1. Entre as funções dadas abaixo, verifique quais são transformações lineares: x y z
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- Lorenzo de Paiva Azambuja
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1 MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO E DO DESPORTO UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA VIÇOSA - MG BRASIL a LISTA DE EXERCÍCIOS DE MAT 8 I SEMESTRE DE Entre as funções dadas abaixo, verifique quais são transformações lineares: a) b) c) ; T ( x, y) = ( x, y) ; T ( x) = ( x,) T : IR RI ; (x, z) x y z Ache uma expressão para as transformações lineares T: U V sendo B base de U a) B = {(, ), (, 4)} e T(, ) = (,, ), T(, 4) = (,, ) b) B = {(,,, 4), (,,, ), (,,, ), (,,, )}, T(,,, 4) = (, ), T(,,, ) = (6, 9), T(,,, ) = (, ), T(,,, ) = (4, 6) Considere a aplicação definida por T ( x, y) = ( x + k x + k, y) Verifique em que casos T é linear: k = x ; k = ; k = ; k = y 4 Esboçar a imagem do quadrado de vértices P = (,), P = (,), P = (,), P 4 = (,) usando a transformação linear definida por Txy (, ) = ( x+ x y) Faça o desenho 5 Seja uma transformação linear definida por T (,,) = (,), T (,,) = (,) e T (,,) = (,4) a) Determine T ( x, z) b) Determine v IR tal que T ( v) = (, ) c) Determine v IR tal que T ( v) = (,) 6 Achar a matriz da transformação linear (a) sua reflexão em torno da reta y = -x (b) sua reflexão através da origem (c) Sua projeção ortogonal sobre o eixo x T : IR IR que leva um ponto (x, y) (ver figura abaixo) em: (x,y) (x,y) (x,y)
2 7 Achar a matriz da transformação linear (a) sua reflexão através do plano xy que leva um ponto (x, z) em: (b) Sua reflexão através do plano xz 8 Esboçar a imagem do retângulo de vértices (,), (,), (,) e (,), através de: a) reflexão em torno do eixo x b) compressão de um fator k = ½ na direção y c) rotação de 45 o 9 Considere, onde T ( x, z) = ( x, ) Qual é o núcleo e a imagem desta transformação linear? Neste caso, o que representam estes conjuntos geometricamente? Qual a relação entre a dimensão da imagem, a dimensão do núcleo e a dimensão do domínio da transformação? Sejam V e U espaços vetoriais e T : V U uma transformação linear Mostre que se os vetores v, v,, vn geram V, então os vetores T ( v ), T ( v ),, T ( vn ) U geram Im(T ) Se T : V W é uma transformação linear, mos tre que: a) ( T ) = { T( v) W ; v V} Im é um subespaço de W b) ( T ) = { v V; T( v) = } N é um subespaço de V Dada as TL T: IR n I R m Para cada uma delas : i Determinar o núcleo, uma base para este subespaço e a sua dimensão T é injetora? Justifique ii Determinar a ImT, uma base para este subespaço e a sua dimensão T é sobrejetora?justifique iii Quais dos seguintes vetores, (, -, ), (,, ) ou (-,, ) pertencem ao núcleo de T, na letra b a) T(x, y) = (x + x, y) b) T ( x, z) = ( x + y + z) c) T ( x, s, t) = ( x y + s + t, x + s t, x + y + s t) Seja 5 F : V IR uma transformação linear a) Se F é sobrejetora e dim N ( T ) =, qual é a dim V? b) Se F é injetora e sobrejetora, qual é a dim V? 4 Determine uma transformação linear = (,,) e cujo núcleo seja gerado pelos vetores = (,,) e e 5 Determine uma transformação linear (,,) e (,,) v = v = cuja imagem seja gerada pelos vetores 6 Determinar um operador linear do I R cuja imagem é gerada por (,, ) e (, -, )
3 7 Se a matriz de uma transformação line ar, T: C = {(,, -); (,, ), (,, )}, IR R I, tal que [ T] B C = a) Encontre a expressão de T(x, y) e a matriz [T] na base canônica b) Qual a imagem do vetor (, -) pela T? c) Se T(v) = (, 4, -), calcule v 5 nas bases B = {(-, ), (, )} e 8 Considere os operadores lineares do I R tais que: a T(x, z) = (x - y - z, y - 4z, z) b T(x, z) = (x, x - x + y - z) Verifique quais dos operadores lineares acima são isomorfismos e no que forem, determinar o isomorfismo inverso Caso negativo ache uma base para N(T) e ImT 9 Seja um operador linear tal que T (,,) = (,,), T (,,) = (,, ) e T (,,) = (,,) (a) Determine Txyz (,, ); (b) Determine a matriz de T em relação à base canônicas do I R (c) T é um isomorfismo? Se for, calcule sua inversa Seja um operador linear ta l que Txyz (,, ) = ( x yx, + y zy, z) a) Encontre [ T ] B C sendo B = {(,,), (,,), (,,)} e {(,,), (,,), (,,)} b) Se [ Tv ] () =, encontre v C C = Sejam os vetores =, v = 4 v e a matriz [ T ] (a) Determine [ T( v )] B e [ ( v ) ] B (b) Encontre T ( v ) e T ( v ) (c) Encontre ( x y) T R T,, para qualquer ( x, y) I B B = 5 onde B = { v,v } Considere a TL, T: IR IR que nas bases canônicas de I R e I R tem por matriz Encontre T(x, z) e determine [ T] B C sendo B = {(,,-), (,,), (-,,)} e C = {(,), (-,)} Dada a matriz associada à transformação linear, determine a transformação T, sendo [ T ] relação às bases C = {(,,), (,,), (,, )} e B = {(,), (,)} C B =, em
4 4 Sejam uma transformação linear, e A = B = {(,, ), (,,), (,,)} e C = {(,,), (,,), (,, )} Determine T ( x, z) 5 Seja { u = (,, -), u = (a,, ), u = (, b, c)} e T um operador do a) Para que valores de a, b, c T será um isomorfismo? b) Para que valores de a, b, c o núcleo de T terá dimensão? c) Para que valores de a, b, c o núcleo de T terá dimensão? d) A dimensão do núcleo de T pode ser? 6 Seja a matriz de T em relação as bases I R tal que ImT = [u, u,u ] uma transformação linear que dobra o comprimento do vetor u = (,) e triplica o comprimento do vetor v = (,), sem alterar as direções nem inverter os sentidos a) Determine T ( x, y) b) Qual é a matriz do T operador na base {,), (,)} ( 7 Verifique se o vetor v dado é autovetor da correspondente matriz A : 4 a) v = (,), A = v = (,,), A = 8 Determine os autovalores e os autovetores das seguintes transformações lineares: a) b), onde T ( x, y) = ( x + x + 4y), onde T ( x, z) = ( x + y + z,y + z,y + z) 9 Determine o operador linear respectivamente, aos autovalores = (,) cujos autovalores são = v = (, v e ) Suponha que λ, λ sejam autovalores distintos e diferentes de zero de T: a Os autovetores v e v correspondentes são LI b T(v ) e T(v ) são LI λ e λ =, associados, IR IR Mostre que: Determine o polinômio característico, os autovalores e os autovetores de cada matriz abaixo:, 5, Procure observar neste exercício, as seguintes propriedades: (a) Se um operador, 4 T : V V admite λ = como autovalor, então T não é inversível; (b) Uma matriz A e sua transposta T A possuem os mesmos autovalores; (c) Os autovalores de uma matriz triangular(ou diagonal) são os elementos da diagonal principal 4
5 Seja T um op linear do I R e a matriz de T em relação a base canônica, [T] = 5 a Encontre o polinômio característico de T, os autovalores de T e os autovetores correspondentes b Ache T B B onde B = {(,, ), (, -, ), (,, )} O que você obser vou? Mostre que a matriz A = é diagonalizável 4 Verifique se a transformação linear T: IR IR dada por T ( x, z) = ( x, x y + z) é diagonalizável Caso a resposta seja positiva, indique a matriz diagonal de T e a base em relação a qual T é diagonalizável 5 Seja T um operador linear de IR em IR Sabendo que T duplica o vetor (, -) e triplica o vetor (,) sem alterar o sentido deles, determine Txy (, ) A transformação T é diagonalizável? Justifique sua resposta Se for, dê a base do base 6 Sejam A = IR com relação à qual a matriz de T é diagonal, bem como escreva a matriz de T com relação a esta e B =, matrizes inversíveis a Encontre os autovalores e os autovetores de AB e de BA O que você observa? b Motivado pelos itens anteriores, mostre que: se A e B são matrizes inversíveis de mesma ordem, os autovalores de AB e BA são os mesmos E se λ é um autovalor de AB com autovetor v, então λ é autovalor de BA com autovetor Bv Do mesmo modo, se λ é um autovalor de BA com autovetor w, então λ é autovalor de AB com autovetor Aw 7 Verifique se as afirmações são verdadeiras ou falsas: a Toda transformação linear sobrejetora tem obrigatoriamente núcleo de dimensão zero b Se T é uma transformação linear entre os espaços V e W e dim(v) < dim(w), então T não pode ser sobrejetora c Seja T: V V uma TL Se dim(v) = n, então uma condição suficiente para que T seja diagonalizável é que T tenha n autovalores distintos d a, b, c reais, T: IR IR tal que T(x, z) = ax + by + cz, é uma transformação linear 8 O teorema de Cayley-Hamilton afirma que uma matriz quadrada A é uma raiz de seu polinômio característico, isto n n é, se p(λ ) = a + a λ + a λ + + a λ = então a + a A + a A + + a A = o a) Verifique este resultado para: 6 e n o b) Este teorema proporciona um método para calcular inversa e potência de uma matriz Verifique que isto é verdade tomando por exemplo uma matriz x com polinômio característico c + c λ + c λ n c) calcule agora A e A sendo A = 6 e calcule a inversa da matriz B = 5
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