Cálculo de Resíduos AULA 12

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1 AULA 2 META: Apresentar cálculo de resíduos. OBJETIVOS: Ao fim da aula os alunos deverão ser capazes de: Definir resíduo de uma função de variáveis complexas em um ponto dado e calcular o resíduo de uma função de variáveis complexas em um ponto dado. PRÉ-REQUISITOS Aula de Variáveis Complexas.

2 2. Introdução Caros alunos nessa nossa aula veremos Cálculo de Resíduos. O teorema da integral de Cauchy-Goursat assegura que a integral de uma função holomorfa ao longo de uma curva fechada simples C é zero. O cálculo de resíduos permite estender o teorema de Cauchy-Goursat para funções que possuam singularidades isoladas tipo polo no interior da curva C. 2.2 Resíduos Lembrem-se que z 0 é dito um ponto singular de uma função f( ) se f( ) falha em ser holomorfa em z 0 mais é holomorfa em algum ponto de toda vizinhança de z 0. Ademais z 0 é dita singularidade isolada se existe uma vizinhança de z 0 onde f( ) é holomorfa a exceção de z 0. Definição 2.. Seja D C um aberto e f : D C C holomorfa em D {z 0 }. Definimos o resíduo de f( ) no ponto z 0, denotado res(f, z 0 ), como coeficiente do termo da série de z z 0 Laurent de f( ) centrada em z 0. Vejamos um exemplo de resíduo. Exemplo 2.. Na aula0 vimos que a série de Laurent para a função f(z) = eaz (z ) 4 em torno do ponto z 0 = era: e a f(z) = (z ) 4 + aea (z ) 3 + a2 e a (z ) 2 + a3 e a z a k+4 e a (z ) k +. (k + 4)! k=0 Por simples inspeção vemos que: res(f, ) = a 3 e a. 74

3 Variáveis Complexas Γ AULA 2 γ 2 γ a 2 γ n a a n Figura 2.: Teorema dos Resíduos Vejamos agora como adaptar o teorema de Cauchy-Goursat para o caso de funções não-holomorfas com um número finito de pólos. Teorema 2. (Teorema dos resíduos). Seja D C um aberto e f : D C C holomorfa em D {z, z 2,..., z n }. Suponha Γ D {z, z 2,..., z n } uma curva suave por partes, orientada no sentido positivo, tal que em seu interior contenha todos os pontos z, z 2,..., z n então: PROVA: f(z)dz = 2πı Γ n res(f, z k ) k= Para cada ponto z k, k =, 2,..., n tomemos um círculo γ k de centro em z k tais que: γ k não tem ponto em comum com γ n, n k nem com Γ e está orientado positivamente (sentido anti-horário) (ver figura 2.) seja γ k o círculo γ k orientado negativamente (sentido horário). Seja C = Γ γ γ 2 γ n. Do teorema de Cauchy temos: C f(z)dz = 0 (2.7) Levando em conta a construção de C podemos reescrever eqn 75

4 2.7 como: Γ f(z)dz = Do teorema de Laurent temos: onde: Em particular: Daí, tiramos: f(z) = m= b m n k= (z z k ) m + γ k f(z)dz (2.72) a n (z z k ) n b m = f(z)(z z k ) m dz, m =, 2, 3,... 2πı γ k res(f, z k ) = b = f(z)dz 2πı γ k γ k f(z)dz = 2πıres(f, z k ) (2.73) Daí, substituindo eqn 2.73 em eqn 2.72 temos: n f(z)dz = res(f, z k ). (2.74) 2πı Γ Veremos agora um teorema que relaciona em uma mesma integral k= o número de zeros e o número de pólos de uma função. Teorema 2.2. Seja D C um aberto e f : D C C holomorfa em D {z, z 2,..., z n }. Suponha Γ D {z, z 2,..., z n } uma curva suave por partes, orientada no sentido positivo, tal que em seu interior contenha todos os pontos z, z 2,..., z n e que esses pontos sejam pólos de f( ) e que Γ não contenha nenhum zero de f( ) então: f (z) 2πı Γ f(z) dz = Z P onde Z é o número de zeros de f( ) no interior de Γ, contado tantas vezes quantas forem sua multiplicidade e P o número de 76

5 Variáveis Complexas pólos de f( ) no interior de Γ contado tantas vezes quantas forem sua ordem. AULA 2 PROVA: Consideremos a integral: f (z) dz (2.75) 2πı f(z) Γ Pelo teorema dos resíduos a integral em eqn 2.75 é a soma dos resíduos do integrando. Porém, dado um ponto a no interior de Γ temos três possibilidades: i) f(a) 0 ii) f(0) = 0 e a é um zero de multiplicidade m de f( ) iii) lim z a f(z) = ±, a é um polo de ordem k de f( ) Parte : no caso i) f (z) é holomorfa o resíduo é zero e o ponto f(z) nada contribui para a integração em eqn Parte 2 no caso ii) para este caso existe uma bola aberta B r (a) de raio r e centro em a tal que f(z) = (z a) m g(z), z B r (a) onde g(z) é holomorfa em B r (a). Daí, calculando a razão f (z) f(z) temos: f (z) f(z) = m(z a)m g(z) + (z a) m g (z) (z a) m = m g(z) z a + g (z) g(z) (2.76) g (z) Como g(z) é holomorfa em B r (a), também é holomorfa e g(z) portanto tem representação por série de Taylor en torno do ponto z = a. Daí, temos: g (z) g(z) = c n (z a) n (2.77) Daí, substituindo eqn 2.77 em eqn 2.76 temos: f (z) f(z) = m z a + c n (z a) n (2.78) 77

6 Logo eqn 2.78 é a série de Laurent de f (z), z = a é um polo ( f(z) f ) (z) de primeira ordem cujo resíduo é res f(z), a = m, que é a contribuição do ponto z = a à integral eqn Parte 3: no caso iii) para este caso existe uma bola aberta B r (a) de raio r e centro em a tal que f(z) = (z a) k g(z), z B r (a) onde g(z) é holomorfa em B r (a). Daí, calculando a razão f (z) f(z) temos: f (z) f(z) = k(z a) k g(z) + (z a) k g (z) (z a) k g(z) = k z a + g (z) g(z) (2.79) g (z) Como g(z) é holomorfa em B r (a), também é holomorfa e g(z) portanto tem representação por série de Taylor en torno do ponto z = a. Daí, temos: g (z) g(z) = c n (z a) n (2.80) Daí, substituindo eqn 2.80 em eqn 2.79 temos: f (z) f(z) = k z a + c n (z a) n (2.8) Logo eqn 2.8 é a série de Laurent de f (z), z = a é um polo ( f(z) f ) (z) de primeira ordem cujo resíduo é res f(z), a = k, que é a contribuição do ponto z = a à integral eqn Juntando as contribuições dos casos ii) e iii) temos: f (z) 2πı f(z) dz = Z P Γ onde Z é o número de zeros de f( ) no interior de Γ, contado tantas vezes quantas forem sua multiplicidade e P o número de 78

7 Variáveis Complexas pólos de f( ) no interior de Γ contado tantas vezes quantas forem sua ordem. A seguir, veremos alguns teoremas que auxiliaram na determinação dos resíduos de uma função não-holomorfa. AULA 2 Teorema 2.3. Seja D C um aberto e f : D C C holomorfa em D {z 0 }. E suponhamos que z 0 é um polo de ordem de f( ). Então res(f, z 0 ) = lim z z0 (z z 0 )f(z). PROVA: da forma: Da hipótese do teorema a série de Laurent de f(z) é f(z) = res(f, z 0) z z 0 + c n (z z 0 ) n (2.82) Fazendo o produto de eqn 2.82 por z z 0 temos: (z z 0 )f(z) = res(f, z 0 ) + c n (z z 0 ) n+ (2.83) Passando o limite z z 0 em eqn 2.83 e levando em conta que lim c n (z z 0 ) n+ = 0 temos: z z 0 res(f, z 0 ) = lim z z0 (z z 0 )f(z). Teorema 2.4. Seja D C um aberto e f : D C C holomorfa em D {z 0 }. E suponhamos que z 0 é um polo de ordem k > de f( ) e g : D C C dada por g(z) = (z z 0 ) k f(z). Então res(f, z 0 ) = g(k ) (z 0 ). (k )! PROVA: da forma: Da hipótese do teorema a série de Laurent de f(z) é f(z) = b k (z z 0 ) k + + res(f, z 0) + z z 0 c n (z z 0 ) n (2.84) 79

8 Fazendo o produto de eqn 2.84 por (z z 0 ) k temos: (z z 0 ) k f(z) = b k + + res(f, z 0 )(z z 0 ) k + c n (z z 0 ) n+k (2.85) Como g(z) = (z z 0 ) k f(z) e é holomorfa da eqn 2.85 temos: g(z) = b k + +res(f, z 0 )(z z 0 ) k + c n (z z 0 ) n+k (2.86) Logo eqn 2.84 é a expansão em série de Taylor de g(z) en torno do ponto z 0 e res(f, z 0 ) o coeficiente de (z z 0 ) k nessa expansão e portanto: res(f, z 0 ) = g(k ) (z 0 ). (k )! OBS 2.. Se f(z) é holomorfa em z 0 então res(f, z 0 ) = 0 que não contribui em nada. Porém, se z 0 é uma singularidade essencial não tem uma fórmula para simplificar a obtenção do resíduo e o caminho é determinar a série de Laurent de f(z). 2.3 Conclusão Na aula de hoje, vimos que é possível estender o teorema de Cauchy para funções não-holomorfas no interior de uma curva fechada simples em cujo interior o integrando possua singularidades isoladas. RESUMO No nosso resumo da Aula 2 constam os seguintes tópicos: 80

9 Resíduos Definição Variáveis Complexas Seja D C um aberto e f : D C C holomorfa em D {z 0 }. Definimos o resíduo de f( ) no ponto z 0, denotado res(f, z 0 ), como coeficiente do termo da série de Laurent de f( ) centrada z z 0 em z 0. Teorema Seja D C um aberto e f : D C C holomorfa em D {z, z 2,..., z n }. Suponha Γ D {z, z 2,..., z n } uma curva suave por partes, orientada no sentido positivo, tal que em seu interior contenha todos os pontos z, z 2,..., z n então: f(z)dz = 2πı Γ n res(f, z k ) k= AULA 2 Teorema 2 Seja D C um aberto e f : D C C holomorfa em D {z, z 2,..., z n }. Suponha Γ D {z, z 2,..., z n } uma curva suave por partes, orientada no sentido positivo, tal que em seu interior contenha todos os pontos z, z 2,..., z n e que esses pontos sejam pólos de f( ) e que Γ não contenha nenhum zero de f( )então: f (z) 2πı Γ f(z) dz = Z P onde Z é o número de zeros de f( ) no interior de Γ, contado tantas vezes quantas forem sua multiplicidade e P o número de pólos de f( ) no interior de Γ contado tantas vezes quantas forem sua ordem. 8

10 PRÓXIMA AULA Em nossa próxima aula veremos algumas aplicações do cálculo de resíduos (teorema dos resíduos). algumas integrais definidas. Em especial no cálculo de ATIVIDADES Deixamos como atividades as seguintes questões: ATIV. 2.. Seja f(z) = e z csc(z). Determine todos os pólos de f( ) e calcule o resíduo em cada polo. Comentário: use a fórmula lim z z k (z z k )f(z). Verifique que todos os pólos de f( ) são simples e ATIV Determine a integral: o círculo unitário z =. Comentário: Aplique o teorema do resíduos e o problema anterior. e z csc(z)dz onde C é 2πı C LEITURA COMPLEMENTAR SPIEGEL, Murray R., Variáveis Complexas, Coleção Schaum, Editora McGraw-Hill do Brasil, 973. SOARES, Márcio G., Cálculo em uma Variável Complexa, Coleção Matemática Universitária, Editora SBM, BROWN, James W. and CHURCHILL, Ruel R., Complex Variables and Applications Editora McGraw Hill, FERNANDEZ, Cecília S. e BERNARDES Jr, Nilson C. Introdução às Funções de uma Variável Complexa. Editora SBM,