3 - CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE ROUTH Estabilidade de Sistemas Lineares. Definições de estabilidade: Teorema da estabilidade:

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1 3 - CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE ROUTH Estbilidde de Sistems Lineres Definições de estbilidde: Um sistem liner é estável qundo qulquer sinl de entrd de mplitude finit produz sinis de síd tmbém de mplitude finit ( BIBO = bounded input, bounded output ) Teorem d estbilidde: Um sistem liner invrinte no tempo (SLIT) e de prâmetros concentrdos é estável se e somente se nenhum dos pólos de su função de trnsferênci (ou sej, nenhum ds rízes de su equção crcterístic) pertence o semiplno direito, SPD do plno complexo s-jw, incluindo tmbém o próprio eixo jw. plno s: rel x complexo eixo complexo j w Sistem Instável Sistem Estável Instbilidde Mrginl eixo rel s Figur 1- Região de estbilidde no plno complexo s II.47

2 3.2 - Critério de Estbilidde de Routh Ddo um SLIT n form: C R s Bs ( ) ( ) = n n -1 s + s + K+ n Mont-se um tbel - chmd de mtriz de Routh, d seguinte form; linh s L (se n for pr) linh linh linh n n n-2 n n-1 s n- 1 n- 3 n- L n-2 s bn- b 3 n- b 5 n-7 n-3 s c c c n-5 n-7 n-9 L L L L L L L 0 n linh s 0 { sé rie de Routh mtriz de Routh n (se n for ímpr) onde os elementos, por exemplo n segund linh são: b n-i-2 = n 1 n i 2 n n i n i = 1, 3, 5,..., ímpr o elemento n-1 d 2 linh é chmdo de pivô pr 3 linh. O mesmo contece pr s próxims linh, usndo-se como bse s dus linhs nteriores. De um mneir mis prátic: s n n n-2 n-4 ¼ 0 s n-1 n-1 n-3 n-5 ¼ (pivô) s n-2 n-1. n-2 - n. n-3 - n -1.. ¼ ¼ n-1 n-4 n n-5 n -1 II.48

3 condições de estbilidde: 1 condição necessári: Pr que tods s rízes d equção crcterístic do sistem tenhm prte rel negtiv é necessário que todos os coeficientes i tenhm o mesmo sinl lgébrico. Vej esses exemplos: C R = Bs ( ) 2 s1 4-23s inst vel C ( R s ) = Bs ( ) 2 s s4 + 31? 2 condição necessári e suficiente: A condição necessári e suficiente pr que tods s rízes d equção crcterístic tenhm prte rel negtiv é que todos os elementos d Série de Routh tenhm o mesmo sinl lgébrico. conclusão: Se nem 0 nem qulquer outro elemento d Série de Routh for nulo 1 Þ exemplo: não há rízes no eixo imginário Þ o número de rízes no SPD é igul o número de trocs de sinl o longo d série. Anlise equção crcterístic: 6s 5 +5s 4 +4s 3 +3s 2 +2s+1=0pelo Critério de Routh. solução: 1 Se 0 = 0 Þhá um pólo n origem, pois: ns n + n-1s n-1 + ¼ + 1s+0=0 s( ns n1 + n-1s n-2 + ¼ + 1 )= 0 \ o sistem é dito MARGINALMENTE INSTÁVEL! II.49

4 s s troc s s conclusões: 1. sistem é dito instável 2 troc s n o de pólos no SPD =2 s 0 +1 II.50

5 3.3 Mrgem de Gnho no Critério de Routh A mrgem de Gnho K g é um espécie de coeficiente de segurnç que inform de qunto pode-se vrir o gnho do controldor té que o sistem entre dentro d região de instbilidde mrginl - qundo s rízes dominntes cem sobre o eixo jw. Por exemplo: FTMA = ( + 1)( s+ 2) ss 10 o gnho d MA é 10. Pr sber o mior gnho de trblho desse sistem, substituiu-se o gnho d MA por K, ssim, nov FTMA fic: FTMA = K ( + 1)( s+ 2) ss 1 + FTMA = s s + 1 s K = 0 e eq. crcterístic fic: ( )( ) Por Routh s s 2 3 k s 6 1 K - K 3 K<6 K>0 ou sej, 0<K<6. Repre que o máximo gnho de trblho é 6, e o sistem já está com 10. O que vi contecer? Simples, não? O M LN do sistem está instável, 2 rízes no SPD, vi quebrr, queimr, derreter tudo e você junto! Precis reduzir o gnho! De qunto? Aí que entr históri d mrgem de gnho. O que é K g? K g = gnho m ximo de trblho gnho de trblho II.51

6 qundo Kg > 1signific que o sistem está operndo com gnho de trblho menor que o gnho máximo de trblho (sistem estável) e \ fvor d segurnç. qundo Kg < 1signific que o sistem está operndo com gnho de trblho mior que o gnho máximo de trblho (sistem instável) e \ contrário à segurnç. É usul os projetists de controle trblhrem com 2. Pois dá um bo mrgem de segurnç. No nosso exemplo, isso seri conseguido qundo K=3. II.52

7 3.4 - Complementções mtemátics o Critério de Estbilidde de Routh Qundo prece um 0 n colun d Série de Routh, e n linh correspondente, os outros elementos são diferentes de zero. exemplo: 1s 4 +0s 3 +2s 2 +1s+1=0 s s Esse zero n colun de Routh já indic que o sistem é mrginlmente instável. Pr sber qunts rízes estão sobre o eixo jw, no lugr do 0 colocse d, tão pequeno qunto se queir s s 3 d 1 s 2 2d -1 1 d s 1 2d -1-2d -1 s d pss-se lim d e obtêm-se: 0 s s 3 d 1 s 2-1 s 1 1 s 0 1 \ sistem instável com 2 rízes loclizds no SPD. II.53

8 Qundo todos os elementos de um linh d Mtriz de Routh são nulos. exemplo: 1s 4 +1s 3-3s 2-1s+2=0 s s s 2-2s 2 2s 0 s s 0?? equção uxilir linh de zeros uxilir: Substituiu-se linh de zeros pelos coeficientes d derivd d equção eq. ux. = -2s 2 +2 deq (. ux.) ds =-4s e obtêm-se: s s s s 1-4 s 0 2 equção uxilir coef. d derivd \ sistem instável com 2 rízes loclizds no SPD. Além disso, solução d equção uxilir inform onde estão s rízes sobre o plno s -jw.: II.54

9 -2s 2 +2=0 s 2 =1 s=± 1 (N um riz com prte rel positiv) s demis rízes sem por Biot-Ruffini: rizê 1s 4 1s 3-3s 2-1s Obs.: As rízes d equção uxilir tmbém são rízes d equção originl. Esss rízes ocorrem em pres e são negtivs ums ds outrs. Em outrs plvrs, esss rízes podem ser imgináris (complexs conjugds), ou reis (um positiv, outr negtiv), ou pertencer conjuntos de qutro rízes (dois pres de rízes conjugds), etc. Estude os seguintes csos: ) s s s 2 +2.s+2=0 b) s s s s+18=0 Obs.: A não mudnç de sinl nesses dois csos indic que não há rízes com prte rel positiv, porém, os sistems são mrginlmente instáveis pois contém rízes sobre o eixo jw. Verifique! BIBLIOGRAFIA: 1. Ogt K. Engenhri de controle moderno - Prentice/Hll do Brsil - 2. Edição. Cp. 4 Análise de Respost Trnsitóri e Análise de Erros em Regime Estcionário, item 4.6 p ; II.55

10 2. Distefno, J.J.; Stubberud, A.R.; Willins, I.J. Sistems de retroção (relimentção) e controle - Coleção Schum - McGrw-Hill; 3. Kuo, B.C. Sistems de controle utomático - Prentice/Hll do Brsil Cp 6 - Análise no Domínio do Tempo de Sistems de Controle, item 6.10 p ; 4. D Azzo, J.J.; Houpis, C.H. Análise e projeto de sistems de controle lineres - Gunbr Dois. Cp 6 - Proprieddes dos Sistems de Controle, item ; 5. Doebelin, E.O. Dynmics nlysis nd feedbck control - McGrw-Hill Kogkush, Ltd. Chp 6 Absolute Stbility Criteri iten 6.3 p Kuo, B.C; Hnselmn, D. C. MATLAB Ò tools for control system nlysis nd design - 2nd Ed. Prentice Hll 7. Dorf, R.C.; BISHOP, R.H. Modern control systems - Addison Wesley - 1 st Ed II.56