TC DE MATEMÁTICA (REVISÃO) / 3ª SÉRIE E EXTENSIVO. PROFESSOR Fabrício Maia ALUNO(A): Nº TURMA: TURNO: DATA: / / COLÉGIO:

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1 TC DE MATEMÁTCA (REVSÃO) / ª SÉRE E EXTENSVO PROESSOR abrício Maia ALUNO(A): Nº TURMA: TURNO: DATA: / / COLÉGO: OSG 98/0. Os valores de b para os quais a parábola y + b tem um úico poto em comum com a reta y são: a) e d) 0 e b) e e) 0 e c) e y + b y Comparado: + b + (b ) + 0 Como as equações têm um úico poto comum, etão: 0 (b ).. 0 (b ) b b ou b b. Se f() + e g(), a solução da iequação f() > g( ) é: a) > 0 d) >, b) > 0, e) > c) > f() > g( ) + > (base > ) + > > >. Utilizado-se a tabela abaio, N log N 9 0,9,0,,8 7, , coclui-se que 7. 9 é igual a: a) d) b) e) 7 c) Tomado: 7. 9 log log 7. 9 log log 79 log.log 7. 9 (veja tabela) log., Log, (veja tabela) Logo:. O úmero de potos de iterseção dos gráficos de y log e de y log 9, sedo > 0, é: a) 0 d) b) e) c). log0 + log0 + log0 + log, é igual a: a) d) 0 b) e) 000 c) Lembre: log + log log b a c a b.c a log0 + log0 + log0 + log, log log 0 soma y.log Temos y log 9 Comparado:.log log 9 log log ( 9) 0 0 (.s) ou 9 0 Sabemos: f() log a ( > 0 e 0 < a ) ou (.s) Ari Duque de Caias Ari Washigto Soares Ari Aldeota Da 7ª Série ao Pré-Vestibular Sede Hildete de Sá Cavalcate (do Materal ao Pré-Vestibular) Rua Mosehor Catão, Av. Duque de Caias, 9 - Cetro - oe: (8).900 Av. Washigto Soares, 77 - Edso Queiroz - oe: (8) (ício das Aulas: 007) (Praça do Carmo) Clubiho do Ari - Av. Edílso Brasil Soares, - oe:(8) 78.

2 ª SÉRE E EXTENSVO k + k + +. A equação k + a) ão admite soluções. b) admite uma solução etre e. c) admite uma solução etre e. d) admite uma solução etre e 0. e) admite uma solução maior que 0. Lembre: + + p p + p + Daí k + k + k + + Substituido: k + k + k + k + Logo: + k + 7. A soma dos coeficietes do desevolvimeto de ( + ) 9 é: a) d) b) e) c) Sabemos: Se p() a + a a + a 0, com a 0. A soma dos coeficietes do poliômio é dada por p(). Assim: A soma dos coeficietes de ( + ) 9 é dada por: S coef. ( + ) 9 ( + ) 9 8. Ecotre o coeficiete de o desevolvimeto de ( + + ). Lembre: Termo geral Tp +. a p p k p. b ( + + ) [( + ) ] ( + ) 8 Termo geral 8 8 p p Tp +.. p Queremos: 8 p p 8 T Resp.: 8 9. Calcule sabedo que Lembre: Daí Agora: Resp.: 0. O úmero total de pares (, y) que satisfazem a equação ( + y ) + (y) 0 é: a) ifiito d) b) 0 e) c) Se a, b R e é par, etão: a + b 0 a b 0 ( + y ) + (y) 0 + y 0 y 0 0 ou y 0 se 0 y y ± se y 0 ± pares: (0, ), (0, ), (, 0), (, 0) OSG 98/0

3 ª SÉRE E EXTENSVO. A parábola de equação y tem vértice M e corta o eio os potos A e B. Qual a área do triâgulo ABM? a) d) b) e) c) Lembre: f() a + b + c, com a 0 Coordeadas do vértice V b a yv a ou yv f(v) Coordeadas do vértice y 0 V V 0. y V 0 y V M(0, ) Potos de iterseção com o eio. 0 ou (, 0) e B(, 0) A Logo, a área do ABM é dada por: Área DABM 0 D ABM 0 0 Área. u. a. A distâcia do vértice da parábola y ( )( ) à reta y + é: 7 a) d) 9 b) e) c) i) f() a + b + c, com a 0 Coordeadas do vértice + V yv f(v) ii) Distâcia de um poto a uma reta. a + by + c 0 d p.r a 0 + by a 0 + b + c y ( ).( ) parábola raízes: e + V y V f() ( ).( ).( ) Distâcia do vértice à reta: d. d.( ) + + ( ). Resolvedo-se a iequação log ( + ) > log ( ), obtemos : + a) < < d) b) 0 < < e) c) < Lembre: loga > loga < y (0 < base < ) y log ( + ) > log ( + ) r P( 0, y 0 ) d??? + < + < < + > 0 (C.E.) > + > 0 (C.E.) < y + 0 (, ) < < < < OSG 98/0

4 ª SÉRE E EXTENSVO terseção / / / / / () () () () () () Devemos ter: ª codição: < 0 a > 0 Resp. D a > 0 m > 0. Se o úmero compleo z i é uma das raízes da equação 0 a 0, o valor de a é: a) d) i b) e) i c) 0 a se z é raiz etão z 0 a. a ( i) 0 a [( i) ] a ( i) a i a i. A reta y a + itercepta a curva + y somete um poto. Calcule 8a. ª codição: < 0 (m + ).m. < 0 m + m + m < 0 m m + < 0 (m ) < 0 (absurdo, pois (m ) 0, m R) 7. Sejam A {,, } e f : A A defiida por f(), f() e f(). O cojuto-solução de f[f()] é: a) {) d) (,, } b) {} e) vazio c) {} A A y a + + y substituido () em (): + (a + ) + a + 8a + 0 ( + a ) + 8a + 0 (Equação do º Grau) se f(f()) f() f(f()) (.s) se f(f()) f() f(f()) (OK) se f(f()) f() f(f()) (.s) S {} 8. Seja S a soma, em radiaos, das raízes da equação + cos + cos + cos 0, [0, π]. Calcule π S. Codição: 0 (úica solução) (8a).( + a ). 0 a 8a 0 a 8a Resp.:. A codição para que o triômio m + (m + ) + seja sempre positivo, qualquer que seja, é que: a) m > 0 b) (m + ) + m < 0 c) (m ) 0 d) m, m > 0 e) Não há valores de m tais que o triômio proposto, qualquer que seja, se tore sempre positivo. órmula de Werer p + q p q cos p + cos q cos cos + cos cos 0 + cos cos. cos cos + cos cos. cos cos cos + cos cos 0 cos. cos + cos 0 cos.. cos cos ( ) 0 OSG 98/0

5 ª SÉRE E EXTENSVO cos cos cos () 0 π cos 0 + kπ π + kπ ou π π kπ cos 0 + kπ + ou π cos 0 + kπ π π se k 0 π, ou Se k,,,... raízes já ecotradas ou fora do itervalo dado. π π Raízes: π,, π π π + π + π Soma das raízes S π + + π S S Logo: π Resp.: mportate: cos( ) cos(), D f ( ) 9. A fução f() é crescete, para todo pertecete a: a), + d), b), + e) R c), + f() f() + f() + f() + Parábola v. crescete f é crescete 0. Se p e q são raízes ão-ulas de + p 8q 0, calcule p + q. Girard + p. 8q ª equação p.q 8q (como q é diferete de zero) p 8 Logo: p + q p p + q.( 8) p + q 0 Resp.: 0 p + q q p. q 8q. Quatos valores iteiros satisfazem a iequação ( 7)( ) 0? a) zero d) b) e) c) Estudo do sial iteiros:,, / /. Sobre a equação , a afirmativa correta é: a) Não tem raízes reais. b) Tem duas raízes simétricas. c) Tem duas raízes reais distitas. d) Tem duas raízes positivas. e) Tem duas raízes egativas. b ac ( 98).98.( 98) > 0 raízes reais e distitas. produto OSG 98/0

6 ª SÉRE E EXTENSVO. Seja f uma fução real tal que f( + ) (f()) e f(0) 0. Etão f() é igual a: a) 0 d) 0 b) 00 e) c) 0 Temos que: f( + ) [f()] se 0 f() [f(0)] f() 0 se f() [f()] f() 0 se f() [f()] f() 0 8 se f() [f()] f() 0. Se o domíio da fução f, defiida por f(), é o itervalo ], ]. O cojuto imagem de f é dado por: a) ] 7, ] d) [, [ b) [, 7[ e) ], ] c) ], 7]. A distâcia do cetro da circuferêcia + y 8y + 0 à bissetriz do º e º quadrates vale: a) d) b) e) c) Circuferêcia + y a by + a + b R 0 Cetro (a, b) a a b 8 b Bissetriz dos quadrates ímpares y ª y y ], ] < Agora: y < < y 7 < y 7 > y ou y < 7 y [, 7[ ª ma y mi mi y ma 7 y [, 7[ distâcia + ( ) 7. A reta y é tagete a uma circuferêcia de cetro (, 0). O raio dessa circuferêcia é: a) d) b) e) 0, c). Se f( + ) + +, R, etão f( ) vale: a) d) + b) + e) + c) + Tomado: k + k k k f(k) + + f(k) (k ) + (k ) + f(k) k k + Agora: f( ) ( ) ( ) + f( ) + Portato: f( ) + Distâcia de um poto a uma reta R ( ) + ( ) R R y 0 OSG 98/0

7 ª SÉRE E EXTENSVO 8. Se S! +! +! !, etão o dígito das uidades de S é: a) d) 7 b) e) 9 c)! ;! ;! ;! A partir de!, os resultados serão múltiplos de 0. S ! ! S α múltiplo de 0 múltiplo de 0 S + 0α dígito das uidades é. 9. O sistema liear de equações as icógitas e y k + y é impossível se, e somete se: y m a) k e m d) k Pitágoras (a ) + (b ) a a + + b b + (a + b) + a + b 0 [ (a + b)].(a + b ) (a + b) (a + b ) 8ab (a + b) ± 8ab (a + b) ± ab a + b + ab (absurdo, veja figura) a + b ab b) k e m c) k e m k + y Sistema y m Somado (k + ) m impossível k + 0 k m 0 m e) k e m. Num triâgulo retâgulo de catetos e cm, a altura relativa à hipoteusa mede, em cm: a) d) b) e) c) 0. Em um triâgulo retâgulo OAB, retâgulo em O, com OA a e OB b, são dados potos P em OA e Q em OB de tal maeira que AP PQ QB. Nestas codições o valor de é: a) ab a b b) a + b ab c) a + b d) a + b + ab e) ab + a + b Relações métricas i) a + ( ) a a ii). a.h h h f(0 ) f(0 ). Sedo f() 00 +, o valor de a) 0 d) 0 b) 0 e) 0 c) 0 Saiba: Se f() a + b, com a 0, etão: f(s) f(v) a, com s v. s v 8 é: 7 OSG 98/0

8 ª SÉRE E EXTENSVO Assim: 8 f(0 ) 8 0 f(0 ) 0 00 (coeficiete agular) igura:. Se um polígoo coveo de lados tem diagoais, etão é: a) 8 d) b) 9 e) c) 0 Lembre: órmula do úmero de diagoais ( ) 08 0 d ( ) BCE é eqüilátero α 0 ABCD é um quadrado θ 0 BC BE (lado do quadrado lado do BCE) ABE é isósceles ou 9(.s) θ O polígoo coveo cuja soma dos âgulos iteros mede 0 tem, eatamete: a) diagoais d) 0 diagoais b) 0 diagoais e) diagoais c) diagoais Lembre Soma dos âgulos iteros Si ( ) ( ) Portato: ( ) 0. 7 d 7. Na figura abaio, EG é um triâgulo retâgulo, E cm, EG cm e EP PQ QG. Etão α + β + θ é igual a: a) π b) 7π 8 c) π 9 d) π B. Na figura, ABCD é um quadrado e BCE é um triâgulo eqüilátero. A medida do âgulo AEB, em graus, é: a) 0 A D b) 9 E c) 0 d) 7 e) 90 B C EP tg α tg α α EQ tg β tg β EG tg θ tg θ Sabemos: tg β + tg θ tg (β + θ) tg β. tg θ 8 OSG 98/0

9 ª SÉRE E EXTENSVO + tg ( β + θ). tg (β + θ) β + θ Portato: α + β + θ A área compreedida etre as retas y, y e 0 é igual a: a),0 u.a d), u.a b), u.a e),0 u.a c),0 u.a y retas y 0 (eio Gráfico y) 0 D ABC Logo: 7 Área. 7 u.a. 8. A razão de uma progressão geométrica, cujos termos são os três lados de um triâgulo retâgulo é: + + a) c) b) + P.G. ; ; q q A(0, ) ; B(0, ) e C(, 0) d) + Pitágoras (q) + q q + q Dividido ambos os membros por. q + q q q 0 ± q + q Portato: + q Ateção!!! q é positivo 9. Sejam a e b úmeros reais. Se a > b > 0, a b e log (a + b) log (a b), etão a + b é igual a: 7 a) c) 9 b) d) azedo: log (a + b) a + b log (a b) y a b y Sistema: y. y + y Substituido:. y +y. y. y. y. y y y 0 Assim: a + b a b Resolvedo: a e b 7 Logo: a + b log log () 0. Se e são as raízes da equação, etão 9( + ) é igual a: a) c) b) d) 8 9 OSG 98/0

10 ª SÉRE E EXTENSVO Lembre: log i) a b a b b ii) Se loga a b log log log Tomado: log k Substituido:. k k log e k. k k+ k Comparado: k + k k + k 0 k 9 ou k Logo: ( ) O úmero de raízes de equação + cos 0 é: a) 0 d) b) e) maior do que c) Sabemos: cos, R + cos cos 0 cos, (absurdo, pois o míimo de cos é ).. O úmero de raízes da equação tg se 0, 0 < π, é: a) 0 d) b) e) maior que c) se se 0 cos se se cos 0 se ( cos ) 0 se. se 0 se 0 se 0 0 ou π p. Determie, sabedo que. 79. p p 0 (a + b) p p a. b p (Biômio de Newto) p 0 p 0. p p 79 p. ( + ). O domíio real da fução f() se para 0 < π é: a) π π b) 0 π π ou < π c) 0 < π d) π π Codição: se 0 se π π /. Seja M um cojuto de 0 elemetos. O úmero de subcojutos de M que cotêm eatamete 8 elemetos é: a) 0 d) 0 b) 90 e) 8 c) 80 M {a, a, a,..., a 0 }. A ordem dos elemetos ão altera um cojuto. º de subcojutos com 8 elemetos C 0, 8 0 OSG 98/0

11 ª SÉRE E EXTENSVO. Se C, +.A, + 00 A, etão é igual a: a) d) 0 b) 8 e) c)!.( ) C, ( )!!! A,. ( ) ( ) ()! A, ().( ) ( )! ( ) +. ( ) + 00 ()( ) ou (.s) 7. Deseja-se acodicioar em um certo úmero de caias, 90 bolihas bracas, 00 amarelas e 8 azuis, de modo que cada caia coteha bolihas de todas as cores. Calcular o úmero máimo de caias de modo que qualquer destas caias coteha, para cada cor, quatidades iguais de bolihas. úmero de caias p quatidade de bolas bracas em cada caia q quatidade de bolas amarelas em cada caia r quatidade de bolas azuis em cada caia. 90 p 00 q 8 r m.d.c. (90, 00, 8) * MDC (90, 00) 0 * MDC (0, 8) Resp.: 8. Sejam N o cojuto dos úmeros iteiros positivos e E {(,y) N ; y 0 y + 9 0} Determie o úmero de elemetos de E. y 0 y ( y ) 0 y azedo: y k Equação k 0k k y (y) ou k 9 y 9 (y) 9 Como e y são iteiros positivos, tem-se: y (,) ou y (,) ou (,) E {(,), (,), (,)} Resp.: 9. Cosidere a fução real defiida por + f(),. + Etão o valor da soma.f() +.f() +.f() f(0) é: a) 0 d) 0 b) 00 e) 0 c) 0 + f() + f() ( + ). + Agora: Soma: Soma: ( ). ( + 0). 0 Soma:..0. Soma 0 OSG 98/0

12 ª SÉRE E EXTENSVO 0. Sejam e y úmeros reais satisfazedo às equações log y + log y e y + y. Determie o valor do produto y. Tomado: y logy m log m m + m m m + 0 m Substituido a ª equação y + y ( + ) 0 0 (.s) ou (.s) ou y Resp.: 9 y. Os cojutos A e B possuem e elemetos, respectivamete. Quatas fuções de A em B tem o cojuto imagem igual a B? a) ehuma d)! b) e)! c) i) Numa fução de A em B devemos ter todos os elemetos de A associados a um úico valor em B. ii) Se o cojuto imagem é o próprio B, etão eiste um elemeto em A com duas images, pois todos os elemetos de A estão associados, o que os leva a um absurdo. Portato, ão eistem fuções de A em B sobrejetoras.. As fuções ijetoras de A {,,, } em B {,, 7, 8, 9, 0} são em úmero de: a) 70 d) b) 0 e) 0 c) Lembre: Se f é ijetora, etão: f( ) f( ) Pelo pricípio fudametal da da cotagem, cotagem, tem-se: tem-se: fuções 0 fuções ijetoras ijetoras. Para ser aprovado uma disciplia, um aluo precisa ter média maior ou igual a 0, obtida um cojuto de cico provas, sedo quatro parciais, com peso (um) cada, e uma prova eame, com peso (dois). Um certo aluo obteve em Matemática, as quatro provas parciais, otas iguais a 0, 0, 0 e 70. Esse aluo, para ser aprovado essa disciplia, deverá obter, a prova-eame, ota míima igual a: a) 0 d) b) e) 0 c) 0 Média poderada O resto da divisão do iteiro por é igual a 7. O resto da divisão por é: a) 0 d) b) e) c) 7 q q + 7 q + + (q+++) + q +, ode q q + mi q. Qual dos cico úmeros relacioados abaio é um divisor de 0. a) d) 7 b) 0 e) 0 c) 0 (.). OSG 98/0

13 ª SÉRE E EXTENSVO ( a ) divide 0 (OK) ( b ) 0. divide 0 (OK) ( c ) divide 0 (OK) ( d ) 7. ão divide 0 (problema: fator ) ( e ) 0. divide 0 (OK). A fração geratriz de,7... é: a) d) b) e) c) , Se A e B são cojutos, A (A B) é igual a: a) A d) A B b) B e) A B c) A B É fácil ver: 8. O retâgulo abaio de dimesões a e b está decomposto em quadrados. Qual o valor da razão b a? a) b) c) d) e) A B A B A (A B) A B Lembre: A B {/ A e B} Sedo a medida do lado do meor quadrado, os outros quadrados terão seus lados com as medidas idicadas a figura: Assim, a e b a Portato, b 9. A equação + a + b + c + d 0, de coeficietes reais, admite as raízes i e + i. Etão d é: a) 7 d) b) e) 0 c) Sabemos que: Se os coeficietes de um poliômio p() são reais, etão: a + bi é raiz de p() a bi também é i é raiz + i também é. + i é raiz i também é. aplicado Girard a equação:... d ( i).( + i).( + i).( i) d ( i ).(9 i ) d. d 8 0. O úmero de soluções reais da equação é: a) 0 d) b) e) c) d ( + 8) 0 0 (. serve) deomiador ulo ou ou (. serve) deomiador ulo. S {} OSG 98/0

14 ª SÉRE E EXTENSVO. Determie o úmero de soluções reais da equação log. a) Nehuma b) Uma c) Duas d) Três e) fiitas Graficamete: L Etão, a epressão dada e e log Ep. e. Prove que a b e e Prova: Tomemos: a log 0 0 a b log 0 c log 0 é igual a: c a b log0 log0 log0 b c K J H G c K J H G.. a K J y 0 y b z 0 z c o membro 0 0 KJ z y y KJ 0.. z 0 z 0 0 KJ y. Como ão eiste iterseção, a equação ão admite soluções. o membro 0 0 o membro z yz y z 0 0 yz y. Se é o maior úmero iteiro pertecete ao domíio da fução f() log, determie o valor de + +. a) b) 0 c) d) e) Domíio campo de eistêcia codição de eistêcia da fução log 0 log 0 < 0 < maior iteiro. Logo, a epressão é igual a Dado e positivo, calcule o valor de e a) 0 b) c) d) e) Sabemos que: log i) a ab b b ii) loga a logb iii) L L log e L. c.q.p.. Determie o produto das soluções reais da equação log 9.. a) b) 8 c) d) 7 e) 90 Tomemos: log k k Assim, 9. ( k ) k ( k ) k + k k + k k k + 0 k ou k 9 Portato, o produto das soluções é 7. OSG 98/0

15 ª SÉRE E EXTENSVO. Seja tal que log 0, log ( ) 0 e log ( + ) 0 ordem, em progressão aritmética. Calcule. a) b) c) 8 d) e) Temos que: log, log, log H 0 ( ) ( + ) 0 0. log ( ) 0 log 0 + log ( + ) 0 log ( ) 0 log ( + ) 0 ( ). ( + ) Tome: a a a + a + a a 0 a ou a (ão serve) Portato,. K P.A. estão, esta 8. Um prisma reto de altura igual a 9cm tem como base um triâgulo. Sabedo que dois dos lados deste triâgulo medem cm e cm e que o âgulo formado por estes lados mede o, determiar o volume do prisma. a) cm b) 9 cm c) 7 cm d) cm e) 8 cm Volume do prisma (área da base) (altura) o.. se V. 9 V. KJ. 9 7 cm 7. As dimesões de um paralelepípedo retâgulo são proporcioais a, e 7. Sabedo-se que a diagoal mede 8cm, calcule o volume do paralelepípedo. a) 0cm b) 7cm c) 7cm d) 70cm e) 87cm Diagoal (D) D ( k) + ( k) + ( 7k) 8 8k 8 k 8 k Volume (V) V V 70cm 9. A aresta, a diagoal e o volume de um cubo estão, esta ordem, em progressão geométrica. Determie a área total deste cubo. a) b) c) 9 d) 8 e) 7 aresta a diagoal a volume a P. G. (a, a, a ) ea j a. a a a a Portato, a área total será 8 u.a. 70. Uma esfera de raio r é iscrita um coe eqüilátero com geratriz de comprimeto g. Determie o valor de g r. a) b) c) 8 d) 9 e) OSG 98/0

16 ª SÉRE E EXTENSVO 7. Determie a área (em m ) do setor circular hachurado a figura abaio, sabedo que o âgulo ABC $ mede π rad e o diâmetro AB mede 8 π m. O: icetro, baricetro, circucetro, ortocetro i. g R (geratriz) g ii. r g r 7. O raio da base de um coe circular reto mede cm e sua altura π cm. Determie, em cm, o volume do cilidro circular reto de maior área lateral, iscrito o coe. a) b) 0 c) d) 0 e) 0 a) b) 8 c) 8 d) e) R. 8 π [setor] πr ABC é retâgulo cos 0 o R 8 π R.. π R.. π πr. [setor] 8m. 7. Dado um cilidro de revolução de raio r e altura h, sabese que a média harmôica etre o raio r e a altura h é e que sua área total é πm. Mostre que o raio r satisfaz a seteça r r + 0. Área (lateral do cilidro) πrh A L h tg α r π h r π ( ) Substituido, h a área lateral, vem: L NM O A L πr ( r) AL ( r r ) π QP parábola Para que A L seja máima, basta que r seja igual a abscissa do vértice da parábola. r h π V π.. π 0cm. Área total πrh + πr π rh + r () Média Harmôica rh r + h r h r Substituido em, vem: r r r + r r r KJ + r r + r (r ) r r + r r r r r r r + 0 OK () OSG 98/0

17 ª SÉRE E EXTENSVO 7. Seja o determiate D() Calcule o valor de D a) b) c) d) e) + + π K J. D() se + se cos D() cos () + se( ) π se π H G D K J D K J cos π K J + π K J + se se. cos + se 7. Determie a soma das raízes da equação: 0 + a) 0 b) c) d) e) Aplicado Chió, vem: ( ). ( + ). ( ) 0, ou Portato, a soma das raízes é. 7. Seja R a raiz positiva da equação + 0. o o Se R se A cos A, ode 0 < A < 90. Calcule o valor o o se cos de A. a) 0 b) c) 0 d) 7 e) R (Não serve) Assim, R se A o cos o se o cos A o. R se (A o o ) se (Ao o ) A o o 0 o A o o A R S + my 77. Se o sistema tem ifiitas soluções. Tm + y Determie o valor de m 8m +. a) b) 7 c) 8 d) 9 e) Sejam: r: a + b y + c 0 s: a + b y + c 0 Se r e s são coicidetes, etão: a b c a b c Assim, temos: m m m retas coicidetes ifiitas soluções. Portato, m 8m OSG 98/0

18 ª SÉRE E EXTENSVO 78. Se ( 0, y 0, z 0 ) é uma solução do sistema + y, T y + z ecotre o valor de 0 + y0 z0. a) 0 b) c) d) e) R S T 0 + y0 0 + y0 + 0y0 y + z y z Somado: + y z Cosidere a fução real defiida o cojuto dos úmeros reais ão-egativos por f() +. Determie o úmero real k, tal que f( k ) 0. a) 0 b) c) d) e) Temos que: k + k 0 k k k. k + k k. k + 0 k k 0 ok ou k k (ão serve) se k f( k ) f() Sedo a reta y a + b tagete à elipse + y, determie o valor de 8 (b a ). a) 0 b) c) d) e) Substituido a reta a equação da elipse, vem: + y + (a + ab + b ) ( + a ) + 8ab + b 0 Como a reta é tagete, etão a iterseção é um úico poto. 0 úico poto 0 R S (8ab) ( + a ). (b ) 0 a b b + a b + a 0 8a 8b (b a ) 8. Determie o valor de b para o qual a reta y + b ão itercepta os ramos da hipérbole y. a) 0 b) c) d) e) terseção ( + b) b b b + b + b b ( da iterseção) Para que ão eista iterseção, basta tomarmos b Determie o meor iteiro > 0, de modo que + a) b) 0 c) d) e) i K J Temos que: + i K J. 0 o k. 0 o k seja real positivo. (cos0 o + ise0 o ) cos (. 0 o ) + i se (. 0 o ) UM Portato, (meor iteiro positivo) 8. Ecotre o módulo do compleo Z, tal que Z i. a) b) c) d) e) Z i Z i ZERO 8 OSG 98/0

19 ª SÉRE E EXTENSVO Z. Z 0 + i Z. Z 0 + Z. Z Z reta. Quatos triâgulos eistem com vértices estes potos? 8. Se A, B e C são úmeros reais, tais que A B + C + ( + + ) + +, para todo,, calcule o valor de A + B + C. A B + C +, + + ( + + ) A ( + + ) + ( B+ C ), ( + + ) ( + + ) (A + B) + (A + C) + A Portato, A + B + C. R S T A+ B 0 A+ C 0 A R S T A / B / C 8. Determie um poliômio P() de grau que verifique a idetidade P( + ) + +. Supodo P() a + b + c, temos P( + ) a( + ) + b( + ) + c a + (a + b) + (a + b + c). Ra Ra P( + ) + + S a+ b S b 0 a+ b+ c c Logo, P() +. T 8. Que codições devem satisfazer os úmeros a, b e c para que o poliômio a + b + c seja o quadrado de um poliômio do o grau? Devemos ter a + b + c (m + ), com m 0; portato: R a m S b m c T Podemos elimiar m e e obter a relação etre a, b e c calculado b : b (m) m ac T Se ão houvessem potos colieares, o úmero de triâgulos seria C 9,. Desse úmero, devemos subtrair as combiações formadas por potos escolhidos etre os alihados, isto é, C,, pois estas combiações ão correspodem a triâgulos. Assim, o úmero de triâgulos que podemos formar é C 9, C,. 9! C 9, 8!!!!!! C,!!! Logo, C 9, C, Um químico possui 0 tipos de substâcias. De quatos modos possíveis poderá associar destas substâcias se, etre as 0, duas somete ão podem ser jutadas porque produzem mistura eplosiva? Cada mistura de das 0 substâcias correspode a uma combiação das 0 substâcias tomadas a, uma vez que ão importa a ordem das substâcias a mistura. Assim, o total de misturas seria C 0, se ão houvesse problema com ehuma mistura. Devemos, porém, subtrair desse úmero as combiações em que etrariam as duas substâcias que, se misturadas, provocam eplosão. As combiações em que etram estas duas substâcias são formadas por elas duas e mais quatro substâcias escolhidas etre as outras oito substâcias (ecluímos aquelas duas). O úmero de modos de escolher substâcias em 8 é C 8,. Cocluímos que o úmero de misturas ão eplosivas que podem ser produzidas é C 0, C 8,. C 0, 0! !!!! 8! 8 7 C 8, 70!!!! Logo, C 0, C 8, A codição é b ac e a 0 (pois m 0). 87. Na figura a seguir idicamos 9 potos, etre os quais ão há colieares, eceto os que marcamos uma mesma 9 OSG 98/0

20 89. Dê a codição sobre o iteiro positivo para que o desevolvimeto de idepedete de e ão ulo. O termo geral do desevolvimeto de T k K J kk J K J apresete um termo K J é k k k k K J H G K J k ( ) k ( ) ( ) k k Para o termo idepedete de devemos ter k 0, logo k. Como k deve ser iteiro, cocluímos que deve ser um múltiplo de. 90. Calcule a e b de modo que a fração algébrica + a + b + teha o mesmo valor umérico para todo. Devemos ter: + a + b + + a + b k + k. R S T k a 0 b k k,, logo: A resposta é a 0 e b. 9. Calcule o valor umérico de + y + y + y + y, + para e y. + y + y + y + y ( + y) + + KJ. 8 KJ TC DE REVSÃO MATEMÁTCA ª SÉRE E EXTENSVO R S T + + α 0 b. + α + α,logo a.. α a Portato, a e b. R S T 9. Qual é o valor de 9 k? k k 0 KJ α α + α a 9 k 9 k k.. k 0 KJ k 0 KJ KJ k k k k b a,logo R S T α a b este fator é igual a, portato ão altera o valor do termo. k Notado que.. 9 é o termo geral do biômio k ( + 9), cocluímos que: 9 k ( + 9) 0 (o que dá trilhão) k k 0 KJ 9. Numa ura há etiquetas umeradas, com úmeros positivos e com úmeros egativos. De quatos modos podemos escolher etiquetas diferetes tal que o produto dos úmeros elas marcados seja positivo? Teremos o produto positivo em cada caso seguite: o ) escolhedo etiquetas com úmeros positivos; ou o ) escolhedo etiquetas com úmeros egativos; ou o ) escolhedo etiquetas com úmeros positivos e com úmeros egativos. 9. O úmero é raiz dupla de P() a + b +. Determie a e b. Como admite raiz dupla, o grau da equação a + b + 0 é maior que. Etão, a 0 e cocluímos que o grau é. Há, portato, raízes. Supodo que as raízes são, e α, com α, temos pelas relações de Girard: Vamos calcular o úmero de possibilidades de cada caso (lembrado que ão importa a ordem das etiquetas). o O úmero de modos de escolher úmeros positivos, dispodo de úmeros positivos, é C,.!! C,!!! 0 OSG 98/0

21 ª SÉRE E EXTENSVO o Como temos também úmeros egativos, o úmero de modos de escolher deles é C,. o Dos positivos devemos escolher (C, ) e, para cada escolha destes, dos egativos devemos escolher também (C, ). O úmero de possibilidades deste! caso é C, C,. Como C,, temos!! possibilidades. Etão, o total de possibilidades para o produto positivo é Ecotre o coeficiete de o desevolvimeto de ( ). ( + ) 8. Quado multiplicamos ( ) pelo poliômio obtido desevolvedo ( + ) 8, o termo em resulta da adição de dois produtos: ( ) ( termo em + termo em ) Termo em [. termo em de ( + ) 8 ] + [( ). termo em de ( + ) 8 ] K J O termo geral de ( + ) 8 é T k. k k. k k Para k temos T K J!!!. Para k temos T 8 8! !!. K J Etão, o produto ( ) ( + ) 8 temos: Termo em [ ] + [( ). 70 ] 70 O coeficiete pedido é igual a. H G K J 9. Se A é uma matriz quadrada de ordem três com det A, etão o valor de det (A) é: a) b) c) d) 0 e) 0 Sabemos que: det (k. A) k. det (A), ode: é a ordem da matriz A det (A). det (A) Se a matriz A satisfaz A A + 0, etão A : a) ão eiste b) é igual a. c) é igual a A. d) é igual a A e) é igual a A. Sabemos que: A. A A. A A A + 0 A A A A A AA ( A). A A A 98. Uma loja, realizado uma promoção, oferece um descoto de 0% os preços dos seus produtos. Para voltar aos preços iiciais, os preços promocioais devem sofrer um acréscimo de A%. Determie o valor de A. a) 0 b) 0 c) d) 0 e) 0 Preço iicial: P com descoto: P ovo preço Para voltar ao preço iicial, temos: 80 A 80 P +. P P A P P A 00 A 99. Sejam p e q úmeros iteiros positivos e cosecutivos. Se p + q 0, etão p e q é igual a: a) 9 b) c) d) e) 7 p + q 0 q + p pq 0 Como p e q são iteiros positivos cosecutivos, etão p e q são primos etre si, isto é, m.d.c. (p, q). Assim, p e q ou p e q. Portato, p + q. OSG 98/0

22 ª SÉRE E EXTENSVO L π 00. O gráfico da fução f() se o itervalo π O NM, QP é: a) crescete b) decrescete c) costate d) ula e) egativa Esboço do gráfico de se o de [0, π] 0. As promoções do tipo leve pague, comus o comércio, aceam com um descoto, sobre cada uidade vedida, de: a) 0 % b) 0% c) % d) 0% e) 00 % Observe: i. Quem leva e paga está comprado e tedo um descoto de ; ii. Se é p% de p 00. p 00 ou p,% (aproimadamete). 0. Um dos âgulos de um triâgulo retâgulo é α. Se tgα,, os lados desse triâgulo são proporcioais a: a) 0, 0, 0 b) 80, 0, 70 c) 0, 0, 70 d) 0, 0, 0 e), 0, Se tgα, tg α 0 tgα cateto oposto k e cateto adjacete k hipoteusa k Tomado k 0 lados 0, 0 e 0 0. A distâcia do poto de iterseção das retas y + 0 e + y 9 0 à origem é: a) b) c) d) 8 e) 7 Resolvedo o sistema formado pelas equações acima, ecotramos como iterseção o poto (, ). Assim, a distâcia do poto (, ) ao poto (0, 0) é igual a d ( 0) + ( 0) 9. π π 0. Sabedo que cos o + a) + b) c) d) e), etão cos 7 o vale: Sabemos que: cos cos (arco duplo) Tomado o, ecotramos: cos 7 o cos o cos7 o. cos 7 o 0. Se y cos 80 o, etão y é igual a: a) cos o b) cos 0 o c) cos 0 o d) cos o e) cos 0 o + KJ Sabemos que: se a + b 80 o etão se a se b e cos a cos b Dividido 80 o por 0 o, ecotramos: 80 o 0 o +.0 o Assim: cos 80 o cos 0 o cos 0 o OSG 98/0

23 ª SÉRE E EXTENSVO 0. A área máima da região limitada por um triâgulo retâgulo iscrito em um círculo de raio R é: a) R b) πr c) R d) R e) πr Observe: base altura i. A área de um triâgulo é igual a. ii. Tome AB como base base R (diâmetro), pois O é o cetro. iii. De todas as alturas relativas a hipoteusa AB, a maior é EO R, ode R é o raio. Logo, o triâgulo de área máima tem área igual a R. R R. Veja a figura: Os âgulos ACB $, ADB $, AEB $ e AB $ são retos. 07. Se p é atural maior que, ão divisível por e em por, etão p é divisível por: a) 8 b) c) d) 9 e) 7 É fácil ver que: i. Se p ão é múltiplo de p e p + são pares cosecutivos, logo (p ). (p + ) é múltiplo de 8. ii. Se p ão é múltiplo de p ou p + será um múltiplo de, logo (p ). (p + ) é múltiplo de. De (i) e (ii), cocluímos: O produto (p ). (p + ) p é um múltiplo de. Sabemos que: Se a, a, a,..., a são úmeros reais positivos, etão: Média aritmética a + a + a a Média geométrica a. a. a... a Relação importate etre as duas médias: M.A M.G a + b a. b 0 ab ab 7 Portato, o maior úmero para ab é 7. Resp.: 7 ab ab 09. Seja um úmero atural, que ao ser dividido por 9 deia resto, e ao ser dividido por deia resto. Sabedo-se que a soma dos quocietes é 9, podemos afirmar que é igual a: a) 8 b) c) 7 d) e) Temos que: 9a +, ode a é o quociete da divisão de por 9. b +, ode b é o quociete da divisão de por. Como a soma dos quocietes é 9, vem: Se 0 tg + cos 7 sec 0, etão se é igual a: a) ou 8 b) ± c) ou d) 0 e) ou 0tg + cos 7 sec 0 0. se cos + cos 7. cos 0 0 se + cos se +. ( se ) 7 0 se 0 se + 0 se ou se Sejam a e b úmeros reais positivos tais que a + b 0. Determie qual é o maior valor possível para ab. OSG 98/0

24 ª SÉRE E EXTENSVO. Um atleta, corredo com velocidade costate, completou a maratoa em M horas. A fração do percurso que ele correu em M miutos, foi: a) b) c) d) 0 e) 0 Temos que: M horas M. 0 miutos Se M. 0 miutos P (percurso completo). M miutos P (fração do percurso) 0. Sedo R , R calcule o valor de 0. a) b) c) d) e) Sabemos que: i. a b (a b). (a + b) ii. S ( a + a ). (soma dos termos de uma P.A.) R ( ) + ( ) + ( ) (00 99 ) R ( ). ( + ) + ( ). ( + ) + ( ). ( + ) (00 99). ( ) R R ( + 99 ). 0 R O primeiro termo a de uma progressão aritmética de razão satisfaz 0 a 0. Se um dos termos da progressão é, determie o valor de a. a) b) c) 7 d) 8 e) 9 P. A. (a, a +, a +, a + 9,...,,...) Usado a fórmula do termo geral, ecotramos: a a + ( ). r a + ( ). a + a ,...,... a 8. a 9.. O algarismo das uidades do úmero N é: a) c) e) 9 b) d) 7 Note que o produto de qualquer úmero ímpar por sempre termia em ; logo, como o úmero N só tem fatores ímpares, seu algarismo das uidades é.. Se y e. y 89, etão, y vale com e y 7 positivos: a) c) 9 e) b) d) 0 y k 7k e y k 7 7k. k 89 k 89 k 9 k Para: k e y 9 Portato: y. A plata de um apartameto está cofeccioada a escala :0. Etão a área real, em m, de uma sala retagular cujas medidas a plata, são cm e cm é: a) c) 8 e) b) d) Sabemos que: Escala é a razão etre o comprimeto o deseho e o comprimeto real, medidos a mesma uidade. 0 00cm m y 700cm y 7m 0 y Logo, a área da sala será de m 7m m. 7. Prove que em todo triâgulo ABC vale a relação: c a. cos B $ + b. cos Â. OSG 98/0

25 ª SÉRE E EXTENSVO cos  m b m b cos  cos $ B a a cos $ B Logo, m + b cos  + a cos B $ c a cos B $ + b cos  (ok) Obs.: Sedo  ou $ B obtuso, chegamos com raciocíio aálogo ao mesmo resultado. 8. Cosiderem-se todas as divisões de úmeros iteiros positivos por 7, cujo resto é igual ao quadrado do quociete. A soma dos quocietes dessas divisões é: a) 0 b) 7 c) 7 d) e) Temos que: dividido por 7 tem quociete q 0 e resto com r q. i. possíveis restos de uma divisão por 7 são: 0,,,,..., ii. como r tem que ser um quadrado perfeito, devemos ter: r 0 q 0 (ão satisfaz) r q r q r 9 q r q Logo a soma dos quocietes é Determie o valor do produto P cos o. cos 7 o. Sabemos que: se se cos se o. P se o. cos o cos 7 o se o. P se 7 o cos 7 o se o. P se 7 o cos 7 o se o. P se o. P, pois se o se o (suplemetares) P. Resp.: 0. Sejam f(), > e g uma fução tal que (gof) (). Determie o valor de g K J. g(f()) g KJ se g K J Resp.:. O triâgulo ABC está iscrito em um círculo de raio R. Se cos A, o comprimeto do lado BC é igual a: a) R b) R c) R d) R e) 8 R temos que: cos  ( é agudo) se  Lei dos seos: a b c R se  seb$ se C$ BC R BC R. se  se  BC R. BC 8 R :. Seja f() e e e + e iversa de f, o valor de e g a) b) 0 c) e d) e) e defiida em R. Se g for a fução 7 K J será: Como g é a iversa de f, temos: 7 g K J 7 f K J 7 e e e + e 7. e + 7. e. e. e 8. e. e OSG 98/0

26 ª SÉRE E EXTENSVO e 9 e eg K J 7. A média aritmética dos âgulos iteros de um eeágoo coveo vale: a) 0 o b) 70 o c) 0 o d) o e) 0 o Sabemos que a soma dos âgulos iteros de um polígoo coveo é dada pela fórmula S ( ). 80 o. a soma dos âgulos iteros de um eeágoo coveo é igual a S (9 ). 80 o o. Portato, a média aritmética será igual a o o 0 o. 9. Uma solução tem 7% de ácido puro. Quatos gramas de ácido puro devemos adicioar a 8 gramas da solução para que a ova solução coteha 7% de ácido puro? Em 8 gramas de solução temos 7. 8 gramas 00 de ácido puro. Adicioado gramas de ácido puro a solução, teremos: Nova solução (8 + ) gramas Quatidade de ácido puro ( + ) gramas Assim: + 7 gramas Resp.: gramas Resolvedo, ecotramos: b e a a fução f é dada por: f() + cálculo de f () Para y + 0 f () 0.. Um elevador pode levar 0 adultos ou criaças. Se adultos já estão o elevador, quatas criaças podem aida etrar? a) b) c) 7 d) 8 e) 9 Se 0 adultos equivale a criaças adultos equivale a criaças. i. O elevador pode levar 0 adultos. ii. Tem adultos o elevador faltam adultos (equivalete a criaças). 7. Uma toreira eche um taque em horas. O ralo do taque pode esvaziá-lo em horas. Estado o taque cheio, abrimos, simultaeamete a toreira e o ralo. Etão o taque: a) uca se esvazia b) esvazia-se em hora c) esvazia-se em horas d) esvazia-se em 7 horas e) esvazia-se em horas Capacidade do taque: T i. Toreira eche T em horas em hora eche T. O gráfico de uma fução f é o segmeto de reta que ue os potos (, ) e (, 0). Se f é a fução iversa de f, etão o valor de f () é igual a: a) b) c) d) 0 e) f() a + b, com a 0. Potos: (, ) e (, 0) Para a. ( ) + b Para a. + b 0 do taque. ii. Ralo esvazia o taque T em horas em hora esvazia T do taque. Assim, o taque em uma hora esvazia de sua capacidade. T T t T T Portato, o taque esvazia-se em horas. 8. Determie o valor de. log 8 (se o. se 7 o ) atos que ajudam: i. Se a + b 90 o etão se a cos b e se b cos a OSG 98/0

27 ª SÉRE E EXTENSVO ii. se a se a cos a iii. log a b m m. log ab Temos que: se o. se 7 o se o. cos o se o 0 Etão, a epressão vale: Ep.. log 8 log. K J. log. se o.cos o. K J. Resp.: 9. Cosidere um quadrilátero coveo ABCD de área igual a cm. Determie, em cm, a área do quadrilátero cujos vértices são os potos médios dos lados do quadrilátero ABCD. atos que ajudam: ÁREAS i. Seja ABC um triâgulo qualquer e seja MNP o triâgulo que tem vértices os potos médios dos lados do triâgulo ABC, temos que: Área ABC Área (MNP) ( ). ii. Seja ABCD um quadrilátero qualquer coveo e seja MNPQ o quadrilátero que tem vértices os potos médios dos lados de ABCD, temos que: Área ABCD Área (MNPQ) ( ). Usado o resultado (ii) o euciado da questão, cocluímos: Resp.: cm 0. Se é um úmero real tal que + valor de +. Se Resp.: 7 K J, determie o. O meor úmero atural, diferete de zero, que tora o produto de 888 por um cubo perfeito é: a) d) 8 b) e) c) atorado o úmero 888, obtemos: 888. Para formar um cubo perfeito devemos multiplicar os dois membros o míimo por., para que as potêcias dos úmeros e sejam múltiplos de. Assim, o meor úmero que devemos multiplicar por 888 para obter um cubo perfeito é.. Quatos úmeros iteiros há etre 0 e que ão são quadrados perfeitos? a) 8 b) 9 c) 0 d) e) 0 e são quadrados perfeitos cosecutivos, etão, qualquer iteiro etre eles ão é quadrado perfeito. teiros que ão são quadrados perfeitos: 0, 0, 0,..., 70. Quatidade de iteiros que ão são quadrados é igual a O período da fução f() se + cos vale: a) π c) π e) b) π d) π Sabemos: se f é periódica f( + p) f(), para todo o domíio da fução. O meor valor positivo de p, chamamos de período de f. Tomado 0, ecotramos: f(p) f(0) se p + cos p se 0 + cos 0 se p + cos p (se p + cos p) se p. cos p se pcos p se pcos p 0 sep 0 ou cosp 0. se se p 0 p 0, π, π,... se cos p 0 p π, π,... Agora, devemos verificar se p π satisfaz a codição f( + p) f(), para todo o domíio da fução. π f( + p) f + K J π se + K J + cos + (cos) + ( se) se + cos f() (ok). π π K J Obs.: No ciclo trigoométrico, ecotramos facilmete: π se + K J π cos e cos + K J se (verifique!) 7 OSG 98/0

28 ª SÉRE E EXTENSVO. O cojuto solução da equação:. (log + log ) + log 7 K J 0 é igual a: a) { } c) {} e) {0, } b) {0} d) {0, } Temos que:. (log + log ) + log 7. log (. ) + log 7 log (. ) + log 7 log [(. ). (. )... 7 (.. ) ( + ) ou 0 K J 0 K J 0 K J 0 7 K J ] 0 7 K J K J. Um úmero é composto de algarismos, cuja soma é 9. vertedo a ordem dos algarismos, obtemos um ovo úmero igual a do origial. Qual é o úmero? 7 úmero origial: ab a. 0 + b (forma poliomial) ivertedo os algarismos obtemos um ovo úmero: ba b. 0 + a (forma poliomial) Equações do problema: a + b 9 e b. 0 + a. (a. 0 + b) 7 Seguda equação: 70b + 7a 0a + b b a a b Substituido a primeira equação, teremos: a + b 9 b + b 9 b 9 b a Resp.:. A distâcia etre dois lados paralelos de um heágoo regular é igual a cm. A medida do lado desse heágoo, em cetímetros, é: a) b) c), d) e) i. B pois BC//E ii. a e 0 o o 0 a i 0 o Aplicado a lei dos cosseos o triâgulo AB, teremos: e j +... cos 0 o + 7. Qualquer que seja, o valor de se + cos + se cos é: a) 0 d) b) se e) se. cos c) cos Lembre: Produto otável (a + b) a + b + ab (a + b) Temos que: se + cos (se + cos ) se + cos + se cos (se + cos ) se + cos + se cos. se + cos + se cos 8. Quatas soluções reais e distitas possui a equação + 9 se? a) 0 c) e) ifiitas b) d) Observe: i. + 9 é sempre maior ou igual a 9, para todo real. ii. se assume o máimo o valor. iii. a igualdade ão ocorre para ehum valor real de. Logo, a equação ão possui solução. 9. O resto da divisão de P() por q() + é: a) 7 c) 0 e) 7 b) d) i. é raiz de q() ii. P ( ) é o resto da divisão de P() por q(). Etão, pelo teorema do resto, ecotramos: resto P( ) O valor míimo de cos + sec, para 0 < < π é igual a: a) 0 c) e) b) d) Sabemos que: E 8 OSG 98/0

29 ª SÉRE E EXTENSVO ( ) 0, Cosiderado positivo, tem-se: + + Portato, um úmero positivo adicioado ao seu iverso é sempre maior ou igual a. A força ão provém da capacidade física e sim de uma votade idomável. (Mahatma Gadhi) OSG.: 98/0-(Parte)_say700/rev.:ANA 9 OSG 98/0