REPRESENTING TRANSMISSION LINE IN MODAL DOMAIN BY USING TWO TRANSFORMATION MATRICES: APPLICATION IN UNTRANSPOSED LINE WITH VERTICAL SYMMETRY PLANE

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1 REPRESENTAÇÃO DE LINHAS DE TRANSMISSÃO NO DOMÍNIO MODAL ATRAVÉS DE DUAS MATRIZES DE TRANSFORMAÇÃO: APLICAÇÃO EM LINHAS NÃO TRANSPOSTAS COM PLANO DE SIMETRIA VERTICAL Rodrigo S. Daltin, Sérgio Kurokawa, José Pissolato, Afonso J. Prado, Luiz F. Bovolato Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira (UNESP), Avenida Brasil Centro 56, Caixa Postal 3, Ilha Solteira (SP), CEP , Fone , FAX rsdaltin@aluno.feis.unesp.br, kurokawa@dee.feis.unesp.br, pisso@dsce.fee.unicap.br, afonsojp@dee.feis.unesp.br, bovolato@dee.feis.unesp.br Resuo: Este artigo te por objetivo ostrar ua aneira alternativa de representar a linha de transissão, no doínio do tepo, e seus odos exatos a partir de duas atrizes de transforação. A prieira atriz utilizada é a atriz de Clarke que é real, independente da freqüência e facilente representada e prograas de siulação de transitórios eletroagnéticos (EMTP). A atriz de Clarke separa a linha e seus Quase-odos α, β e zero. Os Quase-odos α e zero são agora decopostos nos seus odos exatos. E seguida, utiliza-se ua segunda atriz de transforação para decopor os Quase-odos α e zero e dois odos desacoplados. A principal vantage dessa representação alternativa é a de reduzir o tepo de processaento necessário, pois a atriz de transforação odal de ua linha trifásica te nove eleentos para sere representados no doínio do tepo, enquanto a atriz de transforação de ua linha bifásica te soente quatro eleentos. Este artigo ostra o processo de decoposição odal de ua linha trifásica não transposta co plano de sietria vertical co tensão noinal de 440 kv e copriento de 500 k. REPRESENTING TRANSMISSION LINE IN MODAL DOMAIN BY USING TWO TRANSFORMATION MATRICES: APPLICATION IN UNTRANSPOSED LINE WITH VERTICAL SYMMETRY PLANE Abstract: The objective of this paper is to show an alternative representation in tie doain of a nontransposed three-phase transission line decoposed in its exact odes by using two transforation atrices. The first atrix is Clarke s atrix that is real, frequency independent, easily represented in coputational transient progras (EMTP) and separates the line into Quasi-odes a, b and zero. After that, Quasi-odes a and zero are decoposed into their exact odes by using a odal transforation atrix whose eleents can be synthesized in tie doain through standard curve-fitting techniques. The ain advantage of this alternative representation is to reduce the processing tie because a frequency dependent odal transforation atrix of a three-phase line has nine eleents to be represented in tie doain while a odal transforation atrix of a two-phase line has only four eleents. This paper shows odal decoposition process and eigenvectors of a non-transposed three-phase line with a vertical syetry plane whose noinal voltage is 440 kv and line length is 500 k. Keywords: Electroagnetic transients analysis, frequency doain analysis, tie doain analysis, transission line atrix ethods.. Introdução Os parâetros de ua linha de transissão são variáveis e função da freqüência e distribuídos ao longo da linha. Ua linha de transissão é constituída de resistência, indutância e capacitância que estão distribuídas ao longo do copriento da esa. Portanto os odelos que representa ua linha deve levar e consideração a variação dos parâetros da esa e relação à freqüência. Os odelos e que os parâetros são considerados constantes não siu-

2 la adequadaente a resposta da linha e largas faixas de freqüências que estão presentes nos sinais resultantes de operações de anobras e chaveaento. Na aioria dos casos, odelos cujos parâetros são considerados constantes produze ua apliação das harônicas de orde elevada provocando, conseqüenteente, u auento no índice de distorção das foras de ondas que apresenta picos de agnitude elevada (Marti, 98). A representação de ua linha de transissão pode ser feita no doínio das fases ou no doínio odal. Se a linha é representada através de seus odos, todas as operações são efetuadas no doínio odal e convertidas novaente para o doínio das fases. Desta fora, ua linha polifásica co n fases pode ser desacoplada e seus n odos exatos sendo que cada u desses odos coporta-se coo ua linha onofásica independente. As transforações entre variáveis odais e de fase são feitas co o uso das atrizes de transforação odal que, geralente, são variáveis e função da freqüência (Wedephol, 996). Portanto, quando se realiza siulações diretaente no doínio do tepo, os eleentos da atriz de transforação odal deve ser representados no doínio do tepo, sendo que esta representação exige o uso de técnicas de ajuste be conhecidas (Nguyen,00; Wedephol, 996; Gustavsen,998). E se tratando de linhas trifásicas idealente transpostas, a atriz de Clarke desacopla a esa e seus odos exatos. A atriz de Clarke é real e seus eleentos são independentes da freqüência, sendo então facilente representados no doínio do tepo. Para o caso de linhas trifásicas que não possa ser consideradas idealente transpostas, as que possue u plano de sietria vertical, a atriz de Clarke desacopla a esa e seus Quase-odos α, β e zero (Tavares et. al, 999). O Quase-odo β é u odo exato enquanto os Quase-odos α e zero são acoplados entre si (Tavares et al). No entanto, e alguas situações be específicas, o acoplaento entre os Quase-odos α e zero pode ser desprezado. Deste odo, pode-se dizer que a atriz de Clarke desacopla esta linha e seus odos exatos. Este trabalho propõe levar e consideração o acoplaento existente entre os Quase-odos α e zero. Deste odo, inicialente a linha será desacoplada e seus Quase-odos através do uso da atriz de Clarke. E seguida, os Quaseodos α e zero serão representados coo sendo ua linha bifásica se plano de sietria vertical que será decoposta e seus dois odos exatos através do uso de ua atriz de transforação adequada. Portanto, está sendo proposto o uso de duas atrizes de transforações para representar a linha no doínio odal. A vantage do uso deste étodo alternativo de decoposição odal está na redução da quantidade de eleentos coplexos (e variáveis e função da freqüência) que constitue a atriz de transforação. Coo exeplo, pode-se citar que, de aneira geral, a atriz de transforação odal de ua linha trifásica se plano de sietria vertical possui 9 eleentos coplexos e variáveis e função da freqüência, enquanto que se a esa linha for desacoplada de acordo co o étodo proposto, existirá soente 4 eleentos coplexos e variáveis e função da freqüência (que são os eleentos da atriz que desacopla os Quase-odos α e zero). Deste odo reduz-se o custo coputacional necessário para sintetizar os eleentos da atriz de transforação odal.. Representação da linha no doínio odal Sabe-se que as equações diferenciais de ua linha de transissão são escritas coo sendo (Portela e Tavares, 00): d [V dx ph d [I ph = [Z[Y[Vph ; = [Y [Z[I ph () dx As equações diferenciais ostradas na Eq. () soente são válidas quando se supõe que o capo agnético te u coportaento quaseestacionário na direção ortogonal ao eixo da linha. Na Eq. (), as atrizes [Z e [Y são, respectivaente, a atriz de ipedâncias longitudinais e de aditâncias transversais da linha, por unidade de copriento e são variáveis e função da freqüência. Os vetores [Vph e [Iph são, respectivaente os vetores co as tensões transversais e co as correntes longitudinais e cada fase da linha. Para ua linha de transissão de n fases, as equações diferenciais ostradas na Eq. () são resolvidas a partir do desacoplaento das esas. Deste odo, cada equação diferencial ostrada na Eq. () resultará e n equações diferencias desacopladas. O desacoplaento das equações diferenciais é feito a partir do uso de ua atriz de transforação odal [T I que diagonaliza o produto [Y[Z

3 (Wedephol, 996; Faria, 997). Deste odo, obté-se: [ TI [Y[Z[TI = [ λ () Na Eq. () [λ é ua atriz diagonal co os autovalores do produto [Y[Z. Manipulando a Eq. () e substituindo-a na Eq. () é possível escrever as equações da linha no doínio dos odos coo sendo (Budner, 970): d [E = [Z dx d [I [Y [E ; dx = [Y [Z [I (3) Na Eq. (3), os vetores [E e [I são, respectivaente, os vetores co as tensões transversais e as correntes longitudinais de cada odo da linha. As atrizes [Z e [Y são, respectivaente, as atrizes de ipedâncias e aditâncias odais, por unidade de copriento. Devido ao fato de que as atrizes [Z e [Y são diagonais, os produtos atriciais [Z [Y e [Y [Z tabé são diagonais. Deste odo, verifica-se que não há acoplaento entre os odos. A transforação entre os odos e as fases pode ser obtida a partir das seguintes relações (Wedephol, 996; Budner, 970): t [ I Z = [TI [Z[T (4) - -t [TI [Y[TI [Y = (5) t [ I ph E = [T [V (6) [ I = [T I [Iph (7) Nas Eq. (4)-(7), a atriz [T I t é a transposta de [T I e [T I -t é a inversa de [T I t. A Fig. () ostra ua linha de transissão polifásica co suas n fases representadas através de seus n odos. fase fase fase n A odo exato odo exato [T I [T I odo exato n B fase fase fase n Na Fig. (), os valores de fase no terinal A da linha são convertidos para valores odais. Deste odo, a linha passa a ser representada a- través de n odos independentes. Todos os cálculos são então realizados no doínio odal e, ao térino do eso, os resultados são convertidos para o doínio das fases. Se as siulações deve ser realizadas diretaente no doínio do tepo, cada eleento da atriz [T I e tabé os parâetros de cada odo deve ser sintetizados no doínio do tepo através de técnicas de ajuste de curvas (Nguyen, 00; Wedephol, 996; Gustavsen, 998). 3. Decoposição da linha trifásica e seus Quase-odos. Considere ua linha trifásica, não transposta, co plano de sietria vertical. Se os cabos páraraios estão rebatidos nas fases, a atriz de ipedância longitudinal [Z é escrita coo sendo (Tavares et al, 999): A D D [Z = D B F (8) D F B A atriz das aditâncias [Y, por unidade de copriento, te coponentes de fase co a esa estrutura da atriz [Z ostrada na eq. (8). Se a atriz de transforação odal [T I ostrada nas Eqs. (4) e (5) for substituída pela atriz de Clarke, as atrizes [Z e [Y serão decopostas nas atrizes [Z αβο e [Y αβο, respectivaente, que são escritas coo sendo: t αβ 0 = [TClarke [Z[T (9) [Z Clarke - -t 0 [TClarke [Y[TClarke [Y αβ = (0) Nas Eqs. (9) e (0), a atriz de Clarke e as atrizes [Z αβο e [Y αβο são escritas coo sendo (Tavares et. al, 999): [ T Clarke = () Figura : Representação de ua Linha Polifásica.

4 z α 0 z α0 [Z αβ 0 = 0 z β 0 () z α0 0 z 0 yα 0 yα0 [Yαβ 0 = 0 yβ 0 (3) yα0 0 y0 Nas Eqs () e (3), o odo β não te acoplaento co os deais odos, portanto tratase de u odo exato. O eso já não se aplica aos odos α e zero. Há situações especiais e que os teros útuos z α0 e y α0 pode ser desconsiderados e os Quase-odos α e zero pode, neste caso, ser considerados odos exatos. Desta fora, as atrizes [Z αβ0 e [Y αβ0 pode então ser escritas coo sendo (Tavares, et. al, 999): zα 0 0 [ Zαβ0 0 zβ 0 (4) 0 0 z0 yα 0 0 [Yαβ 0 0 yβ 0 (5) 0 0 y0 Deste odo, se a atriz de Clarke é considerada a atriz exata de transforação odal de ua linha trifásica não transposta co plano de sietria vertical, esta linha será representada no doínio odal confore ostra a Fig. (). Fase Fase Fase 3 A Quase-odo α odo exato β [T Clarke [T Clarke Quase-odo zero Figura : Usando Clarke coo Matriz de Transforação Modal. Na Fig. (), a atriz de Clarke é a atriz de transforação odal. O acoplaento entre os Quase-odos α e zero é desconsiderado e então os Quase-odos são considerados odos exatos. A atriz de Clarke é ua atriz real, cujos e- leentos são independentes da freqüência e facilente representados no doínio do tepo, se a exigência de técnicas de ajustes que requere u elevado esforço coputacional. B Fase Fase Fase 3 4. Decoposição odal da linha trifásica a- través de duas atrizes de transforação 4.. Descrição geral. E situações e que a atriz de Clarke não poder ser considerada coo sendo a atriz de transforação odal, este artigo propõe o uso da atriz de Clark para decopor a linha e seus Quase-odos e após isso, decopor os Quase-odos α e zero e dois odos exatos confore descreve a Fig. (3). A Fase Fase Fase 3 odo β α odo a [T Clarke [T Clarke [T α0 [T α0 odo b Fase Figura 3: Representação Modal Através de Duas Matrizes de Transforação. Na Fig. (3), [T αo é a atriz que decopõe a linha bifásica (que representa os Quase-odos α e zero) nos seus odos exatos. Esta representação utiliza as duas principais vantagens das representações ostradas nas Figs. () e () que são a decoposição exata dos odos e a facilidade da ipleentação da atriz de Clarke no doínio do tepo, respectivaente. 4.. Decoposição odal dos Quase-odos a e zero Se a coponente β for excluída nas Eqs. () e (3) as atrizes resultantes representa ua linha bifásica se plano de sietria vertical, cujas atrizes de ipedância longitudinal [Z αo e aditância transversal [Y αo são dadas por: Zα Zα0 [ Zα0 = (6) Zα0 Z0 yα yα0 [ Yα0 = (7) y α0 y0 Confore ostrado na Fig. (3), a decoposição odal da linha bifásica que representa os Quase-odos α e zero é feita co a atriz [T αo, que diagonaliza o produto [Y αo [Z αo. A atriz de transforação odal [T αo pode ser obtida através do étodo de Newton- Raphson, que gera autovetores que não apresenta variações bruscas e relação à freqüência (Wedephol et. al, 996). Ua vez obtida a atriz [T αo, é possível obter as atrizes [Z e [Y que são a atriz de i- B Fase Fase 3

5 pedâncias longitudinais e a atriz de aditâncias transversais, respectivaente, no doínio dos odos. Portanto, utilizando as Eqs. (4) e (5), obtése as atrizes [Z e [Y que são escritas coo sendo: [Z' t α0 α0 α0 = [T [Z [T (8) Considerando que a linha ostrada na Fig. (4) está sobre u solo não ideal (isto é, sobre u solo cuja condutividade é finita) e que os condutores não são ideais, os parâetros da linha são variáveis e função da freqüência devido ao efeito solo e ao efeito pelicular (Portela e Tavares, 00; Doel,986; Marti, 983). Se os cabos pára-raios são rebatidos sobre as fases, a linha ostrada na Fig. (4) pode ser representada confore ostra a Fig. (5). o o o 3 [Y' = 0 t [Tα0 [Yα0 [Tα (9) Nas Eqs. (8) e (9), as atrizes [Z e [Y são escritas coo sendo: [Z' [Y' Za = 0 = y a 0 0 Zb 0 y b (0) () Ua vez conhecidas as atrizes [Z e [Y, torna-se possível a representação da linha confore ostra a Fig. (3). 5. Resultados Obtidos A Fig. (4) ostra ua linha trifásica não transposta se plano de sietria vertical, cuja tensão noinal é 440 kv (7.5; 36) (9.7; 4.4) Figura 5: Linha Trifásica co os Cabos-guarda já Iplicitaente Representados. 5.. Quase-odos da linha. A linha ostrada na Fig. (5) foi decoposta e seus Quase-odos α, β e zero. E seguida, usando as Eqs. (9) e (0), obteve-se as atrizes de ipedâncias longitudinais e de aditâncias transversais dos Quase-odos da linha. As Figs. (6)-(9) ostra a coponente real dos eleentos Z α, Z β, Z o e Z αo. Coponente real de Z α (ohs/k) Figura 6: Coponente Real de Z α. 0 Figura 4: Silhueta da Linha de Transissão Trifásica de 440 kv. Na Fig. (4) os condutores que constitue as fases da linha são do tipo Grosbeak enquanto que os cabos pára-raios são do tipo EHSW-3/8. A resistividade do solo será considerada coo sendo igual a 000 Ω.. Coponente real de Z β (ohs/k) Figura 7: Coponente Real de Z β.

6 Coponente real de Zo (ohs/k) Coponente iaginária de Zβ (ohs/k) Figura 8: Coponente Real de Z o. Figura : Coponente Iaginária de Z β. Coponente real de Zα0 (ohs/k) Coponente iaginária de Z0 (ohs/k) Figura 9: Coponente Real de Z α0. A Fig.(9) ostra que a parte real de Z αo assue valores negativos a partir de deterinada freqüência. As Figs. (0)-(3) ostra a coponente iaginária dos eleentos Z α, Z β, Z o e Z αo. Coponente iaginária de Zα (ohs/k) Figura 0: Coponente Iaginária de Z α. Figura : Coponente Iaginária de Z 0. Coponente iaginária de Zαo (ohs/k) Figura 3: Coponente Iaginária de Z α Decoposição odal dos Quase-odos a e zero. Os Quase-odos α e zero fora então representados através de ua linha bifásica se plano de sietria vertical e a esa foi desaco-

7 plada e seus odos exatos. Os eleentos que constitue a atriz de decoposição odal (atriz [T α0 ) desta linha bifásica fora obtidos através do étodo de Newton-Raphson (Wedephol et. al, 996). As Figs. (4) e (5) ostra, respectivaente, a coponente real e iaginária dos e- leentos da atriz [T α0. Coponente real eleento (,) eleento (,) eleento (,) eleento (,) Fig. 4. Coponente Real dos Eleentos da Matriz [T α0. Nas Figs. (4) e (5), os eleentos reais da atriz de transforação [T α0 não apresenta variações bruscas e são eleentos contínuos. Portanto, estes eleentos pode ser representados no doínio do tepo (Nguyen, 00; Wedephol, 996; Gustavsen e Selyen, 996). Coponente Iaginária (,) (,) (,) (,) Figura 5: Coponente Iaginária dos Eleentos da Matriz [T α0. As Figs. (6) e (7) ostra, respectivaente, as coponentes reais e iaginárias da ipedância longitudinal dos odos exatos a e b. Coponente real (ohs/k) Figura 6: Coponente Real dos Eleentos Z a () e Z b () Coponente Iaginária (ohs/k) Figura 7: Coponente Iaginária dos Eleentos Z α () e Z β (). Os resultados ostra que é possível a decoposição odal dos Quase-odos α e zero. 6. Conclusões Este artigo apresentou u procediento alternativo para representação odal de linhas de transissão trifásicas não transpostas e co u plano de sietria vertical A etodologia propõe decopor a linha através do uso de duas atrizes de transforação. A prieira atriz é a atriz de Clarke que decopõe a linha e seus Quase-odos α, β e zero. A segunda atriz é ua atriz de transforação odal [T α0 que separa os Quase-odos α e zero e dois odos exatos. Ua vez que os Quase-odos α e zero pode ser considerados coo sendo ua linha bifásica, a atriz [T α0 é ua atriz x cujos eleentos, de aneira geral, são variáveis e função da freqüência.

8 A atriz de Clarke pode ser facilente representada no doínio do tepo enquanto que os 4 eleentos da atriz [T α0 deve ser convertidos para o doínio do tepo através de algu processo de ajuste de curvas. O étodo clássico de transforação odal de linhas trifásicas geralente requer a conversão de nove eleentos, variáveis e relação à freqüência para o doínio do tepo. Portanto a vantage do étodo proposto, e relação ao étodo clássico, seria a redução do esforço coputacional exigido para converter os eleentos da atriz de transforação odal para o doínio do tepo. 7. Agradecientos Esta pesquisa está sendo financiada pelo Conselho Nacional de Desenvolviento Científico e Tecnológico (CNPq) e pela Fundação de Aparo à Pesquisa do Estado de São Paulo (FAPESP). 8. Referências Brandão Faria, J. A. e Briceno Mendez, J. H., Modal Analysis of untransposed bilateral three-phase lines - A perturbation approach, IEEE Trans. Power Delivery, vol., n o, pp , Jan Budner, A., Introduction of frequency-dependent line paraeters into an electroagnetic transients progras, IEEE Trans. Power App. and Systes, vol. PAS-89, n o, pp , Jan.970. Doel, H. W., EMTP theory book, Vancouver, 986. Gustavsen, B. e Selyen, A., Cobined phase and odal doain calculation of transission line transients based on vector fitting, IEEE Trans. Power Delivery, vol. 3, n o, pp , April 998. Discussion of the paper. Gustavsen, B. e Selyen, A. Siulation of transission line transients using vector fitting and odal decoposition, IEEE Trans. Power Delivery, vol. 3, n o, pp , April 998. Marti, J. R., Accurate odeling of frequencydependent transission line in electroagnetic transient siulations, IEEE Trans. Power App. and Systes, vol. PAS-0, n o, pp , Jan.98. Marti, L., Low-order approxiation of transission line paraeters for frequency-dependent odels, IEEE Trans. Power App. and Systes, vol. PAS-0, n o, pp , Nov.983. Nguyen, T. T. e Chan, H. Y., Evalution of odal transforation atrices for overhead transission lines and undergraund cables by optiization ethod IEEE Trans. on Power Delivery vol. 7, n o, pp , Jan. 00. Portela, C. e Tavares, M. C., Modeling, siulation and optiization of transission lines. Applicability and liitations of soe used procedures, IEEE PES Transission and Distribution 00, São Paulo, Brazil, 00. Tavares, M.C., Pissolato, J. and Portela, C. M., "Quasi-odes ultiphase transission line odel", Electric Power Systes Research, n o 49, pp , 999. Wedephol, L.M., Nguyen, H.V. e Irwin, G. D., Frequency-dependent transforation atrices for untransposed transission lines using Newton-Raphson ethod, IEEE Trans. Power Delivery, vol., n o 3, pp , Aug Copyright Notice The authors are the only responsible for the printed aterial included in their paper.