio : Eemplo. ) e p, q e F ep d e C / Ce F e F e d F Q d Ce e
10 J.L. de Medeiros & Oféli Q.F. rújo ) Cp. III : Equções Difereciis Ordiáris EDO). Sistems de EDOs Lieres de Ordem :Vriável idepedete :Vetor de vriáveis depedetes d : d : Re lção mtemátic procurd
11 J.L. de Medeiros & Oféli Q.F. rújo ) Cp. III : Equções Difereciis Ordiáris EDO). Sistems de EDOs Lieres de Ordem p q EDO Lier de Ordem ) p q Sistem EDOs Lieres de Ordem :, p :, q :
12 J.L. de Medeiros & Oféli Q.F. rújo ) Cp. III : Equções Difereciis Ordiáris EDO). Sistems de EDOs Lieres de Ordem p q EDO Lier de Ordem ) p q Sistem EDOs Lieres de Ordem :, p :, q : r resolução é ecessário geerlizr fução epoecil ordiári e pr o coteto mtricil. Defiimos, portto, Operção Mtricil cohecid como Epoecil Mtricil.
13 J.L. de Medeiros & Oféli Q.F. rújo Cp. III : Equções Difereciis Ordiáris EDO). Sistems de EDOs Lieres de Ordem Defie-se Epoecil Mtricil pr qulquer mtriz qudrd sej est sigulr ou ão), tmho, pel série ifiit de potecis iteirs d mtriz bio : ep ) I!! 4! 4..., ep ) : Mtrizes
14 J.L. de Medeiros & Oféli Q.F. rújo 4 Cp. III : Equções Difereciis Ordiáris EDO). Sistems de EDOs Lieres de Ordem roprieddes d Epoecil Mtricil : e ep ) comutm Teorem. ep 4 ) I...!! 4! !! 4! 4 I...!! 4! ep ) ep ) ep )
15 J.L. de Medeiros & Oféli Q.F. rújo 5 Cp. III : Equções Difereciis Ordiáris EDO). Sistems de EDOs Lieres de Ordem roprieddes d Epoecil Mtricil b : e ep ) comutm Teorem.b ep ) I I I!!!!!! 4! 4! 4 4! ep ) ep ) ep )
16 J.L. de Medeiros & Oféli Q.F. rújo 6 Cp. III : Equções Difereciis Ordiáris EDO). Sistems de EDOs Lieres de Ordem roprieddes d Epoecil Mtricil c : k k I ) e ep ) comutm Teorem.c k ep ) I k k I k!!! k!!! 4! k 4! 4 4! 4 k k... ep ) k k ep ) ep ) k
17 J.L. de Medeiros & Oféli Q.F. rújo 7 Cp. III : Equções Difereciis Ordiáris EDO). Sistems de EDOs Lieres de Ordem roprieddes d Epoecil Mtricil : Ivers de é ep ep ) I ) 4...!! 4! 4 I...!! 4! Teorem.
18 J.L. de Medeiros & Oféli Q.F. rújo 8 ep )ep ) I Cp. III : Equções Difereciis Ordiáris EDO). Sistems de EDOs Lieres de Ordem I I!!!!!!!! 4! 4 4 4! 4!!! 4! 4 4!.. I! ! ! 5...!! 5...!! ! ! 4! 4! 4... ep ) ep )
19 J.L. de Medeiros & Oféli Q.F. rújo 9 Cp. III : Equções Difereciis Ordiáris EDO). Sistems de EDOs Lieres de Ordem [vi Teor..] LI utovetores tem qdo ) ep Ftorção : k k ),..., Dig de ormlizdos utovetores !!! I ) ep... 4!!!... 4!!! I ) ep ) ep ) ep Teorem.
20 J.L. de Medeiros & Oféli Q.F. rújo Cp. III : Equções Difereciis Ordiáris EDO). Sistems de EDOs Lieres de Ordem [Teor..4] Simétric qdo ) ep Ftorção : 4 T k k T T T T T T T T T ),..., Dig etão Simétric de ormlizdos utovetores T 4 T 4 T T T T !!! I ) ep... 4!!!... 4!!! I ) ep T ) ep ) ep Teorem.4
21 J.L. de Medeiros & Oféli Q.F. rújo Cp. III : Equções Difereciis Ordiáris EDO). Sistems de EDOs Lieres de Ordem 5 : Se e d d comutm d d ep ) ep ) ep ) ep ) I d d ep ) Qudo e!!!! 4! comutm : 4 Teorem.5 d d d d ep ep ) )! I!...!...! I!!... d d ep ) ep ) ep )
22 J.L. de Medeiros & Oféli Q.F. rújo Cp. III : Equções Difereciis Ordiáris EDO). Sistems de EDOs Lieres de Ordem Eemplos de Csos Mtriciis ode e comutm : K K K K K K Kg Kg K g g K g K g K m K m g g m m K g m g m m K g m g m r estes csos vle d d ep ) ep ) ep )
23 J.L. de Medeiros & Oféli Q.F. rújo Cp. III : Equções Difereciis Ordiáris EDO). Sistems de EDOs Lieres de Ordem Comdo Mtlb pr clculr Epoecil Mtricil de mtriz : ep m )
24 J.L. de Medeiros & Oféli Q.F. rújo 4 ) Cp. III : Equções Difereciis Ordiáris EDO). Sistems de EDOs Lieres de Ordem De posse do coceito de Epoecil Mtricil, voltmos cosiderr Solução do Sistem de EDOs Lieres de O) : p q, p, q
25 J.L. de Medeiros & Oféli Q.F. rújo 5 Cp. III : Equções Difereciis Ordiáris EDO). Sistems de EDOs Lieres de Ordem ) p q ré-multiplic-se o sistem pel mtriz especificr F) : F ) F p F q Escolhe-se F) tl que d F F p p d Sob comutbilidde etre F p e p d ssim, com Teor..5 : d d F F p F ep p d Voltdo EDO :
26 J.L. de Medeiros & Oféli Q.F. rújo 6 Cp. III : Equções Difereciis Ordiáris EDO). Sistems de EDOs Lieres de Ordem F ) F p F q F F F ) Ou id : C d d F F q F q d F C d d F F q F F q C F F q d F ep p d d ep p d.c ep p d ep p d.q d
27 J.L. de Medeiros & Oféli Q.F. rújo 7 Cp. III : Equções Difereciis Ordiáris EDO). Sistems de EDOs Lieres de Ordem ) p q Cso rticulr C pr Sistem de EDOs Lieres : p cos tte, q cos tte )
28 J.L. de Medeiros & Oféli Q.F. rújo 8 Cp. III : Equções Difereciis Ordiáris EDO). Sistems de EDOs Lieres de Ordem ) plicdo Eq. ) com p, q ep p d.c ep p d ep p d.q d p d ep p d ep ep.c ep ep.c ep ep ep. d d.
29 J.L. de Medeiros & Oféli Q.F. rújo 9 ) Cp. III : Equções Difereciis Ordiáris EDO). Sistems de EDOs Lieres de Ordem ep.c ep ep d. Fzedo itegrl est epressão com série d Epoecil : ep d ep d ep d ep I I!!!! 4 4! 4 4! 5 5! d... I ep I ep.c ep I. I ep
30 J.L. de Medeiros & Oféli Q.F. rújo Cp. III : Equções Difereciis Ordiáris EDO). Sistems de EDOs Lieres de Ordem Solução do Cso rticulr C de Sistem de EDOs Lieres ) p q p cos tte, q cos tte ).C ep I. ep 4
31 J.L. de Medeiros & Oféli Q.F. rújo Cp. III : Equções Difereciis Ordiáris EDO). Sistems de EDOs Lieres de Ordem Solução do Cso rticulr C de Sistem de EDOs Lieres ) p q p cos tte, q cos tte.c ep I. ep 4 Sob Codição Iicil ) ep. ep I. 4b
32 J.L. de Medeiros & Oféli Q.F. rújo Cp. III : Equções Difereciis Ordiáris EDO). Sistems de EDOs Lieres de Ordem ) p q Cso rticulr Cb pr Sistem de EDOs Lieres : p cos t te, q cos t te tem utovetores LI ormliz.) )
33 J.L. de Medeiros & Oféli Q.F. rújo Cp. III : Equções Difereciis Ordiáris EDO). Sistems de EDOs Lieres de Ordem Solução do Cso rticulr Cb diretmete com Eq. 4) diciodo-se Ftorção seguite e o Teor.. : ep ep : uvetores ormliz. em Colus : utovlores em Digol
34 J.L. de Medeiros & Oféli Q.F. rújo 4 ) Cp. III : Equções Difereciis Ordiáris EDO). Sistems de EDOs Lieres de Ordem Solução do Cso rticulr Cb : ) p ep ep q p ep, cos t te, ep q ep.c ep I..C ep I..C ep I. cos t te 4 5
35 J.L. de Medeiros & Oféli Q.F. rújo 5 Cp. III : Equções Difereciis Ordiáris EDO). Sistems de EDOs Lieres de Ordem Solução do Cso rticulr Cb : ) p q p, cos t te, ep q cos t te ep ep.c ep I. 5 Sob Codição Iicil ) ep. ep I. 5b
36 J.L. de Medeiros & Oféli Q.F. rújo 6 Cp. III : Equções Difereciis Ordiáris EDO). Sistems de EDOs Lieres de Ordem ) p q Cso rticulr Cc pr Sistem de EDOs Lieres : p cos t te, q cos t te Simétric utovetores T )
37 J.L. de Medeiros & Oféli Q.F. rújo 7 Cp. III : Equções Difereciis Ordiáris EDO). Sistems de EDOs Lieres de Ordem Solução do Cso rticulr Cc diretmete com Eq. 4) diciodo-se Ftorção de mtrizes simétrics e o Teor..4 : T T T ep ep T : uvetores ormliz. em Colus T : utovlores em Digol
38 J.L. de Medeiros & Oféli Q.F. rújo 8 ) Cp. III : Equções Difereciis Ordiáris EDO). Sistems de EDOs Lieres de Ordem Solução do Cso rticulr Cc : ) p ep q p ep T, simétric, ep q ep.c ep I. T T T.C ep I. cos t te T 4 ep T T.C ep I. 6 Vtgem sobre C e Cb : ão é ecessário Iverter Mtriz!
39 J.L. de Medeiros & Oféli Q.F. rújo 9 Cp. III : Equções Difereciis Ordiáris EDO). Sistems de EDOs Lieres de Ordem Solução do Cso rticulr Cc : ) p q p T, simétric, ep q cos t te ep T ep T T.C ep I. 6 Sob Codição Iicil ) ep T T. ep I. 6b
40 J.L. de Medeiros & Oféli Q.F. rújo 4 Cp. III : Equções Difereciis Ordiáris EDO). Sistems de EDOs Lieres de Ordem. b.,, b b d d d d Eemplo. Gerr o lo de Fse do Sistem de EDOs bio :
41 J.L. de Medeiros & Oféli Q.F. rújo 4 Cp. III : Equções Difereciis Ordiáris EDO). Sistems de EDOs Lieres de Ordem. b.,, b b d d d d Eemplo Idetificdo e : Cso rticulr Cb d d d d b,, b b,
42 J.L. de Medeiros & Oféli Q.F. rújo 4 Cp. III : Equções Difereciis Ordiáris EDO). Sistems de EDOs Lieres de Ordem d d d d rocessdo Solução Estcioári : EE EE EE EE EE EE. b.,, b b, b b b EE EE
43 J.L. de Medeiros & Oféli Q.F. rújo 4 Cp. III : Equções Difereciis Ordiáris EDO). Sistems de EDOs Lieres de Ordem d d d d b b d d d d O lo de Fse é obtido trçdo-se diverss trjetóris ), )) prtir de vários estdos iiciis, ). Temos s Fses : i) Obter Solução Gerl; ii) plicr codição iicil; e iii) Trçr s váris órbits vrido-se s codições iiciis. Fse : Obtedo Solução Gerl Cso rticulr Cb b,, b b,
44 J.L. de Medeiros & Oféli Q.F. rújo 44 Cp. III : Equções Difereciis Ordiáris EDO). Sistems de EDOs Lieres de Ordem Fse : Re-escrevedo Solução Gerl Cso rticulr Cb ep.c ep I. ep.c ep I. ep.c ep I. ep.c ep I.
45 J.L. de Medeiros & Oféli Q.F. rújo 45 Cp. III : Equções Difereciis Ordiáris EDO). Sistems de EDOs Lieres de Ordem Fse : plicdo Codição Iicil Cso rticulr Cb ep.c ep I. ) ep. ep I.
46 J.L. de Medeiros & Oféli Q.F. rújo 46 Cp. III : Equções Difereciis Ordiáris EDO). Sistems de EDOs Lieres de Ordem b, Fse : rocessdo Solução com Codição Iicil i i : utovlores Ivers :. I ep. ep
47 J.L. de Medeiros & Oféli Q.F. rújo 47 Cp. III : Equções Difereciis Ordiáris EDO). Sistems de EDOs Lieres de Ordem i X X i X X i i utovetores Fse : rocessdo Solução com Codição Iicil / / i / / i i i i i i ão ec. ormlizr or quê?. I ep. ep
48 J.L. de Medeiros & Oféli Q.F. rújo 48 Cp. III : Equções Difereciis Ordiáris EDO). Sistems de EDOs Lieres de Ordem i i i i se ep cos ep ep / / i / / i, i i i i ise cos ise cos ep i ep i ep ep ep i ep ep i ep ep ep i i i i
49 J.L. de Medeiros & Oféli Q.F. rújo 49 Cp. III : Equções Difereciis Ordiáris EDO). Sistems de EDOs Lieres de Ordem i i i i i i, i / i / / / i ep ep cos ep se i ep i / ep cos i / / / ep se / / i / i / ep ) ep ep cos I ep se cos se ep se cos
50 J.L. de Medeiros & Oféli Q.F. rújo 5 Cp. III : Equções Difereciis Ordiáris EDO). Sistems de EDOs Lieres de Ordem i i i i i i, i / i / / / ep cos ep se se cos ep. ep I. ep cos se se cos b ep cos se se cos I
51 J.L. de Medeiros & Oféli Q.F. rújo 5 Cp. III : Equções Difereciis Ordiáris EDO). Sistems de EDOs Lieres de Ordem Fse : Solução com Codição Iicil - Trigoométric ep cos se se cos b ep cos se se cos I Fse : Solução com Codição Iicil - Comple ep. ep I. i i i i, i / i / / /
52 J.L. de Medeiros & Oféli Q.F. rújo 5 Cp. III : Equções Difereciis Ordiáris EDO). Sistems de EDOs Lieres de Ordem
53 J.L. de Medeiros & Oféli Q.F. rújo 5 Cp. III : Equções Difereciis Ordiáris EDO). Sistems de EDOs Lieres de Ordem
54 J.L. de Medeiros & Oféli Q.F. rújo 54 Cp. III : Equções Difereciis Ordiáris EDO). Sistems de EDOs Lieres de Ordem
55 J.L. de Medeiros & Oféli Q.F. rújo 55 Cp. III : Equções Difereciis Ordiáris EDO) 4. EDO Lier de Ordem EDO- Lier Gerl ão Homogêe : ) p ) q r 7 Cuj Form Homogêe é : ) ) p q 8 Teorem.6 Sej itervlo,b) ode p), q), r) são cotíus. Sej,b). Sejm, ) úmeros. Etão sobre,b) EDO 7) tem um e somete um solução ) tl que : ) ) ), )
56 J.L. de Medeiros & Oféli Q.F. rújo 56 Cp. III : Equções Difereciis Ordiáris EDO) 4. EDO Lier de Ordem Se ) e ) são soluções d EDO- Homogêe, Eq. 8), etão ) = C )+C ) tmbém é solução. Teorem.7 Demostrção Substitui do C C o ldo esquerdo d Eq. 8 ): ) C C C p ) ) C ) C p ) ) q ) C ) p q ) C ) C p ) ) p C q ) q C q ) Logo ) = C )+C ) é solução d EDO- homogêe.
57 J.L. de Medeiros & Oféli Q.F. rújo 57 Cp. III : Equções Difereciis Ordiáris EDO) 4. EDO Lier de Ordem Se ) e ) são soluções d EDO- Lier Homogêe, Eq. 8), pr s quis W, ), etão qulquer outr solução ) pode ser escrit como ) = C )+C ). Teorem.8 O wroskio de e é W, ) ) ) Demostrção Sejm EDO- Lier Homogêe bio e dus soluções ), ), com W ), )). Sej ),um terceir solução d EDO- homogêe. odemos escrever: ) ) p q pr,,.
58 J.L. de Medeiros & Oféli Q.F. rújo 58 Cp. III : Equções Difereciis Ordiáris EDO) 4. EDO Lier de Ordem Teorem.8 ) ) ) p p p ) ) ) q q q ) ) ) ) ) ) p q Trt-se de um SQH com Solução ão Trivil ) ) ) D p, como p D ) ) q q ) ms ) ) osto D ) osto D )
59 J.L. de Medeiros & Oféli Q.F. rújo 59 Cp. III : Equções Difereciis Ordiáris EDO) 4. EDO Lier de Ordem Teorem.8 D ) ) ) ) ) ) osto D ) D tem lihs D tem lih LI LD lih LD só pode ser pois ) ) Logo : i.e. lihs e são LI ) ) ) ) ) ) C C C C
60 J.L. de Medeiros & Oféli Q.F. rújo 6 Cp. III : Equções Difereciis Ordiáris EDO) 4. EDO Lier de Ordem Se ) e ) são soluções d EDO- Lier Homogêe, Eq. 8), pr s quis W, ), etão qulquer outr solução ) pode ser escrit como ) = C )+C ). Teorem.8 Observções r o Teor..8 vler, são ecessáris soluções ) e ) LI, i.e., com W, ). O Teor. ão cit como obtê-ls, ms é clro o dizer que o úmero máimo de soluções LI é. O Teor..8 epress que Solução Complet SC) d EDO- Lier Homogêe, Eq. 8), é obtid como Combição Lier de soluções ) e ) LI, i.e., com W, ). solução SC é : H C C Sol. Complet d EDO- Li. Hom.
61 J.L. de Medeiros & Oféli Q.F. rújo 6 Cp. III : Equções Difereciis Ordiáris EDO) 4. EDO Lier de Ordem Sej ) solução d EDO- Lier Homogêe, Eq. 8). Etão um segud solução ), LI de ), i.e. com W, ), pode ser obtid com ) = ) ). Teorem.9 Demostrção ode Sej segud solução, escrit como ) = ) ). ssim : ) ) ) ) ) ) ) ) ep p.d Forçdo ) e derivds stisfzer EDO- Li. Homogêe : ) ) p q.d
62 J.L. de Medeiros & Oféli Q.F. rújo 6 Cp. III : Equções Difereciis Ordiáris EDO) 4. EDO Lier de Ordem Teorem.9 ) ) ) ) ) ) p q ) ) ) ) ) p q p ) ) Como tede à EDO : p q ) ) ) ) ) p d ) p d ) ) l ep p.d ep ) p.d ) p d ep l ) p. d. d
63 J.L. de Medeiros & Oféli Q.F. rújo 6 Cp. III : Equções Difereciis Ordiáris EDO) 4. EDO Lier de Ordem segud solução, será escrit, portto, como : Teorem.9., ep p.d. d 9 É possível provr que ) é LI de ), isto é W ), )). Bst plicr substituição diret em W ), )) com Eq. 9) o escrever ) Ver List de Eercícios ).
64 J.L. de Medeiros & Oféli Q.F. rújo 64 Cp. III : Equções Difereciis Ordiáris EDO) 4. EDO Lier de Ordem Sej ) solução prticulr d EDO- Lier ão-homogêe, Eq. 7). Sejm ) e ) soluções d EDO- Lier Homogêe, Eq. 8), com W, ). Etão Solução Complet d EDO- Lier ão-homogêe, Eq. 7), escreve-se C )+C ) + ). Teorem. Demostrção H C C é sol. d EDO L..Hom.: é Sol. d EDO L..Hom.: SC d EDO L.H.: ) ) p p ) H ) p q ) ) H r q q r H Subtrido-se s dus últims EDOs ão Homogêes, Tem-se : ) ) ) p ) q )
65 J.L. de Medeiros & Oféli Q.F. rújo 65 Cp. III : Equções Difereciis Ordiáris EDO) 4. EDO Lier de Ordem Teorem. ) ) ) p ) q ) ortto - é solução d EDO Lier Homogêe. Como Solução Complet d EDO L.H. é dd por H, tem-se H C C C C Ou sej, qulquer solução d EDO Lier ão-homogêe, escreve-se os termos d Eq. ), qul epress, portto, Solução Complet d EDO- Lier ão-homogêe.
66 J.L. de Medeiros & Oféli Q.F. rújo 66 Cp. III : Equções Difereciis Ordiáris EDO) 4. EDO Lier de Ordem Sej ) solução prticulr d EDO- Lier ão-homogêe, Eq. 7). Sejm ) e ) soluções d EDO- Lier Homogêe, Eq. 8), com W, ). Etão Solução Complet d EDO- Lier ão-homogêe, Eq. 7), escreve-se C )+C ) + ). Teorem. Observção O Teor.., formliz que se obtém Sol. Complet de EDO- Lier ão-homogêe, com s etps seguites : ) Obter Sol. Complet d EDO- Lier Homogêe H )) ) Obter Sol. rticulr d EDO- Lier ão-hom., )) ) Compor Sol. Complet d EDO- Lier ão-homogêe ) = ) + H ) ou ) = ) + C )+C )
67 J.L. de Medeiros & Oféli Q.F. rújo 67 Cp. III : Equções Difereciis Ordiáris EDO) 5. EDO Lier de Ordem com Coeficietes Costtes EDO- Lier Coef. Ctes. ão Homogêe : ) b ) c r b,c cost.) Cuj Form Homogêe é : ) ) b c elo Teor..8 deverá hver dus soluções LI pr compor Solução Complet d form homogêe, Eq. ). Eq. ) sugere que sejm tetds soluções do tipo : ep Cbe pergut : r que vlores de fução ) = e é solução. r respoder, substituir ) = e Eq. ).
68 J.L. de Medeiros & Oféli Q.F. rújo 68 Cp. III : Equções Difereciis Ordiáris EDO) 5. EDO Lier de Ordem com Coeficietes Costtes e be ce b c e ) b c Eq. ) é Equção Crcterístic d EDO- C.C.Hom. pr os vlores de permitidos solução e. or ser de gru, dmitirá sempre dus rízes pelo Teor.Fud. d Álgebr. Com ests rízes e, Eq. ) escreve-se: ) ) Levdo às Soluções Cdidts d EDO- Homogêe, Eq. ): e, e
69 J.L. de Medeiros & Oféli Q.F. rújo 69 Cp. III : Equções Difereciis Ordiáris EDO) 5. EDO Lier de Ordem com Coeficietes Costtes c b e, e plicdo o teste do Wroskio pr verificr se são LI : ) se e )e e e e e ), W ), W ) )
70 J.L. de Medeiros & Oféli Q.F. rújo 7 Cp. III : Equções Difereciis Ordiáris EDO) 5. EDO Lier de Ordem com Coeficietes Costtes e, e Csos pr S.C. d EDO- C.C.H. H e C e C LI são e, e,, H e C C e
71 J.L. de Medeiros & Oféli Q.F. rújo 7 Cp. III : Equções Difereciis Ordiáris EDO) 5. EDO Lier de Ordem com Coeficietes Costtes C e e H C, e ib, e C ib,, ib, ib compl. H H e e ib) e, Ce e e Csos pr S.C. d EDO- C.C.H. C e ib Compl.Coj. e C ib) e pois ib H coj. são LI rel. ib )cosb iseb) ib )cosb iseb) cosb Bseb pós Redefiir-se s Costtes rbitráris Reis e B : H e cosb Be seb e e cos b se b
72 J.L. de Medeiros & Oféli Q.F. rújo 7 Cp. III : Equções Difereciis Ordiáris EDO) 5. EDO Lier de Ordem com Coeficietes Costtes e, e Csos pr S.C. d EDO- C.C.H. Temos pes riz sol. rel., e repetid ) ep.. sr p.d Teor.. d.9 pr. Devido à riz dupl Eq. crcterístic tem form : ) ) p ep ) q d ep.d d EDO : ) p ) ep.
73 J.L. de Medeiros & Oféli Q.F. rújo 7 Cp. III : Equções Difereciis Ordiáris EDO) 5. EDO Lier de Ordem com Coeficietes Costtes e, e Csos pr S.C. d EDO- C.C.H. riz rel repetid ) ep., H C ep. C ep. ep.
74 J.L. de Medeiros & Oféli Q.F. rújo 74 Cp. III : Equções Difereciis Ordiáris EDO) 5. EDO Lier de Ordem com Coeficietes Costtes Os Csos defiem s possibiliddes pr Solução Complet SC) d EDO- com Coeficietes Costtes Homogêe : H C C Rest id obteção d Solução rticulr S) d EDO- com Coeficietes Costtes ão-homogêe : ) ) b c r b,c cost.) r obter S d EDO- C.C..H. eiste um puhdo de métodos prticulres e. Método de Coeficietes Determir) e pes um método gerl. Este último é cohecido como Método de Vrição de râmetros MV). próim seção é dedicd o MV, pois este é plicável à EDO Lier Gerl.
75 J.L. de Medeiros & Oféli Q.F. rújo 75 Cp. III : Equções Difereciis Ordiáris EDO) 5. EDO Lier de Ordem com Coeficietes Costtes pós obteção d Solução rticulr, ), d EDO- de Ceoficietes Costtes e ão-homogêe, Eq. ), ) ) b c r b,c cost.) Tem-se su Solução Complet : C C
76 J.L. de Medeiros & Oféli Q.F. rújo 76 Cp. III : Equções Difereciis Ordiáris EDO) 6. Método de Vrição de râmetros com EDO Lier O Método de Vrição de râmetros MV) é um recurso útil pr obter Soluções rticulres de EDOs Lieres qulquer ordem) ão-homogêes. O MV plic-se EDOs d form: k k k ) R Os requisitos pr plicção do MV são: ) EDO é Lier e ão-homogêe ) Sol. Complet d EDO Homogêe foi obtid H )), i.e. tem-se Bse de Soluções d EDO Li. Homogêe é ordem d EDO):,,,..., H C
77 J.L. de Medeiros & Oféli Q.F. rújo 77 Cp. III : Equções Difereciis Ordiáris EDO) 6. Método de Vrição de râmetros com EDO Lier MV pr obter S de EDO- Lier ão-homogêe : ) ) p q r 7 : Dispoível Bse de Soluções d EDO- Homogêe, H C C : Form propost pelo MV pr S ) e ) obter) ).. ).. ) ). ). : ecessáris Codições pr obter ) e ). São els ) )... ) p ) q ) r EDO ) ). ) )
78 J.L. de Medeiros & Oféli Q.F. rújo 78 Cp. III : Equções Difereciis Ordiáris EDO) 6. Método de Vrição de râmetros com EDO Lier 4: Derivds d S com e ) ). p ). q ) ) r.. ) ).. ) ) ) ) ) ) ) p q p q ) ) ) ) ) r. ) 5: plicdo 4 em b pr motr restrição resolver ) ) p q r ) ) ) ) r ). )
79 J.L. de Medeiros & Oféli Q.F. rújo 79 Cp. III : Equções Difereciis Ordiáris EDO) 6. Método de Vrição de râmetros com EDO Lier 6: Reuido restrições fiis resolver com e 5 : ) ).. ) ) ) ) r 7: Restrições 6 sob form mtricil pr fuções icógits ) ) ) ) r W ) r W ) ),
80 J.L. de Medeiros & Oféli Q.F. rújo 8 Cp. III : Equções Difereciis Ordiáris EDO) 6. Método de Vrição de râmetros com EDO Lier 8: Como Wroskio W, ), iversão bio é possível W ) r ) 9: Com itegrção imprópri ) d r W W : Epressão Fil do MV.d r.. ) ).d r
81 J.L. de Medeiros & Oféli Q.F. rújo 8 Cp. III : Equções Difereciis Ordiáris EDO) 6. Método de Vrição de râmetros com EDO Lier.d r ) ) : brido ivers d epressão Fil do MV ) ) ) ) ) ).d r ) ) ) )
82 J.L. de Medeiros & Oféli Q.F. rújo 8 Cp. III : Equções Difereciis Ordiáris EDO) 6. Método de Vrição de râmetros com EDO Lier : fil, o fil do MV pr S de EDO- Li. ão-homog. r. ) r ). ) ) d d..
83 J.L. de Medeiros & Oféli Q.F. rújo 8 Cp. III : Equções Difereciis Ordiáris EDO) 6. Método de Vrição de râmetros com EDO Lier Obter Solução Complet d EDO- Lier e ão-homogêe: ) ) e e : Idetificdo Termos d EDO- p, Eemplo. : Solução d EDO- Homogêe : Coeficietes Costtes ) e ), q, e r e H e C : Wroskio pr motr MV W ) ) e e e e e EDO e.e C de.e Coef riz.cost. dupl ).Hom.)
84 J.L. de Medeiros & Oféli Q.F. rújo 84 Cp. III : Equções Difereciis Ordiáris EDO) 6. Método de Vrição de râmetros com EDO Lier 4: Implemetdo MV r. d ) ) r ). ) d r. W r. W d d e, e r W e e e e e e e e e e e ) d ) d )d d
85 J.L. de Medeiros & Oféli Q.F. rújo 85 Cp. III : Equções Difereciis Ordiáris EDO) 6. Método de Vrição de râmetros com EDO Lier 4: Implemetdo MV e..e.. e e r e, e e W e 6 e
86 J.L. de Medeiros & Oféli Q.F. rújo 86 Cp. III : Equções Difereciis Ordiáris EDO) 6. Método de Vrição de râmetros com EDO Lier 5: Solução Complet d EDO- C.C. ão-homogêe C C Eemplo. C e C e e 6 e
87 J.L. de Medeiros & Oféli Q.F. rújo 87 Cp. III : Equções Difereciis Ordiáris EDO) 6. Método de Vrição de râmetros com EDO Lier Obter Solução Complet d EDO- Lier e ão-homogêe: ) tg Eemplo.4 : Idetificdo Termos d EDO- p, q, r tg EDO de Coef.Cost..Hom.) : Solução d EDO- Homogêe : Coeficietes Costtes ) i, i compl coj., b ) cos, se : Wroskio pr motr MV W ) ) H C cos se se cos cos.cos C se.se
88 J.L. de Medeiros & Oféli Q.F. rújo 88 Cp. III : Equções Difereciis Ordiáris EDO) 6. Método de Vrição de râmetros com EDO Lier 4: Implemetdo MV r. d ) ) tg r )..se ) d tg.cos d d r. W r. W d d se d cos se d cos cos d se r tg W cos cos.d se cos sec d se l sec tg
89 J.L. de Medeiros & Oféli Q.F. rújo 89 se r tg W Cp. III : Equções Difereciis Ordiáris EDO) 6. Método de Vrição de râmetros com EDO Lier 4: Implemetdo MV cos.. se lsec tg.cos cos.se cos.l sec tg
90 J.L. de Medeiros & Oféli Q.F. rújo 9 Cp. III : Equções Difereciis Ordiáris EDO) 6. Método de Vrição de râmetros com EDO Lier 5: Solução Complet d EDO- C.C. ão-homogêe Eemplo.4 C C C.cos C.se cos.l sec tg
91 J.L. de Medeiros & Oféli Q.F. rújo 9 Cp. III : Equções Difereciis Ordiáris EDO) 6. Método de Vrição de râmetros com EDO Lier MV pr obter S de EDO Lier Ordem ão-homogêe : ) ) p... p p r ) p ) r : Dispoível Bse de Soluções d EDO O) Homogêe ) ) p,,..., H C C... C : Form propost pelo MV pr S )... ) obter) ) 4
92 J.L. de Medeiros & Oféli Q.F. rújo 9 Cp. III : Equções Difereciis Ordiáris EDO) 6. Método de Vrição de râmetros com EDO Lier : ecessáris Codições pr ), )... ). Últim é EDO-, Eq. ), em ). s - simplificm ), )... -). ) ) ) ) ) p ) ) ) ) r ) ) ) ) ) ) ) )
93 J.L. de Medeiros & Oféli Q.F. rújo 9 Cp. III : Equções Difereciis Ordiáris EDO) 6. Método de Vrição de râmetros com EDO Lier 4: plicdo - s Codições últim, EDO-, Eq. ) : ou ) ) p ) )... 5: Como ) =...) tedem EDO- Homogêe, Eq. ), est últim codição tor-se: ) ) ) ) r p ) p ) ) ) p... p p r r
94 J.L. de Medeiros & Oféli Q.F. rújo 94 Cp. III : Equções Difereciis Ordiáris EDO) 6. Método de Vrição de râmetros com EDO Lier 6: s Codições pr ), )... ) são, portto, ) ) ) ) ) ) ) r
95 J.L. de Medeiros & Oféli Q.F. rújo 95 Cp. III : Equções Difereciis Ordiáris EDO) 6. Método de Vrição de râmetros com EDO Lier 7: s Codições pr ), )... ) em modo mtricil : r ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) )
96 J.L. de Medeiros & Oféli Q.F. rújo 96 Cp. III : Equções Difereciis Ordiáris EDO) 6. Método de Vrição de râmetros com EDO Lier 8: Recohecedo mtriz do Wroskio e vetores ), ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ), W
97 J.L. de Medeiros & Oféli Q.F. rújo 97 Cp. III : Equções Difereciis Ordiáris EDO) 6. Método de Vrição de râmetros com EDO Lier 9: Resolução ds Codições pr ), )... ) : ) ) W W W r.d r r Iversão Itegrção
98 J.L. de Medeiros & Oféli Q.F. rújo 98 Cp. III : Equções Difereciis Ordiáris EDO) 6. Método de Vrição de râmetros com EDO Lier : Obtedo-se ) pelo MV pr EDO Lier de Ordem.d r W T, )
99 J.L. de Medeiros & Oféli Q.F. rújo 99 Cp. III : Equções Difereciis Ordiáris EDO) 7. EDO Lier de Ordem > com Coeficietes Costtes Resolução d EDO Lier Ordem ão-homogêe Gerl, Eq. ), Vem d devid geerlizção dos teorems teriores de EDO- Lier. ) ) p p ) )... r p ) p r : Dispoível Bse de Soluções d EDO O) Homogêe : ) p ),,..., H C C... C
100 J.L. de Medeiros & Oféli Q.F. rújo Cp. III : Equções Difereciis Ordiáris EDO) 7. EDO Lier de Ordem > com Coeficietes Costtes : Soluções d EDO O) Hom. germ Sol. Complet somete se o Teste do Wroskio é tedido : W W ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) : O Teste do Wroskio vibiliz obter Solução rticulr d EDO- ão-hom. com MV utiliz mtriz Wroski) : W.d r 4
101 J.L. de Medeiros & Oféli Q.F. rújo Cp. III : Equções Difereciis Ordiáris EDO) 7. EDO Lier de Ordem > com Coeficietes Costtes 4: Solução Complet d EDO- Lier ão Hom. é grtid pel geerlizção do Teor.. seguir: Sej ) solução prticulr d EDO- Lier ão-homogêe, Eq. ). Sejm ), ),..., ) Bse de Soluções d EDO- Lier Homogêe, Eq. ), com W,,..., ). Etão Solução Complet d EDO- Lier ão-homogêe, Eq. ), escreve-se C )+C ) C ) + ). Teorem. H C
102 J.L. de Medeiros & Oféli Q.F. rújo Cp. III : Equções Difereciis Ordiáris EDO) 7. EDO Lier de Ordem > com Coeficietes Costtes rticulrizmos EDO- Lier ão Homogêe o cso de Coeficietes Costtes, Eq. 5) : ) ) b b ) )... b r ) b r, b,b,...,b cost. Iicimos pel resolução d EDO- Coef. Cost. Homogêe : 5 ) ) b b ) )... b ) b 6
103 J.L. de Medeiros & Oféli Q.F. rújo Cp. III : Equções Difereciis Ordiáris EDO) 7. EDO Lier de Ordem > com Coeficietes Costtes resolução d EDO- Coef. Cost. Hom. vem com propost ep Substituido EDO- Coef. Cost. Homogêe, Eq. 6),... b b.ep b Result Equção Crcterístic d EDO- C.C. Hom., Eq. 7), b... b b 7 elo Teorem Fudmetl d Álgebr, o poliômio de gru d Eq. 7), sempre terá rízes :,,,...,
104 J.L. de Medeiros & Oféli Q.F. rújo 4 Cp. III : Equções Difereciis Ordiáris EDO) 7. EDO Lier de Ordem > com Coeficietes Costtes Como o cso de Ordem, vlores distitos de rízes correspoderão utomticmete soluções LI coforme: ep Os vlores compleos de rízes ocorrerão em pres cojugdos. Os csos de rízes repetids, reis ou comples ests sempre em pres cojugdos), deverão crretr sucessivs multiplicções por primeir repetição, segud repetição, etc) ds fuções ep) pr grtir turez LI dos membros d Bse de Soluções d EDO- C.C. Homogêe.
105 J.L. de Medeiros & Oféli Q.F. rújo Cp. III : Equções Difereciis Ordiáris EDO) 7. EDO Lier de Ordem > com Coeficietes Costtes Eemplo : = e s seguites rízes d Eq. Crc., Eq. 7) :,,,,, B B B C ep ep, ep cos b, ep cos b, ep B D C,, C, C, 6 8 D, Bse Sols. d EDO- C.C.Hom. D, B, D C ib, C ep, B ep se b ep se b ep D 4 ib ep B Sol. Complet EDO- C.C. Hom. H C e C 6 e C e B se b C C 7 e e B C 4 e cosb C 8 B e C 5 e cosb se b C 9 e D C e D
106 J.L. de Medeiros & Oféli Q.F. rújo 6 Cp. III : Equções Difereciis Ordiáris EDO) 7. EDO Lier de Ordem > com Coeficietes Costtes Obter Solução Complet d EDO C.C. ão-homogêe: 4 ) 8 ) 6 se : Resolvedo EDO C.C. Homogêe : Rízes d Eq. Crcterístic 4 4 ) 8 ) ) i dupl ) Eemplo.5 : Bse de Soluções e S.C. d EDO C.C. Homogêe : cos, cos, 4 se se H C cos C se C cos C 4 se
107 J.L. de Medeiros & Oféli Q.F. rújo 7 Cp. III : Equções Difereciis Ordiáris EDO) 7. EDO Lier de Ordem > com Coeficietes Costtes 4: Motdo S.. vi MV cos se cos se cos cos se 4 cos 4se 4se 4 cos 8se 8 cos cos 8se se se cos 4 cos 4se se 8 cos 4 W.d W r.d se
108 J.L. de Medeiros & Oféli Q.F. rújo 8 5: Ivers de W vi Mtriz de Coftores Trspost Cp. III : Equções Difereciis Ordiáris EDO) 7. EDO Lier de Ordem > com Coeficietes Costtes 4 4 T T 4 T T T W r r W W W W ecessário clculr pes os coftores d lih 4 de W
109 J.L. de Medeiros & Oféli Q.F. rújo Cp. III : Equções Difereciis Ordiáris EDO) 7. EDO Lier de Ordem > com Coeficietes Costtes se cos 4se cos se 4 cos cos se 4 cos cos se 4 cos cos se 4se 4 cos cos se 4se 4 cos se cos 4se se cos 4se cos cos se se cos 4 cos 4se cos cos se se se cos 4 cos 4se 4se 4 cos se se cos 4 cos 4se 8 cos 8se 4se 8 cos 4 cos 8se W W W 4 4 W 8se W cos W cos 8se ) se 8 cos ) 4 44 W 64
110 J.L. de Medeiros & Oféli Q.F. rújo Cp. III : Equções Difereciis Ordiáris EDO) 7. EDO Lier de Ordem > com Coeficietes Costtes 6: Operdo MV W W 4 4 4se 8cos, 8 cos r r W se r 4, 4 44 se 64 4 cos 8se 8se 4se 8 cos 4 cos 8se 8 cos 8se se cos 6 se cos se 6 se cos 8 se 8 cos 4 se 4 6 se 4 cos 4) 6 se 4 6 cos 4 6
111 J.L. de Medeiros & Oféli Q.F. rújo Cp. III : Equções Difereciis Ordiáris EDO) 7. EDO Lier de Ordem > com Coeficietes Costtes W d r cos 4 se 4 d d 6 se 4 cos 4) d d 6 se 4 d 6 cos 4 d 6 se 4 cos 4 se 4 se 4 cos cos 4 cos 4 se 4 cos 4 se cos 4 cos se 4 se
112 J.L. de Medeiros & Oféli Q.F. rújo Cp. III : Equções Difereciis Ordiáris EDO) 7. EDO Lier de Ordem > com Coeficietes Costtes se 4 cos cos 4 se cos 4 64 se se 4 cos 4 cos 4 cos cos 4 se 4 cos se cos se se 56 se 4 se 64 se or quê?
113 J.L. de Medeiros & Oféli Q.F. rújo Cp. III : Equções Difereciis Ordiáris EDO) 7. EDO Lier de Ordem > com Coeficietes Costtes Solução Complet d EDO C.C. ão-homogêe: 4 ) 8 ) 6 se Eemplo.5 C C cos C cos C se se 4 se
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