MATRIZES ... Exemplos: 1) A representação de um tabuleiro de xadrez pode ser feita por meio de uma matriz 8 8.

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1 MTRIZES Defiição Couo de úmeros reis ou complexos disposos em form de bel, iso é, disribuídos em m lihs e colus, sedo m e úmeros uris ão ulos m m m Noção: com i,,, m e,,, - elemeo geérico d mriz i - ídice que represe lih do elemeo - ídice que represe colu do elemeo m - ordem d mriz ê-se m por Represeções: [] represeção de um buleiro de xdrez pode ser fei por meio de um mriz 8 8 mriz ode i é mriz bixo forece em milhs s disâcis éres ere s ciddes idicds: cidde cidde cidde C cidde D cidde 8 9 cidde 8 cidde C cidde D 9 Es é um mriz quro por quro mriz bixo represe produção em uiddes de um cofecção de roup femii disribuíd s rês los ecrregds d ved shors bluss sis es lo I 8 lo II lo III Es é um mriz rês por quro pois seus elemeos esão disposos em lihs e colus

2 Iguldde Dus mrizes de mesm ordem i,,,m e pr odo,,, Mrizes Especiis Mriz ih e b são iguis qudo b pr odo Um mriz é deomid mriz lih qudo possuir um úic lih Noção: 8 Mriz Colu Um mriz é deomid mriz colu qudo possuir um só colu Noção: 9 Mriz Nul Um mriz é deomid mriz ul qudo odos os seus elemeos forem ulos, iso é, pr odo i,,, m e pr odo,,, Noção: Mriz Qudrd Um mriz é um mriz qudrd qudo possuir o mesmo úmero de lihs e de colus, iso é, m Noção: Digol Pricipl: são os elemeos d mriz ode i pr odo i,,,, Digol Secudári: são os elemeos d mriz ode i pr odo i,,,, Trço: é o somório dos elemeos d digol pricipl d mriz, deodo por r r kk k 9 Elemeos d digol pricipl:, e 9 Elemeos d digol secudári:, e r 9 8

3 Mriz Digol Um mriz qudrd é chmd de mriz digol qudo odos os elemeos que ão perecem à digol pricipl são ulos, iso é, qudo i pr odo i,,,, Mriz Ideidde Um mriz digol é chmd de mriz ideidde qudo os elemeos d digol pricipl forem odos iguis um Noção: I I Mriz Trigulr Superior Um mriz qudrd é um mriz rigulr superior qudo os elemeos bixo d digol pricipl são ulos, iso é, qudo i > pr odo i,,,, 8 Mriz Trigulr Iferior Um mriz qudrd é chmd de mriz rigulr iferior qudo os elemeos cim d digol pricipl são ulos, iso é, qudo i < pr odo i,,,, 8 Operções com Mrizes dição Sem que C c b e m mrizes de mesm ordem, defie-se mriz som C l e c b pr odo i,,, m e pr odo,,,, Sem e, Eão,,,, 9

4 Um lborório frmcêuico produz um cero medicmeo Os cusos relivos à compr e rspore de quiddes específics d subsâci ecessáris pr su elborção, dquirids em dois forecedores disios são ddos em reis respecivmee pels seguies mrizes preço cuso preço cuso compr rspore compr rspore subsâci subsâci 8 subsâci 8 subsâci 9 9 subsâci C subsâci C Forecedor Forecedor mriz que represe os cusos ois de compr e de rspore de cd um ds subsâcis, e C é dd por: 9 8 Proprieddes d Operção de dição ssociiv: pr quisquer mrizes, e C de mesm ordem, C C Comuiv: pr quisquer mrizes e de mesm ordem, Dem: Cosidere mrizes de ordem m, C e D c b b d pr odo i,, m e pr odo,, ssim, C D ogo, operção de dição é comuiv Elemeo Neuro: pr od mriz, m Elemeo Simérico:pr od mriz de ordem m exise um mriz S de mesm ordem l que S S S s Sedo em-se Noção: S ssim, lém disso, Pr quisquer mrizes qudrds e de mesm ordem, r r r Dem: Cosidere s mrizes de ordem r b b b b r r

5 Muliplicção por Esclr Sem um mriz e k R um esclr, defie-se mriz produo por esclr k l que b e b k pr odo i,,, m e pr odo,,, Sem e k Eão 9 O qudro bixo mosr produção de rigo, cevd, milho e rroz em rês regiões, em um deermid époc do o TRIGO CEVD MIHO RROZ REGIÃO I 8 REGIÃO II 9 REGIÃO III Com os iceivos oferecidos, esim-se que sfr o mesmo período do próximo o se duplicd mriz que represe esimiv de produção pr o próximo o é: 8 9 Proprieddes d Operção de Muliplicção por Esclr E Pr od mriz e pr quisquer esclres k, k R, k k k k E Pr od mriz e pr quisquer esclres k, k R, k k k k E Pr quisquer mrizes e de mesm ordem e pr qulquer esclr k R, k k k Dem: Cosidere mrizes de ordem m, k k C D e k k E F G d k c k b k k b e f g, pr odo i,, m e pr odo,, ssim, D G ogo, vle propriedde E Pr od mriz de ordem m, m E Pr od mriz de ordem m, E Pr od mriz qudrd e pr odo k R, r k k r

6 Muliplicção Sem s mrizes C c e c k pr odo,,, p p ik b e p, defie-se mriz produo C l que b Sem e k, iso é, c i b i b ip bp pr odo i,,, m e Eão Observe que, b e C c mriz bixo os forece s quiddes de vimis, e C obids em cd uidde dos limeos I e II C limeo I limeo II o serem igerids uiddes do limeo I e uiddes do limeo II quidde cosumid de cd ipo de vimi é dd por: Serão cosumids uiddes de vimi, uiddes de vimi e uiddes de vimi C Proprieddes d Operção de Muliplicção M ssociiv: pr quisquer mrizes, e C de ordes m p, p l e l, respecivmee, C C Dem: Cosidere C D C E e C F G e l d ik ck l p b c i k k k k i b ipbp c ib ipbp c ib l i bc ipbpc ibc ipbpc ib lcl i bc bc b l cl ip bpc bpc bplcl p l p i bk ck i f g pr odo i,, m e pr odo,, k ssim, E G ogo, vle propriedde ssociiv pr muliplicção de mrizes ip b pl ip c b l pl c l

7 M Disribuiv d Muliplicção em relção à dição: pr quisquer mrizes e de ordem m p, pr od mriz C de ordem p e pr od mriz D de ordem l m, C C C e D D D M Elemeo Neuro: pr od mriz qudrd de ordem, I I M Pr quisquer mrizes qudrds e de mesm ordem, r r M Pr quisquer mrizes qudrds e de mesm ordem e pr odo k R, k k k M Pr od mriz qudrd de ordem, Em gerl, ão vle propriedde comuiv pr operção de muliplicção ssim, Qudo, diz-se que e são mrizes comuáveis, ou id que e são mrizes que comum ere si Por M, qulquer mriz qudrd comu com mriz qudrd ul de mesm ordem Sem s mrizes e b C c d D Sem s mrizes e b C c e mriz produo ão é defiid Sem e 8 Sem e ssim, ogo, s mrizes e comum ere si Poêci de um Mriz Qudrd de Ordem I k k k Tod mriz qudrd comu com qulquer poêci url de

8 Se Eão Sem o poliômio f x x x e mriz Deermido o vlor f : f f x x x x x x I 9 f mriz é um riz do poliômio, á que f Mriz Idempoee Um mriz qudrd é idempoee qudo mriz é idempoee Verifique! Trsposição Se mriz, defie-se mriz rspos l que b m e b i, iso é, é mriz obid prir d mriz pel roc de sus lihs pels colus correspodees Noção: Proprieddes d Operção de Trsposição T Ivolução: pr od mriz, T Pr quisquer mrizes e de mesm ordem, Dem: Cosidere mrizes de ordem m, C D e E F G d c i i b i e f g pr odo i,, m e pr odo,, ssim, D G T Pr od mriz e pr odo esclr k R, k k T Pr od mriz de ordem m p e pr od mriz de ordem p, T Pr od mriz qudrd, r r 8

9 9 Clssificção de Mrizes Qudrds Mriz Siméric Um mriz qudrd é deomid siméric qudo Os elemeos d mriz disposos simericmee em relção à digol pricipl são iguis Mriz i-siméric Um mriz qudrd é deomid i-siméric qudo Todos os elemeos d digol pricipl são iguis zero e os elemeos simericmee disposos em relção à digol pricipl êm siis corários Mriz Iverível ou Não-sigulr Um mriz qudrd de ordem é di iverível se exisir um mriz qudrd de mesm ordem l que I mriz é di mriz ivers d mriz Noção: I mriz é iverível e su ivers é pois: Obedo mriz ivers d mriz Cosidere y z x Se I eão z x z y x y z x ssim, z z x y x Des form,

10 Verific-se mbém que I Eão mriz ivers d mriz é mriz 9 8 ão possui ivers Proprieddes ds Mrizes Iveríveis I Ivolução: I dem: I I logmee, I I ogo, o produo é iverível I Semelhç de Mrizes Dus mrizes, R M são semelhes qudo exise um mriz iverível R M P l que P P s mrizes e são semelhes Cosidere P e P ssim, Mriz Orogol Um mriz qudrd de ordem iverível é deomid orogol qudo θ θ θ θ cos cos se se Mriz Norml Um mriz qudrd de ordem é di orml qudo comu com su mriz rspos, iso é,

11 Operções Elemeres São operções relizds s lihs de um mriz São cosiderds operções elemeres: OE roc d lih i pel lih i OE muliplicção d lih i por um esclr k R ão ulo i k i OE subsiuição d lih i por el mesm mis k vezes lih, com k i i k R ão ulo - Mriz Equivlee por ih Sem e mrizes de mesm ordem mriz é deomid equivlee por lih mriz, qudo for possível rsformr mriz mriz rvés de um úmero fiio de operções elemeres sobre s lihs d mriz mriz é equivlee mriz, pois usdo somee operções elemeres s lihs d primeir mriz foi possível rsformá-l segud Mriz Form Esclod Um mriz esá form esclod qudo o úmero de zeros, que precede o primeiro elemeo ão ulo de um lih, ume lih lih s lihs uls, se exisirem, precem bixo ds ão uls

12 Esclomeo por ih de um Mriz Dd um mriz qulquer, é possível ober um mriz equivlee por lihs es mriz form esclod: escolh de operções em um esclomeo ão é úic O impore é observr que o obeivo é umer o úmero de zeros, que precede o primeiro elemeo ão ulo de cd lih, lih lih Poso de um Mriz O poso de um mriz pode ser obido esclodo-se mriz O úmero de lihs ão uls pós o esclomeo é o poso d mriz Noção: P Nos dois exemplos eriores o poso ds mrizes é igul dois plicções de Operções Elemeres Cálculo d Ivers de um Mriz Qudrd de ordem Psso : Cosruir mriz I de ordem Psso : Uilizr operções elemeres s lihs d mriz I de form rsformr o bloco mriz ideidde I Cso se possível, o bloco I erá sido rsformdo mriz Se ão for possível rsformr em I é porque mriz ão é iverível Se mriz ivers é

13 Jusificiv do Méodo pr o Cálculo d Mriz Ivers Teorem: Um mriz qudrd de ordem é iverível se e somee se mriz é equivlee por lih mriz I Des form, seqüêci de operções elemeres que reduz mriz mriz I, rsform mriz I mriz Cosidere mriz redução d mriz à mriz ideidde é: plicdo em I mesm seqüêci de operções: ssim, mriz é ivers d mriz

14 Cálculo do Deermie qulquer mriz qudrd podemos ssocir um cero úmero rel deomido deermie d mriz Noção: ou de É impore observr que: Qudo rocmos dus lihs de um mriz, seu deermie roc de sil b O deermie d mriz fic muliplicdo pelo esclr ão ulo k qudo odos os elemeos de um cer lih forem muliplicdos por k c O deermie ão se ler qudo uilizmos operção elemer do ipo i i k Teorem de Jcobi d O deermie de um mriz rigulr é igul o produo dos elemeos d digol pricipl O cálculo do deermie de um mriz qudrd, uilizdo-se operções elemeres s lihs d mriz, cosise em ecorr um mriz rigulr equivlee por lih à mriz dd, respeido-se s proprieddes de deermies cim 9 de de de de de de de de de 8 9 de 9 8 de 9 de 9 de Ours iformções sobre ese ópico ecorm-se o pêdice

15 Resolução de Sisems Our plicção de operções elemeres é resolução de sisems, que será viso com delhes o próximo cpíulo Exercícios b b c 8 Resolv equção mricil, d c d idicdo os vlores pr, b, c e d Cosidere, C C b k C k k C c r r r d r C r rc 8, C e k Verifique se: 9 9 Se Idique um mriz qudrd de ordem ão ul l que Se Resolv equção mricil X I, ode X x Mosre que, em gerl,, sedo e mrizes qudrds de mesm ordem Se Ecore Verifique que mriz 8 é um riz do poliômio f x x x 8 Cosidere Idique mriz I b mriz é iverível? Em cso firmivo, idique 9 Mosre que s úics mrizes qudrds de ordem que comum o com mriz quo com mriz são múlipls de I Deermie ods s mrizes de ordem que comum com mriz

16 Sem e Verifique iguldde Mosre que se mriz qudrd for iverível e C eão C ei do Core Sem e É possível clculr X, equção X? Sem,, C e X mrizes qudrds de mesm ordem e iveríveis Resolv s equções, cosiderdo X vriável X C b C X C c X C X C d X C e X Se um mriz de ordem l que mriz é iverível mriz siméric? E idempoee? é cosθ seθ Mosre que mriz seθ cosθ é um mriz orogol Deermie, b e c de modo que mriz b se orogol c 8 Mosre que som de dus mrizes simérics é mbém um mriz siméric 9 Mosre que o mesmo vle pr mrizes i-simérics Se e são mrizes simérics que comum ere si eão mriz Jusifique Tod mriz orogol é mbém um mriz orml? Jusifique O produo de dus mrizes orogois é um mriz orogol? Jusifique mbém é siméric? Em um pesquis ode form cosiderds mrcs de refrigere, Gelo, Delíci e Suve, o elemeo d mriz bixo idic possibilidde de um pesso que cosum o refrigere i pssr cosumir o refrigere O elemeo d digol pricipl represe possibilidde de um pesso que cosum um deermido refrigere permeç cosumido o mesmo refrigere

17 Gelo Delíci Suve Gelo,8,, Delíci,,, Suve,,, Qul possibilidde de um pesso que cosumi o refrigere Gelo pssr cosumir o refrigere Suve? E de quem cosumi Suve pssr cosumir Gelo? b Escrev mriz que idic possibilidde de se mudr de mrc pós dus pesquiss Verifique se mriz é iverível Em cso firmivo, idique mriz ivers Pr que vlores de mriz dmie ivers? Dd mriz Dd mriz Idique mriz I e deermie Idique mriz 8 Deermir o vlor de fim de que mriz se iverível 9 Clcule o deermie ds mrizes e Sbedo que é um mriz qudrd de ordem e que de, deermie: de b de c de d de Ecore odos os vlores de pr os quis de

18 Resposs,, b, c, d, e, b,8,8 z *,,z R z X 8 8 b x y,x,y R y x 8 Sim, X 9 e, respecivmee X C b X b c X c se for pr d X C cso corário e X d Sim Sim ou b e c ou b e c,,,,,, 8

19 pêdice - Deermie Permuções Se um couo fiio qulquer, um permução em é qulquer fução beor Sedo crdilidde do couo, exisem! permuções possíveis Se {, b} e s beções bixo: b b b b f : oção usul é: b b b b Nes oção mricil, primeir lih idic os elemeos origiis e segud os elemeos reorgizdos Se {,, }, e são rês ds seis permuções possíveis em Se {, b, c, d} b c d é um ds permuções possíveis b c d Se for um couo muido de um relção de ordem, s permuções podem ser clssificds como permuções pres e permuções ímpres Um permução é pr qudo o úmero de elemeos - dere os elemeos reorgizdos - for de ordem for pr e é ímpr qudo ese úmero for ímpr Se {,, } com ordem uméric usul, iso é, e são permuções ímpres e é pr Se {, b, c, d} com ordem lexicográfic lfbéic usul b c d é um permução ímpr b c d lém diso, às permuções pres é ssocido o sil posiivo e às ímpres o sil egivo 9

20 O Deermie Dd um mriz qudrd de ordem é possível fzer correspoder um cero úmero deomido deermie d mriz Noção: de de Cosidere, por exemplo, um mriz qudrd de ordem, possíveis o couo de ídices {,, }, e s permuções prir d permução ímpr ssoci-se o produo, l que os ídices lih correspodem primeir lih d represeção d permução, os ídices colu são obidos d segud lih e o sil egivo d clssificção d permução O deermie de um mriz de ordem é obido prir de ods s seis permuções possíveis o couo de ídices {,, } clssificds e silizds ssim, o deermie é ddo por: de Geericmee, pr um mriz de ordem, o deermie é o úmero obido do somório dos produos silizdos de elemeos d mriz, combidos de cordo com s permuções do couo de ídices {,,, } de de de

21 Desevolvimeo de plce Se um mriz qudrd de ordem, Cosidere um elemeo qulquer, com i,,, e submriz de ordem prir d mriz reirdo-se i-ésim lih e -ésim colu O deermie d submriz silizdo por i é deomido o cofor do elemeo Se mriz O cofor do elemeo, iso é, de é : de O cofor do elemeo é: de obid Cosidere um cer lih i fixd O deermie d mriz fic defiido por: de i de expressão é um fórmul de recorrêci fz uso de deermies de mrizes de ordem meores cohecid como desevolvimeo de plce Ese desevolvimeo pode ser feio fixdo-se um cer colu e expressão pss ser: de i de i fixd lih de de de fixd lih de de de de

22 Fixdo id lih pr s submrizes: de [ de de ] [ de de [ de de [ ] [ ] [ ] ] ] Proprieddes Cosidere e mrizes qudrds de ordem e k R ão ulo D Se é um mriz rigulr superior iferior eão de dem: Cosidere mriz Fixdo colu pr o cálculo dos deermies, de i i i de i de de de [ de de ] i de i de i [ de de ] i de i de i i i Corolários: i de ii de I iii Se é um mriz digol eão de D de, qudo possuir um lih ou colu ul D de, qudo possuir dus lihs ou colus iguis D de k k de D de de de D de de

23 DCosidere mriz e mriz obid prir de por plicção de operções elemeres: i : de de b i k i : de k de dem: Cosidere mriz i i i Fixdo lih i pr o cálculo dos deermies, de Se mriz i de ki ki k i i de k de k c i i k : de de obid pel operção elemer i k i D8 é um mriz iverível se e somee se de D9 Se é um mriz iverível eão de de D Se e são mrizes semelhes eão de de D Se é um mriz orogol eão de ± i de k de Exercícios Clcule o deermie usdo permuções b 8 9 Clcule o deermie usdo desevolvimeo de plce 8 b 9 Idique o vlor de x pr que s mrizes sem iveríveis x b x 8 x x