Capítulo zero Glossário

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1 Cpítulo zero Glossário Esse cpítulo é formdo por tems idispesáveis à mtemátic que, certmete, você deve Ter estuddo de um ou outr form durte su vid escolr. Sempre que tiver dúvids o logo do restte do teto d postil, recorr às próims págis pr esclrecê-ls. O teto foi escrito com crio e tem filidde de certr oss ligugem, tordo oss comuicção mis ágil e frt. Ates de mis d, vmos eplicr o que é glossário. Segudo Aurélio Burque de Holld, etre outros sigificdos, glossário quer dizer vocbulário que figur como pêdice um obr, priciplmete pr elucidção de plvrs e epressões regiois ou poucos usds (...). De cordo com os ovos Prâmetros Curriculres Nciois (os fmosos PCN s), formuldos prtir d Lei de Diretrizes e Bses d Educção úmero 9394 de 996 que oriet e fudmet o esio os íveis fudmetl, médio e superior, mtemátic é tid, oje, como um ligugem que possui um código de comuicção e tecologi próprios. Pr que eum de ós fle sozio vmos compreeder o sigificdo de lgums plvrs e termos esseciis à mtemátic. Os elemetos estão orgizdos em ordem lfbétic pr fcilitr busc. Bom trblo pr todos ós. Glossário: Adicior: jutr dus ou mis qutiddes (ou prcels) um só (som ou totl). Algoritmo: regr gerl pr obteção de um resultdo. Atecessor: quele que veio tes; o terior. Associr: grupr vários elemetos em pequeos subgrupos. Bse d potêci: é o úmero que será multiplicdo. Ccelr: é o mesmo que ulr. Comutr: é iverter ordem; trocr ordem. Decompor em ftores primos: ou ftorr um úmero turl sigific escrever o úmero ddo trvés de um produto ode todos os ftores são úmeros primos. Diferete: é quele que ão é igul. Holld Ferreir, Aurélio Burque. Novo Dicioário d Lígu Portugues.. ed., São Pulo: Nov Froteir, 985. p. 854.

2 Difereç: é o resultdo d subtrção. Dividedo: é quilo que será reprtido ou dividido. Divisão: é subtrção de prcels iguis. Divisor de um úmero turl: São úmeros turis que dividem etmete o úmero ddo. Divisor: é o úmero de prtes em que se desej reprtir o todo. Elemeto eutro: é quele que ão tede eum tipo de grupmeto. Epoete: idic quts vezes bse de u potêci deverá ser multiplicd. Ftor: elemeto que compõe multiplicção. Ídice do rdicl: idic potêci do rdicdo. Máimo Divisor Comum: o máimo divisor comum (mdc) de um cojuto de úmeros turis é o mior etre os divisores comus dos úmeros tomdos. Míimo Múltiplo Comum: Míimo múltiplo comum (mmc) é o meor etre os múltiplos de dois, ou mis, úmeros turis. Miuedo: primeiro elemeto d subtrção (quel de quem vmos retirr lgo). Módulo de um úmero iteiro: módulo ou vlor bsoluto de um úmero iteiro é distâci etre esse úmero e origem (o zero). Multiplicção: é som de prcels iguis. Múltiplos de um úmero turl: Pr determir os múltiplos de um turl bst multiplicá-lo por outro (s) úmero (s) turl (is). Numerl: idictivo do úmero. Número compleo: todo úmero d form + bi, ode e b são reis e i é uidde imgiári. Número composto: É o úmero turl que dmite divisão et por mis de um úmero primo. Número iteiro: tmbém eprimem idéi de qutidde ms vão mis lém disso, pois relciom qutidde um determido referecil, ou sej, todos os turis, seus iversos ditivos e o zero. Número irrciol: úmeros que ão podem ser epressos form de frção. Número turl: eprimem idéi de qutidde. Números opostos ou simétricos: dois úmeros são opostos ou simétricos qudo possuem o mesmo módulo. Número primo: Um úmero turl é primo qudo somete for divisível por ele mesmo e pelo úmero. Número rciol: todo úmero que pode ser epresso form de frção.

3 Número rel: é qulquer úmero rciol ou irrciol. Número: qutidde. Prcel: prtes que compõem dição. Potêci: é o resultdo d potecição. Potecição: é o produto de ftores iguis. Produto: é o resultdo d multiplicção. Propriedde: é um lei mtemátic. O mesmo que lgoritmo. Quociete: é o resultdo d divisão. Rdicl: é o símbolo que idic o cálculo de rízes. Rdicdo: é o úmero de quem se etrirá riz. Rdicição: é operção ivers d potecição. Resto: é sobr d divisão qudo est ão é et. Som ou totl: é o resultdo d dição. Subtredo: segudo elemeto d subtrção; é quti de se retir do subtredo. Subtrir: é retirr. Sucessor: é quele que vem imeditmete depois; o próimo. Eemplo : Máimo Divisor Comum - MDC - O Algoritmo de Euclides (ou método ds divisões sucessivs). Esse método cosistem em dividir o mior pelo meor úmero. Se divisão for et, o mdc é o meor etre os dois úmeros. Cso cotrário cotiumos divisão té coseguir o resto zero. Vej os eemplos: Método d decomposição em ftores primos: esse cso, decompomos cd úmero em ftores primos, otmos os ftores comus com os meores epoetes. O mdc será ddo pelo produto dos ftores comus com seus meores epoetes. Vej o eemplo:

4 f '( ) lim 0 f ( + ) f ( ) Eemplo : Míimo Múltiplo Comum - MMC Pr clculr o míimo múltiplo comum (mmc) bst decompor os úmeros evolvidos em ftores primos. O mmc é formdo pelo produto de tods s potêcis, com os miores epoetes, que compõem os úmeros ddos. Vej os eemplos: m.m.c (0,90,80,60) Dispositivo prático: decompor os úmeros ddos, simultemete: 0, 90, 80, 60 60, 45, 40, 30 30, 45, 0, 5 5, 45, 0, 5 5, 45, 5, 5 3 5, 5, 5, 5 3 5, 5, 5, 5 5,,,

5 mmc (0, 90, 80 60) Eemplo 3: Proprieddes Divisibilidde por : um úmero iteiro é divisível por qudo é um úmero pr. Divisibilidde por 3: um úmero iteiro é divisível por 3 qudo som de seus lgrismos for múltipl de 3. Divisibilidde por 6: um úmero iteiro é divisível por 6 qudo for um úmero pr divisível por 3. Divisibilidde por 5: um úmero iteiro é divisível por 5 qudo tiver o último lgrismo igul 5 ou igul zero. Um iteiro é divisível por dez qudo termi pelo lgrismo zero. Adição: Se os úmeros diciodos têm o mesmo sil, efetumos dição e coservmos o sil. Se os úmeros diciodos têm siis diferetes, efetumos difereç e coservmos o sil do mior. Em seguid mostrremos s proprieddes de potecição. Proprieddes: ) m. m+ ) m : m 3) m ( ) m 4) 0 5) 6) (.b).b 7) b b m 8) m 9)

6 Cpítulo Aritmétic ds Operções. Esse cpítulo prevê um rápid revisão sobre epressões umérics e lgébrics, prtido do trblo eclusivmete ritmético té lcçrmos s proprieddes de logritmos.. Resumo Operciol As operções com úmeros, que podemos relizr, são: Adição; Subtrção; Multiplicção; Divisão; Potecição; Rdicição; Adição e multiplicção possuem proprieddes opertóris. Els são: Comuttiv Associtiv Elemeto eutro São pssíveis de ccelmeto de elemetos A som (e o produto) de dois reis é sempre rel. A multiplicção possui, id, propriedde distributiv com relção à dição, isto é: (b + c) b + c. Vej, em úmeros: tto fz resolver primeiro: (3 + 4).7 4 ou fzer Multiplicr o que está for do prêteses pelo 3 e depois pelo 4 e depois somr os dois resultdos é o sigificdo de distribuir multiplicção. Importtíssimo: ierrqui ds operções: um epressão uméric, resolveremos sempre, em primeiro lugr, os operdores especiis: prêteses, colcetes e cves, ess ordem. Depois, potêcis e rdicis (d esquerd pr direit), seguir, multiplicções e divisões, d esquerd pr direit, e, por último, dições e subtrções, tmbém d esquerd pr direit.

7 Eercícios:. Efetue: b. 5 7, c. ( ) : ( ) d. ( + 7) : (0 6).( 4) e. 3 [4 + 3.(0 8 )] + (5 : 3) : ( + 3) ftor?. Em um divisão et, o divisor é 37 e o quociete é 6. Qul é o dividedo? 3. Num multiplicção, um dos ftores é 37 e o produto é 594. Qul é o outro 4. Associe V ou F cd um ds seguites firmções:. 4 é divisível por 6 ( ) muleres o uditório? b. 54 é divisível por 8 ( ) c. 30 é divisível por 5 ( ) d. é divisível por 7 ( ) e. 8 é divisível por 3 ( ) f. 6 é divisor de 4 ( ) g. 0 é divisor de 50 ( ). é divisor de ( ) 5. Sem efetur divisão, verifique se o úmero 440 é divisível por Escrev o cojuto de divisores do úmero Quto dá 7 de 7? 8. Num uditório, 5 3 dos espectdores são muleres. Qul porcetgem de Gbrito:. ) 60 b) 4,665 c) d) 49 e) o úmero é pr e som de seus lgrismos é que é múltiplo de V F V F F F V V 6. D(54) {,, 3, 6, 9, 8, 7, 54}

8 %. Epressões Algébrics Um epressão mtemátic formd somete por úmeros recebe o ome de epressão uméric. Qudo gregmos qulquer elemetos literl à epressão, cmmos epressão obtid de epressão lgébric. Vej o eemplo: diciomos 3 o dobro de um úmero e obtemos 57 por resultdo. Determie que úmero é esse. Pr cegrmos o resultdo, podemos fzer: 3 +. Número úmero 54 ou 54 úmero Operções com Epressões Algébrics Tods s operções que relizmos com úmeros são pssíveis de serem relizds com epressões lgébrics. Pr tto, devemos observr que prte literl deve ser etmete mesm. Cd elemeto formdo por um úmero e um (ou lgums) letr (s) cm-se moômio. Um epressão lgébric pode coter um ou vários moômios. Um epressão formd por mis de um moômio recebe o ome de poliômio... Produtos Nótáveis Cmmos de produtos otáveis lgums proprieddes que evolvem poliômios. Esss proprieddes têm omes especiis e ormlmete se plicm epressões formds por dois termos. Os cmdos biômios.

9 ... Qudrdo d som ( + b) + b + b que se lê: som de dois elemetos elevd o qudrdo é igul o qudrdo do primeiro elemeto mis dus vezes o primeiro elemeto multiplicdo pelo segudo mis o qudrdo do segudo elemeto. Esse resultdo vle pr epressões lgébrics e umérics. Vej o eemplo: ( + 3) Embor sej mis fácil fzer: ( + 3) Qudrdo d difereç ( b) b + b que se lê: difereç de dois elemetos elevd o qudrdo é igul o qudrdo do primeiro elemeto meos dus vezes o primeiro elemeto multiplicdo pelo segudo mis o qudrdo do segudo elemeto. Esse resultdo vle pr epressões lgébrics e umérics. Vej o eemplo: ( 3) Embor sej mis fácil fzer: ( + 3) ( )....3 Difereç de Dois Qudrdos b ( + b)( b) que se lê: difereç de dois elemetos elevdos o qudrdo é igul o produto d som pel difereç ds rízes dos úmeros evolvidos operção. Esse resultdo vle pr epressões lgébrics e umérics. Vej o eemplo: 3 ( + 3)( 3) 5.( ) 5 Embor sej mis fácil fzer: Ftor Comum em Evidêci Ftor comum é o elemeto que se repete em dois ou mis moômios de um epressão lgébric. Colocá-lo em evidêci sigific plicr propriedde distributiv d multiplicção, o cotrário. Esse resultdo vle pr epressões lgébrics e umérics. Vej o eemplo: ( + 3) Embor sej mis fácil fzer:

10 ...5 Agrupmeto Acotece sempre que é possível idetificr mis de um ftor comum em um epressão lgébric. Esse resultdo vle pr epressões lgébrics e umérics. Vej o eemplo: ( + 3) + 4.(6 + 7) Embor sej mis fácil fzer: Eercícios Ftore cd um ds epressões:. 7 b 5b. b + c + b + c ( + b) 5. ( ) ( + ) Gbrito Ftore cd um ds epressões:. b( 7 5b). ( + )( b + c) 3. ( + )( ) 4. b + b ( + )( + + ).3 Equções do Primeiro Gru Equção é tod epressão lgébric determid por um iguldde. Resolver um equção sigific clculr o vlor d icógit, ou sej, que úmero pode substituir letr epressão de form mter iguldde. Equções de primeiro gru são epressões lgébrics cujo epoete d prte literl é igul um.

11 Sistems de equções são cojutos formdos por mis de um equção com mis de um icógit cd um dels. O procedimeto pr solução segue o mesmo rciocíio ds equções. Eemplos: Resolv s equções bio, sedo U R: 90 ) S { 5 } b) S { }.3. Eercícios iguis. ) Resolv s equções bio: ) b) 3( + 5) ( + 7) 4( ) ) Determie o úmero rel m, pr que s epressões 3 m e m sejm 3) Tod produção mesl de um fábric foi vedid três lojs. Pr loj A, foi vedid metde d produção; pr loj B, foi vedid 5 form vedids 500 uiddes. Qul foi produção mesl dess fábric? d produção e pr loj C 4) Em um prtid de bsquete, Mrcelo certou rremessos de 3 potos e ( + ) rremessos de potos. Se Mrcelo mrcou 9 potos esse jogo, qutos rremessos de 3 potos ele certou? 5) Em um estciometo á veículos, etre crros e motos, um totl de 66 rods. Qutos crros e quts motos á esse estciometo? 6) Resolv s equções frcioáris seguir, (U R): 5 ) ( 0) 4

12 3 b) 3 + ( 4 e 0) 4.3. Eercícios ) ) S { 6} e b) S ) m 9 3) ) 5 rremessos { } 5) crros e 9 motos 0 4 6) ) S { 9 } e b) S { 5 } 3.4 Iequções do Primeiro Gru Iequção é tod epressão lgébric do primeiro gru determid por um desiguldde ( >,, <, ). Resolver um iequção do primeiro gru sigific clculr os vlores d icógit, ou sej, que úmeros podem substituir letr epressão de form mter desiguldde. Iequções do primeiro gru clssificm-se em: iequções simples, simultâes, produto e quociete. Pr cd um dos tipos de iequções, á um tipo de procedimeto pr solução..4. Iequções Simples: Neste cso, bst isolr. Vej o eemplo: resolver iequção + 4 > > 0 > 4 > >.4. Iequções Simultâes: Neste cso, devemos resolver s iequções seprdmete, de dus em dus e efetur itersecção ds resposts, operdo em form de itervlo: Vej o eemplo: Resolver iequção: 3 < + 5 Primeirmete: 3 3

13 Em seguid: 3 < < 5 + < 7 < 3,5 Costruido os itervlos: Logo, os vlores de que stisfzem { R < 3,5} 3 < + 5 são ddos por.4.3 Iequções Produto: Dds s fuções: f() e g(), cmremos de iequção produto tod iequção do tipo: f ().g() > 0, f ().g() < 0, f ().g() 0, f ().g() 0, Pr resolver este tipo de produto, estudremos os siis de f() e g() e determiremos o sil do produto f().g() pr obter o cojuto solução d equção. Vej o eemplo: Resolver iequção ( )( 4) 0 Fzedo f() e g() 4, comecemos pelo estudo dos siis de: f() 0 qudo f() > 0 qudo > f() < 0 qudo < e g() 0 qudo g() > 0 qudo < g() < 0 qudo > Colocdo um qudro os siis de cd fução e determido o sil do produto f().g(), teremos: Logo, o cojuto solução de ( )( 4) 0 será { R }

14 .4.4 Iequções Quociete: Dds s fuções: f() e g(), cmremos de iequção quociete tod f () f () f () f () iequção do tipo: > 0, < 0, 0 ou 0, com g() 0 g() g() g() g() Pr resolver este tipo de quociete, estudremos os siis de f() e g() e determiremos o sil do quociete f () g() pr obter o cojuto solução d equção. A regr dos siis é mesm que regr de siis pr o produto, isto é, pr resolver iequção quociete procederemos d mesm form que procedemos pr resolver iequção produto..4.5 Eercícios: Determie o cojuto solução ds iequções: ) ) < 6 < 3 5 3) ( )( 4) < 0 4) ( )( )( 3) > 0 5) Gbrito: Determie o cojuto solução ds iequções: ) V { R 3} ) V { R > 5} 3) V { R < < 4} 4) V { R < < e > 3} 5) V φ.5 Equções do Segudo Gru: Vimos o item.4 que Equção é tod epressão lgébric determid por um iguldde. E que Resolver um equção sigific clculr o vlor d icógit, ou sej, que úmero pode substituir letr epressão de form mter iguldde.

15 Tis defiições cotium vledo pr o estudo de equções de segudo gru. A úic difereç é que equções de segudo gru são epressões lgébrics cujo mior epoete d prte literl é igul dois. Qudo equção é do primeiro gru bstv isolr icógit pr resolver epressão. Pr resolver equções do segudo gru utilizremos fmos fórmul de Báskr: b ± b 4c (que estudmos lá oitv série, lembr-se?) N fórmul: é o úmero que multiplic. b é o úmero que multiplic. c é o termo idepedete. umerdor. Eemplo: Em , teremos: ; b 5 e c 6. N Fórmul de Báskr, os vlores de serim clculdos ssim: ( 5) ± ( 5) ± Outro eemplo: Neste cso, temos: ; b 4; c 0. Resolvedo: 4 ± 4 ± ± 5 ± 4 4.( ).0 4 ± ± 0.( ) Observe que, esse cso, somr zero ou subtrir zero ão lter o vlor do A epressão b 4c equção e é represetd pel letr greg delt:. <,5. Propriedde: d Fórmul de Báskr é cmd discrimite d Se > 0 etão equção possui dus rízes diferetes Se 0 etão equção possui um riz Se < 0 etão equção ão possui rízes prtes d curv!). Mtemticmete, escrevemos: crescete: >,5 e decrescete: No outro eemplo, terímos: y + 4 Neste cso, o gráfico esperdo é côcvo pr bio,.

16 .5. Iequções do Segudo Gru: Pr resolver iequções do segudo é ecessário, tes, reescrever epressão su form ftord, ou sej, todo poliômio d form + b + c pode ser reescrito form )( ) ode e são rízes d equção + b + c. ( Vej o eemplo: ( 3)( ) pois e 3 são rízes d equção dd ( 4)( ) pois e 4 são rízes d equção dd. Após trsformr epressão dd su similr ftord bst plicrmos o procedimeto de resolução de iequções produto (visto uidde terior).5. Eercícios: ) Resolv s seguites equções do º gru em R: ) b) + 0 c) d) e) 5 0 f) g) ) ( + ) + ( + 3) 394 ) A som de dois úmeros é 9 e seu produto é 48. Determie tis úmeros. 3) O produto de dois úmeros ímpres positivos e cosecutivos é 43. Quis são estes úmeros? 4) Num terreo retgulr de áre igul 00 m, um ldo mede o dobro do outro. Quis s medids dos ldos? 5) A som dos qudrdos de dois úmeros positivos é 490; um dos úmeros é o triplo do outro. Que úmeros são esses? 6) Um retâgulo é equivlete (tem mesm áre) um qudrdo de ldo igul 8 cm. Aumetdo-se os ldos desse retâgulo em cm cd, áre umet 8 cm. Quis s dimesões do retâgulo?

17 .5.3 Gbrito: ) ) S {, }; b) S ; c) S φ d) {3, 3}; e) S {0, 5 }; f) S {0, 3} g) S { 4; } ) S { 8; 6} ) 3 e 6 3) e 3 4) 0 m e 0m 5) e 7 6) cm e 7 cm.6 Logritmos: Sej α um úmero rel positivo. Ddo um iteiro > 0, potêci é defiid como o produto de ftores iguis o úmero. Ou sej:..... ( ftores) Vle propriedde fudmetl: m. m+ (m, ) iteiros positivos). Se quisermos defiir 0 de modo que propriedde cim cotiue válid, seremos obrigdos covecior que 0, fim de termos Procurdo esteder oção de potêci de modo brger epoetes egtivos e fzê-lo de form mter vlidez d propriedde fudmetl, devemos ter: tl form que relção. + 0, dode Assim, úic meir possível de defiir potêci m m+. (com > 0, iteiro) de cotiue verddeir, mesmo qudo m e são iteiros positivos ou egtivos, cosiste em pôr:. Evidetemete, relção fudmetl vle pr o produto de váris potêcis, como por eemplo m.. p. q m+ + p+ q Em prticulr, tomdo um produto de p ftores iguis m, obteremos m m m... mp m p, ou sej, ( ) mp

18 Procuremos gor, esteder oção de potêci de um úmero rel > 0, de modo icluir epoetes frcioários, d form p r, ode p, q são iteiros e q > 0. q Queremos dr ess defiição de modo ão destruir s proprieddes teriormete válids. Assim sedo, sej como for que defimos p q, devemos ter p q q p q q. p. Logo, p q deve ser o úmero cuj q-ésim potêci é igul p. Por defiição de riz, isto sigific firmr que p q q p. Em prticulr, q q. Agor, ddo um úmero rel > 0, sbemos defiir potêci iteiro positivo ulo, egtivo ou frcioário. Em sum, rciol r. Observemos que, mesmo pr p r e q r r, quer r sej está defiido, pr todo úmero u s frcioários (q > 0 e v > 0), vle v propriedde: r. s r+ s Com efeito, sbemos que r q p ( ) e ( ) s v u. Logo r s qv r qv s qv rqv (. ) ( ).( ). sqv pv uq pv+ uq.. Vemos que r s pv uq. é o úmero cuj qv-ésim potêci vle +. Isso quer dizer que pv+ uq r s. qv. pv + uq Como qv p q + u v r s r+ s r + s, temos.. De posse d defiição e d propriedde fudmetl ds potêcis de epoete rciol de um úmero rel > 0, os livros trdiciois defiem o logritmo do seguite modo: Ddo um úmero rel > 0, o logritmo de um úmero > 0 bse é o epoete y que se deve elevr de tl modo que y. Escreve-se y log e lê-se y é o logritmo de bse. Vmos usr o sil pr eprimir que s dus firmções são equivletes (isto é, têm o mesmo sigificdo). Podemos escrever, etão: y log y.

19 Ou sej, dizer que y log é o mesmo que firmr que y. Dest defiição ocorre imeditmete propriedde fudmetl dos logritmos, que é seguite: log (u) log u log. + Pr provr isso, bst escrever log u v, log y. Isto quer dizer que v y v y u e. Segue-se etão que. u, ou sej, que v + y u. Est últim iguldde sigific que v + y log ( u), que log ( u) log u + log. O desevolvimeto sistemático d teori ds potêcis com epoete rel (rciol e irrciol), pr servir de bse o estudo dos logritmos, é um processo logo e tedioso. A miori dos utores moderos prefere defiir diretmete os logritmos de modo geométrico, com bse oção de áre de um figur pl. As demostrções se torm mis simples e os coceitos mis ituitivos. Resumidmete: logritmo é um epoete em codições especiis de estudo!.6. Proprieddes de Logritmos: Com bse s defiições e demostrções cim descrits, presetmos s demis proprieddes opertórios do logritmo: () log c b c b (b) log (c) log 0 b 0 b (d) log + log c log ( c) b b b. (e) (f) (g) () log b log log log b log log b log log b b b c log b b b c logc (mudç de bse) c.6. Eemplo de utilizção ds proprieddes de Logritmos: Com bse o que foi estuddo respeito de logritmos, discut os problems:

20 Um pesso deposit R$ 5000,00 4% de juros. Quto el terá (pricipl + juros) pós 0 os: (i) se os juros são pgáveis ulmete, e (ii) se os juros são pgáveis trimestrlmete? (i) (ii) y ( + i) 5000( + 0,04) 0 log y log log,04 3, (0)(0,070) 3,8690 y R$7.396,67 i K 0,04 40 y ( + ) 5000( + ) k 4 log y log log,0 3, (40)(0,0043) 3,870 y R$7.430,00 Com bse s veds esperds e em ddos pr compis similres, o Diretor de Pessol ds Idústris Nciois predisse que o úmero de empregdos pode ser descrito pel equção t 0,5 N 00(0,04) ode N é o úmero de empregdos pós t os. Admitido que ele está correto, qutos empregdos s Idústris Nciois terão pós 3 os? Qutos empregdos compi empregou iicilmete? Qutos empregrá qudo tigir seu desevolvimeto máimo? Resolução: A compi empreg (00)(0,04) 8 pessos iicilmete e 00 qudo tiver tigido seu tmo máimo. Após 3 os el empregrá: N (00)(0,04) 0,5 3 log N log ,5 log 0,04,300 + (0,05)(,3979),63 N 33,75 ou proimdmete 34 pessos Eercícios:. Clcule o vlor de :. log 3 b. log 3 7 c. log 7 49 d. log 8 3 e. log 3 0 f. log 5 - g. log 6

21 . log 7 3. Um pesso plicou R$ 500,00 juros compostos de 5% o trimestre, durte um o. Escrev fução que descreve o motte como fução do tempo (em trimestres). 3. No eercício terior, clcule o motte pós:. um trimestre, b. dois trimestres, c. qutro trimestres. 4. Se, o eercício 3, os juros forem pgos em frções de tempo e o dieiro ficr plicdo pes um mês qul será o motte? 5. Se, o eercício 3, o cpitl cotiur plicdo por tempo idetermido, quto tempo, pós plicção, pesso terá triplicdo o seu cpitl? 6. A populção P de um pís tem seu crescimeto ddo pel lei P (,03), ode é o úmero de os que decorrem depois que esse pís ultrpssr dois milões de bittes. Ace populção estimd desse pís pr. 7. A produção de um idústri vem dimiuido o o. Num certo o, el produziu mil uiddes de seu pricipl produto. A prtir dí, produção ul pssou seguir lei y 000.(0,9). Quts uiddes form produzids o segudo o desse período recessivo? 8. Num certo o, um pssgem ére etre Rio de Jeiro e Lisbo custv mil dólres. Dí pr frete, esse preço vem sofredo rejustes uis de 0%. Epresse lei que dá o preço d pssgem ére etre Rio e Lisbo em fução do tempo. 9. O preço de um utomóvel ovo é P 0 (em reis). Ele sofre um desvlorizção de 0% o o. Epresse lei que dá o preço desse utomóvel pós os de uso. 0. O preço de um mercdori o iício do o er de R$ 50,00 e evoluiu com iflção, de cordo com fução P 50.(,0), ode P é o preço e é o tempo em meses, prtir do iício de jeiro. ) Clcule o preço dess mercdori o iicio de mrço, bril e juo. b) Em que mês do o o preço tigiu R$56,30? c) Fç o gráfico dess fução.. Um lbortório, o lçr um ovo produto de belez, estbelece um fução que dá qutidde y procurd do produto o mercdo em fução d qutidde de cis com cert qutidde de mostrs, que form distribuíds etre dos-de-cs. A fução estbelecid foi y 00.,. ) Qul foi procur do produto tes d distribuição de mostrs? E pós distribuição de dus cis? E pós distribuição de 4 cis?

22 b) Quts cis de mostrs devem ser distribuíds pr que qutidde procurd sej 000?. Num depósito przo efetudo em um bco, o cpitl cumuldo o fim de certo tempo é ddo pel fórmul C D(+t), em que C represet o cpitl cumuldo, D o vlor depositdo, t t de juro o mês e o úmero de meses. Supõe-se que, o fil de cd mês, os juros cpitlizdos são sempre cumuldos o depósito (sistem de juro composto). ) Pr um depósito de R$ 00,00, um t de 4% o mês, qul o cpitl cumuldo o fim de meses? E o fim de 6 meses? b) Se t fosse de 5% o mês, qul seri o cpitl cumuldo os mesmos períodos? 3. Cosidere que um certo pís troque de moed cd vez que iflção cumuld tige 900%. A ov moed vle sempre 000 vezes moed tig. Com um iflção de 5% o mês, em qutos meses esse pís trocrá de moed? 4. Num certo pís, t de iflção vem se mtedo em 0,7% o mês. Qul será iflção cumuld em meses?.6.4 Gbrito:. cálculo do vlor de :. 5 b. 3 c. d. 4 e. f. 0,04 g y 500.,5, ode przo de plicção 3. Mottes:. R$ 75,00 b. R$ 883,75 c. R$ 8,3 d. R$ 63,50 4. R$ 57,53

23 5. 5 trimestres bittes; 7. y 000.0,0, ode represet o úmero de os e y represet o preço d pssgem; 8. $ 80, y P.0,, ode represet o úmero de os e y represet o preço do crro, desvlorizdo; 0. cosiderdo jeiro como poto de prtid, teremos:. mrço: R$ 5,0; bril: R$ 53,06 e mio: R$ 54, b. 6 meses: julo.. mostrs:. 00 e 44 b. pelo meos cis.. Depósitos. R$ 6,3 e R$ 53,06 b. R$ 0,50 e R$ 68,0 3. Pelo meos 0 meses 4. 8,73066% o o.

24 Cpítulo Cojutos De cordo com Aurélio Burque de Hold Ferreir, cojuto é qulquer coleção de seres mtemáticos. Ampliremos est defiição e diremos: cojuto é qulquer coleção de objetos bem defiidos. A prtir dess últim defiição, podemos dizer que: um ci de lápis de cor é um cojuto cujos elemetos são lápis de cor; Um cest de fruts é um cojuto cujos elemetos são fruts; Um álbum é um cojuto de fotogrfis. Um cojuto é um grupo, um grupmeto, um coleção de objetos. Elemetos são os objetos de um mesm turez que formm os cojutos.. Coceitos e otções: Dizemos que: Cojutos são formdos por elemetos. Eemplo: A {, e, i, o, u} Elemetos pertecem ou ão cojutos. Eemplo: A (o elemeto pertece o cojuto A) b A (o elemeto b ão pertece o cojuto A). Cojutos podem ser represetdos por figurs. Esss figurs cmm-se Digrms de Ve (blões). Vej os eemplos: Podemos dr omes os cojutos. Esses omes podem ser letórios qudo estudmos cojutos sem rigor mtemático: gurd-roup, cômod, bú, cesto, etre outros. Mtemticmete fldo, cojutos serão sempre deomidos por letrs miúsculs do lfbeto ltio: A, B, C, etc.. D mesm form, podemos deomir elemetos por omes comus: peçs de roups, briquedos, fruts; ou mtemticmete: sempre utilizdo letrs miúsculs do lfbeto ltio:, b, c, etc.. HOLANDA FERREIRA, Aurélio Burque. Novo dicioário Aurélio d Lígu Portugues.. ed., Rio de Jeiro: Nov Froteir, 986, p. 455.

25 Pr determir um cojuto, podemos fzê-lo de dus meirs diferetes: Citdo (ou eumerdo) cd um de seus elemetos. Eemplo: A { brco, egro, ídio} Descrevedo s crcterístics dos elemetos que o compõe. Eemplo: A { três pricipis rçs que formrm o povo brsileiro } Cmmos de cojuto uiverso o cojuto formdo pel totlidde dos elemetos de um mesm ctegori. Cojuto uitário é o cojuto formdo por um úico elemeto. Cojuto vzio é quele que ão tem elemetos. Represetmos o cojuto vzio por { } ou.. Subcojutos: Ddos dois cojutos A e B, pode cotecer que todos os elemetos de A sejm tmbém elemetos de B. Nesse cso, dizemos que A está cotido em B ( A B) ou que B cotém A ( B A ), ou sej, A é subcojuto de B. São proprieddes dos cojutos:. Todo cojuto está cotido em si mesmo;. O cojuto vzio está cotido em qulquer cojuto; Se A é subcojuto de B, podemos defiir que: Os elemetos de B que ão pertecem A formm um ovo cojuto que cmremos complemetr de A em relção B e represetremos por: C B A ; Os elemetos de B que ão pertecem A formm um ovo cojuto que tmbém podemos desigr como sedo difereç B A..3 Iguldde de Cojutos: Dizemos que dois cojutos são iguis qudo possuem os mesmos elemetos..4 Subcojutos defiidos por um propriedde: Atrvés d descrição d propriedde crcterístic é comum descrevermos subcojutos de um determido cojutos uiverso.

26 Eemplo: Cosiderdo por Uiverso o cojuto formdo por todo tipo de fruts tropicis, determir o cojuto de fruts tropicis ts do Estdo de Mto Grosso do Sul, Brsil, eportds pr os EUA..5 Operções com cojutos: Ddos dois cojutos quisquer, podemos defiir: Uião como sedo o cojuto formdo por todos os elemetos que formm o cojuto A e formm o cojuto B; e B. Iterseção como o cojuto formdo pelos elemetos comus os cojutos A Difereç: cosiderdo elemetos que estão o cojuto A e ão estão em B; B A, difereç é o cojuto formdo por todos os Complemetr de A em relção B: é o cojuto formdo por todos os elemetos que estão o cojuto A e ão estão em B. Ao úmero de elemetos de um cojuto A, cmremos crdil do cojuto A e represetremos por (A). Sejm A e B dois cojutos quisquer, etão: (A B) (A) + (B) (A B)..5. Eercícios sobre cojutos:. (IEZZI, 990) Sedo A {, 9, 8}, B {, 5, 0} e C {, 4, 5, 6, 8}, clssifique em V (verddeiro) ou F (flso): ) A b) B c) C d) 8 A e) 8 B f) 8 C g) 0 A ) 0 B i) 0 C j) A { é lgrismo de 989} k) B { é lgrismo do o em que o Brsil foi descoberto} l) C { é úmero pr compreedido etre 0 e 0}. (IEZZI, 990) Sedo o cojuto uiverso o cojuto dos Estdos do Brsil e sedo A { é Estdo ode lígu oficil é o lemão} B { é Estdo ode ão eistem pris} C { é Estdo bdo pelo Oceo Pcífico}

27 D { é Estdo cujo ome começ pel letr T} Clssifique em V (verddeiro) ou F (flso); ) A é vzio b) B é uitário c) C é vzio d) D é uitário 3. (BIANCHINI e PACCOLA, 989) determição do tipo sgüíeo de um pesso deve-se à preseç (ou ão) dos tígeos A e B o sgue. Se um pesso possuir somete o tígeo A, el é do tipo A; se tiver somete o tígeo B, el é do tipo B; se tiver mbos, é do tipo AB e se ão tiver eum é do tipo O. Num grupo de 70 pessos verificou-se que 35 presetm o tígeo A, 30 presetm o tígeo B e 0 presetm os dois tígeos. Quts pessos são do:. tipo A? b. tipo B? c. tipo AB? d. Tipo O? 4. (BIANCHINI e PACCOLA, 989) (PUC/CAMPINAS-SP) Num comuidde costituíd de 800 pessos, á três progrms de TV fvoritos: Esportes (E), Novel (N) e Humorismo (H). A tbel seguite idic quts pessos ssistem esses progrms. Progrms E N H E e N N e H E e H E, N e H Nº de telespectdores Atrvés desses ddos, verific-se o úmero de pessos d comuidde que ão ssistem qulquer dos três progrms:. 00 b. 00 c. 900 d. os ddos do problem estão icorretos.5. Gbrito:. Verddeiro ou Flso. Verddeiro b. Verddeiro c. Flso d. Verddeiro e. Flso

28 f. Verddeiro g. Flso. Verddeiro i. Flso j. Verddeiro k. Verddeiro l. Flso. Verddeiro ou Flso. Flso b. Flso c. Flso d. Verddeiro 3. Atígeos. 5 b. 0 c. 0 d (ltertiv b).6 Cojutos Numéricos Importtes: A mtemátic, o logo dos os, preocupou-se em estudr os diferetes tipos de úmeros e grupou-os em diferetes cojutos uméricos cd qul com diferete proprieddes operciois. Neste mometo, os iteresse estudr lgus destes cojutos: turis, iteiros, rciois, irrciois e reis. Os demis ão têm plicção diret o osso estudo..6. Cojutos dos Números Nturis: Números turis eprimem idéi de qutidde e são represetdos por símbolos especiis. Os primeiros símbolos utilizdos pr cotgem form puzios, risquios, ós, cocs, ossos etldos, etre outros. Com o pssr do tempo, outros símbolos form utilizdos pr represetr qutiddes, pois pequeos objetos erm suficietes pr cotr peques qutiddes. Pr qutiddes miores esses objetos erm icoveietes.

29 O omem levou muito tempo pr resolver esse impsse. Muito tempo, mesmo, pssou pr que o omem percebesse que bstvm dez símbolos pr represetr qulquer qutidde: os lgrismos. Os dez lgrismos formm bse deciml de umerção. De cordo com MALVEIRA (993: 6-7): Os símbolos 0,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 formm sucessão dos úmeros turis. Est sucessão, idicd pel letr N, tmbém é cmd cojuto dos úmeros turis. O cojuto dos turis é ordedo do meor pr o mior elemeto. Podemos represetá-lo trvés de um ret orded: Quto mis à direit, MAIOR o úmero; quto mis à esquerd, MENOR o úmero. O cojuto dos úmeros turis é ordedo do meor pr o mior úmero..6.. Operções com úmeros turis: Adição: grupmeto dos objetos de dus ou mis coleções. Proprieddes: ) Comuttiv: + b b + ) Associtiv: ( + b) + c + (b + c) 3) Elemeto eutro zero: + 0 4) A som de dois turis é sempre turl 5) Ccelmeto: b + b + Subtrção: é operção ivers d dição. No cojuto dos turis, o miuedo deve ser mior que o subtredo. Observção: um epressão uméric, com dições e subtrções, efetumos s operções ordem em que precem (d esquerd pr direit). Multiplicção: determi som de prcel iguis. Proprieddes: ) Comuttiv:. b b. ) Associtiv: (. b). c. (b. c) 3) Elemeto eutro :. 4) O produto de dois turis é sempre turl 5) Distributiv:. (b + c) b + c 5) Ccelmeto: b. b. Divisão: é operção ivers d multiplicção.

30 Proprieddes: ) Algoritmo d divisão: D dq + r, ode possível, o dividedo deve ser mior que o divisor. D dividedo d divisor q quociete r resto ) No cojuto dos úmeros turis, pr que divisão sej Potecição: é o produto de ftores iguis. Proprieddes: ) ) 3) m m. : m ( ) m+ m Rdicição: é operção ivers d potecição. Proprieddes: ) b b m ) No cojuto dos úmeros turis, pr que potecição sej possível, o rdicdo deve ser sempre um potêci perfeit, de cordo com o ídice do rdicl..6.. Divisores e Múltiplos o cojuto dos úmeros turis: Divisibilidde por : um úmero turl é divisível por qudo é um úmero pr. Divisibilidde por 3: um úmero turl é divisível por 3 qudo som de seus lgrismos for múltipl de 3. Divisibilidde por 6: um úmero turl é divisível por 6 qudo for um úmero pr divisível por 3. Divisibilidde por 5: um úmero turl é divisível por 5 qudo tiver o último lgrismo igul 5 ou igul zero. Um turl é divisível por dez qudo termi pelo lgrismo zero..6. Cojuto dos Números Iteiros: Números iteiros tmbém eprimem idéi de qutidde ms vão mis lém disso, pois relciom qutidde um determido referecil. Historicmete, podemos relcior o surgimeto do cojuto dos úmeros iteiros reltivos os primeiros livros de registros cotábeis; débitos e créditos são um ecelete cmio pr esclrecer egtivo e positivo.

31 As pricipis crcterístics do Cojuto dos Números Iteiros são: Os úmeros precedidos pelo sil + são deomidos úmeros iteiros positivos. Os úmeros precedidos pelo sil são deomidos úmeros iteiros egtivos. Ao cojuto formdo pelos iteiros positivos, iteiros egtivos e o zero, cmmos cojuto dos úmeros iteiros e represetmos pel letr Z. mior elemeto. Tl qul o cojuto dos úmeros turis, Z tmbém é ordedo do meor pr o Comprdo o cojuto dos úmeros turis com o cojuto dos úmeros iteiros, podemos cocluir que N Z. Destcmos os seguites subcojutos de Z: * Z - iteiros ão ulos; Z + - iteiros ão egtivos; Z - iteiros ão positivos; * Z + - iteiros positivos; * Z - iteiros egtivos; Represetção geométric Quto mis à direit, MAIOR o úmero; quto mis à esquerd, MENOR o úmero. O cojuto dos úmeros iteiros é ordedo do meor pr o mior úmero Operções com úmeros iteiros: Adição: grupmeto dos objetos de dus ou mis coleções. Se os úmeros diciodos têm o mesmo sil, efetumos dição e coservmos o sil. Se os úmeros diciodos têm siis diferetes, efetumos difereç e coservmos o sil do mior. Proprieddes: ) Comuttiv: + b b + ) Associtiv: ( + b) + c + (b + c) 3) Elemeto eutro zero: + 0 4) A som de dois iteiros é sempre iteir 5) Ccelmeto: b + b + Subtrção: é operção ivers d dição. No cojuto dos iteiros, o miuedo e o subtredo podem ser úmeros quisquer. Observção: um epressão uméric, com dições e subtrções, efetumos s operções ordem em que precem (d esquerd pr direit).

32 Multiplicção: determi som de prcel iguis. Proprieddes: ) Comuttiv:. b b. ) Associtiv: (. b). c. (b. c) 3) Elemeto eutro :. 4) O produto de dois iteiros é sempre iteiro 5) Distributiv:. (b + c) b + c 5) Ccelmeto: b. b. Divisão: é operção ivers d multiplicção. Proprieddes: ) Algoritmo d divisão: D dq + r, ode possível, o dividedo deve ser mior que o divisor. D dividedo d divisor q quociete r resto ) No cojuto dos úmeros iteiros, pr que divisão sej Potecição: é o produto de ftores iguis. Proprieddes: ) ) 3) m m. : m ( ) m+ m Rdicição: é operção ivers d potecição. Proprieddes: ) b b m ) No cojuto dos úmeros iteiros, pr que potecição sej possível, o rdicdo deve ser sempre um potêci perfeit, de cordo com o ídice do rdicl..6.. Divisores e Múltiplos o cojuto dos úmeros iteiros: Vlem s mesms regrs que o cojuto dos úmeros turis..6.3 Cojuto dos Números Rciois: p Um úmero é dito rciol qudo é d form, p e q Z, q 0. q As pricipis crcterístics do Cojuto dos Números Rciois são: Os úmeros precedidos pelo sil + são deomidos úmeros rciois positivos. Os úmeros precedidos pelo sil são deomidos úmeros rciois egtivos. Ao

33 cojuto formdo pelos rciois positivos, rciois egtivos e o zero, cmmos cojuto dos úmeros rciois e represetmos pel letr Q. Tl qul o cojuto dos úmeros turis e iteiros, Q tmbém é ordedo do meor pr o mior elemeto. Comprdo o cojuto dos úmeros turis e o cojuto dos úmeros iteiros com o cojuto dos úmeros rciois, podemos cocluir que N Z Q. Destcmos os seguites subcojutos de Q: * Q - rciois ão ulos; Q + - rciois ão egtivos; Q - rciois ão positivos; * Q + - rciois positivos; * Q - rciois egtivos; Represetção geométric Quto mis à direit, MAIOR o úmero; quto mis à esquerd, MENOR o úmero. O cojuto dos úmeros rciois é ordedo do meor pr o mior úmero..6.4 Operções com úmeros rciois: Adição: grupmeto dos objetos de dus ou mis coleções. Se os úmeros diciodos têm o mesmo sil, efetumos dição e coservmos o sil. Se os úmeros diciodos têm siis diferetes, efetumos difereç e coservmos o sil do mior. compreed: Proprieddes: ) Comuttiv: + b b + ) Associtiv: ( + b) + c + (b + c) 3) Elemeto eutro zero: + 0 4) A som de dois rciois é sempre rciol 5) Ccelmeto: b + b + Em especil, pr dicior dois úmeros rciois é ecessário que se Míimo Múltiplo Comum; Clsses de equivlêci; Redução de frções o mesmo deomidor;

34 Subtrção: é operção ivers d dição. No cojuto dos rciois, o miuedo e o subtredo podem ser úmeros quisquer. Pr subtrir dois úmeros rciois utilizmos o mesmo procedimeto d dição: reduzimos s frções o mesmo deomidor pr depois operá-ls. Observção: um epressão uméric, com dições e subtrções, efetumos s operções ordem em que precem. Multiplicção: determi som de prcel iguis. Proprieddes: ) Comuttiv:. b b. ) Associtiv: (. b). c. (b. c) 3) Elemeto eutro :. 4) O produto de dois rciois é sempre rciol 5) Distributiv:. (b + c) b + c 5) Ccelmeto: b. b. Divisão: é operção ivers d multiplicção. Proprieddes: ) Algoritmo d divisão: D dq, ode D dividedo d divisor q quociete ) No cojuto dos úmeros rciois, dividedo e divisor podem ser úmeros quisquer. Potecição: é o produto de ftores iguis. Proprieddes: ) m. m+ ) m : m 3) m ( ) m Rdicição: é operção ivers d potecição. Proprieddes: ) b b ) No cojuto dos úmeros rciois, pr que potecição sej possível, o rdicdo deve ser sempre um potêci perfeit, de cordo com o ídice do rdicl. Um outr crcterístic importte do cojuto dos úmeros rciois é o fto de ele ser formdo por todos os úmeros turis, úmeros iteiros, úmeros frcioários proprimete ditos, úmeros decimis fiitos e dízims periódics.

35 .6.5 Cojuto dos Números Irrciois: Todo úmero em que prte deciml é fiit ifiit e periódic pode ser escrito form, com e b iteiros e b 0. b E se prte deciml de um úmero for ifiit e ão periódic, como escrevê-l form de frção? Vmos cosiderr, por eemplo, o vlor proimdo de (, ) e tetr obter su frção gertriz. Nesse cso, ão á formção de período. Fzemos e obtemos: 0 4,435..., multiplicdo iguldde por 0 ; e, , multiplicdo iguldde por 0 0. Subtrímos os produtos: 0 4,435..., , Portto,, (O umerdor ão é um úmero 9 deciml ifiito e ão periódico). Observe que o vlor de ifiito e ão periódico. cotiu sedo um úmero deciml Como todo úmero rciol pode ser escrito form b, com e b iteiros e b 0, etão ão é rciol. Dizemos que é um úmero irrciol. [ ] Todo úmero que tem um represetção deciml ifiit e ão periódic é um úmero irrciol. Cmmos de cojuto de úmeros irrciois o cojuto formdo por todos os úmeros cuj represetção deciml é ifiit e ão periódic. Nesse ível de predizdo, ão discutiremos s operções detro do cojuto dos úmeros irrciois..6.6 Cojuto dos Números Reis: Cmmos de cojuto dos úmeros reis à uião do cojuto dos úmeros rciois com o cojuto dos úmeros irrciois.

36 .6.7 Operções com úmeros reis: Adição: grupmeto dos objetos de dus ou mis coleções. Proprieddes: ) Comuttiv: + b b + ) Associtiv: ( + b) + c + (b + c) 3) Elemeto eutro d dição zero: + 0 4) A som de dois reis é sempre rel 5) Ccelmeto: b + b + Subtrção: é operção ivers d dição. No cojuto dos reis, o miuedo e o subtredo podem ser úmeros quisquer. Observção: um epressão uméric, com dições e subtrções, efetumos s operções ordem em que precem. Multiplicção: determi som de prcel iguis. Proprieddes: ) Comuttiv:. b b. ) Associtiv: (. b). c. (b. c) 3) Elemeto eutro :. 4) O produto de dois reis é sempre rel. 5) Distributiv:. (b + c) b + c 5) Ccelmeto: b. b. Divisão: é operção ivers d multiplicção. Proprieddes: que o divisor sej diferete de zero. ) Algoritmo d divisão: D dq + r, ode D dividedo d divisor q quociete r resto ) No cojuto dos úmeros reis, tod divisão é possível, desde Potecição: é o produto de ftores iguis. Proprieddes: ) m. m+ ) m : m 3) m ( ) m 4) 0 5) 6) (.b).b

37 7) b b m 8) m 9) Rdicição: é operção ivers d potecição. Proprieddes: ) b b ).b. b 3) 4) 5) b m b.m. m m 6). m.m m+.6.8 Eercícios:. Escrev como um úic potêci: b c... d e. 5 /5 5 f. ( 3 ) 4 g. (3.5). (-) 0 i. (-) 5 j. (-3) k. (/5) l. (3/4) - m. (-/3) 3. (-/3) - o. (-/3) -

38 . Clcule o vlor de em: : y : , esse cso o vlor de y é? 4. Se 3 etão? Nesse cso? 6. (4 ) 4 8. Nesse cso? 7. /8. Nesse cso 8. Observe que 0, que é represetção de 0,3 como potêci de bse 0. D mesm form podemos escrever 300 como que é o úmero 300 escrito como potêci de bse 0, e id ou 0,5.0. Agor represete os úmeros bio como potêcis de bse 0:. 0,07 b. 0,0 c.,3 d. 00 e. 700 f g. 0, i j. 0, Resolv s seguites equções epoeciis:. 4 b. 9 3 c. 9 8 d. 3 e Gbrito. Reduzir um só potêci:. 8 ou 56 b. 3 3 ou c. 3+

39 d. 4 0 ou e. ou 0, 008 f. ou 4096 g. 5 ou 5. (qulquer úmero rel, diferete de zero, elevdo zero é igul um) i. 3 j. 9 k. 0,6 l. 6 9 m. 7., 5 o., y potêcis de ou 0,7.0 ou,07.0 b..0 3 ou,.0 ou 0,.0 c. 3.0, etre outros. d..0, etre outros. 3 e. 7,.0, etre outros. 4 f.,73.0, etre outros. 4 g. 3.0, etre outros. 5..0, etre outros. 7 i. 7,05.0, etre outros. 8 j. 03.0, etre outros.

40 9. Equções epoeciis:. b.. b. 5 c. 0,5.7 Represetção Geométric de R: Represetção geométric do cojuto dos úmeros reis é sempre feit ret orded, orietd d esquerd pr direit, sobre qul, escolemos um poto e cmmos de zero, ou, tribuímos o vlor zero. Quto mis à direit, MAIOR o úmero; quto mis à esquerd, MENOR o úmero. O cojuto dos úmeros reis é ordedo do meor pr o mior úmero..8 Vlor Absoluto de um úmero rel: Cmmos de módulo ou vlor bsoluto de um úmero rel, distâci etre esse úmero e origem (o zero). Represetmos o módulo por dus brrs verticis. Propriedde:, 0, < 0 módulo. Dizemos que dois úmeros são opostos ou simétricos qudo possuem o mesmo Com relção o cojuto dos úmeros iteiros, podemos dizer que: ) todo úmero positivo (represetdo à direit do úmero zero) é mior do que zero; ) todo úmero egtivo (represetdo à esquerd do úmero zero) é meor do que zero; 3) todo úmero positivo é mior do que qulquer úmero egtivo; 4) etre dois úmeros iteiros positivos, o meor deles é o que preset o meor módulo ou vlor bsoluto;

41 5) etre dois úmeros iteiros egtivos, o meor deles é o que preset o mior módulo ou vlor bsoluto;.9 Subcojutos d ret: Os subcojutos dos úmeros reis determidos por desigulddes são cmdos itervlos. Vmos estudr lgus desses itervlos. Pr isso iremos cosiderr dois úmeros reis e b, com < b. Itervlo fecdo: é qulquer cojuto do tipo { R b}, gerlmete idicdo por [; b]. Etão [; b] { R b}. Os úmeros reis e b são cmdos etremos do itervlo. Represetção ret: Observção: otção idic que o etremo pertece o itervlo. Eemplo: O itervlo fecdo de etremos represetdo ret uméric ssim: e é escrito ; R e Itervlo berto: é qulquer cojuto do tipo { R < < b}, gerlmete idicdo por ]; b[. Etão ]; b[ { R < < b}. Represetção ret: Observção: otção idic que o etremo ão pertece o itervlo. Eemplo: O itervlo berto de etremos 5 e é escrito: 5; R 5 < < } e é represetdo ret uméric ssim: ] [ { Itervlo fecdo à esquerd e berto à direit: são cojutos do tipo { R < b}, gerlmete idicdo por [; b[. Etão [; b[ { R < b}.

42 Represetção ret: Eemplo: [ 3 ; 0 [ { 3 < 0 } O itervlo fecdo à esquerd e berto à direit de etremos 3 e 0 é escrito: e é represetdo ret umerd ssim: Itervlo berto à esquerd e fecdo à direit: são cojutos do tipo { R < b}, gerlmete idicdo por ]; b]. Etão ]; b] { R < b}. Represetção ret: Eemplo: O itervlo berto à esquert e fecdo à direit de etremos 5 e 5 é escrito: ] 5;5] { R 5 < 5 } e represetdo ret uméric ssim: Sedo um úmero rel, tmbém são itervlos os seguites subcojutos: { R } [ ; + [ { R } ] ; + [ > { R } ] ; ] { R } ] ; [ < ] ; + [ R

43 Observção: os símbolos e + lemos, respectivmete, meos ifiito e mis ifiito..0 Aplicções: Operções com itervlos: Vejmos trvés de eemplo iterseção de itervlos. (Lembre-se: iterseção é o que eiste em comum etre os cojutos ddos!) Eemplo: Efetue: ] ; 4 ] [ ; 6 ] Logo, ] ; 4 ] [ ; 6 ] [ ; 4 ] Vejmos trvés de eemplo uião de itervlos. (Lembre-se: uião é o cojuto formdo com todos os elemetos dos cojutos ddos!) Eemplo: Efetue: ] ; 4 ] [ ; 6 ]. Eercícios: ) Determie os seguites itervlos, coforme o modelo: Itervlo fecdo de etremos e 8 Solução: [ ;8] { R 8} ) Itervlo berto de etremos 5 e 4 b) Itervlo fecdo de etremos 0 e 5 c) itervlo fecdo à esquerd e berto à direit de etremos 8 e d) itervlo berto à esquerd e fecdo à direit de etremos 5 e 5 ) Represet ret rel os itervlos: ) [-3, ] b) ], 5] c) ] ; 4[

44 d) [ 8; [ e) ] ;3] f) ], + [ g) ] ;0] ) { R 4 } i) { R 0 < 3} j) { R > 4} k) { R 5} 3) Determie os seguites itervlos represetdos ret rel: ) b) c) d) e) f) 4) Determie iterseção dos seguites itervlos: ) ] 5;3[ [; 8] b) ] 0; [ ] ; 4[ c) [ 5; 6 ] [ 6; 40] d) [ 4; 4] ]4; 6] e) ] ;3] ]5; 30] f) ] ; 3] ]; [ 5) Determie reuião dos seguites itervlos: ) [ ; 3] ]; 4 ] d) [ ; ] [ ; 3[ b) [ 3; 3[ [ 3; 5] e) ] ; 4 ] [ 3; 6[ c) ] ; [ [ 3; 5] f) ], 0 ] ]0; + [

45 . Gbrito: ) respodedo como o modelo: ) ] 5,4[ { R 5 < < 4} b) [ 0, 5 ] { R 0 5} c) [ 8, [ { R 8 < } d) ] 5,5] { R 5 < 5} ) Represetdo ret ) b) c) d) e) f) g) ) i) j) k) 3) Respodedo: ) [, 8 ] { R 8} b) ] 3,3[ { R 3 < < 3} c) [ 6,4[ { R 6 < 4} d) [ 5, + [ { R 5} e) ], 3[ { R < 3} f) ] 6, 3 ] { R 6 < 3} 4) efetudo itersecção: ) [, 3[ b) ], [ c) {6} d) φ e) φ

46 f) ], 3] 5) efetudo uião: ) [, 4] b) [ 3, 5] c) ] ; [ [ 3; 5] d) [, 3[ e) ], 6[ f) ], + [

47 Cpítulo 3 - Fuções Ates de itroduzirmos o coceito forml de fuções, flremos sobre s estruturs mtemátics que suportm tl teori. Vmos, tes, costruir o coceito de produto crtesio e relção biári etre os elemetos de dois cojutos. Sejm A e B dois cojutos ão vzios. Cmmos de produto crtesio de A por B ( e idicremos A B) o cojuto formdo por todos os pres ordedos (, b) ode A e b B. Ates de mis d, qudo tommos, o cso, um elemeto de cd um dos cojutos estuddos, dizemos que formmos um pr. Pr é todo cojuto formdo por dois elemetos. Amplido esse coceito, poderemos flr de pr ordedo que, segudo IEZZI (93, p. 65) pode ser ssim determido: Admitiremos oção de pr ordedo como coceito primitivo (*). Pr cd elemeto e cd elemeto b, dmitiremos eistêci de um terceiro elemeto (, b) que deomimos pr ordedo, de modo que se te (, b) (c, d) c e b d. Voltdo o produto crtesio: A B {(, b), A e b B} Se A ou B forem vzios o produto A B tmbém será vzio. Proprieddes: Se A B A B Se (A) e (B) m B A (A B) m Se A ou B for ifiito e eum deles vzio A B é ifiito. Um relção biári é um subcojuto do produto crtesio. Dizemos que R é um relção biári de A em B se, e somete se, R A B. é, (, y) R Ry. Utilizremos seguite omecltur: A cojuto de prtid ou domíio d relção R. B cojuto de cegd ou cotrdomíio d relção R. Qudo o pr (, y) pertece à relção R, escrevemos Ry (lê-se: erre y ), isto

48 3. Coceito de fução: Fução é um relção biári ode todo elemeto do primeiro cojuto (domíio) deve formr pr com elemeto do cotrdomíio, ms cd elemeto do domíio deve formr um úico pr. Pr idicr um fução, utilizremos um etre s seguites otções: f : A B f () ou A f B f () ou f : A B t.q. y f () Segudo IEZZI e MURAKAMI (994, p. 85) Se (, b) f (...) o elemeto b é cmdo imgem de pel plicção f ou vlor de f o elemeto, e idicmos: f() b que se lê f de é igul b. 3.. Domíio, Cotrdomíio e Imgem: y B tl que Coforme IEZZI e MURAKAMI (994, p ) Cmmos de domíio o cojuto D dos elemetos A pr os quis eiste (, y) f. Como, pel defiição de fução, todo elemeto de A tem ess propriedde, temos s fuções: Domíio cojuto de prtid Isto é, D A Cmmos de cotrdomíio o cojuto CD dos elemetos y B pr os quis eiste A tl que (, y) f. Como, pel defiição de fução, todo elemeto de A tem ess propriedde, temos s fuções: Cotrdomíio cojuto de cegd Isto é, CD A Cmmos de imgem o cojuto Im dos elemetos y B pr os quis eiste A tl que (, y) f, portto: Imgem é o subcojuto do cotrdomíio Isto é, Im B 3. Iguldde de fuções Dizemos que dus fuções f e g ( f : A B e g : C D) são iguis qudo presetm domíios iguis; cotrdomíios iguis e f() g(), D.

49 3.3 Operções com fuções drosofi 3.4 Cosiderções sobre o domíio de f: Segudo Gelso Iezzi (994) Domíio ds fuções umérics: As fuções que presetm mior iteresse mtemátic são s fuções umérics, isto é, quels em que o domíio A e o cotrdomíio B são subcojutos de R. s fuções umérics são tmbém cmds fuções reis de vriável rel. Observemos que um fução f fic completmete defiid qudo são ddos o seu domíio D, o seu cotrdomíio e lei de correspodêci y f(). Qudo os referimos à fução f e dmos pes seteç bert y f() que defie, subetedemos que D é o cojuto dos úmeros reis cujs imges pel plicção f são úmeros reis, isto é,, D é formdo por todos os úmeros reis pr os quis é possível clculr f (). D f () R. 3.5 Represetção gráfic: A represetção gráfic do pr ordedo dá-se trvés do Plo Crtesio. Plo Crtesio é formdo por dois eios perpediculres etre si, o poto 0. (Lembre-se: dus rets prlels ou cocorretes determim um plo). Nests codições: Vej figur: ddo um poto P qulquer, P α, coduzmos por ele dus rets: ' // e y' // y. Deomimos P iterseção de com y e P itersecção de y com. Nesss codições defiimos: Absciss de P é o úmero rel P represetdo por P. Orded de P é o úmero rel y P represetdo por P. Coordeds de P são os úmeros reis P e y P, gerlmete idicdos form de um pr ordedo ( P, y P ) em que P é o primeiro termo. Eio ds bscisss é o eio (ou O) Eio ds ordeds é o eio y (ou Oy) Sistem de eios crtesio ortogol (ou ortoorml ou retgulr) é o sistem Oy. Origem do sistem é o poto 0. Plo crtesio é o plo α. (Iezzi, 994)

50 Etre o cojuto dos potos P do plo α e o cojuto de pres ordedos (P, y P ), eiste um correspodêci biuívoc, isto é, cd poto correspode um úico pr e cd pr correspode um úico poto. 3.6 Fuções Usuis: De cordo com su lei de formção, podemos clssificr fuções como: cos t te lier Fução de primeiro gru: idetidde fim Fução qudrátic ou do segudo gru; Fução modulr; Fução epoecil; Fução logrítmic; Fuções trigoométrics, etre outrs. Ests são s fuções mis usuis d mtemátic Fução do Primeiro Gru: Cmmos de fução do primeiro gru tod epressão d form y + b com, b R. São eemplos de fuções do primeiro gru: 3 y 3 + 4; y + 8; y 3; y 0,5 3; y ; y 4 4 As fuções de primeiro gru são clssificds de cordo com os vlores de e b: Se e b são mbos diferetes de zero, dizemos fução fim; Se é diferete de zero e b igul zero, dizemos fução lier; Se é igul e b igul zero, dizemos fução idetidde; Se é igul zero e b diferete de zero, dizemos fução costte.

51 3.6.. Domíio, Cotrdomíio e Imgem d fução do primeiro gru: A fução do primeiro gru ão preset restrições turis, tto o domíio como o cotrdomíio são represetdos pelo cojuto dos úmeros reis, ou sej, D CD R. Como pr todo vlor rel de, d fução de primeiro gru, eistirá um correspodete y tmbém rel, dizemos que imgem d fução de primeiro gru tmbém é rel, ou sej, será dd por Im R. Importte: o cso d fução costte embor o domíio sej rel imgem Im K, ode K é o vlor de b Gráfico: y b. O gráfico d fução de primeiro gru será sempre um ret. Qudo o coeficiete 0 ret orizotl (prlel o eio ) pssdo por Qudo o coeficiete for positivo Qudo o coeficiete for egtivo ( > ( < 0) 0) ret iclid pr direit. ret iclid pr esquerd. Vej os eemplos: Costruir o gráfico d fução ( > 0) ret iclid pr direit. y 3 +. Observe, o coeficiete 3, ou sej, Costruir o gráfico d fução y +. Observe que o coeficiete, ou sej, ( < 0) ret iclid pr esquerd.

52 Costruir o gráfico d fução y 3. Observe que escrever y 3 é o mesmo que escrever y Note que o coeficiete 0, ou sej, ret orizotl pssdo por y Zeros ou rízes d fução de primeiro gru: Cmremos de zero ou riz d fução de primeiro gru o vlor de que tor y 0 ( f () 0). Assim teremos: f () 0 + b 0 b Eemplo: determie riz d fução y + 6 b Estudo do sil d fução do primeiro gru: Estudr os siis d fução do primeiro gru sigific determir os vlores reis de pr os quis se te y > 0, y < 0, y 0. b Sbemos que pr teremos y 0. Pr coecermos os vlores de de modo que obtemos y > 0 ou y < 0, devemos cosiderr o sil do termo. Qudo > 0, fução é crescete. b < y < 0 Nesse cso, teremos: b > y > 0 Qudo < 0, fução é decrescete. b < y > 0 Nesse cso, teremos: b > y < 0

53 Em resumo: Qudo 0, fução é costte. Fução do Primeiro Gru é tod epressão do tipo: f () y + b,, b R Se 0 e Se b 0 e b 0 f () b f é costte; 0 f () f é lier; Se b 0 e f () f é idetidde; Se 0 e b 0 f () + b f é fim. D Im R Gráfico: ret Crescete: qudo > 0 gráfico iclido pr direit Decrescete: qudo < 0 gráfico iclido pr esquerd. Costte: qudo 0 gráfico é um ret orizotl Fução do Segudo Gru: Cmmos de fução do segudo gru ou fução qudrátic tod epressão do tipo y + b + c, com, b, c R e 0. Um fução do segudo gru pode ser complet ou icomplet: Será complet qudo os coeficietes, b e c forem todos diferetes de zero. Será icomplet qudo os coeficiete b e/ou c forem iguis zero Domíio, Cotrdomíio e Imgem: Por ão possuir eum restrição, o domíio e o cotrdomíio d fução qudrátic são ddos pelo cojuto dos úmeros reis: D CD R. epressão que defie. Já o cojuto imgem d fução do segudo gru depede do coeficiete d Se > 0, teremos Im { y R y y } Se < 0, teremos Im { y R y y } y V idic o vlor de y ode fução iverte o sil de crescimeto. V V Gráfico d fução de segudo gru: Ao gráfico d fução qudrátic, cmmos prábol. Um prábol é um curv que pode estr voltd pr cim (o setido de crescimeto do eio y) ou pr bio (o

54 setido de decrescimeto do eio y). Quem determi o tipo de cocvidde (curv voltd pr cim ou curv voltd pr bio) é o vlor do coeficiete : Se > 0 curv é côcv pr cim; Se < 0 curv é côcv pr bio; Vej os eemplos: Determir o gráfico d fução y Observe que o coeficiete, logo > 0, portto teremos prábol côcv pr cim. Determir o gráfico d fução y 0,5 + côcv pr bio. Observe que o coeficiete 0,5, logo < 0, portto teremos prábol Tto quto pr fução de primeiro gru, pr obter o gráfico d fução qudrátic podemos utilizr o recurso d costrução de tbels, porém, pr que possmos melor escoler os vlores d tbel é idicdo, tes, clculr o vértice d prábol (vértice é o poto ode curv iverte o setido de crescimeto). b O vértice d prábol é ddo por: Vértice: V e yv f (V). Pr obter s coordeds do vértice é ecessário coecer s rízes d fução. Lembr-se? trvés d fórmul de Báskr: b ± b 4c Eemplo: Em , teremos: ; b 5 e c 6. N Fórmul de Báskr, os vlores de serim clculdos ssim:

55 ( 5) ± ( 5) ± ± 5 ± A epressão b 4c e é represetd pel letr greg delt:. Propriedde: d Fórmul de Báskr é cmd discrimite d equção Se > 0 etão equção possui dus rízes diferetes Se 0 etão equção possui um riz Se < 0 etão equção ão possui rízes O gráfico d fução de segudo gru é um curv cmd prábol, que pode ser um curv voltd pr cim ou voltd pr bio, depededo do vlor (do úmero que multiplic ). Se > 0, o gráfico será um curv voltd pr cim. Se < 0, o gráfico será um curv voltd pr bio. Não eiste gráfico pr 0 (ão eiste sequer fução, esse cso). Pr deser o gráfico, sugerimos que tmbém sej elbord um tbel. Todvi, o cotrário do gráfico d fução do primeiro gru ão vmos escoler vlores letórios pr. Ates de costruir tbel vmos clculr s coordeds do vértice d prábol. Vértice é o poto ode curv mud o setido de crescimeto (como já citmos teriormete). É o poto mis lto ou mis bio d curv. N prábol côcv pr cim, dizemos que fução é decrescete té o vértice e crescete prtir dele (vej iclição dos brços d curv). N prábol côcv pr bio, dizemos que fução é crescete té o vértice e decrescete prtir dele (vej iclição dos brços d curv).

56 decrescimeto. Lembre-se: iclição à direit idic crescimeto iclição à esquerd idic Pr clculr s coordeds do vértice utilizmos seguite fórmul: b e yv f (V). V Eemplo: Em y V V ( 5) (,5) y 5, , teremos: 5., ,5, , ,5 Pr elborr tbel, utilizremos, pelo meos, 5 pres ordedos, sedo que o vértice, ecessrimete, deverá ser o cetro d tbel. Vej o eemplo: y Cálculo do vlor de y y y ,5-0,5 Já mostrdo cim 3 0 y y Observe que, pr vlores diferetes de, ecotrmos vlores iguis pr y ( se ou se 4 etão y ). Esse crcterístics ds fuções de segudo gru cm-se simetri, ou sej, os dois brços d prábol são bsolutmete idêticos etre si. Grficmete: figur esperd é voltd pr cim, pois. Os potos em destque são os d tbel. A curv é idêtic em mbos os ldos. Vej tmbém que fução decresce té o vértice e cresce prtir dele (vej iclição ds prtes d curv!). Mtemticmete, escrevemos: crescete: >,5 e decrescete: <,5. No outro eemplo, terímos: y + 4

57 Neste cso, o gráfico esperdo é côcvo pr bio,. b 4 4 Clculdo o vértice: V. N tbel: ( ) 4 y + 4 Cálculo dos vlores de y 6 y ( ) + 4( ) y y y y Os potos em destque são os d tbel. Vej tmbém que fução cresce té o vértice e decresce prtir dele (vej iclição ds prtes d curv!). Mtemticmete, escrevemos: crescete: < e decrescete: >. No gráfico: Em resumo: É tod epressão do tipo f () y + b + c,, b,c R e 0. D R > 0 {y R y yv} Im < 0 {y R y yv} Gráfico: prábol > 0 > V Crescete: < 0 < V

58 > 0 < V Decrescete: < 0 > V b Vértice: V e yv f (V ) 3.7 Eercícios:. Sejm s fuções de R em R defiids por f() 3, g() e () + 3. Determie:. f () b. g ( ) c. (0) d. f (3) + g (3). Ns seguites fuções, obte o gráfico, o domíio, imgem, os itervlos em que fução é crescete e os itervlos ode el é decrescete:. y b. y 3 c. y + d. y 6 e. y f. y + + g.. y y i. y j. +, se 0 y, se > 0 3. Represete grficmete s seguites (y f()):. y b. y 4 c. y + 0 d. y + + 0

59 e. 3 y + 3 f. y 4. Pr que vlores de ρ R fução f () ( ρ + ) é crescete? 5. Estude o sil ds fuções:. y + b. y Dd fução f : R R, defiid por y f() (em cd cso), determie:. Rízes: b. Vértice; c. Cojuto imgem; d. Gráfico. I. y + 37 II. y Gbritos:. vlores fuciois:. b. 3 c. d.. estudo ds fuções:. D Im R decrescete pr todo rel. b. D Im R crescete pr todo rel.

60 + c. D R Im R crescete pr > 0 decrescete pr < 0. d.. D R Im { y R y 9} crescete pr < 3 e decrescete pr > 3. e. D R Im { y R y } crescete pr > 0 e decrescete pr < 0. f. D R Im { y R y 0, 75} crescete pr > 0,5 e decrescete pr < 0, 5. g. * D R Im { y R y 0} crescete pr < 0 e decrescete pr > 0.

61 * D +. R Im R crescete pr todo rel. + * D + i. R Im R crescete pr todo + R. j. D R Im {y R y < } crescete pr todo < 0 costte pr > gráficos:. d. b. e. c. f. 4. ρ <

62 5. sil ds fuções:. > < < > 0 y 0 y 0 y b. < < > > 0 y 6 0 y 6 0 y 6 c. > > < < < < 0 y 0 ou 0 y 0 0 y e 0 d. < > < > < < 0 y 6 ou 0 y 6 0 y 6 e 6. Fuções do segudo gru: I. 37 y +. ão á rízes b. ) (6, c. } y R {y Im d. II. 3 y + +. Rízes: e 0,5 b. ) 3,5 (0,75; c. } 3,5 y R {y Im

63 d. 3.9 Fução Epoecil: f () É tod epressão do tipo y, > 0 D depede de f() Im depede de f() Gráfico: sem ome especil Crescete: gerlmete > Decrescete: gerlmete qudo 0 < <. Pr obter o gráfico d fução epoecil é ecessário compor um tbel com, o míimo, 5 pres ordedos. Vej os eemplos:. Fç represetção gráfic de y. y Cálculo do vlor de y 0,5 y 0, 5 4 0,5 y 0, 5 0 y 0 y 4 y 4 No gráfico:

64 A fução é crescete o gráfico é iclido pr direit.. Fç represetção gráfic de y. y Cálculo do vlor de y 4 y 0 0 y 0 0 y,5 5, 3 4 y,75 75, y Grficmete: 3.9. Eercícios de fição: Fç represetção gráfic ds fuções bio e clssifique-s como crescete ou decrescete:. 9. y y 0. y 0. y y 3. y 5

65 ) 4. y 3. y (0 5. y 3. y 3, y 4. y 7. y + 5. y ( ) ( ) 8. y,6 6. f() 3 Respod: Como se distigue se um fução epoecil é crescete ou decrescete? 3.9. Gbrito: Gráficos: Respod: Normlmete, se bse for um úmero mior que, fução será crescete e se bse for um úmero etre 0 e, fução será decrescete. 3.0 Fução Logrítmic: Fução logrítmic é tod epressão do tipo:

66 y log b b > 0, b f ( ), ode f ( ) > 0, D( f ) D depede de f() Im depede de f() Gráfico: sem ome especil Crescete: gerlmete qudo b > Decrescete: gerlmete 0 < b < Um ds meirs usuis de trblr com fução logrítmic é trsformá-l em fução epoecil. Pr isso, bst isolr. Vej em eemplo: y log ( + ) log ( + ) y + y No cso d fução logrítmic, o ivés de escolermos o vlor de e clculrmos y, fzemos o cotrário: escolemos y e clculmos. y Cálculo do vlor de,75 8 7, ,5 4 3, Outr meir, tmbém simples, é clculr o logritmo diretmete, com utilizção d propriedde de mudç de bse, s clculdors. y log ( + ) Cálculo do vlor de y -,5 y log (,5 + ) log 0,5-0 y log ( + ) log 0 0 y log (0 + ) log,5 y log ( + ) log 3, 5 y log ( + ) log 4 Grficmete: y

67 Fução crescete, pois o gráfico é iclido pr direit. figurs) Outros eemplos: (lembre-se de costruir um tbel pr coferir s Costruir o gráfico de y log( + 3) Costruir o gráfico de y log 3 ( ) 3.0. Eercícios:. Estude s seguites fuções logrítmics:. y log 3 b. y log ( + ) c. y log ( ) d. y log ( ) 3.0. Gbrito: ) D { R > 0}

68 CD R Im R crescete, bijetor, iversível y 0 ; y > 0 > ; y < 0 < y 0,,09 0,5 0,63 0 0,63 3 b) D { R > } CD R Im R crescete, bijetor, iversível y 0 0; y > 0 > 0; y < 0 < 0 y 0,9 3,3 0,5 0 0,5 c) D { R > } CD R Im R crescete, bijetor, iversível y 0 ; y > 0 > ; y < 0 < y, 3,3,5 0

69 3 4,5 d) D { R > } CD R Im R crescete, bijetor, iversível y 0 0,5; y > 0 > 0,5; y < 0 < 0,5 y 0,9,3 0,5 0 0,5

70 Cpítulo 4 Aplicções de Fuções: As plicções mis comus d teori de fuções pr o Curso de Admiistrção são o estudo de: demd, ofert, custo, receit, lucro ou prejuízo, poto (preço e qutidde) de equilíbrio e poto de ivelmeto. 4. Demd de mercdo: Por defiição, segudo Medeiros (000): demd ou procur de mercdo de um utilidde (bem ou serviço) um determido preço é som de tods s qutiddes que todos os comprdores do mercdo estão dispostos (e ptos) comprr, um determido período de tempo. A fução que ssoci cd preço () qutidde de mercdori que o mercdo pode bsorver é cmd de fução demd de mercdo. A represetção gráfic dest fução é cmd curv de demd. Observção importte: como estmos fldo de preços e qutiddes, ão fz setido trblrmos com vlores egtivos ou com o zero, logo, preço e qutidde são grdezs estritmete positivs. Pr estudrmos fução demd, devemos ter em mete que tto domíio quto imgem devem ser sempre positivos. Vej o eemplo: Supomos que demd de um produto (vedido em pcotes de rrob cd um) sej d por y , ode y represet demd e o preço de ved. Nests codições, vmos determir: o itervlo de vrição do preço desse produto; o itervlo de vrição d qutidde demdd. Vmos, tmbém, elborr curv de demd deste produto e, por fim, determir demd pr um preço igul R$ 40,00 o pcote e verificr qul o melor preço pr que sejm vedidos 3500 pcotes do produto. Respodedo o problem por etps, teremos: itervlo de vrição do preço desse produto: lembrdo que preço e demd devem ser sempre positivos, podemos firmr que > > >, ou sej, o preço ão pode ultrpssr R$ 80,00, portto o itervlo de vrição do preço é ddo por: 0 < < 80 ; itervlo de vrição d qutidde demdd: lembrdo que preço e demd devem ser sempre positivos e ivertedo 4000 y fução demd, teremos, lembrdo, id, que o preço máimo ão deve 50

71 eceder R$ 80,00 (item terior), podemos firmr que 4000 y 0 < < 80 0 < 4000 y < 4000 ( ) 0 > y 4000 > > y > 0, ou sej qutidde ão pode ultrpssr 4000 uiddes do produto, portto o itervlo de vrição é ddo por: 0 < y < 4000 ; elborr curv de demd: psso pr y: 000 em 000, psso pr : 0 em 0 demd pr um preço igul R$ 40,00: y A demd é de 000 uiddes de produto se o preço for R$ 40,00. o preço pr que sejm vedidos 3500 pcotes do produto Pr que sejm vedids 3500 uiddes do produto, o preço deve ser igul R$ 0, Ofert de mercdo: Por defiição, ofert de mercdo de um utilidde (bem ou serviço) um determido preço é som de tods s qutiddes que todos os produtores do mercdo estão dispostos (e ptos) veder, um determido período de tempo. A fução que ssoci cd preço () qutidde de mercdori que o mercdo desej oferecer é cmd de fução ofert de mercdo. A represetção gráfic dest fução é cmd curv de ofert. Tto quto preço e demd, ofert, por trtr-se de qutidde, tmbém é fução cujo domíio e cuj imgem serão, sempre, positivos. 4.3 Poto (preço e qutidde) de equilíbrio Preço e qutidde de equilíbrio são queles pr os quis demd e ofert coicidem. Grficmete, observmos que o poto de equilíbrio é poto de itersecção etre curv de ofert e curv de demd.

72 4.4 Receit totl: Por defiição, receit totl é fução dd por RT q, ode: RT receit totl, preço de ved, q qutidde vedid. 4.5 Custo totl A fução custo totl é defiid pel som do preço fio de produção de um determid mercdori (ou bem) o custo vriável de su produção, ou sej, CT CF + CV, ode, CT custo totl, CF custo fio e CV custo vriável. 4.6 Lucro totl: A fução lucro totl é defiid pel difereç etre s fuções receit totl e custo totl. Se ess difereç for positiv, dizemos trtr-se de lucro proprimete dito. Cso cotrário, recebe o ome de prejuízo. 4.7 Poto de ivelmeto: É quele pr o qul receit totl e custo totl são iguis etre si. 4.8 Eercícios:. Represetr grficmete s demds de mercdo dds por:. y 0 5 b. y 3 0, c. y d. y A demd de mercdo de um produto que é vedido em glões é dd por y :. Determir o itervlo de vrição de ; b. Determir o itervlo de vrição de y; c. Represetr grficmete fução demd; d. Clculr os vlores d demd correspodetes os preços: R$ 40,00, R$ 50,00 e R$ 75,00; e. A que preço demd será de 4500 glões?

73 3. Represetr grficmete s oferts de mercdo dds por:. y 5 + 0,5, 0 b. y , 5 c. y 49, 0 4. Sej ofert de mercdo dd por y 0 +, com 70 (reis):. A prtir de que preço verá ofert? b. Qul ofert pr 70? c. A que preço ofert será de 80 uiddes? d. A prtir de que preço ofert será mior que 50 uiddes? 5. Determir o preço e qutidde de equilíbrio os csos seguites (ode D demd, S ofert e P preço):. D 34 5P ; S 8 + P b. D 0 0,P ; S + P 6. Determir o poto de ivelmeto os seguites csos:. RT 0,6q CT + 0,5q 0 q 30 b. RT,5q CT 4 + 0,5q 0 q Gbritos:. gráficos de demd:. c. b. d.. fução demd:

74 . 0 < < 80 b. 0 < y < 8000 c. Psso de : 0 em 0; psso de y: 000 em 000. d. 4000, 3000 e 500 glões, respectivmete. e. R$ 35,00 cd glão. 3. Gráficos de ofert:. b. c. 4. fução ofert:. prtir de R$ 0,00 b. 50 uiddes; c. R$ 50,00 d. Pr P > R$ 85,00 5. Poto de equilíbrio:. R$ 6,00 4 uiddes; b. R$ 30,00 4 uiddes; 6. Poto de ivelmeto:. 0 uiddes; b. 4 uiddes.

75 Cpítulo 5 - Limite A Teori dos Limites, tópico itrodutório e fudmetl d Mtemátic Superior, será vist qui, de um form simplificd, sem profudmetos, té porque, o osso objetivo est pági, é bordr os tópicos o ível do segudo gru, voltdo essecilmete pr os emes vestibulres. Portto, o que veremos seguir, será um itrodução à Teori dos Limites, ddo êfse priciplmete o cálculo de limites de fuções, com bse s proprieddes pertietes. O estudo teórico e vçdo, vocês verão Uiversidde, o devido tempo. Outro specto importte ser cometdo, é que este cpítulo de LIMITES bordrá o estritmete ecessário pr o estudo do próimo tópico: DERIVADAS. O mtemático frcês - Augusti Louis CAUCHY - 789/857, foi, etre outros, um grde estudioso d TEORIA DOS LIMITES. Ates dele, Isc NEWTON - iglês - 64 /77 e Gottfried Wilelm LEIBNIZ - lemão /76, já vim desevolvido o Cálculo Ifiitesiml. MARQUES (000:) 5. Defiição Dd fução y f(), defiid o itervlo rel (, b), dizemos que est fução f possui um limite fiito L qudo tede pr um vlor 0, se pr cd úmero positivo δ, por meor que sej, eiste em correspodêci um úmero positivo ε, tl que pr < δ se te f L < pr todo. 0, ( ) ε, 0 Idicmos que L é o limite de um fução f () qudo tede 0, trvés de: lim 0 f () L O cálculo de limites pel defiição, pr fuções mis elbords, é etremmete lborioso e de reltiv compleidde. Ates de estudr limites proprimete ditos, porém, vlem s seguites observções prelimires: ) é coveiete observr que eistêci do limite de um fução, qudo 0, ão depede ecessrimete que fução estej defiid o poto 0, pois qudo clculmos um limite, cosidermos os vlores d fução tão próimos quto queirmos do poto, porém ão coicidete com, ou sej, cosidermos os vlores d fução 0 0 viziç do poto. 0 b) o limite de um fução y f(), qudo 0, pode iclusive, ão eistir, mesmo fução estdo defiid este poto 0, ou sej, eistido f( ). 0

76 c) ocorrerão csos os quis fução f() ão está defiid o poto, porém eistirá o limite de f() qudo 0. d) os csos em que fução f() estiver defiid o poto, e eistir o limite d fução f() pr 0 e este limite coicidir com o vlor d fução o poto 0, diremos que fução f() é CONTÍNUA o poto. 0 e) já vimos defiição do limite de um fução f() qudo tede, ou 0. Se tede pr 0, pr vlores imeditmete iferiores 0, dizemos que temos um limite à esquerd d fução. Se tede pr 0, pr vlores imeditmete superiores 0, dizemos que temos um limite à direit d fução. Pode-se demostrr que se esses limites à direit e à esquerd forem iguis, etão este será o limite d fução qudo Proprieddes opertóris dos limite. ) P - o limite d som de fuções, é igul à som dos limites de cd fução. lim ( u + v + w +... ) lim u + lim v + lim w +... ) P - o limite do produto é igul o produto dos limites. lim (u. v) lim u. lim v 3) P3 - o limite do quociete de fuções, é igul o quociete dos limites. u lim v lim u, se lim v lim v 0 4) P4 - sedo k um costte e f um fução, lim k. f k. lim f Observções: No cálculo de limites, serão cosiderds s igulddes simbólics, seguir, evolvedo os símbolos de mis ifiito ( + ) e meos ifiito ( ), que represetm qutiddes de módulo ifiitmete grde. É coveiete slietr que o ifiitmete grde ão é um úmero e, sim, um tedêci de um vriável, ou sej: vriável umet ou dimiui, sem limite. N relidde, os símbolos + e, ão represetm úmeros reis, ão podedo ser plicds eles, portto, s técics usuis de cálculo lgébrico. Ddo b R - cojuto dos úmeros reis, teremos s seguites igulddes simbólics: b + ( + ) b + ( ) + ( + ) + ( + ) +

77 ( ) + ( ) ( + ) + ( ) d se pode firmr iicilmete. O símbolo ( + ).( + ) +, é dito um símbolo de idetermição. (+ ).0 d se pode firmr iicilmete. É um idetermição. d se pode firmr iicilmete. É um idetermição. No cálculo de limites de fuções, é muito comum cegrmos epressões idetermids, o que sigific que, pr ecotrrmos o vlor do limite, teremos que levtr idetermição, usdo s técics lgébrics. Os pricipis símbolos de idetermição, são: Vmos, gor, clculr lgus limites imeditos, de form fcilitr o etedimeto dos eercícios mis compleos que virão em seguid: ) lim( + 3) b) lim ( + ) ( + ) + ( + ) c) lim(4 + ) d) lim e) lim [( + 3)( 3) ] (4 + 3)(4 3) Eercícios:. Determie os seguites limites: 3 ) lim b) lim c) lim( ) d) e) 4 e lim 0 lim e +

78 4 + 4 f) lim 4 g) lim ) i) j) lim lim 9 lim 3+ 3 k) lim ( + 8) l) lim ) ( m) lim Gbrito:. cálculo de limites:. 5 b. 4 3 c. 46 d. e. f. 0 g.. 0 i. j. 6 k. 8 l. + m. 0

79 Cpítulo 6 Derivds È muito comum s diverss áres d Admiistrção, Ciêcis Cotábeis e Ecoomi trtrmos de medids médis; por eemplo, o sldo médio de um cot bcári, produção médi ul de um empres, etre outros. Neste cpítulo, trtremos especilmete de dus medids fudmetis o dmiistrdor: s ts médis e s ts imedits de vrição. 6. T Médi de Vrição de um Fução Pr compreeder o coceito de t médi de vrição de um fução, vmos propor o seguite eemplo: distâci etre dus ciddes é de 60 Km. A codição d estrd que lig s ciddes etre si é bo. Um motorist de um crro esporte poderi, detro do limite permitido de velocidde, sir de um cidde e cegr outr em meos de um or. Já o codutor de um crrete ão fri o mesmo percurso em tão pouco tempo. Neste eemplo fic clro que vrido velocidde, vrimos o tempo de percurso etre um cidde e outr. Podemos cocluir, etão, que qulquer que sej fução estudd se vrimos o vlor de, mudmos tmbém o vlor de y. Qudo clculmos o quociete etre s vrições de y e (est ordem), dizemos que clculmos t médi de vrição d fução. Mtemticmete fldo, o quociete y y F F y I I epress vrição médi sofrid pelos vlores d fução etre os potos de coordeds, y ) e F, y ). ( I I ( F 6.. Eemplo de utilizção: Dd fução y + 5 e e 4, clcule su vrição médi. I F 4 y y F F y y 6 I I y y I F I F

80 6. Derivd de um fução um poto ou T Isttâe de Vrição: um itervlo rel: Observe figur bio, que represet o gráfico d fução y f (), defiid N figur podemos observr que o coeficiete gulr d ret secte à curv os potos A e B, tem coeficiete gulr ddo por: y f ( + ) f ( ) f ( + ) f ( ) m tgα. ( + ) Ode é cmdo de icremeto, ou sej, um umeto pequeíssimo, muito próimo de zero. f ( + ) f ( ) À epressão m, cmmos rzão icremetl. N mesm figur, qudo o icremeto tede zero, o poto B tede coicidir com o poto A, ou sej, ret que er secte à curv tede, gor, tgeciá-l. Ness situção, poderímos dizer, sem perd de geerliddes, que estrímos medido vrição imedit d fução. Nests codições, podemos defiir derivd d fução y f() como sedo o limite d rzão icremetl, qudo tede zero, ou sej, derivd d fução é f ( + ) f ( ) determid pel su vrição isttâe, isto é, f '( ) lim. 0

81 6.3 Regrs de derivção 6.3. Derivd d fução costte: Cosiderdo o limite sobre rzão icremetl vmos determir derivd d fução costte: Se f () K, temos : f '() f ( + ) f () lim 0 k k lim 0 lim 0 0 f ( + ) f ( ) f '( ) lim, 0 lim Derivd d costte multiplicd por um fução qulquer: f ( + ) f () Cosiderdo o limite sobre rzão icremetl f '() lim, 0 vmos determir derivd d fução multiplicd por um costte: Se f () Kg(), temos : Kg( + ) Kg() K(g( + ) g() f '() lim lim 0 0 g( + ) g() K lim kg'() 0 g( + ) g() lim K Derivd d som de dus fuções: Cosiderdo o limite sobre rzão icremetl vmos determir derivd d som de dus fuções: Se f () g() + p(), temos : f '() f ( + ) f () lim, 0 g( + ) + p( + ) g() p() f '() lim 0 g( + ) g() p( + ) p() lim + 0 g( + ) g() p( + ) p() lim + lim g'() + p'() 0 0

82 6.3.5 Derivd d difereç de dus fuções: Cosiderdo o limite sobre rzão icremetl vmos determir derivd d difereç de dus fuções: Se f () g() p(), temos : f '() f ( + ) f () lim, 0 g( + ) p( + ) g() + p() f '() lim 0 g( + ) g() p( + ) p() lim 0 g( + ) g() p( + ) p() lim lim g'() p'() Derivd do produto de dus fuções: Cosiderdo o limite sobre rzão icremetl vmos determir derivd do produto de dus fuções: Se f () g()p(), temos : f '() f ( + ) f () lim, 0 g( + )p( + ) g()p() f '() lim 0 g( + )p( + ) g()p() + g( + )p() g( + )p() lim 0 g( + )[p( + ) p()] + p()[g( + g()] lim 0 [p( + ) p()] [g( + g()] lim g( + ) + p() 0 g()p'() + p()g'() Derivd do quociete de dus fuções: Cosiderdo o limite sobre rzão icremetl vmos determir derivd d divisão de dus fuções: f '() f ( + ) f () lim, 0

83 Se f () f g p g(),p() p() g f.p g' f 'p + fp' f 'p g' fp' g f 'p g' p' f 'p p g'()p() g()p'() f '() g () 0, etão g() p()f (),log o, temos : g'p gp' g'p gp' f ' g Portto, derivd do quociete de dus fuções result o produto d derivd primeir fução vezes segud fução do qul subtrímos o produto d primeir fução pel derivd d Segud, em seguid, dividimos o resultdo obtido pel Segud fução elevd o qudrdo Derivd d potêci de : Cosiderdo o limite sobre rzão icremetl vmos determir derivd d potêci de : f '() f ( + ) f () lim, 0 Se f () f ( + ) logo, 0 0 f '() f '() lim f '() lim(,etão C + C + C + C + C + C C + C + C L+ C + L+ C + L+ C 3 m m m ) Derivd d fução compost: Sejm y () f (g()) e u g(). Nests codições, podemos fzer: u g( + ) g() e g( + ) u + u ( + ) () f (g( + )) f (g()) f (u + u) f (u) Etão: ( + ) () f (u + u) f (u) f (u + u) f (u) u. u f (u + u) f (u) g( + ) g(). u

84 Porém, qudo 0 u 0 Portto, teremos: f (u + u) f (u) g( + ) g(). u f '(u).g' () f '(g()).g' () Derivd de dus fuções iverss etre si: Sejm y f () e g(y) dus fuções iverss ete si. Nests codições, podemos fzer: y f () y f (g(y)) f '(g(y).g' (y) f '()g'(y) g' (y) f '() Derivd de f() l: Ess derivd é obtid cosiderdo defiição geométric do logritmo e d utilizção do limite sobre rzão icremetl, f '() f ( + ) f () lim. 0 Pel defiição geométric, o logritmo turl de um úmero é defiido pel áre d figur formd pelo eio, pels rets e e pel curv f (), >. Vej figur: Pr clculr derivd d fução logritmo, mpliremos este coceito observdo figur formd pelo logritmo de dois úmeros reis e +. Observe:

85 sej, Observdo figur, fic fácil deduzir que: Áre do retâgulo CDFE < Áre d figur ADFE < Áre do retâgulo ABEF, ou. < log( + ) log <. + Dividido tod epressão por :. log( + ) log < <. + Aplicdo o limite sobre desiguldde: lim 0 log( + ) log < lim < 0 Por trsitividde: log( + ) log f '() lim 0 lim + 0 log( + ) log < lim < Derivd de f() ep() e : d fução logrítmic: Ess derivd é obtid levdo-se em cot que fução epoecil é ivers Sejm: y e e l y, etão: De y e Dl y y Derivd de f() : log Ess derivd é obtid levdo-se em cot que e : Etão: D De log e log log log

86 6.3.4 Regr de L Hopitl Teorem: Sejm f e g fuções cotíus um itervlo [, b] e deriváveis o itervlo (, b). Além disso, supomos g( ) 0 e g( b) g( ) 0. Eiste, etão, um poto c em (, b), tl que: f (b) f () g(b) g() f '(c) g' (c). () Demostrção: Cosideremos fução uilir f (b) f () Q () g(b) g() F() f () f () Q g() [ g() ] ode Observdo os etremos d fução podemos fzer: f (b) f () F () f () f () g(b) g() e [ g() g() ] 0 Q.0 0 f (b) f () F (b) f (b) f () g(b) g() F () F(b) 0 [ g(b) g() ] f (b) f () f (b) + f () 0 Derivdo F(), ecotrremos: F( ) f ( ) f ( ) Q cos t te [ g( ) g( ) ] F'( ) f '( ) Qg'( ) Pelo teorem de Rolle f '( c) 0 f '( ) Qg'( ) Q (3) g'( c) De () e (3) temos () Tbel de derivds: Fução Derivd K K.f Zero K.f ' f ± g f ' ± g' f.g f '.g + f.g' f g f '.g f.g' g.

87 f (g) f '(g).g' u e e u.u' u l. log u ou l u.u' u f e g iverss u.u' f ' e g' são iverss 6.4 Eercícios:. Cosidere s fuções f ( ) 7 5 e derivds: f ( ) f '( ) lim 0 f ( 0 0 ) e 7 g ( ) e s seguites defiições de 3 + f '() f ( + ) f () lim. Usdo primeir 0 defiição terior, determie derivd d fução f o poto de bsciss 3. Usdo segud defiição terior, determie derivd d fução g o poto de bsciss.. Utilizdo tbel de regrs de derivção, clcule s derivds ds fuções presetds seguir:. y 5 3 b. y π e c. y d. y e. ( ) 4 y 5 3 f. y ( 5 3)( 3 + ) g.. 3 y 7 5 y i. 3 y + j. y k. 3 y e

88 l. m.. y e y 5 y 5 + o. y l(3 5) p. y l + q. r. y 5. 3 e y Gbrito eercícios sobre regrs de derivção: 3. pel ordem: 7 e 00. pel ordem:. y ' 3 b. y' π c. y' d. y' e. y' 0( 5 3) 3 f. y' g.. 8 y' (7 5) y' 5 ( ) ( 3 + ) 4 ( + ) i. j. y' y' 3 3 ( ) 3 k. y' 3 e

89 l. y' e m. y' 5 l5 +. y' ( + ).5.l5 o. p. 6 y' 3 y' + 5