10 INFERÊNCIA ESTATÍSTICA Testes de Hipóteses Introdução Lógica dos Testes de Hipóteses

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1 INE Iferêcia Estatística Testes de Hipóteses 0 INFERÊNCIA ESTATÍSTICA Testes de Hipóteses 0. - Itrodução Viu-se ateriormete que uma determiada população pode ser descrita através de um modelo probabilístico, que apreseta características e parâmetros. Muitas vezes estes parâmetros são descohecidos e há iteresse em estimá-los para obter um melhor cohecimeto sobre a população: retira-se etão uma amostra aleatória da população e através das técicas de Estimação de Parâmetros procura-se obter uma estimativa de algum parâmetro de iteresse, e associamos uma probabilidade de que a estimativa esteja correta. A Estimação de Parâmetros é uma subdivisão da Iferêcia Estatística (que cosiste em fazer afirmações probabilísticas sobre o modelo probabilístico da população a partir de uma amostra aleatória desta população), a outra grade subdivisão costitui os Testes de Hipóteses. Cotrariamete à Estimação de Parâmetros os Testes de Hipóteses permitem fazer iferêcias sobre outras características do modelo probabilístico da população além dos parâmetros (como, por exemplo, a forma do modelo probabilístico da população). Quado os Testes são feitos sobre os parâmetros da população são chamados de Testes Paramétricos, e quado são feitos sobre outras características são chamados de Testes Não Paramétricos. Não obstate vamos os restrigir aos Testes Paramétricos Lógica dos Testes de Hipóteses Imagie-se que um determiado pesquisador está iteressado em alguma característica de uma população. Devido a estudos prévios, ou simplesmete por bom seso (melhor poto de partida para o estudo) ele estabelece que a característica terá um determiado comportameto. Formula etão uma hipótese estatística sobre a característica da população, e esta hipótese é aceita como válida até prova estatística em cotrário. Para testar a hipótese é coletada uma amostra aleatória represetativa da população, sedo calculadas as estatísticas ecessárias para o teste. Naturalmete (devido ao fato de ser utilizada uma amostra aleatória) haverá difereças etre o que se esperava (sob a codição da hipótese verdadeira) e o que realmete foi obtido a amostra. A questão a ser respodida é: as difereças são sigificativas o bastate para que a hipótese estatística estabelecida seja rejeitada? Esta ão é uma perguta simples de respoder: depederá do que está sob teste (que parâmetro, por exemplo), da cofiabilidade desejada para o resultado, etc. Basicamete, porém, será ecessário comparar as difereças com uma referêcia (a distribuição amostral de um parâmetro, por exemplo), que supõe que a hipótese sob teste é verdadeira: a comparação costuma ser feita através de uma estatística de teste que evolve os valores da amostra e os valores sob teste. A tomada de decisão é feita da seguite forma: Ver o Capítulo 9. Na realidade a deomiação correta deveria ser Testes depedetes de distribuição de referêcia (porque para fazer iferêcias sobre os parâmetros devemos supor que o modelo probabilístico populacioal é ormal, por exemplo, ou que a distribuição amostral do parâmetro pode ser aproximada por uma ormal), e Testes livres de distribuição (porque os Testes Não Paramétricos ão exigem que os dados teham uma aderêcia a um certo modelo). 3 Ao leitor iteressado em Testes Não Paramétricos recomeda-se a referêcia: SIEGEL, S. Estatística Não Paramétrica (para as Ciêcias do Comportameto); McGraw-Hill, São Paulo, 975. É uma boa referêcia o assuto, em português.

2 INE Iferêcia Estatística Testes de Hipóteses - se a difereça etre o que foi observado a amostra e o que era esperado (sob a codição da hipótese verdadeira) ão for SIGNIFICATIVA a hipótese será aceita. - se a difereça etre o que foi observado a amostra e o que era esperado (sob a codição da hipótese verdadeira) for SIGNIFICATIVA a hipótese será rejeitada. O valor a partir do qual a difereça será cosiderada sigificativa será determiado pelo Nível de Sigificâcia do teste. O Nível de Sigificâcia geralmete é fixado pelo pesquisador, muitas vezes de forma arbitrária, e também será a probabilidade de erro do Teste de Hipóteses: a probabilidade de cometer um erro o teste, rejeitado uma hipótese válida. Como a decisão do teste é tomada a partir dos dados de uma amostra aleatória da população há SEMPRE a probabilidade de estar cometedo um erro, mas com a utilização de métodos estatísticos é possível calcular o valor desta probabilidade 4. O Nível de Sigificâcia é uma probabilidade, portato é um úmero real que varia de 0 a (0 a 00%), e como é a probabilidade de se cometer um erro o teste é iteressate que seja o mais próximo possível de zero: valores típicos são 5%, 0%, % e até meores depededo do problema sob aálise. Cotudo, ão é possível usar um Nível de Sigificâcia igual a zero porque devido ao uso de uma amostra aleatória sempre haverá chace de erro, a ão ser que a amostra fosse do tamaho da população. O complemetar do Nível de Sigificâcia é chamado de Nível de Cofiaça, pois ele idica a cofiabilidade do resultado obtido, a probabilidade de que a decisão tomada esteja correta Tipos de Hipóteses Para realizar um Teste de Hipóteses é ecessário defiir (euciar) duas Hipóteses Estatísticas complemetares (que abragem todos os resultados possíveis): a chamada Hipótese Nula (deotada por H 0 ) e a Hipótese Alterativa (deotada por H ou H a ). Euciar as hipóteses é o primeiro e possivelmete mais importate passo de um Teste de Hipóteses, pois todo o procedimeto depederá dele. A Hipótese Nula (H 0 ) é a hipótese estatística aceita como verdadeira até prova estatística em cotrário: pode ser o poto de partida mais adequado para o estudo, ou exatamete o cotrário do que o pesquisador quer provar (ou o cotrário daquilo que o preocupa). A Hipótese Alterativa (H ), que será uma hipótese complemetar de H 0, forecerá uma alterativa à hipótese ula: muitas vezes é justamete o que o pesquisador quer provar (ou o que o preocupa). Quado as hipóteses são formuladas sobre os parâmetros do modelo probabilístico da população o Teste de Hipóteses é chamado de Paramétrico. Quado as hipóteses são formuladas sobre outras características do modelo o Teste é chamado de Não Paramétrico. A decisão do teste cosiste em ACEITAR ou REJEITAR a Hipótese Nula (H 0 ): vai-se aceitar ou ão a hipótese até etão cosiderada verdadeira. É importate ter a oção exata do que sigifica ACEITAR ou REJEITAR a Hipótese Nula (H 0 ). A decisão é tomada sobre esta hipótese e ão sobre a Hipótese Alterativa porque é a 4 Usado outros métodos (empíricos) ão há como ter idéia da chace de erro (pode ser um erro de 0% ou de 5000%...). 5 O leitor deve estar lembrado destes dois coceitos de Estimação de Parâmetros: Nível de Cofiaça era a probabilidade de que o Itervalo de Cofiaça cotivesse o valor real do parâmetro, e Nível de Sigificâcia, complemetar daquele, era a probabilidade de que o Itervalo NÃO cotivesse o parâmetro, em suma a probabilidade da Estimação estar correta ou ão, respectivamete.

3 INE Iferêcia Estatística Testes de Hipóteses 3 Hipótese Nula é que cosiderada verdadeira (até prova em cotrário). Quado se aceita a Hipótese Nula sigifica que ão há provas suficiete para rejeitá-la. Já quado a decisão é por rejeitar a Hipótese Nula há evidêcias suficietes de que as difereças obtidas (etre o que era esperado e o que foi observado a amostra) ão ocorreram por acaso. Usado uma aalogia com o direito dos EUA, aceitar H 0 seria comparável a um veredito de ão culpado ( ot guilty ), ou seja, ão há provas suficietes para codear o réu... Por outro lado rejeitar H 0 seria comparável a um veredito de culpado ( guilty ), ou seja, as provas reuidas são suficietes para codear o réu. O Nível de Sigificâcia será a probabilidade assumida de Rejeitar H 0 sedo H 0 verdadeira Tipos de Testes Paramétricos A formulação das hipóteses é o poto iicial do problema, e deve depeder ÚNICA E EXCLUSIVAMENTE das coclusões que se pretede obter com o teste. A formulação da hipótese alterativa determiará o tipo de teste: se Uilateral ou Bilateral. Se a formulação da hipótese alterativa idicar que o parâmetro é maior ou meor do que o valor de teste (valor cosiderado verdadeiro até prova em cotrário) o teste será Uilateral: somete há iteresse se as difereças etre os dados da amostra e o valor de teste forem em uma determiada direção. Se a formulação da hipótese alterativa idicar que o parâmetro é diferete do valor de teste o teste será Bilateral: há iteresse as difereças em qualquer direção. As hipóteses etão seriam: Testes Uilaterais H 0 : parâmetro = valor de teste H : parâmetro < valor de teste H 0 : parâmetro = valor de teste H : parâmetro > valor de teste Testes Bilaterais H 0 : parâmetro = valor de teste H : parâmetro valor de teste A escolha do tipo de teste depederá das codições do problema sob estudo, sejam as três situações abaixo: a) Um ovo protocolo de atedimeto foi implemetado o Baco RMG, visado reduzir o tempo que as pessoas passam a fila do caixa. O protocolo será cosiderado satisfatório se a média do tempo de fila for meor do que 30 miutos. Um teste Uilateral seria o adequado. b) Cerca de 000 formulários de pedidos de compra estão sedo aalisados. Os clietes podem ficar isatisfeitos se houver erros os formulários. Neste caso admite-se que a proporção máxima de formulários com erros seja de 5%. Ou seja, um valor maior do que 5% causaria problemas. Um teste Uilateral seria o adequado. c) Uma peça automotiva precisa ter 00 mm de diâmetro, exatamete. Neste caso, a dimesão ão pode ser maior ou meor do que 00 mm (em outras palavras ão pode ser diferete de 00 mm), pois isso idicará que a peça ão está de acordo com as especificações. Um teste Bilateral seria o adequado. Após defiir as hipóteses é coletada uma amostra aleatória da população para testá-las. É importate ressaltar ovamete: A MONTAGEM DAS HIPÓTESES DEVE DEPENDER APENAS DAS CONCLUSÕES QUE SE PRETENDE OBTER E JAMAIS DE UMA EVENTUAL EVIDÊNCIA AMOSTRAL DISPONÍVEL.

4 INE Iferêcia Estatística Testes de Hipóteses 4 A decisão de aceitar ou rejeitar H 0 depederá das regiões de aceitação e rejeição de H0, que por sua vez depedem dos seguites fatores: - do parâmetro sob teste (e da estatística ou variável de teste usada para testá-lo). - do tipo de teste, se Uilateral ou Bilateral. - do valor de teste (valor do parâmetro cosiderado verdadeiro até prova em cotrário). - do Nível de Sigificâcia () ou Nível de Cofiaça ( - ) adotado. - de um valor crítico da estatística ou variável de teste a partir do qual a hipótese será rejeitada, e este valor depederá por sua vez do Nível de Sigificâcia, do tipo de teste e da Distribuição Amostral do parâmetro. A Região de Aceitação de H 0 será a faixa de valores da estatística (ou da variável de teste) associada ao parâmetro em que as difereças etre o que foi observado a amostra e o que era esperado ão são sigificativas. A Região de Rejeição de H 0 será a faixa de valores da estatística (ou da variável de teste) associada ao parâmetro em que as difereças etre o que foi observado a amostra e o que era esperado são sigificativas. Para eteder melhor os coceitos acima observe o exemplo a seguir: Há iteresse em realizar um teste de hipóteses sobre o comprimeto médio de uma das dimesões de uma peça mecâica. O valor omial da média (aceito como verdadeiro até prova em cotrário) é igual a b (valor geérico), H 0 : = b. Supodo que a distribuição amostral do parâmetro (distribuição de x ) seja ormal 6, e será cetrada em b: é possível fazer a coversão para a distribuição ormal padrão (média zero e desvio padrão, variável Z). H 0 : = b H 0 : = 0 O valor de b (média da dimesão e média de x ) correspode a zero, média da variável Z. Depededo da formulação da Hipótese Alterativa haveria diferetes Regiões de Rejeição de H 0. Se a Hipótese Alterativa fosse H : < b (H : < 0), ou seja, se o teste fosse Uilateral à esquerda a Região de Rejeição de H 0 seria: 6 Ver o Capítulo 9 para maiores detalhes.

5 INE Iferêcia Estatística Testes de Hipóteses 5 Neste poto é importate ressaltar um poto que costuma passar despercebido. Se a decisão for tomada com base a variável de teste (Z, por exemplo) é iteressate otar que, como o teste é Uilateral à esquerda o valor Z critico será NEGATIVO, uma vez que a região de Rejeição de H 0 está à ESQUERDA de 0 (meor do que zero). No teste Uilateral à direita, que veremos a seguir, o valor de Z será positivo, pois a região de Rejeição de H 0 estará à DIREITA de 0 (maior do que critico Observe que há um valor crítico de x : abaixo dele a Hipótese Nula será rejeitada, acima será aceita. A determiação do valor é feita com base o Nível de Sigificâcia, a área abaixo da curva ormal até o valor crítico de x. Geralmete obtém-se o valor crítico da variável de teste (Z este caso, a seguda figura) através de uma tabela, que correspode ao valor crítico de x, faz-se a trasformação de variáveis Z ( x 0 ) e obtém-se o valor crítico de x. 0 é o valor sob teste (b o exemplo) e é um desvio padrão (cujo valor será explicitado posteriormete). A decisão será tomada comparado valor da média amostral x com o valor crítico desta mesma média: se for meor do que o valor crítico x critico (ou seja, está a região de Rejeição de H 0 ) etão rejeita-se a Hipótese Nula. É muito comum também tomar a decisão comparado o valor da variável de teste (Z este caso), obtido com base os dados da amostra, com o valor crítico Z critico desta mesma variável (obtido de uma tabela ou programa computacioal): se for meor do que o valor crítico rejeita-se a Hipótese Nula. Observe que o valor do Nível de Sigificâcia é colocado a curva referete à Hipótese Nula, porque é esta que é aceita como válida até prova em cotrário. Observe também que a faixa de valores da região de Rejeição PERTENCE à curva da Hipótese Nula, assim o valor é a probabilidade de Rejeitar H 0 sedo H 0 verdadeira 7. zero). Se por exemplo o Nível de Sigificâcia fosse de 5% (0,05) o valor de Z critico para o teste Uilateral à esquerda seria -,645. Se houvesse iteresse em obter o valor de x critico correspodete bastaria usar a expressão Z (x 0 )/ substituido Z por -, Se a Hipótese Alterativa fosse H : > b (H : > 0), ou seja, se o teste fosse Uilateral à direita a Região de Rejeição de H 0 seria 7 Probabilidade de tomar uma decisão errada FIXADA pelo pesquisador. 8 O sial correto é importate para que o valor de x critico coerete com a posição da região de Rejeição de H 0.

6 INE Iferêcia Estatística Testes de Hipóteses 6 Neste caso o valor crítico está à direita: se a média amostral x ou a variável de teste Z tiverem valores superiores aos respectivos valores críticos a Hipótese Nula será rejeitada, pois os valores caíram a região de Rejeição de H 0. Como foi otado ateriormete o valor de Z critico será POSITIVO, pois é maior do que zero: usado o mesmo Nível de Sigificâcia de 5% o valor de Z critico seria,645, igual EM MÓDULO ao aterior, uma vez que a distribuição ormal padrão é simétrica em relação à sua média que é igual a zero. Se a Hipótese Alterativa fosse H : b (H : 0), ou seja, o teste fosse Uilateral à direita a Região de Rejeição de H 0 seria: Neste caso a região de Rejeição se divide em duas IGUAIS (probabilidades iguais à metade do Nível de Sigificâcia ), semelhate ao que acotece a Estimação por Itervalo. Existirão valores críticos, um abaixo do valor de teste e outro acima: se a média amostral x ou a variável de teste Z tiverem valores acima do valor crítico superior ou abaixo do valor crítico iferior a Hipótese Nula será rejeitada, pois os valores caíram em uma das regiões de Rejeição. Se for usada a variável de teste Z os valores críticos serão iguais em módulo, pois estão à mesma distâcia do valor sob teste (zero). Recordado as três situações que foram abordadas ateriormete, seria iteressate defiir completamete as Hipóteses Estatísticas. Nos dois primeiros casos optou-se por um Teste Uilateral e o terceiro por um Teste Bilateral.

7 INE Iferêcia Estatística Testes de Hipóteses 7 a) Um ovo protocolo de atedimeto foi implemetado o Baco RMG, visado reduzir o tempo que as pessoas passam a fila do caixa. O protocolo será cosiderado satisfatório se a média do tempo de fila for meor do que 30 miutos. Um teste Uilateral seria o adequado. Mas Uilateral à Esquerda ou à Direita? Como está grifado a frase aterior haverá problema se a média do tempo fosse meor do que 30, resultado: Teste UNILATERAL À ESQUERDA H 0 : = 30 ode 0 = 30 (valor de teste) H : < 30 Teste Uilateral à Esquerda. b) Cerca de 000 formulários de pedidos de compra estão sedo aalisados. Os clietes podem ficar isatisfeitos se houver erros os formulários. Neste caso admite-se que a proporção máxima de formulários com erros seja de 5%. Ou seja, um valor maior do que 5% causaria problemas. Um teste Uilateral seria o adequado. Neste caso, um teste de proporção, o problema será um valor maior do que 5%, resultado: Teste UNILATERAL À DIREITA H 0 : = 5% ode 0 = 5% (valor de teste) H : > 5% c) Uma peça automotiva precisa ter 00 mm de diâmetro, exatamete. Neste caso, a dimesão ão pode ser maior ou meor do que 00 mm (em outras palavras ão pode ser diferete de 00 mm) pois isso idicará que a peça ão está de acordo com as especificações. Um teste Bilateral seria o adequado, resultado: Teste BILATERAL H 0 : = 00 mm ode 0 = 00 mm (valor de teste) H : 00 mm Para a defiição correta das hipóteses é imprescidível a correta idetificação do valor de teste, pois se trata de um dos aspectos mais importates do teste: o resultado da amostra será comparado ao valor de teste. Lembrado ovamete que a tomada de decisão depede da correta determiação da região de Rejeição (e, por coseguite, de Aceitação) da Hipótese Nula, e isso, por sua vez, depede diretamete da formulação das Hipóteses Estatísticas Testes de Hipóteses sobre a Média de uma Variável em uma População Neste caso há iteresse em testar a hipótese de que o parâmetro média populacioal () de uma certa variável QUANTITATIVA seja maior, meor ou diferete de um certo valor. Para a realização deste teste é ecessário que uma das duas codições seja satisfeita: - sabe-se, ou é razoável supor, que a variável de iteresse segue uma distribuição ormal a população: isso sigifica que a distribuição amostral da média também será ormal, permitido realizar a iferêcia estatística paramétrica. - a distribuição da variável a população é descohecida, mas a amostra retirada desta população é cosiderada suficietemete grade 9 o que, de acordo com o Teorema Cetral do Limite, permite cocluir que a distribuição amostral da média é ormal. Supõe-se também que a amostra é represetativa da população e foi retirada de forma aleatória. 9 Há muita cotrovérsia a respeito do que seria uma amostra suficietemete grade, mas geralmete uma amostra com pelo meos 30 elemetos costuma ser cosiderada grade o bastate para que a distribuição amostral da média possa ser aproximada por uma ormal.

8 INE Iferêcia Estatística Testes de Hipóteses 8 Tal como a Estimação de Parâmetros por Itervalo existirão difereças os testes depededo do cohecimeto ou ão da variâcia populacioal da variável. a) Se a variâcia populacioal ( ) da variável (cuja média populacioal queremos testar)for cohecida. Neste caso a variâcia amostral da média poderá ser calculada através da expressão: V(x), e, por coseguite, o desvio padrão 0 será desvio padrao A variável de teste será a variável Z da distribuição ormal padrão, lembrado que: valor "média" Z "desvio padrão" A "média" será o valor de teste (suposto verdadeiro até prova em cotrário), deotado por 0. O valor (obtido pela amostra) será a média amostral (que é o melhor estimador da média populacioal ) deotada por x, e o "desvio padrão" será o valor obtido ateriormete. Sedo assim a expressão da variável de teste Z: x 0 Z / Compara-se o valor da variável de teste com o valor crítico (Zcrítico que depede do Nível de Sigificâcia adotado) de acordo com o tipo de teste (as expressões abaixo também estão o apêdice): Se H : > 0 Rejeitar H 0 se Z > Zcrítico ( x > x crítico) Se H : < 0 Rejeitar H 0 se Z < Zcrítico ( x < x crítico) Se H : 0 Rejeitar H 0 se Z Zcrítico b) Se a variâcia populacioal da variável for descohecida. Naturalmete este é o caso mais ecotrado a prática. Como se deve proceder? Depederá do tamaho da amostra. b. - Grades amostras (mais de 30 elemetos) Nestes casos procede-se como o item aterior, apeas fazedo com que = s, ou seja, cosiderado que o desvio padrão da variável a população é igual ao desvio padrão da variável a amostra (suposição razoável para grades amostras). b. - Pequeas amostras (até 30 elemetos) Nestes casos a aproximação do item b. ão será viável. Terá que ser feita uma correção a distribuição ormal padrão (Z) através da distribuição t de Studet. Esta distribuição já é cohecida (ver texto sobre Estimação de Parâmetros). Trata-se de uma distribuição de probabilidades que possui média zero (como a distribuição ormal padrão, variável Z), mas sua variâcia é igual a /(-), ou seja, a variâcia depede do tamaho da amostra. Quato maior for o tamaho da amostra mais o quociete acima se aproxima de (a variâcia da distribuição ormal padrão), e mais a distribuição t de Studet aproxima-se da distribuição ormal padrão. A partir de = 30, já é possível cosiderar a variâcia da distribuição t de Studet aproximadamete igual a 3. A variável de teste será etão t - (t com - graus de liberdade): x 0 t s / 0 O desvio padrão é a raiz quadrada positiva da variâcia. Ver o Capítulo 9 Estimação de Parâmetros. Neste caso Zcrítico será NEGATIVO, já que a região de Rejeição de H 0 está à esquerda de zero. 3 E talvez este seja o motivo de se cosiderar mais de 30 elemetos como sedo uma amostra suficietemete grade.

9 INE Iferêcia Estatística Testes de Hipóteses 9 ode s é o desvio padrão amostral e os outros valores têm o mesmo sigificado da expressão aterior. Compara-se o valor da variável de teste com o valor crítico (t -,crítico que depede do Nível de Sigificâcia adotado) de acordo com o tipo de teste (as expressões abaixo também estão o Apêdice): Se H : > 0 Rejeitar H 0 se t - > t -,crítico (x > x crítico) 4 Se H : < 0 Rejeitar H 0 se t - < t -,crítico (x < x crítico) Se H : 0 Rejeitar H 0 se t - t -,crítico A correta idetificação dos valores críticos, decorrete da correta idetificação da região de rejeição de H 0, por sua vez decorrete da adequada formulação das hipóteses estatísticas, é idispesável para que o resultado obtido seja coerete Testes de Hipóteses sobre a Proporção de um dos Valores de uma Variável em uma População Neste caso há iteresse em testar a hipótese de que o parâmetro proporção populacioal () de um dos valores de uma certa variável seja maior, meor ou diferete de um certo valor. Para a realização deste teste, tal como será descrito é ecessário que DUAS codições sejam satisfeitas: - que o produto x 0 seja maior ou igual a 5; - que o produto x ( - 0 ) seja maior ou igual a 5. Ode é o tamaho da amostra e 0 é a proporção sob teste (de um dos valores da variável). Se AMBAS as codições forem satisfeitas a distribuição amostral da proporção que é biomial (uma Beroulli repetida vezes) pode ser aproximada por uma ormal. Obviamete supõe-se que a amostra é represetativa da população e foi retirada de forma aleatória, e que a variável pode assumir apeas dois valores, aquele o qual há iteresse e o seu complemetar 5. Se as codições acima forem satisfeitas a distribuição amostral da proporção poderá ser aproximada por uma ormal com: Média = 0 Desvio Padrão = 0 ( 0 Lembrado-se da expressão da variável Z: valor "média" Z "desvio padrão" O valor será a proporção amostral (que é o melhor estimador da proporção populacioal) do valor da variável deotada por p. A "média" e o "desvio padrão" são os valores defiidos acima, etão a expressão de Z será: p 0 Z 0 ( 0) Compara-se o valor da variável de teste com o valor crítico (Zcrítico que depede do Nível de Sigificâcia adotado) de acordo com o tipo de teste: Se H : > 0 Rejeitar H 0 se Z > Zcrítico (p > p crítico ) ) 4 Neste caso t -,crítico será NEGATIVO, já que a região de Rejeição de H 0 está à esquerda de zero. 5 Ou seja, que se trata de um experimeto de Beroulli. Praticamete qualquer experimeto pode ser reduzido a um experimeto de Beroulli, simplesmete isolado o valor da variável o qual há iteresse e agrupado todos os outros como seu valor complemetar.

10 INE Iferêcia Estatística Testes de Hipóteses 0 Se H : < 0 Rejeitar H 0 se Z < Zcrítico 6 (p < p crítico ) Se H : 0 Rejeitar H 0 se Z Zcrítico Exemplo 0.- Uma peça automotiva precisa ter 00 mm de diâmetro, exatamete. Foram medidas 5 peças, aleatoriamete escolhidas. Obteve-se média de 00,7 mm e variâcia de 0,0 mm. Supõe-se que a dimesão segue distribuição ormal a população. A peça está detro das especificações? Usar % de sigificâcia. Este problema já foi estudado ateriormete. Seguido o roteiro: ) Euciar as hipóteses. Coforme visto o item 0.4 o teste mais adequado para este caso é um Teste Bilateral: H 0 : = 00 mm ode 0 = 00 mm (valor de teste) H : 00 mm ) Nível de sigificâcia. O problema declara que é ecessário usar % de sigificâcia (se ão fosse especificado, outro valor poderia ser usado). 3) Variável de teste. Uma vez que a variâcia populacioal da variável é DESCONHECIDA (o valor forecido é a variâcia AMOSTRAL), e a amostra retirada apreseta apeas 5 elemetos (portato meos de 30) a variável de teste será t - da distribuição t de Studet. 4) Defiir a região de aceitação de H 0. Observe que por ser um teste Bilateral o Nível de Sigificâcia foi dividido em dois, metade para cada região de rejeição de H 0. Para ecotrar o valor crítico devemos procurar a tabela da distribuição de Studet, a liha correspodete a - graus de liberdade, ou seja, em 5 - = 4 graus de liberdade. O valor da probabilidade pode ser visto a figura ao lado: os valores críticos serão t 4;0,005 e t 4;0,995 os quais serão iguais em módulo. E o valor de t -,crítico será igual a,977 (em módulo). 5) Através dos valores da amostra avaliar o valor da variável. Neste poto é preciso ecotrar o valor da variável de teste: x 0 t s / O valor de teste 0 é igual a 00 mm, a média amostral x vale 00,7 mm, o tamaho de amostra é igual a 5 e o desvio padrão amostral s é a raiz quadrada de 0,0 mm. Substituido a equação acima: x 0 00,7 00 t t5 t4 7, etão t 4 = 7, s / 0,0/ 5 6) Decidir pela aceitação ou rejeição de H 0. Como se trata de um teste bilateral: Rejeitar H 0 se t - t -,crítico Como t 4 = 7, > t -,crítico = t 4,0,995 =,977 REJEITAR H 0 a % de Sigificâcia (há % de chace de erro) 6 Neste caso Zcrítico será NEGATIVO, já que a região de Rejeição de H 0 está à esquerda de zero.

11 INE Iferêcia Estatística Testes de Hipóteses 7) Iterpretar a decisão o cotexto do problema. Há provas estatísticas suficietes de que a dimesão da peça ão está detro das especificações 7. Exemplo 0. - Um ovo protocolo de atedimeto foi implemetado o Baco RMG, visado reduzir o tempo que as pessoas passam a fila do caixa. O protocolo será cosiderado satisfatório se a média do tempo de fila for meor do que 30 miutos. Supoha que o tempo que 35 clietes (selecioados aleatoriamete) passaram a fila foi moitorado, resultado em uma média de 9 miutos e desvio padrão de 5 miutos. O protocolo pode ser cosiderado satisfatório a 5% de sigificâcia? Este problema já foi estudado ateriormete. Seguido o roteiro do Apêdice. ) Euciar as hipóteses. Coforme visto o item 0.4 o teste mais adequado para este caso é um Teste Uilateral à Esquerda: H 0 : = 30 ode 0 = 30 (valor de teste) H : < 30 ) Nível de sigificâcia. O problema declara que é ecessário usar 5%. 3) Variável de teste. Uma vez que a variâcia populacioal da variável é DESCONHECIDA (o valor forecido é o desvio padrão AMOSTRAL), mas a amostra retirada apreseta 35 elemetos (portato mais de 30) a variável de teste será Z da distribuição ormal. 4) Defiir a região de aceitação de H 0. Observe que por ser um teste Uilateral à Esquerda o Nível de Sigificâcia está todo cocetrado em um dos lados da distribuição, defiido a região de rejeição de H 0. Para ecotrar o valor crítico devemos procurar a tabela da distribuição ormal, pela probabilidade acumulada 0,95. Ou procurar a probabilidade complemetar 0,05 e mudar o sial do valor ecotrado, pois o Zcrítico aqui é meor do que zero. O valor crítico será igual a -,645. 5) Através dos valores da amostra avaliar o valor da variável. Neste poto é preciso ecotrar o valor da variável de teste: x 0 Z s / O valor de teste 0 é igual a 30, a média amostral x vale 9, o tamaho de amostra é igual a 35 e o desvio padrão amostral s é 5. Substituido a equação acima: x Z,83 s / 5/ 35 6) Decidir pela aceitação ou rejeição de H 0. Como se trata de um teste Uilateral à Direita: Rejeitar H 0 se Z < Zcrítico 7 Cuidado com os casos de FRONTEIRA, em que o valor da variável de teste é muito próximo do valor crítico. Nesses casos a rejeição ou aceitação de H 0 pode ocorrer por acaso. Sempre que apresetar o resultado recomede que uma ova amostra seja retirada para avaliar ovamete o problema. Mas este caso rejeita-se H 0 com folga.

12 INE Iferêcia Estatística Testes de Hipóteses Como Z = -,85 > Zcrítico = -,645 ACEITAR H 0 a 5% de Sigificâcia (há 5% de chace de erro) 7) Iterpretar a decisão o cotexto do problema. Não há provas estatísticas suficietes para cocluir que o protocolo tem um desempeho satisfatório. EX Cerca de 000 formulários de pedidos de compra estão sedo aalisados. Os clietes podem ficar isatisfeitos se houver erros os formulários. Neste caso admite-se que a proporção máxima de formulários com erros seja de 5%. Supoha que detre os 000 formulários 7% apresetavam erros. A proporção máxima foi ultrapassada a % de sigificâcia? Este problema já foi estudado ateriormete. Seguido o roteiro do Apêdice: ) Euciar as hipóteses. Coforme visto o item 0.4 o teste mais adequado para este caso é um Teste Uilateral à Direita: H 0 : = 5% ode 0 = 5% (valor de teste) H : > 5% ) Nível de sigificâcia. O problema declara que é ecessário usar % de sigificâcia (se ão fosse especificado, outro valor poderia ser usado). 3) Variável de teste. Como se trata de um teste de proporção é ecessário verificar o valor dos produtos: x 0 = 000 x 0,05 = 00 e x ( - 0 ) = 000 x 0,95 = 900. Como ambos são maiores do que 5 é possível fazer uma aproximação pela ormal, e a variável de teste será Z. 4) Defiir a região de aceitação de H 0. Observe que por ser um teste Uilateral à Direita o Nível de Sigificâcia está todo cocetrado em um dos lados da distribuição, defiido a região de rejeição de H 0. Para ecotrar o valor crítico devemos procurar a tabela da distribuição ormal, pela probabilidade acumulada 0,0 (o Zcrítico aqui é maior do que zero). O valor crítico será igual a,36. 5) Através dos valores da amostra avaliar o valor da variável. Neste poto é preciso ecotrar o valor da variável de teste: p 0 Z 0 ( 0) O valor de teste 0 é igual a 0,05 (5%), a proporção amostral p vale 0,07 (7%), e o tamaho de amostra é igual a 000. Substituido a equação acima: p 0 0,07 0,05 Z 4,04 0 ( 0) 0,05(0,95) 000 6) Decidir pela aceitação ou rejeição de H 0. Como se trata de um teste Uilateral à Esquerda: Rejeitar H 0 se Z > Zcrítico Como Z = 4,04 > Zcrítico =,36

13 INE Iferêcia Estatística Testes de Hipóteses 3 REJEITAR H 0 a % de Sigificâcia (há % de chace de erro) 7) Iterpretar a decisão o cotexto do problema. Há provas estatísticas suficietes de que a proporção está acima do máximo admitido 8. Provavelmete os vededores/compradores precisarão passar por ovo treiameto Teste de difereças etre as Proporções de um dos Valores de uma Variável em duas Populações idepedetes Frequetemete precisamos avaliar se a proporção de um dos valores de certa variável em uma população apreseta uma difereça sigificativa da mesma proporção em outra população (ou seja, comparar duas populações idepedetes). Por exemplo, se a proporção de eleitores favoráveis a um cadidato em uma região de SC é diferete da proporção em outra região. Temos uma situação etão em que queremos realizar um teste de difereça etre duas proporções populacioais, que chamaremos e. Neste caso há iteresse em testar a hipótese de que a difereça etre o parâmetro proporção populacioal de um dos valores de uma certa variável, em duas populações idepedetes ( ) seja maior, meor ou diferete de um certo valor (que chamaremos 0 ), a partir dos dados coletados em duas amostras aleatórias das respectivas populações. Vamos chamar as proporções amostrais do valor de iteresse de p e p, e os respectivos tamahos de amostra de e. Para a realização deste teste, tal como será descrito é ecessário que QUATRO codições sejam satisfeitas: - que o produto x p seja maior ou igual a 5; que o produto x ( - p ) seja maior ou igual a 5. - que o produto x p seja maior ou igual a 5; que o produto x ( - p ) seja maior ou igual a 5. Se TODAS as codições forem satisfeitas as distribuições amostrais das proporções, que são biomiais, podem ser aproximadas por uma ormal. Obviamete supõe-se que as amostras são represetativas das populações e foram retiradas de forma aleatória, e que a variável pode assumir apeas dois valores, aquele o qual há iteresse e o seu complemetar. Se as codições acima forem satisfeitas a distribuição amostral da difereça etre as proporções poderá ser aproximada por uma ormal com: Média = Desvio Padrão = ( ) ( ) Ode 0 é o valor da difereça etre as proporções populacioais e que queremos testar 9. Como ão cohecemos e vamos estimá-las através das proporções amostrais, assim o "desvio padrão" passa a ser: p Desvio Padrão = ( p) p ( p) valor "média" Lembrado-se da expressão da variável Z: Z "desvio padrão" O valor será a difereça etre as proporções amostrais do valor da variável, deotada por p - p. A "média" e o "desvio padrão" são os valores defiidos acima, etão a expressão de Z será: 8 Este NÃO é um caso de froteira. 9 Usualmete 0 é igual a zero, queremos saber se há qualquer difereça sigificativa etre as proporções.

14 INE Iferêcia Estatística Testes de Hipóteses 4 p p 0 Z p ( p) p ( p) Compara-se o valor da variável de teste com o valor crítico (Zcrítico que depede do Nível de Sigificâcia adotado) de acordo com o tipo de teste: Se H : > 0 Rejeitar H 0 se Z > Zcrítico Se H : < 0 Rejeitar H 0 se Z < Zcrítico 0 Se H : 0 Rejeitar H 0 se Z Zcrítico EX Uma lei extremamete polêmica está em tramitação a Assembleia Legislativa de Sata Cataria. Parece que homes e mulheres apresetam opiiões divergetes. Para avaliar se os dois grupos apresetam proporções de favoráveis diferetes realizou-se uma pesquisa, em que foi etrevistada uma amostra de 00 homes e uma amostra de 300 mulheres de todo o estado. Na amostra de homes 50% declaram-se favoráveis à lei, equato que a amostra das mulheres houve 47% de favoráveis. Usado 5% de sigificâcia, há difereça etre as proporções populacioais de favoráveis os dois grupos? Chamamos a população masculia de grupo e a femiia de. Há iteresse em verificar apeas se as proporções populacioais de favoráveis são diferetes, ou seja, se a difereça etre elas é igual a zero: etão 0 = 0. O teste será bilateral, pois ão iteressa qual das proporções será maior ou meor. Seguido o roteiro do Apêdice: ) Euciar as hipóteses. Rearrajado as hipóteses: H 0 : = 0 ode 0 = 0 H 0 : H : 0 H : ) Nível de sigificâcia. O problema declara que é ecessário usar 5% de sigificâcia. 3) Variável de teste. Como se trata de um teste de difereça etre proporções é ecessário verificar o valor dos produtos: x p = 00 x 0,5 = 00 x ( - p ) = 00 x 0,50 = 00. x p = 300 x 0,47 = 47 x ( - p ) = 300 x 0,53 = 53. Como todos são maiores do que 5 é possível fazer uma aproximação pela ormal, e a variável de teste será Z. 4) Defiir a região de aceitação de H 0. Observe que por ser um teste Bilateral o Nível de Sigificâcia foi dividido em dois, metade para cada região de rejeição de H 0. Para ecotrar o valor crítico devemos procurar a tabela da distribuição ormal padrão pela probabilidade 0,05 e 0,975 (0,95+ 0,05) O valor da probabilidade pode ser visto a figura ao lado: os valores críticos serão Z 0,05 e Z 0,975 os quais serão iguais em módulo. P(Z > Z crítico )= 0,05. Etão Z crítico será igual a,96 (em módulo). 5) Através dos valores da amostra avaliar o valor da variável. Neste poto é preciso ecotrar o valor da variável de teste: 0 Neste caso Zcrítico será NEGATIVO, já que a região de Rejeição de H 0 está à esquerda de zero.

15 INE Iferêcia Estatística Testes de Hipóteses 5 p p 0 Z p ( p) p ( p) O valor de teste 0 é igual a 0, a proporção amostral p vale 0,5 (50%), a proporção amostral p vale 0,47 (47%), o tamaho de amostra é igual a 00, e o tamaho de amostra é igual a 300. Substituido a equação acima: p p 0 0,5 0,47 0 Z 0,6577 p ( p ) p ( p ) 0,5 (0,5) 0,47 0, ) Decidir pela aceitação ou rejeição de H 0. Como se trata de um teste Bilateral: Rejeitar H 0 se Z > Zcrítico Como Z = 0,6577 < Zcrítico =,96 ACEITAR H 0 a 5% de Sigificâcia (há 5% de chace de erro) 7) Iterpretar a decisão o cotexto do problema. Não há provas estatísticas suficietes que idiquem difereças as proporções de favoráveis as populações de homes e mulheres Teste do Qui-Quadrado de idepedêcia O teste do Qui-Quadrado está viculado à aálise bidimesioal de variáveis qualitativas. No Capítulo 3 de INE700 estudamos as tabelas de cotigêcias e o coeficiete de cotigêcia modificado, que permitia mesurar a força do relacioameto etre duas variáveis qualitativas. Vamos rever algus daqueles coceitos ates de apresetar o teste do Qui-Quadrado de idepedêcia Variáveis qualitativas e tabelas de cotigêcia É comum haver iteresse em saber se duas variáveis quaisquer estão relacioadas, e o quato estão relacioadas, seja a vida prática, seja em trabalhos de pesquisa, por exemplo: - se a satisfação com um produto está relacioada à faixa etária do cosumidor; - o quato o ível de pluviosidade em uma certa região ifluecia a produtividade de uma cultura agrícola; - se a fução exercida por uma pessoa em uma orgaização está associada a seu sexo. A Aálise Bidimesioal (vista o Capítulo 3, em INE700) propõe-se a tetar respoder as pergutas do parágrafo aterior. As duas variáveis abordadas podem ser qualitativas ou quatitativas, e para cada tipo haverá técicas apropriadas. Variáveis Qualitativas são as variáveis cujas realizações são atributos, categorias. Como exemplo de variáveis qualitativas tem-se: sexo de uma pessoa (duas categorias, masculio e femiio), grau de istrução (aalfabeto, primeiro grau icompleto, etc.), opiião sobre um assuto (favorável, desfavorável, idiferete). Em estudos sobre variáveis qualitativas é extremamete comum registrar as frequêcias de ocorrêcia de cada valor que as variáveis podem assumir, e quado há duas variáveis evolvidas é comum registrar-se a frequêcia de ocorrêcia dos cruzametos etre valores: por exemplo, quatas

16 INE Iferêcia Estatística Testes de Hipóteses 6 pessoas do sexo masculio são favoráveis a uma certa proposta de lei, quatas são desfavoráveis, quatas pessoas do sexo femiio são favoráveis. E, para facilitar a aálise dos resultados estes resultados costumam ser dispostos em uma Tabela de Cotigêcias. A Tabela de Cotigêcias relacioa os possíveis valores de uma variável qualitativa com os possíveis valores da outra, registrado quatas ocorrêcias foram verificadas de cada cruzameto. Exemplo Seja a tabela de cotigêcias abaixo, que relacioa as fuções exercidas e o sexo de 474 fucioários de uma orgaização. Fução Sexo Escritório Serviços gerais Gerêcia Total Masculio Femiio Total Fote: hipotética Podemos apresetar os percetuais calculados em relação aos totais das coluas: Fução Sexo Escritório Serviços gerais Gerêcia Total Masculio 43,5% 00% 88,0% 54% Femiio 56,75% 0%,90% 46% Total 00% 00% 00% 00% Fote: hipotética Seria iteressate saber se as duas variáveis são estatisticamete depedetes, e o quão forte é esta associação. Repare que os percetuais de homes e mulheres em cada fução são diferetes dos percetuais margiais (de homes e mulheres o total de fucioários), sedo que em duas fuções as difereças são bem grades. O Teste do Qui-Quadrado é uma das ferrametas estatísticas mais utilizadas quado se deseja estudar o relacioameto etre duas variáveis QUALITATIVAS. Permite verificar se duas variáveis qualitativas são idepedetes, se as proporções de ocorrêcia dos valores das variáveis observadas estão de acordo com o que era esperado, etc. Neste texto haverá iteresse em usar o teste para avaliar se duas variáveis qualitativas são idepedetes. Como todo teste de hipóteses o Teste do Qui-Quadrado cosiste em comparar os valores observados em uma amostra com os valores de uma referêcia (referêcia esta que supõe que a hipótese ula seja válida). As frequêcias observadas da variável são represetadas em uma tabela de cotigêcias, e a Hipótese Nula (H 0 ) do teste será que as duas variáveis ão diferem em relação às frequêcias com que ocorre uma característica particular, ou seja, as variáveis são idepedetes, que será testada cotra a Hipótese Alterativa (H ) de que as variáveis NÃO SÃO idepedetes. O teste pode ser realizado porque o grau de depedêcia pode ser quatificado descritivamete através de uma estatística, que se chama justamete Qui-Quadrado ( ), cuja expressão é: O roteiro deste teste está o apêdice.

17 INE Iferêcia Estatística Testes de Hipóteses 7 L C O ij Eij j Eij i totalda liha i totalda colua j E ij totalgeral Ode - E ij é a frequêcia esperada, sob a codição de idepedêcia etre as variáveis, em uma célula qualquer da tabela de cotigêcias. TODAS as frequêcias esperadas precisam ser MAIORES OU IGUAIS A 5 para que o resultado do teste seja válido. - O ij é a frequêcia observada em uma célula qualquer da tabela de cotigêcias. - L é o úmero total de lihas da tabela de cotigêcias (úmero de valores que uma das variáveis pode assumir) - C é o úmero total de coluas da tabela (úmero de valores que a outra variável pode assumir). Etão, para cada célula da tabela de cotigêcias calcula-se a difereça etre a frequêcia observada e a esperada. Para evitar que as difereças positivas aulem as egativas as difereças são elevadas ao quadrado. E para evitar que uma difereça grade em termos absolutos, mas pequea em termos relativos, "iflacioe" a estatística, ou que uma difereça pequea em termos absolutos, mas grade em termos relativos, teha sua ifluêcia reduzida, divide-se o quadrado da difereça pela frequêcia esperada. Somam-se os valores de todas as células e obtêm-se o valor da estatística: quato maior, mais o Observado afasta-se do Esperado, portato maior a depedêcia. Sob a hipótese de idepedêcia a estatística terá distribuição Qui-Quadrado, uma distribuição assimétrica, que tem valores diferetes depededo do seu úmero de graus de liberdade. Figura - Distribuição Qui-Quadrado com, 5, 0, 0 e 30 graus de liberdade Se isso ão ocorrer recomeda-se agrupar as categorias (de uma ou outra variável, ou de ambas) até obter todas as frequêcias pelo meos iguais a 5.

18 INE Iferêcia Estatística Testes de Hipóteses 8 A figura 4 mostra as curvas da distribuição Qui-Quadrado para, 5, 0, 0 e 30 graus de liberdade. Observe que as figuras são assimétricas, e como variam de forma depededo do úmero de graus de liberdade da estatística. O Teste do Qui-Quadrado para avaliar se duas variáveis são idepedetes será UNILATERAL: ou seja a Hipótese Nula será rejeitada se > crítico, para um certo úmero de graus de liberdade. Por exemplo, para o caso em que há 3 graus de liberdade, e o Nível de Sigificâcia fosse de 5% (a região de Rejeição de H 0 ficará À DIREITA), o valor crítico seria: O valor crítico para a estatística para 5% de Sigificâcia e 3 graus de liberdade será igual a 7,8. Se for maior do que 7,8 (para 3 graus de liberdade) deve-se rejeitar a Hipótese Nula (H 0 ) de que as variáveis são idepedetes. Figura - Distribuição Qui-Quadrado para 3 graus de liberdade, com = 0,05 O úmero de graus de liberdade da estatística é calculado da seguite forma: graus de liberdade = (L - ) (C - ) Sedo o úmero de lihas e o úmero de coluas referetes à tabela de cotigêcias (o úmero de valores que cada variável pode assumir). O úmero de graus de liberdade assume este valor porque para calcular as frequêcias esperadas ão é ecessário calcular os valores de TODAS as células, as últimas podem ser calculadas por difereça já que os totais são fixos. Por exemplo, para duas variáveis que somete podem assumir valores cada, o úmero de graus de liberdade seria igual a [(-)(-)]: bastaria calcular a frequêcia esperada de uma célula e obter as outras por difereça em relação ao total. Exemplo Para o cojuto do Exemplo 0.5, supodo que os resultados são uma amostra aleatória, verificar se as variáveis são idepedetes a % de sigificâcia. Seguido o roteiro que está o Apêdice: ) Euciar as Hipóteses: H 0 : as variáveis sexo e fução são idepedetes H : as variáveis sexo e fução ão são idepedetes ) Nível de sigificâcia: determiado pelo problema, = 0,0; - = 0,99 3) Retirar as amostras aleatórias e motar a tabela de cotigêcias (isso já foi feito): Fução Sexo Escritório Serviços gerais Gerêcia Total Masculio Femiio Total Fote: hipotética Na tabela acima ecotram-se os totais margiais e o total geral: L = total Masculio = 58 L = total Femiio = 6 C = total Escritório = 57 C = total S.Gerais = 7 C3 = total gerêcia = 84 N = total geral =474 Repare que somado os totais das lihas o resultado é o total geral, e que somado os totais das coluas o resultado é o total geral também. 4) Calcular as frequêcias esperadas:

19 INE Iferêcia Estatística Testes de Hipóteses 9 Calculado as frequêcias esperadas de acordo com a fórmula vista ateriormete: Masculio - Escritório E = (58 363)/ 474 = 97,58 Masculio - Serviços Gerais E = (58 7)/ 474 = 4,70 Masculio - Gerêcia E = (58 84)/ 474 = 45,7 Femiio - Escritório E = (6 363)/ 474 = 65,4 Femiio - Serviços Gerais E = (6 7)/ 474 =,30 Femiio - Gerêcia E = (6 84)/ 474 = 38,8 Observe que os resultados são os mesmos obtidos o Exemplo 3.. 5) Calculado a estatística para cada célula: Agora podemos calcular as difereças etre as frequêcias e as demais operações, que serão mostradas as tabelas a seguir. O - E Fução Sexo Escritório Serviços gerais Gerêcia Masculio 57-97,58 7-4, ,7 Femiio 06-65,4 0 -, ,8 (O-E) Fução Sexo Escritório Serviços gerais Gerêcia Masculio 646,9 5, ,67 Femiio 646,9 5, ,67 Fialmete: (O-E) /E Fução Sexo Escritório Serviços gerais Gerêcia Masculio 8,336 0,30 7,490 Femiio 9,956,304 0,89 Agora podemos somar os valores: = 8, ,30 + 7, ,956 +, ,89 = 79,7 Os graus de liberdade: (úmero de lihas -)x(úmero de coluas - ) = ( -)(3-)= Etão = 79,7 6) O crítico será: procurado a tabela do Apêdice, ou em um programa, para graus de liberdade e 99% de cofiaça (% de sigificâcia):,crítico = 6,63 Ver figura abaixo, 7)8) Como é maior do que,crítico REJEITAMOS H 0 a % de sigificâcia. HÁ evidêcia estatística suficiete que idicam que as variáveis fução e sexo ão são idepedetes. Isso cofirma ossas suspeitas iiciais, devido às grades difereças as frequêcias da tabela. É importate ressaltar que ao calcularmos o Coeficiete de Cotigêcia Modificado para os mesmos dados (Exemplo 3.4), obtivemos um valor igual a 0,54 (idicado uma associação moderada para forte). Ele pode ser usado em cojuto com o teste do Qui-Quadrado. O teste do Qui-Quadrado provou que há associação, e o coeficiete a quatificou.

20 INE Iferêcia Estatística Testes de Hipóteses Testes de difereças etre as médias de uma variável em duas populações (testes t) É extremamete comum comparar as médias de uma variável QUANTITATIVA em duas populações 3, através das médias de duas amostras aleatórias de valores da variável retiradas destas populações, geralmete com um dos dois objetivos abaixo: - comparar as médias dos valores da variável proveietes do MESMO grupo, mas medidas em ocasiões diferetes (estudos do tipo ates-depois), procurado verificar se houve difereça; - comparar as médias proveietes de grupos DISTINTOS (INDEPENDENTES), para verificar se a variável possui a mesma média as duas populações. Estes testes são TESTES PARAMÉTRICOS. Exigem que uma das duas codições abaixo seja satisfeita: - sabe-se, ou é razoável supor, que a variável de iteresse segue uma distribuição ormal em ambas as populações: isso sigifica que a distribuição amostral das médias também será ormal, permitido realizar a iferêcia estatística paramétrica. - as distribuições da variável as populações são descohecidas, mas as amostras retiradas destas populações são cosideradas suficietemete grades 4 o que, de acordo com o Teorema Cetral do Limite, permite cocluir que a distribuição amostral das médias é ormal. Supõe-se também que as amostras são represetativas das populações e foram retiradas de forma aleatória. O teste t para amostras pareadas será visto o item Se os grupos forem idepedetes é preciso avaliar se as variâcias populacioais são cohecidas. Se forem, deve ser utilizado o teste Z para amostras idepedetes (item 0.6.). Se ão forem cohecidas é preciso avaliar se podem ser cosideradas iguais ou ão: isso será feito através do teste F de difereça etre variâcias (o item 0.6.3). Fialmete, o item será apresetado o teste t para amostras idepedetes: se o teste F (item 0.6.3) idicar que as variâcias podem ser cosideradas iguais a variável de teste t terá + - graus de liberdade (ode e são os tamahos das amostras); caso cotrário a variável de teste t terá graus de liberdade ( é calculado através de uma expressão que evolve os valores dos desvios padrões amostrais e os próprios tamahos de amostra). A Figura 3 mostra os possíveis cursos de ação. 3 Aliás, é muito comum comparar as médias de vários grupos, o que cosiste um capítulo especial da Estatística a ANÁLISE DE VARIÂNCIA (ANOVA) que ão será vista esta disciplia. 4 Há muita cotrovérsia a respeito do que seria uma amostra suficietemete grade, mas geralmete uma amostra com pelo meos 30 elemetos costuma ser cosiderada grade o bastate para que a distribuição amostral da média possa ser aproximada por uma ormal.

21 INE Iferêcia Estatística Testes de Hipóteses Variável de iteresse quatitativa Duas amostras SIM Relacioadas? NÃO Teste t para amostras pareadas Avaliar variâcias populacioais SIM Cohecidas? NÃO Teste Z para amostras idepedetes Teste F de difereça etre variâcias Usar Z como variável de teste SIM Variâcia semelhates? NÃO Teste t para amostras idepedetes Teste t para amostras idepedetes Usar t com + - graus de liberdade Usar t com graus de liberdade Figura 3 - Teste de difereça etre médias - resumo Teste t para amostras pareadas Os resultados das amostras são relacioados a segudo algum critério, acarretado em que as amostras precisam ter o mesmo tamaho. Calculam-se as difereças etre cada par de valores, obtedo uma úica amostra com difereças. O roteiro para a realização deste tipo de teste está a págia 5 do Apêdice. EX Dez cobaias foram submetidas ao tratameto de egorda com certa ração. Os pesos em gramas, ates e após o teste são dados a seguir (supõe-se que proveham de distribuições ormais). A % de sigificâcia, podemos cocluir que o uso da ração cotribuiu para o aumeto do peso médio dos aimais?

22 INE Iferêcia Estatística Testes de Hipóteses Cobaia Ates Depois Trata-se de uma situação em que queremos comparar as MÉDIAS DE UMA VARIÁVEL EM DUAS distribuições ormais, supodo que se trata da MESMA população, mas em dois mometos diferetes: ates e após um tratameto de egorda. Há iteresse em verificar se a dieta cotribuiu para o aumeto do peso médio dos aimais: ou seja, queremos verificar se a média de peso ates do tratameto é MENOR do que a média de peso após o tratameto (se a dieta fez efeito os aimais estarão em média mais pesados ao fial do tratameto). Reparem que é exigido que se tome uma decisão, o que cofigura um problema de TESTE DE HIPÓTESES. Iremos etão aplicar um TESTE DE DIFERENÇAS ENTRE AS MÉDIAS DE UMA VARIÁVEL EM POPULAÇÕES. E como as amostras são relacioadas (MESMA POPULAÇÃO: ANTES E DEPOIS), usaremos o teste t para amostras pareadas.. Supõe-se que se ambas as distribuições populacioais são ormais a distribuição da difereça etre os valores também será. ) Euciar as hipóteses De acordo com o que foi dito acima queremos verificar se a média ates é meor do que a média depois; o melhor poto de partida, que servirá para a defiição da hipótese H 0, é que a dieta NÃO FAZ EFEITO, ou seja, as médias ates e após o tratameto são iguais (costumamos colocar em H 0 o CONTRÁRIO do que queremos provar), ou seja, a DIFERENÇA ENTRE AS MÉDIAS DEVE SER SUPOSTA IGUAL A ZERO, teremos etão: H0 : d 0 ode d ates depois H : d 0 ) Estabelecer o ível de sigificâcia ou ível de cofiaça. Coforme foi estabelecido o euciado do problema: 0,0 0,99 3) Idetificar a variável de teste. No presete problema temos uma amostra de apeas 0 elemetos. Como a amostra tem meos de 30 elemetos a variável de teste que será utilizada será a variável t - da distribuição t de Studet. 4) Defiir a região de aceitação de H 0, de acordo com o tipo de teste e variável. Trata-se de um teste uilateral à esquerda (com % de sigificâcia), e a variável de teste é t - (a amostra tem 0 elemetos), etão o valor crítico (obtido da tabela da distribuição t de Studet) será: t t t,8 Observe a região de aceitação de H 0 : t,critico 0 ;0,0 9;0,99 9;0, 0

23 INE Iferêcia Estatística Testes de Hipóteses 3 Para valores maiores do que -,8 aceitaremos H 0 (ou seja, a dieta ão faz efeito, a difereça etre as médias é ula). Se t - for meor do que -,8 rejeitaremos H 0 (a média DEPOIS aumetou demais em relação à média ANTES da dieta para que a difereça seja devida apeas ao acaso). Claro que há uma chace de % de que vehamos a rejeitar H 0 sedo ela verdadeira. 5) Através dos valores das amostras ates e depois, calcular a difereça d i etre cada par de valores, ode d i = X ates - X depois. Para o cojuto sob aálise teremos: Cobaia Ates Depois d i d i )e 7) Calcular a difereça média e o desvio padrão da difereça média. Para o presete problema: di 66 d 6,6 gramas 0 d [( d ) / ] 88 [( 66) /0] s i i d 7,04 gramas 0 8) Calcular o valor da variável de teste. Neste problema é a variável t - : d 6,6 t t0 t9,96 (s / ) (7,04/ 0) d 9) Decidir pela aceitação ou rejeição de H 0. Coforme foi visto ateriormete, se o valor da variável de teste fosse MENOR do que -,8 a hipótese H 0 seria rejeitada: t,96 t t,8 t 9,critico 9;0, 0 Assim, REJEITAMOS H 0 a % de sigificâcia. 0) Iterpretar a decisão detro do cotexto do problema. Assim, cocluímos com 99% de cofiaça (ou uma chace de erro de %) que a dieta cotribuiu para o aumeto do peso médio dos aimais Teste Z para amostras idepedetes variâcias populacioais CONHECIDAS. Neste caso há iteresse em comparar as médias de uma variável quatitativa em dois grupos (populações) distitas, idepedetes, através de duas amostras aleatórias retiradas de cada grupo, respectivamete. Além disso, as variâcias da variável as duas populações ( e ) são cohecidas 5. O roteiro para este teste está as págias 6 e 7 do Apêdice: observe que a partir do item 3 do roteiro deve-se seguir sempre as fórmulas e procedimetos do item b., específicos para o caso em que as variâcias populacioais são cohecidas. EX.0.8 A Jabyl Circuits está avaliado o tempo de motagem de um ovo modelo de circuito em de suas uidades. Suspeita-se que o desempeho da fábrica seja pior do que o da fábrica (aquela seria mais leta). Sabe-se que a variâcia populacioal do tempo a fábrica é de,5 miutos e a fábrica de,5 miutos, além disso, supõe-se que as distribuições dos tempos podem ser cosideradas ormais. Foram coletadas duas amostras de tempos de motagem: 8 a 5 Este caso é muito raro a prática, mas a compreesão do seu procedimeto é útil.

24 INE Iferêcia Estatística Testes de Hipóteses 4 fábrica, resultado em média de,35 miutos, e 0 a fábrica, resultado em média de,85 miutos. A suspeita é procedete a % de sigificâcia? Trata-se de uma situação em que queremos comparar as MÉDIAS DE DUAS distribuições ormais, supodo que se tratam de duas populações distitas, podemos supor que as amostras são idepedetes: está sedo avaliado o tempo de motagem dos circuitos em fábricas DIFERENTES. Há iteresse em verificar se a média da população da fábrica é maior do que a de fábrica (ou seja, que leve mais tempo para motar os circuitos a fábrica, sigificado um desempeho pior). Reparem que é exigido que se tome uma decisão, o que cofigura um problema de TESTE DE HIPÓTESES. Iremos etão aplicar um TESTE DE DIFERENÇA ENTRE AS MÉDIAS DE UMA VARIÁVEL EM POPULAÇÕES. O roteiro ecotra-se as págias 6 e 7 do Apêdice. E como as amostras são idepedetes, e as variâcias populacioais são CONHECIDAS, deve-se usar o teste Z para amostras idepedetes. ) Euciar as hipóteses De acordo com o que foi dito acima queremos verificar se a média da fábrica é maior do que a da fábrica ; o melhor poto de partida, que servirá para a defiição da hipótese H 0, será cosiderar que NÃO HÁ DIFERENÇA etre as médias, ou seja, A MÉDIA DO TEMPO DE MONTAGEM NA FÁBRICA É IGUAL AO TEMPO DE MONTAGEM NA FÁBRICA (costumamos colocar em H 0 o CONTRÁRIO do que queremos provar), teremos etão: H 0 : ode e FÁBRICA FÁBRICA H : ) Estabelecer o ível de sigificâcia ou ível de cofiaça. Coforme foi estabelecido o euciado do problema: 0, 0 0, 99 3) Idetificar a variável de teste. Neste poto do roteiro é ecessário ter muito cuidado. Há 3 variáveis de teste possíveis, depededo das codições do problema, mais especificamete das variâcias das duas populações. Como as variâcias de ambas as populações são cohecidas deverá ser usada a variável Z da distribuição ormal padrão. 4) Defiir a região de aceitação de H 0, de acordo com o tipo de teste e variável. Trata-se de um teste Uilateral à Direita (com % de sigificâcia), e a variável de teste é Z etão o valor crítico (obtido da tabela da distribuição ormal padrão) será: Z crítico Z 0,36 Observe a região de aceitação de H 0 a figura abaixo:,0 Para valores de Z maiores do que,36, deve-se REJEITAR H 0, ou seja a média do tempo de motagem dos circuitos a Fábrica é maior do que a média da Fábrica (claro que há % de chace de que vehamos a rejeitar H 0 sedo ela verdadeira): as difereças etre o que era esperado e o que foi ecotrado a amostra serão cosideradas grades demais para serem casuais. 5) Calcular o desvio padrão das difereças.

25 INE Iferêcia Estatística Testes de Hipóteses 5 Como as duas variâcias são cohecidas, iremos utilizar a primeira expressão para calcular o desvio padrão das difereças que está o roteiro (o item 5 do roteiro do TESTE DE DIFERENÇA ENTRE MÉDIAS: teste Z e t para amostras idepedetes, o apêdice, letra b.) d, 5, , 664 mi 6) Calcular a variável de teste. Novamete, como as duas variâcias são cohecidas, iremos utilizar a primeira expressão para calcular o valor da variável de teste que está o roteiro (o item 5 do roteiro do teste de difereça etre as médias de uma variável em populações amostras idepedetes, o apêdice, letra b.) x x, 35, 85 Z => Z 0, 7559 d 0, 664 7)Decidir pela aceitação ou rejeição de H 0. Coforme foi visto ateriormete se o valor da variável de teste fosse maior do que,36 a hipótese H 0 seria rejeitada: Z 0,7559 Z,36 Assim, ACEITAMOS H 0 a % de sigificâcia.. 8) Iterpretar a decisão detro do cotexto do problema. Assim, cocluímos com 99% de cofiaça (ou uma chace de erro de %) que NÃO há evidêcias estatísticas suficietes para declarar que a média do tempo de motagem dos circuitos a Fábrica é maior do que a média a Fábrica. A suspeita NÃO é procedete. crítico Teste F de difereça etre variâcias. Para realizar um teste de difereça etre as médias de uma variável em populações, sedo as amostras idepedetes, e as variâcias populacioais da variável DESCONHECIDAS, é preciso avaliar se tais variâcias podem ser cosideradas iguais ou ão. Tal avaliação é ecessária, pois depededo da sua coclusão a variável de teste t terá diferetes graus de liberdade, o que implicará em valores críticos diferetes, o que iflueciará diretamete a decisão de aceitação ou rejeição da hipótese ula. Portato, é preciso realizar um teste para avaliar se há difereças etre as variâcias populacioais, a partir das variâcias amostrais. O roteiro para este teste está a págia 8 do Apêdice. As hipóteses do teste são sempre as mesmas: a hipótese ula supõe-se que as duas variâcias populacioais (estimadas a partir das respectivas variâcias amostrais) são iguais, e a hipótese alterativa declara-se que elas são diferetes (trata-se etão de um teste BILATERAL). H 0 : = H : Para realizar o teste é preciso calcular o quociete etre a maior e a meor variâcia amostral, que será chamada de s A (e, por coseguite, o tamaho de amostra associado A ) e a meor que será chamada s B (e por coseguite, o tamaho de amostra associado B ). Etão a variável de teste do teste F será: F A, B s s A B

26 INE Iferêcia Estatística Testes de Hipóteses 6 Esta variável segue uma distribuição amostral chamada F de Fisher (ou de Sedecor), tratase de uma distribuição assimétrica, que somete pode assumir valores positivos, e que possui graus de liberdade associados ao umerador e ao deomiador de um quociete. Veja a figura abaixo, de uma distribuição F com 9 e 7 graus de liberdade: Figura 4 - Distribuição F - 4 graus de liberdade o umerador e deomiador O resultado do quociete é etão comparado a um valor crítico, que será F 9,7; 0,05 : bastaria procurá-lo em uma tabela adequada (como a tabela que está a págia 3 do Apêdice, sedo 9 o úmero de graus de liberdade do umerador da estatística e 9 o úmero de graus de liberdade do deomiador da estatística). Se o resultado for maior do que o valor crítico REJEITA-SE H 0, há evidêcias estatísticas suficietes de que as variâcias populacioais da variável são diferetes: ao realizar o teste de difereça etre as médias a variável t deverá ter graus de liberdade. Se o resultado for meor, ACEITA-SE H 0, ão há evidêcia estatística suficiete de difereça etre as variâcias populacioais: ao realizar o teste de difereça etre as médias a variável t terá + graus de liberdade (ode e são os tamahos das respectivas amostras). Exemplos de aplicação do teste F serão apresetados a próxima seção Teste t para amostras idepedetes variâcias populacioais DESCONHECIDAS. Neste caso há iteresse em comparar as médias de uma variável quatitativa em dois grupos (populações) distitas, idepedetes, através de duas amostras aleatórias retiradas de cada grupo, respectivamete. Mas, as variâcias da variável as duas populações ( e ) são DESCONHECIDAS: etão é preciso verificar se tais variâcias podem ser cosideradas iguais ou ão, para defiir quatos graus de liberdade terá a variável de teste t. O roteiro para este teste está as págias 6 e 7 do Apêdice: observe que a partir do item 3 do roteiro deve-se seguir sempre as fórmulas e procedimetos do item b. ou b.3, específicos para os casos em que as variâcias populacioais são descohecidas, supostas iguais ou diferetes, respectivamete. Se as variâcias forem supostas iguais, o úmero de graus de liberdade será + (ode e são os tamahos das amostras). Se as variâcias forem supostas diferetes, o úmero de graus de liberdade será igual a, cuja expressão é: