Problema 4.40 do livro do Symon
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- Eduardo Franco Chagas
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1 Problema 4.4 do livro do Symon O problema 4.4 do livro do Symon é uma variação do que vimos na postagem Dois osiladores harmônios aoplados pois onsta de três massas presas a duas molas ao longo de um eixo horizontal enquanto naquela postagem tínhamos duas massas presas a três molas. No entanto no problema 4.4 podemos desaoplar o movimento do entro de massa do movimento envolvendo os desloamentos relativos entre as massas que são dois: entre a primeira e a segunda massas e entre a segunda e a tereira. Aqui vou ilustrar omo podemos omeçar om uma matriz não simétria simetrizá-la e resolver o problema usando a solução para diagonalização dada na postagem Diagonalizando uma matriz dois por dois simétria. Segue o enuniado do problema: Agora a resolução: De aordo om a Fig. 4.6 do livro do Symon as posições X X e X 3 das respetivas massas m m e relativas à origem da figura são dadas por X x l x ( e X x + l + x ( X 3 x. (3 As equações de movimento para as massas m m e são respetivamente dadas por m d X dt k x (4
2 e m d X dt k x (5 d X 3 dt k x k x. (6 Sustituindo a Eq. ( na Eq. (4 obtemos d x m dt m d x dt k x. (7 Agora oloando a Eq. ( na Eq. (5 fiamos om Das Eqs. (3 e (6 deorre que d x m dt + m d x dt k x (8 d x dt k x k x. (9 Substituindo a Eq. (9 na Eq. (7 obtemos m k x m k x m d x dt k x m d x dt k x + m k x m k x d ( x dt k + x + k x. ( m Usando a Eq. (9 na Eq. (8 fiamos om m k x m k x + m d x dt k x m d x dt k x m k x + m k x d ( x dt k + x + k x. ( m
3 As Eqs. ( e ( formam um onjunto aoplado desrevendo o movimento interno omo diz o enuniado. Vamos enontrar a posição do entro de massa: X CM m X + m X + X 3 m + m + m (x l x + m (x + l + x + x m + m + X CM m x + m x + x m + m + + m l + m l m + m + + m x + m x m + m + x + m l m l m tot + m x m x m tot ( onde para simplifiar a notação definimos m tot m + m +. (3 Podemos agora enontrar a equação de movimento para a posição do entro de massa. Derivando duas vezes a Eq. ( om relação ao tempo e usando as Eqs. (7 e (8 obtemos d X CM d x m tot dt m tot dt + m d x dt m d x dt m tot d x dt k x m d x dt + k x m d x dt m tot d X CM dt d x dt + k x k x. (4 A substituição da Eq. (9 na Eq. (4 fornee m tot d X CM dt k x k x + k x k x. (5 A equação de movimento do entro de massa de aordo om a Eq. (5 é simplesmente d X CM dt. (6 A Eq. (6 poderia ter sido esrita sem termos feito álulo algum pois não há forças externas agindo sobre o sistema e portanto o entro de massa tem veloidade onstante. 3
4 Vamos resolver então as Eqs. ( e (. Essas equações podem ser reesritas em termos matriiais assim: ( d x dt k m + k ( x. (7 x k k m + x Para failitar a notação definamos: e µ m + (8 µ m +. (9 Então a Eq. (7 om as Eqs. (8 e (9 fia d x k k µ dt x x k k µ x. ( Note que k µ k k k µ Seja portanto µ µ s µ µ s k k k k. ( k k k x k x x M ( x onde definimos M k. (3 k Substituindo a Eq. ( na Eq. ( obtemos d x µ dt k x d x dt x µ µ µ 4 k k s M s k (4 x x
5 onde já utilizamos as Eqs. ( e (3. Multipliando pela esquerda ambos os membros da Eq. (4 pela matriz M definida na Eq. (3 enontramos M d x dt x M µ µ s M s. (5 Mas omo M é uma matriz onstante no tempo temos ( M d x dt d x x dt M d s x dt (6 s lembrando da Eq. (. Seja H M µ µ M. (7 Então usando as Eqs. (6 e (7 na Eq. (5 fiamos om d s s dt H. (8 s s Vamos agora trabalhar um pouo na Eq. (7. Fazendo a substituição da Eq. (3 na Eq. (7 e efetuando as duas multipliações matriiais obtemos H k k k k k k µ µ k µ k µ k k H k kk kk µ k µ (9 que é uma matriz simétria é idêntia à sua transposta. Uma matriz simétria é diagonalizável. Para simplifiar a notação sejam a k µ (3 e b k µ (3 k k. (3 5
6 Então om as Eqs. (3 (3 e (3 podemos reesrever a Eq. (9 assim: a H. (33 b Note que a e b são números reais negativos enquanto que é positivo. Para diagonalizar a matriz definida pela Eq. (33 podemos seguir o proedimento apresentado na postagem Diagonalizando uma matriz dois por dois simétria obtendo: U + (λ a λ a (34 e U λ a + (λ a (35 omo os autovetores e e λ a + b λ a + b + (b a + 4 (36 (b a + 4 (37 omo os respetivos autovalores. Como expliado na postagem Diagonalizando uma matriz dois por dois simétria as Eqs. (34 e (35 dão as duas olunas da matriz N que diagonaliza a matriz H : N + (λ a λ a É evidente que a inversa de N é ela mesma N N (39 λ a. (38 omo pode ser imediatamente verifiado. Logo a diagonalização da matriz H da Eq. (33 fia λ NHN (4 λ onde λ e λ são os autovalores dados pelas Eqs. (36 e (37 respetivamente omo voê pode verifiar através da multipliação matriial indiada no membro esquerdo da Eq. (4. 6
7 Para esrever a resposta do problema multipliamos pela esquerda ambos os membros da Eq. (8 por N obtendo onde por onveniênia definimos N d S NHS NHIS (4 dt S s Por ausa da Eq. (39 podemos esrever s. (4 N I. (43 Porque N é independente do tempo omo vemos na Eq. (38 e usando as Eqs. (4 e (43 podemos reesrever a Eq. (4 omo d λ (NS NHN (NS dt λ (NS. Para poder esrever a solução explíita da Eq. (4b seja r NS. (44 r A substituição da Eq. (44 na Eq. (4b fornee d r dt r λ λ r r (45 uja solução obviamente é dada por r (t C os ( λ t + D sen ( λ t r (t C os ( λ t + D sen ( λ t (4b (46 onde C D C e D são onstantes que devem ser determinadas pelas ondições iniiais do problema. Que λ é menor do que zero é óbvio das Eqs. (3 (3 e (37. Para ver que λ também é menor do que zero preisamos usar as Eqs. (8 (9 (3 (3 (3 e (36. Vamos ver então o argumento mostrando que λ <. Comee onsiderando que as massas são positivas. Então implia que + + > m m m m m m + m + m + m 3 > m 3 7
8 ( + ( + m m > µ µ m 3 > m 3 onde usamos as Eqs. (8 e (9. Podemos multipliar a última desigualdade por k k obtendo k k > k k. µ µ m 3 Essa desigualdade om as Eqs. (3 (3 e (3 fia ou ainda impliando que ab > 4ab > 4 a + b + ab > 4 + a + b ab (a + b > (a b + 4 ou extraindo a raiz quadrada de ambos os membros a + b > (a b + 4 ou ainda a + b > (a b + 4 a + b > + (a b + 4 e omo a e b são ambos números negativos (f. Eqs. (3 e (3 podemos esrever > a + b + (a b + 4 8
9 λ < onde usamos a Eq. (36. Com isso a raiz quadrada de λ apareendo na Eq. (46 é real e essa solução faz sentido no âmbito de números reais. Das Eqs. (44 e (46 obtemos r C os ( λ S N N t + D sen ( λ t C os ( λ t + D sen ( λ t r + (λ a λ a λ a C os ( λ t + D sen ( λ t C os ( λ t + D sen ( λ t onde usamos as Eqs. (38 e (39. Usando as Eqs. ( e (4 podemos esrever x M S. (48 x É evidente da Eq. (3 que a inversa da matriz M é simplesmente M k. (49 k (47 Substituindo as Eqs. (47 e (49 na Eqs. (48 enontramos x k λ a x + (λ a k λ a C os ( λ t + D sen ( λ t C os ( λ t + D sen ( λ t x x + (λ a k λ a k λ a k k C os ( λ t + D sen ( λ t C os ( λ t + D sen ( λ t. (5 Só resta agora determinar as onstantes C D C e D dadas as ondições iniiais x ( x ( ẋ ( e ẋ (. Fazendo t na Eq. (5 temos x ( λ a k k C x ( C + (λ a + (λ a λ a k k k k λ a C λ a C x ( x ( M + (λ a λ a λ a C (5 C 9
10 onde usamos a Eq. (49. Logo a Eq. (5 fornee C x ( N M (5 C x ( onde usamos a Eq. (38. Por ausa da Eq. (43 podemos reesrever a Eq. (5 assim: C x ( NM. (53 C x ( Substituindo as Eqs. (3 e (38 na Eq. (53 obtemos C λ a k x ( C + (λ a λ a k x ( λ a k x ( + (λ a λ a k x ( C C k x ( + (λ a k x ( + (λ a (λ a k x ( k x (. (54 Agora vamos tomar a primeira derivada temporal da Eq. (5: ẋ λ a k k λ C sen ( λ t + λ D os ( λ t ẋ + (λ a λ a k k λ C sen ( λ t + λ D os ( λ t Fazendo t na Eq. (55 fiamos om ẋ ( λ a k k ẋ ( + (λ a λ a k k k λ N k λ λ λ D D D onde usamos a Eq. (38. Podemos manipular a Eq. (56 para obter λ N D k ẋ ( λ k ẋ ( D D (56. (55 λ λ D D N k ẋ ( k ẋ ( (57
11 onde usamos a Eq. (43. Podemos ainda reesrever a Eq. (57 omo D λ N k ẋ (. (58 D k λ ẋ ( Finalmente usando a Eq. (38 na Eq. (58 vem D λ λ a D + (λ a λ λ a λ + (λ a λ k ẋ ( k ẋ ( k ẋ ( + (λ a k ẋ ( (λ a k ẋ ( k ẋ ( D D k + (λ a λ ẋ ( + (λ a (λ a k λ ẋ ( k λ ẋ ( k λ ẋ (. (59 Veja que a Eq. (5 também pode ser esrita desta forma: x M C os ( λ N t + D sen ( λ t x C os ( λ t + D sen ( λ t (6 onde usamos as Eqs. (47 e (48. Então a Eq. (6 pode ser deomposta omo x ( ( C x os λ t + D sen λ t M N ( ( + C os λ t + D sen λ t M N. (6 Agora observe: N + (λ a + (λ a λ a λ a λ a U (6 usando as Eqs. (34 e (38. Da mesma forma N + (λ a λ a λ a + (λ a λ a U (63
12 om as Eqs. (35 e (38. A substituição das Eqs. (6 e (63 na Eq. (6 fornee x ( ( C x os λ t + D sen λ t M U ( ( + C os λ t + D sen λ t M U. (64 Em suma a Eq. (64 é a resposta do problema definido pela Eq. (7 om as onstantes C e C dadas pela Eq. (54 as onstantes D e D dadas pela Eq. (59 os autovalores λ e λ dados pelas Eqs. (36 e (37 respetivamente os autovetores U e U dados pelas Eqs. (34 e (35 respetivamente e a matriz M dada pela Eq. (49. Entre essas equações apareem as onstantes µ µ a b e definidas respetivamente pelas Eqs. (8 (9 (3 (3 e (3. É interessante notar que os vetores M U e M U apareendo na Eq. (64 são os autovetores da matriz original da Eq. (7 ou usando uma notação mais ompata da Eq. ( om autovalores λ e λ respetivamente. Ver isso é fáil: omo vimos depois da Eq. (33 que expressa a matriz simétria H os vetores U e U são os autovetores da matriz H om respetivos autovalores λ e λ. Tomemos o aso de U e λ por exemplo. Então HU λ U. (65 Substituindo a Eq. (7 na Eq. (65 dá M µ µ MU λ U. (66 Como a matriz M tem inversa M omo vimos na Eq. (49 também podemos expressar a Eq. (66 omo M µ µ M ( MM U λ U M µ µ MM ( M U λ U µ µ MM ( M U λ ( M U. (67 Das Eqs. ( e (3 vemos que µ µ MM k µ k k k µ (68
13 que é a matriz original da Eq. ( que por sua vez é a matriz da Eq. (7 om o uso das Eqs. (8 e (9. A substituição da Eq. (68 na Eq. (67 mostra que o vetor oluna M U é o autovetor om autovalor λ da matriz original: k µ k k k µ (M U λ ( M U. (69 Voê pode verifiar que uma expressão análoga pode ser obtida para o vetor M U : k µ k k k µ (M U λ ( M U. (7 3
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