Matemática Financeira

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1 FGV Maagemet Matemática Fiaceira Paulo Lamosa Berger Realização Fudação Getulio Vargas

2 FUNDAÇÃO GETULIO VARGAS PRESIDENTE arlos Iva Simose Leal ESOLAS FGV EAESP Diretor Ferado S. Meirelles EBAPE Diretor Biaor Scelza avalcati EESP Diretor Yoshiaki Nakao EPGE Diretor Reato Fragelli ardoso Direito GV Diretor Ary Oswaldo Mattos Filho Direito Rio Diretor Joaquim Falcão VIE-PRESIDENTES Fracisco Oswaldo Neves Dorelles Marcos itra avalcati de Alburquerque Sergio Frakli Quitella INSTITUTOS FGV PDO Diretor elso orrêa Pito de astro IBRE Diretor Luiz Guilherme Schymura de Oliveira IDE Diretor lovis de Faro PROJETOS Diretor esar uha ampos ESTRUTURA DO IDE FGV MANAGEMENT Diretor Executivo Ricardo Spielli de arvalho FGV ONLINE QUALIDADE E INTELIGÊNIA DE NEGÓIOS Diretor Executivo Atôio de Araújo Freitas Juior Diretor Executivo arlos Logo URSOS ORPORATIVOS Diretor Executivo Atôio arlos Porto Goçalves ESTRUTURA DO FGV MANAGEMENT Superitedetes Djalma Rodrigues Teixeira Filho (Brasil) Maria do Socorro Macedo Vieira de arvalho (Brasília) Paulo Mattos de Lemos (Rio de Jaeiro e São Paulo) Silvio Roberto Badees de Gouvêa (Brasil) oordeadores Especiais Ferado Salgado Marcos de Adrade Reis Villela Pedro arvalho Mello A sua opiião é muito importate para ós Fale oosco etral de Qualidade FGV Maagemet ouvidoria@fgv.br

3 Sumário 1. PROGRAMA DA DISIPLINA EMENTA ARGA HORÁRIA TOTAL OBJETIVOS METODOLOGIA RITÉRIOS DE AVALIAÇÃO BIBLIOGRAFIA REOMENDADA URRIULUM RESUMIDO DO PROFESSOR 2 2. DEFINIÇÕES BÁSIAS 3 3. ONVENÇÕES 7 4. REVISÃO DE MATEMÁTIA 8 5. REGIMES DE APITALIZAÇÃO LASSIFIAÇÃO DAS TAXAS DE JUROS VALOR NOMINAL, VALOR ATUAL E VALOR FUTURO 4 8. FORMAÇÃO DA TAXA BÁSIA DE JUROS LETRAS DO TESOURO NAIONAL ERTIFIADOS DE DEPÓSITOS BANÁRIOS SÉRIES UNIFORMES DE PAGAMENTOS MÉTODOS DE ANÁLISE DE FLUXO DE AIXA TAXA INTERNA DE RETORNO LISTA DE EXERÍIOS 76

4 1 1. Programa da disciplia 1.1 Emeta Juros simples e compostos. Taxas de juros (reais, efetivas, omiais e equivaletes). Equivalêcia de apitais. Descotos Bacários. Séries Uiformes de Pagametos. Séries Perpétuas. Amortização de Empréstimos. Formação Básica da Taxa de Juros. Taxa over. álculo de preço e retabilidade de LTN, DB Prefixado e Pós-fixado, Valor presete líquido. Taxa Itera de Retoro. Taxa de atratividade (custo de oportuidade). 1.2 arga horária total 36 horas/aula 1.3 Objetivo Formar profissioais para atuar a área fiaceira de empresas. 1.4 Metodologia Aulas expositivas com resolução de exercícios.

5 2 1.5 ritérios de avaliação Serão aprovados os aluos que atederem aos requisitos de freqüêcia às aulas e obtiverem média fial igual ou superior a 7, (sete). 1.6 Bibliografia recomedada Ross, Westerfield e Jaffe, Admiistração Fiaceira. - Editora Atlas - 3 a. Edição Assef Neto, Alexadre, Matemática Fiaceira e suas Aplicações. Ed. Atlas - 9 a. Edição 1.7 urriculum Resumido do Professor Paulo Lamosa Berger Mestre em Ecoomia pela UAM hefe da Divisão de Operações do Departameto de Operações de Mercado Aberto do Baco etral do Brasil Atividade docete desde 1996 a área de fiaças e ecoomia. Autor do livro: Mercado de Reda Fixa o Brasil

6 3 2. Defiições Básicas Trabalho Salário 2.3 Ativo 2.4 Ativo Fixo Aluguel apital

7 Juro Empresa 2.9 Empresário Lucro Fatores de Produção - Trabalho, ativo fixo (imóvel), capital e empresário Taxa apitalizar Descapitalizar Taxa de Juros âmbio

8 Taxa de âmbio Fluxo (ato de fluir) Fluxo de aixa Exemplo: Sedo: 1) recebimetos ou etradas de caixa. 2) pagametos ou saídas de caixa 1 2 Termiologia: apital o mometo zero (iício) 1 apital o mometo 1 que correspode ao fial do período 1 e iício do período 2. 2 apital o mometo 2 que correspode ao fial do período 2 e iício do período 3. apital o mometo que correspode ao fial do período. PV Valor Presete FV Valor Futuro P Pricipal M Motate

9 Valor Atual ou Valor Presete a) Qual o valor atual do fluxo acima o mometo 2? b) Qual o valor atual do fluxo acima o mometo? c) Qual o valor atual do fluxo acima o mometo? Exemplo 2: Descapitalizado. Em se tratado de um fluxo de caixa ode há uma aplicação de recursos fiaceiros e uma seqüêcia de receitas previstas, o valor presete uma data específica, em qualquer mometo do tempo, será dado pelo somatório dos valores presetes das receitas futuras, previstas a partir daquela data, descotados por uma determiada taxa de juros Valor Futuro

10 7 3. oveções Ivestimeto Simples com Resgate Úico PV P FV M Ivestimeto com Resgate Periódico PMT R PV P Sedo PMT R mesalidades ou prestações ou fluxo igual de recebimetos Empréstimo Simples com Pagameto Úico PV P FV M Empréstimo com Pagameto Periódico PV P PMT R Poupaça Programada com Resgate Úico FV M PMT R

11 8 4. Revisão de Matemática Equações do 1 o. Grau 1) 2 x 5 9 2) 2 x Taxa de Juros 2 1) 2%,2 1 2% expressão a forma percetual,2 expressão a forma uitária x 2) 1,2 1 1 x 1,2 1 1 x,2x1 x 2% O que represeta 1,2?

12 9 Exemplo: x1, Etão, 12 1 (pricipal) 2 (juros) 12 (motate). 3) As operações evolvedo taxas de juros, em certos casos, se fudametam os pricípios de potêcia e radiciação da seguite forma: Potêcia e Radiciação (juros compostos) a) Potêcia usada o processo de acumulação. Supoha que desejo acumular a taxa de 2% a.m. por 3 meses, calculado a taxa do trimestre. i m 2% 2 por ceto ao mês it 1, i T [ 1,6128 ] 11 6,128% i T 6,128% ao trimestre Isto represeta um fator acumulado trimestral ou uma taxa de juros acumulada o trimestre. Assim, para acumular 2% a.m. sobre certo capital por 3 meses, tato faz utilizar (1,2) 3 ou 1,6128.

13 1 b) Radiciação usada o processo de desacumulação. Supoha que desejo desacumular a taxa trimestral de 6,128%, calculado a taxa mesal , ,2 2%a.m. Desse modo, posso obter a taxa mesal ou o fator mesal que acumulado por 3 meses resultará o fator de 1,6128 ou acumulado a taxa acumulada o trimestre de 6,128%. Etão, se estou trabalhado em bases mesais e teho uma taxa trimestral de 6,1278% e quero obter uma taxa equivalete a esse para o período de 6 meses, ou seja, trasformar a taxa trimestral em taxa semestral, devo fazer: Etão, 6 ( 1,6128)3 ; ou seja, 6 1 ( 1,6128) 3 a expressão detro do colchete mostra que estou desacumulado a taxa trimestral, trasformado-a em taxa mesal. O passo seguite é acumular a taxa mesal o período semestral. 6 ( 1,6128) 3 1, ,62%a.s. tudo com base mesal de 2%. Regras de Potêcia 2 1) x.x x 3 2) y.y.y y 2 (2 1) 3 3) x.x x x,

14 (5 2) 3 4) y / y y y 1 x 3 5 (3 5) 2 5) x / x x x 2 Exemplos: 1) x ) x 2 16 Usado a HP-12 1) Para somar digite a primeira parcela e tecle <ENTER>. Digite a seguda parcela e por fim aperte a tecla de somar <>. Todas as 4 operações fudametais <>, <->, <x>, < > devem respeitar esta seqüêcia: Exemplo: ÁLULO OPERAÇÃO VISOR <2> <ENTER> <3> <> 5, <2> <ENTER> <3> <-> -1, 2 x 3 6 <2> <ENTER> <3> <X> 6, 2 3,67 <2> <ENTER> <3> < >,67

15 12 2) Para elevar uma potêcia iteira, digite o valor da base, tecle eter, digite o valor da potêcia e, em seguida tecle <y x > ÁLULO OPERAÇÃO VISOR <2> <ENTER> <2> <y x > 4, <2> <ENTER> <3> <y x > 8, <3> <ENTER> <5> <y x > 243 1,5 4 5,6 <1,5> <ENTER> <4> <y x > 5,6,5 2,25 <,5> <ENTER> <2> <y x >,25 2-3,25 <2> <ENTER> <3> <HS> <Y x >,125 Em se tratado de potêcia egativa, use a fução HS (chage sigal) após digitar o úmero. 3) Para calcular uma potêcia fracioária, digite o valor da base, tecle ENTER, digite o valor do deomiador, tecle <1/x>, em seguida tecle <y x >, etão digite o valor do umerador e tecle <y x >. Exemplo: ÁLULO OPERAÇÃO VISOR 2 3/5 <2> <ENTER> <5> <1/x> <y x > <3> <y x > 1,52 2 1/4 <2> <ENTER> <4> <1/x> <y x > 1,19 3 5/4 <3> <ENTER> <4> <1/x> <y x > <5> <y x > 3,95 1,5 4/3 <1,5> <ENTER> <3> <1/x> <y x > <4> <y x > 1,72,5 2/3 <,5> <ENTER> <3> <1/x> <y x > <2> <y x >,63 Outro modo semelhate: ÁLULO OPERAÇÃO VISOR 2 3/5 <2> <ENTER> <3> <ENTER> <5> < > <y x > 1,52 2 1/4 <2> <ENTER> <1> <ENTER <4> < > <y x > 1,19 3 5/4 <3> <ENTER> <5> <ENTER> <4> < > <y x > 3,95 1,5 4/3 <1,5> <ENTER> <4> <ENTER> <3> < > <y x > 1,72,5 2/3 <,5> <ENTER> <2> <ENTER> <3> < > <y x >,63

16 13 5. Regimes de apitalização Processos de icorporação dos juros ao capital. Neste programa usaremos dois processos: Juros Simples(JS) e Juros ompostos (J) 5.1 Juros Simples Na icorporação a juros simples, a taxa é aplicada sempre sobre o capital iicial, idepedetemete do período em que se esteja. Supoha: i 1% i x 1 i x 2 11,1 x ,1 x PERÍODO TABELA DE APITALIZAÇÃO DE JUROS SIMPLES APITAL NO INÍIO DO PERÍODO JUROS RELATIVOS AO PERÍODO 1% MONTANTE NO FINAL DO PERÍODO 1 1, 1 X 1/1 1 11, 2 11, 1 X 1/1 1 12, 3 12, 1 X 1/1 1 13, 4 13, 1 X 1/1 1 14, 5 14, 1 X 1/1 1 15,

17 14 oclusões: - Não há capitalização de juros sobre juros - Motate varia liearmete o tempo - Os juros icorporados a cada período de capitalização são costates. Gráfico da apitalização a Juros Simples MONTANTE Formulação de Juros Simples Termiologia: apital apital o mometo zero, ou seja, capital iicial 1 apital acumulado após a primeira capitalização 2 apital acumulado após a seguda capitalização.. apital acumulado após a eésima capitalização i taxa de juros expressa em porcetagem (1%) ou a forma uitária (,1) úmero de períodos J k juro periódico gerado o período k J somatório dos juros periódicos J PERÍODOS J k k 1

18 álculo da Taxa J J k i. i k álculo dos Juros J.J.i. k álculo do Motate i. i. ( 1 2i) i. ( 1 3i) ( 1.i ) ( 1 i) ( 1 i) ( 1 2i) i. 1. i. 2i. i. i álculo do apital Iicial ( 1.i ) 1.i álculo da Taxa de Juros ( 1.i ) ( 1.i ) i 1.i 1

19 álculo do Número de Períodos ( 1.i ) ( 1.i ) 1 i Juros Simples X Progressão Aritmética Ex.: K a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a k Em toda PA, a k a k-1 R (razão), logo a k a k-1 R Soma dos termos de uma PA a 1 a 1 a 2 a 1 R a 3 a 2 R a 1 R R a 1 2R a 4 a 3 R a 1 2R R a 1 3R.. a k-1 a k-2 R a 1 (k 2)R a k a k-1 R a 1 (k 1)R Demostração: x4 18

20 17 Exemplos: 1) Um ivestidor aplicou R$ 2., à taxa de 1% a.m. (JS). alcule o motate o fial do primeiro mês e do quito mês. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,5 5x , x,1 1.i ) Deduza a fórmula do motate. ( ) ( ) ( ) ( ).i 1. 2i 1 i. i. 1. i 1 i. i 1 i ) Explicite a fórmula do motate em fução. a) ( ) ( ) i i b) ( ) i 1.i 1 c) i ( ) 1 i.i 1

21 18 4) Mostre com um exemplo que as respostas da questão aterior estão corretas. Supoha: 1. i 2% a.m. 7 meses (1.i) 1.(1 7x,2) i x,2 a) ( 1.i ) 1., ,2 1 b) ( 1.i ) 7 i Descotos Bacários - JS Descoto D - ou - D Tipos de Descoto Por detro ou racioal Por fora ou comercial i taxa de descoto por detro d taxa de descoto por fora DESONTO POR DENTRO D d.i. omo ( 1.i ) e ( 1.i ) D d.i. 1.i

22 19 Exemplo: E 15. i 1% a.m. 3 meses D d 3x,1x x, ,53 D E ef D , ,47 i 3.461, ,47,3 i mesal,3 3,1 1%a.m DESONTO POR FORA D f.d. Exemplo: E 15. d 1% a.m. 3 meses i? D f 3 x,1 x E ef E - D f i ,42857,42857 im, ,286%a.m. 3

23 PROPRIEDADES 1) Se i d D d < D f od > of 2) Se D d D f.i..d., ode Prova: Hipótese: D d D f.i..d. (1 x i) i d e 1.i d i 1.d, logo 1.i.i. 1.i.d. 1) i d 1.i 2) i d 1 (.i ) i d d..i i d..i d ( 1 d. ) i d i 1 d. d Exemplo: 3 meses i 1% a.m. d?

24 21 i d 1.i,1 1 3x,1,769 7,69%a.m. d i 1 d.,769 1,769x3,1 1%a.m.

25 Operações Bacárias de urto Prazo 1 o. aso - Sem IOF e Sem Reciprocidade E ef empréstimo efetivo E empréstimo omial E ef E - D f D f.d.e E ef E.d.E E(1-.d) Por outro lado, (1.i) E E ef (1.i) E E ef 1.i Etão: E ( 1. d ) E 1. i 1 1. i 1. d 1. i 1. d 1 1. d 1 1. d d i 1. d Exemplo: E 1 6 dias d 12% a.m. i? J 1 x 2 x,12 24 E ef E

26 23 d,12 i, ,79%a.m. 1.d 1 2x,12 De fato, 24 i, o período 76, i m, ,79%a.m. 2 2 o. aso - om IOF e Sem Reciprocidade t alíquota do IOF em porcetagem ao mês J E.d. IOF E.t. E ef E - D E D J IOF E..d E.t. E. (d t) E ef E D E E. (d t) E (1- (d t)) E E E ef (1. i) E ef 1.i E (1 (d t)) E 1.i 1.i 1 1 (d t) 1.i 1 (d t) 1 1 (d t) 1 1 (d t) d t i 1 (d t)

27 24

28 25 Exemplo: E 1. D 1% a.m. T IOF,123% am. N 3 meses d t i 1 (d t),1, (,1,123),1123,69631,1453 i 14,53%a.m. De fato: D f E.t IOF. E..d D f 1.x,123x3 1.x,1x3 D f 36,9 3., 3.36,9 E ef E D , ,1 i 3.36, ,1, i m, , ,53%a.m. 3 o. aso - om IOF e om Reciprocidade J E.d. IOF E.t. Saldo médio E E ef E - D E

29 26 D E.d. E.t. E D E[d. t. ] E [ (t d) ] E ef E D E E [ (d t) ] E ef E [1 - (d t) - ] E E ef (1.i) E E - E E ef (1.i) E(1 - ) E ef (1.i) E E(1 ) ef (1.i) E(1 ) E[1 (d t) - ] (1.i 1 1.i 1 (d t) (d t).i 1 1 (d t) 1 (d t) i 1 d ( d t) ( t) Exemplo: 1) E 1. d 1% a.m. t,123% a.m. 3 meses 1% alcule o valor do descoto e a taxa efetiva? d t i 1 (d.t),1, (,1,123),1 i,1123,59631, ,9761%a.m.

30 27 De fato: D 1. x 3 x,1 1. x 3 x, x,1 D 3. 36, ,9 E ef , ,1 4.36,9 1. i, ,1 o período,59282 i mesal, ,9761%a.m. 3 2) E 25. d 2% a.m. 4 meses D d? D f? i? D d.i. 1.i 4x,2x x, ,85 D f.d. 4x,2x25. 2., d i 1.d,2 1,2x4,2174 2,174%a.m. De fato: i , ,6956%,86956 im, ,174%a.m. 4

31 28 3) Se i d, por que D d < D f? Em D d a taxa icide sobre E ef, equato que em D f a taxa icide sobre E. omo E ef < E D d < D f 4) Se i d, por que od > of? Se i d, D d < D f. Sedo o - D, etão: - D d > - D f, logo od > of

32 Juros ompostos Na icorporação a juros compostos, a taxa é aplicada sempre sobre o capital atualizado até o período imediatamete aterior. 1 i. ( 1i) i. 1 1 (1 i) ( 1 i) ( 1 i) 2 ( 1 i) 2. Se i 1% e 1 1 1,1 x ,1 x PERÍODO TABELA DE APITALIZAÇÃO A JUROS OMPOSTOS APITAL NO INÍIO DO PERÍODO JUROS RELATIVOS AO PERÍODO 1% MONTANTE NO FINAL DO PERÍODO 1 1, 1 X 1/1 1 11, 2 11, 11 X 1/ , 3 121, 121 X 1/1 12,1 133, ,1 133,1 X 1/1 13,31 146, ,41 146,41 X 1/1 14,64 161,5 Gráfico da apitalização a Juros ompostos MONTANTE 161,5 146,41 133,1 121, 11, 1, PERÍODOS

33 3 oclusões: Há icorporação de juros sobre juros. O motate cresce expoecialmete o tempo. Juros icorporados ao capital são cada vez maiores Fórmulas de Juros ompostos w Expressão para o álculo do Motate: 1 i. (1 i) 2 1 i. 1 1 (1 i) (1 i) (1 i) (1 i) i. 2 1 (1 i) (1 i) 2 (1 i) (1 i) i (1 i) (1 i) -2 (1 i) (1 i) -1-1 i (1 i) (1 i) -1 (1 i) (1 i) (1 i) Expressão para o álculo do Número de Períodos: (1 i) l. ( 1 i).l 1 l l 1 ( i) ( i)

34 31 Exemplo: PF aplicou R$ 15., a 3% a.a. (J) recebedo após certo prazo o motate de R$ 3.195,36. Que prazo é este? 3.195,36 l 15.,, ,67 3, l 1 1 R: 2 aos e 8 meses Expressão para o álculo da Taxa de Juros 1 i 1 ( 1 i) 1 ( 1 i) i Expressão para o álculo do apital Iicial (1 i) ( 1 i)

35 Juros ompostos X Progressão Geométrica a 1 a 2 a 3...a k a a k k 1 Exemplos: q (razão costate), valedo para qualquer k a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 1 a 1 a 1 a 1 q a 3 a 2 q a 1 q.q a 1.q 2 a 4 a 3 q a 1 q 2.q a 2.q 3.. a k a 1 q (k-1) a k a 1 (1 I) q k - 1 1) Determiar o valor de resgate de um empréstimo de R$ 5., com taxa de juros de 5% a.m. e prazo de 15 dias. 15 dias,5 mês (1 i) 5. (1,5),5 5. (1,24695) ,75 Pela HP12 STO EEX 5. HS PV,5 5 i FV ,75 R: R$51.234,75

36 33 2) Mostre a evolução do valor de resgate de um empréstimo de R$ 5.,, com taxa de juros de 5% a.m. e prazos de 1, 2, 3, 4, 5 e 6 dias. Fazer o cálculo o regime de juros simples e compostos. i 5% a.m. 1 dias 1, dias 2, dias 4 1, dias 5 1, (1 i) 1 5. (1,5), , (1,5), , (1,5) , 4 5. (1,5) 1, , (1,5) 1, , (1,5) , (1 i.) 1 5. (1,5 x,333333) 5.833, (1,5 x,666666) , (1,5) 52.5, 4 5. (1,5 x 1,33333) , (1,5 x 1,66666) , (1,5 x 2) 55.,

37 34 J JS Pela HP12 para Juro omposto - J R: 5. PV 5 i variado etre, e 2 FV variado etre 5.833,33 e 55., 5.5 apitais Equivaletes (J) Dois fluxos de caixa são cosiderados equivaletes se os respectivos valores atuais são idêticos em qualquer período cosiderado. Exemplo: Uma empresa tem compromisso de R$ 2., e de R$ 2.5, a vecer de hoje a três e oito meses respectivamete. Seu gerete fiaceiro propõe à empresa credora a troca desses compromissos por outros dois que sejam equivaletes, a vecer de hoje a 1 e 15 meses respectivamete. osiderado a taxa efetiva liear de 1% a.a. i 1% a.m X X

38 35 2 (1,1x 3) 2.927,35,9x x 3.252, ( 1,1x8 ) 1.538, ,89 1 x( 2 ode x x (1,1x 1) (1,1x 15) 1 ) 2,5 Exemplos: 1) Uma empresa deseja trocar compromissos de R$ 1. e R$ 12. a vecer em dois e seis meses a partir de hoje, respectivamete, por um úico título, vecível em quatro meses a partir de hoje. Qual o valor do ovo compromisso se a taxa de juros efetiva liear (JS) for de 5% a.m X X 1,5x2 1,5x6 1,5x4 9.99, ,69,8333X X , ,14,83333 R: R$ ,14

39 36 2) Teho uma dívida composta de cico prestações mesais e iguais de R$ 1.,. A taxa de juros compostos da operação é de 2% a.m. omo vou receber um prêmio daqui a sesseta dias (data de vecimeto da 2 a. parcela), por quato devo liquidar itegralmete a dívida aquela data X , , , ( 1 i) ( 1 i) (,2) 4.93, ( 1,2 ) ( 1,2 ) ( 1,2 ) 1.2, 1., 98,39 961,16 942,32 VP R ( 1,2 ) 5 ( 1,2) , R: R$ 4.93,87

40 37 6. lassificação das Taxas de Juros 6.1 Taxa Efetiva Quado a uidade de tempo de referêcia coicide com a uidade de tempo da ocorrêcia da capitalização dos juros. Exemplo: 17% a.a., sedo a capitalização aual. 12% a.s., sedo a capitalização semestral 5% a.t., sedo a capitalização trimestral 3% a.b., sedo a capitalização bimestral 1,5% a.m., sedo a capitalização mesal Obs.: Somete taxas efetivas podem ser usadas em calculadoras fiaceiras e as plailhas eletrôicas. 6.2 Taxa Nomial Quado a uidade de tempo de referêcia é diferete da uidade de tempo em que ocorre a capitalização dos juros. Exemplo: 17% a.a., sedo a capitalização semestral 12% a.s., sedo a capitalização trimestral 5% a.t., sedo a capitalização mesal 3% a.b., sedo a capitalização mesal 1,5% a.m., sedo a capitalização diária Para trasformar taxa omial em taxa efetiva faz-se a trasformação o regime de juros simples. Exemplo: 17% a.a. capitalizada semestralmete 17% a. a. i 8,5a. s. 2semestres

41 Taxas Proporcioais Em juros simples, duas taxas de juros são proporcioais quado aplicadas ao mesmo capital, geram motate idêtico o fim do prazo da operação. Duas taxas de juros (efetivas) i e i k, referetes ao período e k, respectivamete, são proporcioais quado se verifica a relação. i i k k Exemplo: 24% a.a. é proporcioal a 2% a.m., pois, Taxa de Juros Real Na formação da taxa de juros cosideram-se, pelo meos, dois compoetes. Um ídice represetado a atualização moetária e outro represetado a efetiva remueração do capital. Exemplo: Um salário de R$ 1., foi reajustado por 5%. Sabedo que a taxa de iflação o período cosiderado foi de 4%, em quato aumetou ou dimiuiu o poder de compra do salário? Formação da taxa de juros: 1 i 1 1 x 1 1 r x 1 r 1 1 r ,5 r 1,4 1 x1 7,14% 1. x 1, x 1,4 1.4 De fato: 1, ,1428% 1.4 aumeto real 1

42 Taxa de Juros Prefixada É aquela taxa que determia o valor de resgate de um título o mometo da efetivação do egócio, ou seja, é aquela que cosidera dada a parcela correspodete a atualização moetária, bem como a parcela relativa aos juros reais. Exemplo: DB pré 21,9% a.a. 6.6 Taxa de Juros Pós-fixada Quado a taxa de juros ão computa a parcela referete à atualização moetária defiida através de um ídice previamete pactuado. Exemplo: DB pós 15% a.a. IGP-M 6.7 Taxas Equivaletes Em juros compostos duas taxas de juros são equivaletes quado aplicadas sobre o mesmo capital, geram motate idêtico o fial do mesmo prazo. i 1 a (1 ) i 1 a 1 (1 ) i 1 m 1 (1 ) i 1 m 12 (1 ) i i 1 1 i a a 1 m 12 (1 ) (1 ) 12 [( 1 i ) ] m 11 i m 1 12 ( 1 i ) 1 1 a JS Tx Proporcioais J Tx Equivalete 6.8 Fórmula Geral -Taxas Equivaletes Em juros compostos duas taxas de juros são equivaletes quado aplicadas sobre o mesmo capital, geram motate idêtico o fial do mesmo prazo. Dessa forma, por se tratar de capitalização expoecial, a expressão da taxa equivalete é a média geométrica da taxa de juros do período iteiro, isto é:

43 4 i q i 1 ( 1 ) 1 1 q Ode i q- taxa relativa ao período de capitalização i- taxa relativa ao período iteiro q- úmero de períodos de capitalização.

44 41 Exemplos: 1) Determiar a taxa semestral e aual proporcioal à taxa de 2% a.m. i s 2%x6 12% ao semestre i a 2x12 24%a.a 2) Determiar as taxas semestral e aual equivaletes à taxa de 2% a.m is 1 1 i s 6 [ 1,2 ] 11 12,62%a.s ia 1 1 i a 12 [( 1,2) 11 ] 26,82%a.a.

45 42 7. Valor Nomial, Valor Atual e Valor Futuro 7.1 Valor Nomial Quato vale um compromisso a data de seu vecimeto. Exemplo: Uma aplicação fiaceira hoje será resgatada por R$ 1., daqui a um ao (12 meses). 1. VN Valor Atual O valor de um compromisso em data aterior a de seu vecimeto, em geral o mometo presete. Exemplo 1: Uma aplicação hoje rede um título com valor omial de R$ 24., daqui a 12 meses pelo regime de juros simples. VN 24. VA? Se a taxa de juros é de 6% a.m., o VA é (1.i) (1.i) 24. (1 12x,6) ,49

46 43 Exemplo 2: Idem pelo regime de juros compostos. (1.i) 12 (1.i) (1,6) , Valor Futuro Valor do título em qualquer data posterior à que estamos cosiderado o mometo. Valor Futuro é idêtico ao motate, se a data cosiderada for a do vecimeto da aplicação. Exemplo 1: Uma pessoa aplica R$ 1., hoje por 3 meses a taxa de 5% a.m. (JS) (1i.) VF VA (1i.) VF 1. (13x,5) VF 11.5, Exemplo 2: Uma pessoa aplica R$ 1., hoje por 3 meses a taxa de 5% a.m. (J). (1i) VF VA (1i) VF 1. (1,5) 3 VF ,25

47 44 8. Formação da Taxa Básica de Juros i ef taxa efetiva * expectativa de iflação R taxa de juro real 1 i ef 1 1 * 1 x 1 r 1 No mercado iterbacário, ode é defiida a taxa de juros primária da ecoomia, a coveção é computar o prazo aual em 252 dias úteis. Desse modo, as operações de política moetária realizadas pelo Baco etral, utilizado títulos públicos federais, refletem as taxas de juros admitidas pela Autoridade Moetária. Assim, se * 4% a.a. e r 1% a.a., a taxa efetiva aual será de: 1 i ef x ,144 i ef [ 1, ] 14,4%a.a. Da mesma forma se, i ef 15% a.a. r 1% a.a. *? 1 1 * 15, 1 1 x 1 1 1, ,545%a.a. 1,1 * 1, 1,144

48 45 9. Letras do Tesouro Nacioal 9.1 aracterísticas Básicas Prefixado com Descoto urto Prazo: Míimo de 28 Dias orridos Valor Nomial Valor de Resgate R$ 1., Emissor Tesouro Nacioal Negociação PU X Taxa Efetiva URVA DE RENDIMENTO (URVA DO PAPEL) PU PU du A cada dia o PU do título icorpora juros correspodetes a 1 overight. 1 i 1 1. iefa PU 1 1 du 252 PU 1. iefa 1 1 du ief PU 1 1 du 252

49 46 Exemplos: 1) Supoha uma LTN emitida o 1 o. dia de um mês com 2du e resgatada o 1 o. dia útil do mês seguite. Admita: Π r * a * a 6% 12% a.a. a.a. Qual deve ser o PU? PU 1. (1,6x1,12) , ) osiderado o exercício aterior, calcule o PU da LTN o 1 O. dia útil (9 d.u. decorridos). PU 1du ( ) 986, ,6x1, PU? ,473455x1, , , ou 1 2 PU 1du 1. (1,6x1,12) ,53769

50 aracterísticas Básicas da NTN-F Prefixado com pagameto de cupos periódicos(semestrais) upom semestral de juros- 1% a.a. Logo Prazo Valor Nomial Valor de Resgate R$ 1., Emissor Tesouro Nacioal Negociação PU X Taxa Efetiva Exemplo de uma NTN-F com vecimeto em 1/1/214 Operação de compra com liquidação em 9/8/21 BASE 252 NTN-F LIQUIDAAO: 9/8/21 ÁLULO DO PU A PARTIR DA URVA BMF DATA D.U. V. P. URVA UPOM BMF 48,8885 3/1/ ,849 1,81 48,8885 1/7/ ,43 11,19 48,8885 2/1/ , ,57 48,8885 2/7/ , ,81 148,8885 2/1/ ,921 11,87 OTAAO 974, TAXA: 11,837

51 48 1. ertificado de Depósito Bacário TIPOS PÓS-FIXADO PRÉFIXADO 1.1 aracterísticas omus Título privado de captação (BANOS) Edossável ou trasferível Taxa bruta aualizada IR - percetual aplicado sobre o redimeto omial Prazo em dias corridos ou úteis Ao de 36 dias (d.c.) ou 252 (d.u.) 1.2 aracterísticas Específicas Prefixado Expectativa de iflação embutida a taxa Valor bruto (e líquido) de resgate cohecido o mometo da aplicação 1.3 aracterísticas Específicas Pós-fixado Taxa egociada represeta remueração adicioal ao idexador Valor bruto e líquido cohecido apeas o vecimeto

52 49 Termiologia dc dias corridos du dias úteis V RB valor de resgate bruto V a valor aplicado i taxa de juros prefixada r taxa de juros real (caso de título pós-fixado) I Idexador PRÉFIXADO ou 1 1 i 1 i 1 dc 36 du 252 V RB V i V Va 1 RB a 36 dc i 1 dc 36 1x1 PÓS-FIXADO ou x I x x I x 1 1 r 1 r 1 dc 36 du 252 V RB V a VRB r Va x I x I x 1 36 dc r 1 1x1 dc 36 Exemplo: DB PRÉ alcule o V RB e V RL, bem como a taxa líquida do DB Pré. i 22% a.a. V a 1.., dc 3 du 2 IR 15% redimeto omial

53 5 V RB Va 1 i ,96 IR ( 1..,), , ,34 V RL , , ,62 i B ,96 1.., x1 22,% a.a. R: 18,44% a.a. i L ,62 1.., x1 18,44% a.a. DB PÓS V a R$ 1.., TR acum 7,442417% 27 dias corridos i 18% a a. Alíquota do IR a fote 2% V RL? I L? v 1..,x x 1,18 36 RB 27 ( ) , 42 ( 1..) , 8 I R, ,42 V RL , , , ,34 27 IL 1 x1 12,43% 1..1, a.a.

54 Séries Uiformes de Pagametos 11.1 Postecipadas PMT (R) períodos 11.2 Atecipadas PMT (R) períodos 11.3 Diferidas PMT (R) períodos

55 Expressão para o álculo do Valor Futuro, dada a Prestação. VF? ( iclusive) R R R R R R O valor futuro (VF) desta série de pagametos iguais é equivalete à soma da capitalização de todos os pagametos. No período veja que, o caso, a prestação relativa ao período ão capitaliza juros. alculado VF em cada poto do fluxo de caixa fica: VFR R VFR -1 R (1 i) VFR -2 R (1 i) 2 VFR 3 R (1 i) -3 VFR 2 R (1 i) -2 VFR 1 R (1 i) -1 A expressão geral fica: (1) VF R R(1i) R(1i) 2... R(1i) -3 R(1i) -2 R(1i) -1 (2) VF(1i) R(1i) R(1i) 2 R(1i) 3... R(1i) -2 R(1i) -1 R(1i) (2) (1) VF ivf VF R(1i) R ivf R [(1i) 1] VF (1 i) R i 1

56 Expressão para o álculo da Prestação, dado o Valor Futuro. i VF (1 i) R Expressão para o álculo do Valor Presete, dada a Prestação. VP? R R R R R R (1 i) VF R i 1 VF VP (1i) VP (1i) R (1 i) i 1 VP R (1 i) (1 i) 1.i

57 Expressão para o álculo da Prestação, dado o Valor Presete. (1 i) x i R VP (1 i) -1 Aplicações das Expressões Variáveis evolvidas: VP, VF, R, i, R (i), (VP) e () VP (R), (i) e () VF (R), (i) e () R (VF), (i) e () i (VP), () e (R) (VP), (i) e (R) 11.8 Operações com Séries POSTEIPADAS default (Padrão HP-12) PMT Exemplo: 1) Uma loja aucia televisão por R$ 1.22, à vista ou em 12 X R$ 15,. osiderado que a prestação é devida um mês após a data da compra, calcule a taxa de juros. VP R$ 1.22, meses ERRO ão fazer 12 X 15, PMT R$ 15,

58 55 (1 i) Sabedo que VP R (1 i) álculo por tetativa Pela HP-12, teríamos: 12 1 (1 i) 1, temos: 122, 15, 12.i (1 i).i DADOS TELA FUNÇÃO VISOR OMENTÁRIOS <f><lear><fin> 15 <HS><PMT> -15. valor das parcelas 1.22 <VP> valor fiaciado 12 <> 12. o. de parcelas <i> 1.1 tx. de juros mesal ANTEIPADAS Exemplo 1: VP R$ 1.22, meses Faz como se fosse postecipada x (1 i) VP (1i). R (1 i) (1 i) 1 - i

59 56 Pela HP-12, teríamos: DADOS TELA FUNÇÃO VISOR OMENTÁRIOS <f><lear><fin> <g><beg> limpa var. fiac. 1 a. parcela atecipada 15 <HS><PMT> -15. valor das prestações 122 <VP> 122. valor fiaciado 12 <> 12. o. de parcelas <i> 12,48735 tx. de juros mesal Opção para cálculo por série POSTEIPADA R$ 1.22, meses PMT 15, R$ 872, 1.22, 15, 11 meses Fiaciameto de R$ 872, em 11 meses. PMT 15,

60 57 Pela HP-12, teríamos: DADOS TELA FUNÇÃO VISOR OMENTÁRIOS <f><lear><fin> <g><end> limpa var. fiac. 1 a. parcela atecipada 15 <HS><PMT> -15. valor das prestações 872 <VP> 872. valor fiaciado 11 <> 11. o. de parcelas <i> 12,48735 tx. de juros mesal Exemplo: 1) Sabe-se que um automóvel pode ser vedido a prazo em sete parcelas mesais de R$ 1.,, sedo uma de etrada e com uma itermediária o terceiro mês, o mesmo valor. Qual o valor à vista se a taxa for 1% a.m.? VP? VP ,1 1, , , , ,1 VP , , ,3 6.83, , ,74 VP 61.65,74

61 58 Ou, pela HP-12 DADOS TELA FUNÇÃO VISOR OMENTÁRIOS <f><lear><reg> limpeza 1. <g><f > 1., parcela 1. <g><f 1 > 1., parcelas 1 e 2 2 <g><n j > 2, o. de períodos 2. <g><f 2 > 2., parcela 3 1. <g><f 2 > 1., parcelas 4 a 6 3 <g><n j > 3, o. de parcelas 1 <i> 1, tx. descoto <f><nvp> 61.65,74 R: R$61.65,74

62 Métodos de Aálise de Fluxo de aixa VPL (Pr) Valor Presete Líquido TIR r Taxa Itera de Retoro usto de oportuidade ou taxa de atratividade míima é a taxa que se pode obter em mercado, ou seja, represeta uma alterativa dispoível Valor Presete Líquido Soma algébrica de todas as etradas e saídas de caixa, cada uma delas descotadas à taxa míima de atratividade (custo de oportuidade), para uma mesma data escolhida como data de origem. Este critério descota o fluxo líquido a um istate de tempo, em geral a data presete P(r) j j(1 r) j aso j, j 1, 2..., seja costate e positivo, tem-se uma série uiforme e seu valor presete pode ser obtido coforme a expressão: P(r) j (1 i) 1 (1 i).i VPL I R (1 i) (1 i) 1.i

63 Motagem da Fução Valor Presete Líquido - (P(r)) VPL - omparação do valor do ivestimeto com o valor presete das receitas futuras. É fução da taxa de descoto e mede o lucro ou o prejuízo em termos absolutos. TAXA MÍNIMA DE ATRATIVIDADE - Taxa de retabilidade míima que o projeto de ivestimeto deve reder para ser cosiderado retável. Também deomiada custo de oportuidade. TAXA MÁXIMA ADMITIDA - Taxa de retabilidade máxima (custo) a ser aceita em um projeto ode se avalia um fiaciameto a ser tomado. VPL é fução da taxa de descoto utilizada, tomada como Taxa Míima de Atratividade o caso de um fiaciameto tomado como Taxa Máxima Admitida. Fluxo de caixa de um ivestimeto: Fluxo de caixa de um ivestimeto: R VPL P( r) I 1 r r T Mi A Fluxo de aixa de fiaciameto: R... R 2 ( ) ( 1 r) ( 1 r) VPL P r T MA ( r) I R R... R 2 ( 1 r) ( 1 r) ( 1 r) VPL > VPL < sigifica que o projeto vale mais do que custa, ou seja, é lucrativo. Idica a retabilidade do projeto (r) e o resultado (lucro). sigifica que o projeto custa mais do que vale, ou seja, se for implemetado trará prejuízo. Idica que a retabilidade esperada do projeto ão é suficiete, além do valor absoluto do resultado (prejuízo). Exemplo: Posso ivestir R$ 1.., hoje em um projeto que promete produzir R$ 2., por ao os próximos 9 aos. Devo aceitar o projeto? - realmete 2 x > o etato, R$ 1.., é gasto hoje equato que as receitas levarão 9 aos para retorar.

64 61 ( ) P r r ( 1 r) 2 ( 1 r) 9 Depededo da taxa míima de atratividade a ser utilizada, o projeto VPL pode passar de positivo para egativo (ou vice e versa). r 1% VPL (1%) r 15% VPL (15%) r 13,7% VPL (13,7) 12.3 Motagem da Fução P(r) A) VPL - INVESTIMENTO ( ) VPL P r I R 1 R ( 1 r) ( 1 r) ( 1 r) ( 1 r) R 3 R 4 4 ( ) P r , ( 5% ) P r , ( ) ( 1,5) ( 1,5) ( 1,5) 4 49, ( 1% ) P r , ( ) ( 1,1 ) ( 1,1 ) ( 1,1 ) ,18 ( 13% ) P r , ( ) ( 1,13) ( 1,13) ( 1,13) ,42

65 62 P(r) VPL > quado r TIR 2.77 B) VPL - FINANIAMENTO ( ) P r F P 1 P ( 1 r) ( 1 r) ( 1 r) ( 1 r) P 3 P 4 4 ( ) P r , 45 1, 55 1, 11. 1, ( ) ( ) ( ) ( ) 2.5, ( 5% ) P r , ( ) ( 1,5) ( 1,5) ( 1,5) 4 49, ( 1% ) P r , ( ) ( 1,1 ) ( 1,1 ) ( 1,1 ) ,18 ( 13% ) P r , ( ) ( 1,13) ( 1,13) ( 1,13) ,42

66 63 P(r) VPL > quado r TIR r 5 49 TIR Aálise do VPL A) INVESTIMENTO R 1 R 2 R 3 R I VPL VPL P(r) I P(r) I j 1 R R (1 r) 1 J j R 2 1 r R 3 1 r ( 1 r) ( ) ( ) ( ) R 1 r SAÍDA ENTRADAS Se Etradas > Saídas VPL P(r) > logo, aceito o projeto TIR r

67 64 B) FINANIAMENTO F I P 1 P 2 P 3 P P(r) TIR VPL VPL P(r) F P(r) F j 1 P (1 r) P 1 J j P2 1 r P3 1 r ( 1 r) ( ) ( ) ( ) ENTRADA SAÍDA P 1 r o r Se Etradas > Saídas VPL P(r) > logo, aceito o projeto Exemplos: 1) Uma empresa deseja avaliar o fluxo de caixa de ivestimeto um terreo. O valor iicial do ivestimeto é de R$ 1.,. Devido à localização, estima-se possibilidade de vedê-lo após 4 aos por R$ 11.,. Taxa míima de atratividade 13% a.a., com o seguite fluxo de caixa: ANO ENTRADAS alcule o VPL e verifique se o fluxo de caixa é atraete para a empresa. SOLUÇÃO aos VPL P(r) (1,13) -1 45(1,13) -2 55(1,13) (1,13) -4 VPL P(r) ,42 Já que VPL P(r) < Ivestimeto deve ser rejeitado

68 65 2) Uma empresa estuda a istalação de uma turbia de produção de eergia elétrica. Atualmete a eergia é comprada por R$ 28., ao ao. A turbia exigiria um ivestimeto iicial de R$ 1.4.,, cosumido aualmete R$ 58., de mauteção e R$ 21., de mão de obra. om vida útil de 1 aos e com impostos e seguros de 3% do ivestimeto iicial e cosiderado ulo o valor salvo, que decisão deve ser adotada se a taxa de juros míima é de 12% a.a. Despesa Iicial 1.4. x 1, ANO DESPESA REEITA RESULTADO FLUXO: P(,12) (1,12) (1,12) (1,12) (1 i) P(,12) R (1 i) 1.i 1 (1,12) 1 P(,12) (1,12).,12 2,15848 P(,12) ,37271 P(,12) ,83 P(,12)

69 66 Pela HP12 DADOS TELA FUNÇÃO VISOR OMENTÁRIOS 1 <> <i> <HS><PMT> -21. <VP> ,83 <ENTER> <HS<> O projeto deve ser rejeitado. FLUXOS ONVENIONAIS OU NÃO Estabelece i mi e compara Estabelece i máx e compara INVESTIMENTO FINANIAMENTO VPL > AEITA VPL > AEITA VPL AEITA VPL AEITA VPL < REJEITA VPL < REJEITA O valor atribuído hoje aos recebimetos futuros supera o valor do ivestimeto iicial ecessário à implatação do projeto.

70 Taxa Itera de Retoro - TIR É a taxa de descoto que iguala o valor presete das receitas ao valor presete dos ivestimetos. Quato maior a TIR, maior a atratividade do ivestimeto. A TIR é aquela que permite igualar a zero a expressão: TIR 1 2 P(r)... 2 (1 r) (1 r) (1 r) A utilização da TIR evolve a sua comparação com uma taxa de atratividade míima (custo de oportuidade), quado se trata de um projeto de ivestimeto e uma taxa máxima admitida se o fluxo é de um fiaciameto. VPL ou P(r) VPL ou P(r) P(r) com r TIR TIR r P(r) ode r A TIR é obtida pela iterpolação de dois valores, um positivo (próximo de zero) e um egativo (próximo de zero) da fução P(r). Este é o método de Newto Raphso, utilizado pelas calculadoras eletrôicas.

71 álculo Maual da TIR A) INVESTIMENTO ( ) P r I r 55 1 r r ( 1 r) ( ) 2 ( ) 3 ( ) P (r ) 25 P(r 5%) 49 P(r 1%) x 5-x 5 1 x 5 x x x 1656x 245 x ,24 NA MÁQUINA 1. HS F 5 F J 45 F J 55 F J 11. F J f IRR 6,13 log o, TIR 5 1,24 6,24

72 69 B) FINANIAMENTO P (r %) - 25 P(r 5%) - 49 P(r 1%) x 5 x x x 1656x 245 x ,23 log o, TIR 5 1,24 6,24 X 49 5 X 1247 x 1, x 5 - x log otir 6, NA MÁQUINA 1. F 5 HS F J 45 HS F J 55 HS F J 11. HS F J f IRR 6,13

73 Aálise da TIR - Taxa Itera de Retoro TIR É A TAXA DE JUROS QUE ZERA O VPL A) INVESTIMENTO R 1 R 2 R 3 R I VPL VPL P(r) I P(r) I j 1 R R (1 r) 1 J j R ( 1 r) ( 1 r) ( 1 r) ( 1 r) R 3 R TIR r O projeto é bom se TIR > TMA O projeto é ruim se TIR < TMA, pois seão prefiro TMA seão VPL < B) FINANIAMENTO F I P 1 P 2 P 3 P P(r) TIR VPL VPL P(r) F P(r) F j 1 P (1 r) P 1 J j P ( 1 r) ( 1 r) ( 1 r) ( 1 r) P 3 P o r O projeto é bom se TIR < TM ax A O projeto é ruim se TIR > TMA, pois seão prefiro TMA seão VPL <

74 Aálise do VPL e da TIR Fluxo Ivestimeto Fluxo Fiaciameto r R , ,3 TIR 3% TIR 3% TMA 1%, VPL 1 P(r) 13 1,1 18,2 TMA 1%, VPL 1 P(r) 13 1,1 18, ANÁLISE VPL Aceito se VPL > aceito se VPL > Etradas > saídas etradas > saídas Rejeito se VPL < rejeito se VPL < Aceito se TIR > TMA Rejeito se TIR < TMA ANÁLISE TIR aceito se TIR < TM ax A rejeito se TIR > TM x A

75 72 RESUMO TIR > i mí TIR i mí TIR < i mí INVESTIMENTO AEITA AEITA REJEITA TIR > i máx TIR i máx TIR < i máx PAGAMENTO REJEITA AEITA AEITA 13.4 Iterpretação da TIR álculo da TIR deste fluxo 3,3% O que sigifica a TIR? Efetiva taxa de retabilidade aual do projeto, mas ão pode ser cosiderada taxa de gaho efetivo em cada período, a meos que as receitas sejam reivestidas à mesma TIR. Admita o VF do fluxo acima (receitas) VF R 2. (1,33) 3 4. (1,33) (1,33) 3. VF R 43.97, , , ,13 r 2.115, ,3% Prova: Supoha que o fluxo acima teha as receitas reaplicadas à taxa de 22% a.a. (ao ivés de 3.3% a.a.). VF R 2. (1,22) 3 4. (1,22) 2 3. VF R , , 54.9, ,96

76 73 r , ,76% a.a., a despeito de a TIR 3,3% a.a. Veja exemplo da istalação da turbia. Que decisão deve ser tomada sob o método da TIR? P(r) (1 r) (1 r) (1 r) 1 Qual é a r? Para r P() P() 568. Para r 5% 1 (1,5) 1 P(,5) (1,5).,5 P(,5) P(,5) Para r 7% 1 (1,7) 1 P(,7) (1,7).,7 P(,7) P(,5) -3.26

77 74 P(r) TIR x 2-x álculo da TIR x x x x x x 1, TIR 5, 1,57 6,57% omo a taxa de atratividade exigida o projeto é de 12%, ele deve ser rejeitado. Pela HP12 DADOS TELA FUNÇÃO VISOR OMENTÁRIOS <f><lear><reg> limpa registro <HS><g><F > , ivest. ao 21. <g><f 1 > 21., valor da parc. 1 <g><n j > 1, o de parc. <f><irr> 6,54 TIR

78 75 Sua empresa tem oportuidade de ivestir em um projeto com vida útil de sete aos. O ivestimeto iicial é de R$ 35., e receitas de R$ 12., os quatro primeiros aos e R$ 15., os três aos seguites. O preço fial de veda é de R$2.,. alcule a TIR e avalie o projeto admitido uma TMA 2% a.a P() (1 12. r 12. r 12. r 15. r 15. r r ) r ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) ( P(,33) ,33 1,33 1,33 1,33 1,33 1,33 1,33 P(,33) , ,88 5.1, ,8 3.64,4 2.71, ,52 P(,33) 811, P(,34) ,34 1,34 1,34 1,34 1,34 1,34 1,34 P(,34) , , 4.987, , ,9 2.59, ,64 P(,34) -78,8 P(r) x 1 - x

79 76 x x 78 78x x 889x 811 x ,91 TIR 33,91 33,91%a.a. Pela HP-12 DADOS TELA FUNÇÃO VISOR OMENTÁRIOS <f><lear><reg> limpa registro 35. <HS><g><F > -35., ivest. ao 12. <g><f 1 > 12., parcela ao 1 a 4 4 <g><n j > 4, o de parc. 15. <g><f j > 15., parcela ao 5 a 6 2 <g><n j > 2, o de parc. 35. <g><f j > 35., parcela ao 7 <f><irr> 33,91 TIR omo TIR > Tx. Atratividade, o projeto deve ser aceito Desvatagem do Método da TIR A fução P(r) comparada a zero correspode a um poliômio ode ada garate que sua raiz seja sempre positiva e úica. Podem ocorrer raízes múltiplas, reais e imagiárias, positivas ou egativas. TEOREMA DOS SINAIS DE DESARTES O úmero de raízes positivas da equação F(x) a a 1 x... a x ão ultrapassa o úmero de variações a seqüêcia dos siais dos coeficietes e, se for iferior, diferirá de um úmero par. Assim, projetos covecioais que possuem apeas uma iversão de sial de seqüêcia dos fluxos, terão apeas uma raiz ou ehuma.

80 odições de Soper Dada , ode <, é o ivestimeto iicial 1 > 1... >, são receitas e 1... > Haverá apeas uma mudaça de sial e, logo, uma raiz positiva. EXEMPLOS 1) Determiar a TIR relativa a um empréstimo de R$ 126.9, a ser liquidado em quatro pagametos mesais e cosecutivos de R$ 25.,, R$ 38.,, R$ 45., e R$ 27., ( 1 r) ( 1 r) ( 1 r) ( 1 r) 2 Pela HP-12: LIMPAR g F 25. HS g F J 38. HS g F J 45. HS g F J 27. HS g F J f IRR 2,47% a.m (r 2%) ,2 P ( 1,2) ( 1,2) ( 1,2) , , , ,83 P(r 2%) 1.482,54

81 (r 2,5%) , P ( 1,25) ( 1,25) ( 1,25) , , , ,67 P(r 2,5%) 93,17 P(r) 93,17 2 2,5 Tx. Itera (x) ,482x x 93,17,5 x 741 1,482x 93,17x ,17x x ,17,47 TIR 2,47 2,47% am. Prova: VF 25. (1,247) 3 38.(1,247) 2 45.(1,247) , , , , ,51 i 126.9, 1 4 1x1 2,47% a.m.

82 Lista de Exercícios 14.1 Revisão de Matemática 1) x 1 1 x??? 2 3 1,22 Pela HP12 R: 34,75% Ateção: x é um percetual. i 2) 1 1, Pela HP12 Se "i" é taxa de juros e o prazo é em meses, posso admitir tratar-se de uma taxa trimestral. R: 16,23%

83 i 3) 1 1, 2 1 R: 26,82% a.a. (dc) i 4) 1 1, R: 19,5% a.a. (du) ) 1??? 1 R:1,53% a.m.

84 ) 1??? 1 R: 1,53% a.m. 2 i 7) 1 1 i? R: 1,53% a. m. 8) Avalie a difereça etre os três últimos resultados e explique porque são iguais? 2 i 9) 1 1 i??? R: 72,8% a.a.

85 82 12 ia im 1) 1 1 ; se i a taxa aual e i m taxa mesal, 1 1 calcule i m : R: itri ia 11) 1 1 ; alcule i TRI, sabedo tratar-se de uma taxa trimestral. i TRI alculado pela HP x 12) 1 1, 6 1 R: x 12,39%

86 ) x 5 2 R: x 1, ) x 5 2 R: 1,24

87 Regras de Potêcia 1) y 3 27 R: 3 2) 1 x 1 2 1,5 R: 22,47%

88 85 Usado a HP 12 1) ÁLULO OPERAÇÃO VISOR ,25, ,25, , , ,333 2 (,333) 9 2 9, 9, Para calcular uma potêcia fracioária, digite o valor da base, tecle ENTER, digite o valor do deomiador, tecle <1/x>, em seguida tecle <y x >, etão digite o valor do umerador e tecle <y x >. 2) ÁLULO OPERAÇÃO VISOR 2 3/4 1,68 3 1/5 1,25 4 5/3 1,8 1,5 3/2 1,84,7 2/5,87

89 86 3) ÁLULO OPERAÇÃO VISOR 2 3/4 1, /4, ,37

90 Descotos Bacários 1) E R$25., d 2% a m 4 meses. D f? D d? i ef? D d D f i. De fato: R: D d R$1.851,85; D f R$2.,; i ef 2,174% a.m. 2) Se i d, por que D d < D f? R: 3) Se i d, por que od > of? R:

91 88 4) Deduza a fórmula para calcular o descoto por fora em fução do descoto por detro? R: 5) Desevolva a fórmula para obter a taxa efetiva de descoto por detro a partir da taxa de descoto por fora? R: 6) Idem em relação à taxa de descoto por fora e o IOF. R:

92 89 7) Idem icluido a reciprocidade. R: 8) E R$1., d 1% a m t IOF,123% a m 3 meses alcule i ef pela formula e pelo descoto. De fato: R: 14,538% a.m.

93 9 9) E R$1., d 1% a m t IOF,123% a m 3 meses α 1% alcule i ef pela formula e pelo descoto. R: 16,98% a.m Juros Simples 1) Determiar os juros e o valor de resgate de um empréstimo de R$5.,, com taxa de juros de 5% a m, o prazo de três trimestres? R: R$22.5, e R$72.5, 2) Um capital de R$3., aplicado durate cico meses rede juros de R$1.5,. Determiar a taxa de juros da operação. R: 1% a m

94 91 3) Determiar o valor do capital iicial ecessário para produzir o motate de R$4., daqui a cico bimestres, sabedo que a taxa de juros é de 2% a m. R: R$3.333,33 4) Quatos meses são ecessários para que um ivestimeto de R$1.5, se trasforme o motate de R$3.,, a uma taxa de juros de 2% a b? R: 1 meses 5) alcule os juros e o motate de um empréstimo de R$4., com prazo de 175 dias, à taxa de 9% a.a. (ao comercial). R: R$17.5, e R$417.5, 6) Determiar o valor de resgate de um capital que, aplicado por seis semestres, à taxa de 3% a.a. rede R$6., de juros? R: R$ ,67

95 92 7) Depois de quatos meses um ivestimeto dobra de valor, cosiderado uma taxa de juros de 1% a.a.? R: 12 meses 8) Sabedo que a taxa de juros é de 3% a m, determiar o valor hoje das seguites obrigações: R$2., devidos hoje R$4., devidos em seis meses R$12., devidos em 15 meses R: R$13.665,69

96 Juros ompostos 1) alcule o valor futuro de R$1 capitalizados aualmete, para: a) 1 aos a 5% b) 1 aos a 7% c) 2 aos a 5% d) Por que os juros obtidos o item c ão são iguais ao dobro dos obtidos o item a? R: a) R$ 1.628,89 b) R$ 1.967,15 c) R$ 2.653,3 d) J 2) Você prefere receber R$1. hoje ou R$2. daqui a 1 aos, se a taxa de juros é de 8% a.a.? R: Prefiro R$ 1. hoje

97 94 3) Você gahou um prêmio e lhe oferecem duas opções: R$1. daqui a 1 ao; R$2. daqui a 5 aos. Qual sua escolha se a taxa de juros for: a) %; b) 1%; c) 2% d) Qual a taxa de juros que tora as duas opções idiferetes? R: a) escolho a seguda b) escolho a seguda c) escolho a primeira d) 18,92% a.a. 4) Posso fazer um ivestimeto hoje o valor de R$9.,. Terei o fial do primeiro ao uma receita de R$12.,, o segudo R$25., e o terceiro R$8.,. Se a taxa de juros é de 12% aa, devo fazer o ivestimeto ou ão? R: VPL - R$ ,48 logo ão deve 5) osiderado o exercício aterior, se r 11%aa, como fica? R: VPL - R$ 41.33,18, logo ão deve

98 95 6) Sua empresa vedeu hoje um ativo por R$9.. O pagameto será feito daqui a 5 aos. O custo de produção do ativo é de R$6.. Se r 1% a.a., a) haverá lucro? b) Qual a taxa que ão há lucro em prejuízo? R: a) Não haverá lucro b) 8,45% a.a. 7) Um baco lhe oferece 3 tipos de empréstimos a taxa de juros de 16% a.a. Quato você tomaria emprestado hoje, se as codições de pagameto fossem: a) um pagameto aual de R$1.2 por 5 aos; b) um pagameto trimestral de R$3 por 1 aos; c) um pagameto mesal de r$1 por 15 aos. R: a) R$ 3.929,15 b) R$ 5.937,83 c) R$ 6.88,74

99 96 8) Determiar o valor de resgate de uma aplicação de R$ 15., à taxa de juros de 1,8% a.m. por um prazo de quatro semestres. Pela HP12 R: R$ 23.16,43 9) alcular o capital ecessário para produzir um motate de R$ 23.,, à taxa de juros de 18,2% a.a., daqui a 288 dias. R: R$ 2.12,27 1) Determiar o prazo ecessário para um capital dobrar, a uma taxa de 12% a.a. Pela HP12 R: 6,12 aos

100 97 11) Qual a taxa de juros (aual) que produz um motate de R$ 68., a partir de um ivestimeto de R$ 45., o fial de 8 aos? R: 5,296% a.a. 12) Um empresário compra um equipameto o valor de R$ 8.,. Paga R$ 2., à vista e se compromete a pagar R$ 55., em 4 meses. Sabedo que a taxa de juros é de 2% a.m., determiar o pagameto a ser feito o fial do 6 o mês para liquidar a dívida? 55. X R: R$ 1.347,75 13) Um clube de futebol possui uma dívida com um baco, cujos pagametos de R$15., e R$2., vecem daqui a 3 e 6 meses, respectivamete. O clube procurou o baco e propôs liquidar a dívida com um pagameto úico de R$ 3.,. Determiar a época em que deve ser feito esse pagameto, se a taxa de juros é de 5% a.m R: 1,5 mês

101 Taxas Equivaletes 1) Determiar a taxa mesal equivalete a: a) 6% a.t.; R: 1,96% a.m. b) 24% a.s.; R: 3,65% a.m c) 36% a.a. R: 2,6% a.m. 2) Determiar a taxa diária equivalete a 25% a.a. assumido ao civil (365 dias) R:,6% a.d.

102 99 3) Determiar a taxa efetiva aual equivalete às taxas (ao comercial): a) 12% a.a. capitalizada diariamete R: 12,75% a.a. b) 12% a.a. capitalizada mesalmete R: 12,68% a.a. c) 12% a.a. capitalizada bimestralmete R: 12,62% a.a. d) 12% a.a. capitalizada trimestralmete R: 12,55% a.a. e) 12% a.a. capitalizada semestralmete R: 12,36% a.a.

103 1 4) Sedo 17% a.a. capitalizada semestralmete, qual a taxa efetiva aual? R:17,72% a.a. 5) Sedo 12% a.s. capitalizado trimestralmete, qual a taxa efetiva semestral? R: 12,36% a.s. 6) Sedo 5% a.t. capitalizado mesalmete, qual a taxa efetiva trimestral? R: 5,8% a t 7) Sedo 3% a.b. capitalizado mesalmete, qual a taxa efetiva bimestral? R: 3,2 % a.b.

104 11 8) Sedo 1,5% a.m. capitalizado diariamete, qual a taxa efetiva mesal? R: 1,51% a.m.

105 Valor Nomial, Valor Presete e Valor Futuro 1) Qual o valor omial de uma ota promissória de R$ 7.575,76, assiada hoje com vecimeto daqui a 1 meses, se a taxa de aplicação for de 38,4% a.a.(js)? R: R$1., 2) O valor omial de uma ota promissória é de R$ 4.77,. Qual seu valor atual 3 meses ates do vecimeto, se a taxa de juros efetiva composta é de 24% a.a.? R: R$4.52,26

106 13 3) erta pessoa aplicou R$ 1., à taxa efetiva de 29% a.a. (J) pelo prazo de 9 meses, com capitalização mesal. Dois meses ates da data do vecimeto, trasferiu a aplicação para um amigo. Na ocasião, a taxa de juros vigete em mercado era de 32%. Qual é o valor do título em mercado por ocasião da trasferêcia? R: R$11.558,54

107 Letras do Tesouro Nacioal 1) LTN 3 dias corridos - 21 dias úteis PU 988,63456 Pergutas: a) Qual a taxa efetiva aual? b) Sabedo que r a 1% a.a., qual a expectativa de iflação o ao e o período? c) alcule o PU o 1 o. dia útil d) Se o 1 o. dia útil (9 decorridos), a expectativa de iflação passa para 8% a.a., qual deve ser o PU desse título em mercado? e) Supodo que você teha 1.. dessas LTN, qual o seu lucro/prejuízo o dia? Respostas: a) R: 15,5% a.a. b) No ao: No período: R:.474% o período

108 15 c) , O R: 993, d) 1. Nova taxa efetiva aual 1,1 x 1,8 1,188 PU 1 o du 1 O 9 12 R: 991,83165 e) Prejuízo: R: prejuízo de R$ ,64

109 16 2) Uma aplicação o overight de R$ 65., é resgatada o dia seguite por R$65.452,83. Qual a taxa efetiva aualizada da operação? R: 19,18% a.a. 3) Supoha: Π* 8% a.a. I ef 22% a.a. Mês com 2 dias úteis a) Qual a taxa de juro real ao ao? b) Qual a taxa de juro real acumulada o mês (2 du)? c) Qual a taxa efetiva mesal (acumulada) d) Qual a taxa efetiva do overight? e) Qual a taxa de iflação acumulada o mês? Respostas a) R: 12,963% a.a. b) R:,972% a.m. c) R: 1,59% a.m d) R:,7894% a.d.u.