MIGUEL ÁNGEL ESPINOZA CRUZ

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1 Capus de Ilha Solteira MIGUEL ÁNGEL ESPINOZA CRUZ REPRESENTAÇÃO DE LINHAS DE TRANSMISSÃO BIFÁSICAS: UM MODELO A PARÂMETROS DISCRETOS, DESENVOLVIDO DIRETAMENTE NO DOMÍNIO DAS FASES, QUE LEVA EM CONTA O EFEITO DA FREQUÊNCIA SOBRE OS PARÂMETROS LONGITUDINAIS Ilha Solteira 2018

2 MIGUEL ÁNGEL ESPINOZA CRUZ REPRESENTAÇÃO DE LINHAS DE TRANSMISSÃO BIFÁSICAS: UM MODELO A PARÂMETROS DISCRETOS, DESENVOLVIDO DIRETAMENTE NO DOMÍNIO DAS FASES, QUE LEVA EM CONTA O EFEITO DA FREQUÊNCIA SOBRE OS PARÂMETROS LONGITUDINAIS Dissertação apresentada no Prograa de Pósgraduação e Engenharia Elétrica da Universidade Estadual Paulista-UNESP- Capus de Ilha Solteira, coo parte dos requisitos para obtenção do título de Mestre e Engenharia Elétrica. Área do Conheciento: Autoação. PROF. Dr. SÉRGIO KUROKAWA Orientador Ilha Solteira 2018

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5 DEDICO Aos eus pais, Wenceslao e Fidencia, aos eus irãos, Juan Carlos, Caren Rosa, Gladys e a todos os aigos que acreditara e estivera coigo durante a realização deste trabalho.

6 AGRADECIMENTOS Aos eus pais, Wenceslao Inocente Espinoza Raos e Fidencia Cruz Alvarado, pelo apoio incondicional durante todo este tepo. A eus irãos, Juan Carlos Espinoza Cruz, Caren Rosa Espinoza Cruz e Gladys Espinoza Cruz, por acreditare e i. Ao Anderson Ricardo Justo de Araújo, pelo apoio e disposição e ajudar. Ao Prof. Dr. Sérgio Kurokawa pela orientação para o desenvolviento deste trabalho. Aos professores da banca pela disponibilidade e pelas sugestões para a elhoria deste trabalho. Por fi, à Coordenação de Aperfeiçoaento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) pelo apoio econôico.

7 RESUMO Sabe-se que existe u odelo de linha bifásica a parâetros discretos e constantes, desenvolvido diretaente no doínio do tepo. Poré, o fato de considerar os parâetros longitudinais para ua frequência fixa, faz co que as respostas de corrente e de tensão apresente u coportaento aproxiado. Para elhorar a qualidade das foras de onda, deve-se levar e consideração o efeito da frequência sobre os parâetros longitudinais. Nesta dissertação foi densenvolvido u odelo de linha de transissão bifásica a parâetros discretos, diretaente no doínio do tepo, que leva e consideração o efeito da frequência. A sintetização do eso, tanto para as fases quanto para o acoplaento agnético, é representada por eio de ua associação série e paralela de resistores e indutores, onde a quantidade de blocos RL deve ser a necessária para obter o elhor ajuste da resposta e frequência dos parâetros longitudinais próprios e útuos. No odelo proposto, as quedas de tensão nas fases produzidas pelo acoplaento agnético, fora calculadas por eio de ua extensão do odelo de Schulze. As equações de corrente e de tensão ao longo da cascata de circuitos π da linha bifásica fora escritas na fora de equação de estado. Tal equação é resolvida utilizando o étodo de Heun. No processo de validação do odelo proposto, o odelo clássico odal foi utilizado coo odelo de referência, tanto para linhas bifásicas que possue plano de sietria vertical quanto para linhas bifásicas que não possue plano de sietria vertical. Palavras-Chave: Modelos de linha. Transitórios eletroagnéticos. Linhas bifásicas. Parâetros longitudinais. Sintetização do efeito da frequência. Circuitos π. Modelo de Schulze. Equação de estado. Método de Heun. Modelo clássico odal.

8 ABSTRACT It is know that exist a luped and constant paraeters two-phase line odel, desenveloped directly in tie doain. However, the fact to considerer the longitudinal paraeters for a fixed frequency, it does what current and voltage responses present an approxiated behavior. To iprove the quality of the wavefors ust be taked into consideration the frequency effect on the longitudinal paraeters. In this dissertation was desenveloped a luped paraeters two-phase transission line odel, directly in tie doain, that takes into consideration the frequency effect. The synthesis of the sae, both for the phases and for the agnetic coupling, is represented by a series and parallel association of resistors and inductors, where the quantity of RL-blocks ust be the necessary to obtain the best adjustent of the frequency response of the own and utual longitudinal paraeters. In the proposed odel, the voltage drops in the phases produced by the agnetic coupling, were calculated by an extension of Schulze s Model. Current and voltage equations along the cascade of π-circuits of the two-phase line were written in the for of state equation. Such equation is solutioned using Heun s Method. In the validation process of the proposed odel, the classical odal odel was used as reference odel, both for two-phase lines that possess vertical syetry plane and for two-phase lines that do not possess vertical syetry plane. Keywords: Line odels. Electroagnetic transients. Two-phase lines. Longitudinal paraeters. Synthesis of the frequency effect. π-circuits. Schulze s Model. State equation. Heun s Method. Classical odal odel.

9 LISTA DE FIGURAS Figura 1 Validação do odelo proposto para ua linha de transissão bifásica que possui plano de sietria vertical: Modelo clássico odal que leva e consideração o efeito da frequência sobre os parâetros longitudinais (a) e odelo proposto (b) Figura 2 Validação do odelo proposto para ua linha de transissão bifásica que não possui plano de sietria vertical: Modelo clássico odal que leva e consideração o efeito da frequência sobre os parâetros longitudinais (a) e odelo proposto (b) Figura 3 Condutores i e k, sobre o solo, e as suas respetivas iagens i e k Figura 4 Condutores i e k, sobre o solo, e as suas respetivas iagens i e k Figura 5 Capacitância entre os condutores, e entre cada u deles e o solo Figura 6 Linha onofásica representada por eio de ua cascata de circuitos π Figura 7 Linha onofásica representada por eio de u circuito π Figura 8 Circuito π que leva e consideração o efeito da frequência Figura 9 Representação das quedas de tensão e ua linha bifásica, devido aos parâetros longitudinais útuos Figura 10 Linha bifásica genérica Figura 11 Pequeno segento de linha bifásica Figura 12 Pequeno segento de linha bifásica (circuito π) que leva e consideração o efeito da frequência Figura 13 Sintetização do efeito da frequência sobre os parâetros longitudinais útuos: Acoplaento agnético Figura 14 Pequeno segento da linha bifásica genérica: Análise no doínio da frequência

10 Figura 15 Linha bifásica representada por eio de 2 segentos de linha: Análise no doínio da frequência Figura 16 Vista frontal de ua linha de transissão bifásica que possui plano de sietria vertical Figura 17 Circuito equivalente que representa a sintetização do efeito da frequência sobre os parâetros longitudinais Figura 18 Coportaento da resistência própria: Fases A e B Figura 19 Coportaento da indutância própria: Fases A e B Figura 20 Coportaento da resistência útua Figura 21 Coportaento da indutância útua Figura 22 Linha bifásica co os seus terinais receptores e aberto Figura 23 Coportaento da tensão no terinal receptor da fase A: Modelo proposto (curva verelha) e odelo clássico odal que leva e consideração o efeito da frequência sobre os parâetros longitudinais (curva preta) Figura 24 Coportaento da tensão no terinal receptor da fase B: Modelo proposto (curva verelha) e odelo clássico odal que leva e consideração o efeito da frequência sobre os parâetros longitudinais (curva preta) Figura 25 Linha bifásica co os seus terinais receptores e curto-circuito Figura 26 Coportaento da corrente no terinal receptor da fase A: Modelo proposto (curva verelha) e odelo clássico odal que leva e consideração o efeito da frequência sobre os parâetros longitudinais (curva preta) Figura 27 Coportaento da corrente no terinal receptor da fase B: Modelo proposto (curva verelha) e odelo clássico odal que leva e consideração o efeito da frequência sobre os parâetros longitudinais (curva preta)

11 Figura 28 Vista frontal de ua linha de transissão bifásica que não possui plano de sietria vertical Figura 29 Coportaento da resistência própria: Fase A Figura 30 Coportaento da indutância própria: Fase A Figura 31 Coportaento da resistência própria: Fase B Figura 32 Coportaento da indutância própria: Fase B Figura 33 Coportaento da resistência útua Figura 34 Coportaento da indutância útua Figura 35 Linha bifásica co os seus terinais receptores e aberto Figura 36 Coportaento da tensão no terinal receptor da fase A: Modelo proposto (curva verelha) e odelo clássico odal (curva preta) Figura 37 Coportaento da tensão no terinal receptor da fase B: Modelo proposto (curva verde) e odelo clássico odal (curva preta) Figura 38 Linha bifásica co os seus terinais receptores e curto-circuito Figura 39 Coportaento da corrente no terinal receptor da fase A: Modelo proposto (curva verde) e odelo clássico odal (curva preta) Figura 40 Coportaento da corrente no terinal receptor da fase A: Modelo proposto desenvolvido diretaente no doínio do tepo Figura 41 Coportaento da corrente no terinal receptor da fase B: Modelo proposto (curva verde) e odelo clássico odal (curva preta) Figura 42 Circuito equivalente relativo à aproxiação racional de Z Figura 43 Linha de transissão bifásica que não possui plano de sietria vertical, no doínio das fases

12 Figura 44 Resposta e frequência dos eleentos da atriz de transforação odal T I

13 LISTA DE TABELAS Tabela 1 Doínios de representação e de siulação Tabela 2 Valores de resistências e de indutâncias para as fases A e B Tabela 3 Valores de resistências e de indutâncias para o acoplaento agnético Tabela 4 Valores de resistências e de indutâncias para a fase A Tabela 5 Valores de resistências e de indutâncias para a fase B Tabela 6 Valores de resistências e de indutâncias para o acoplaento agnético Tabela 7 Valores conhecidos da função f s

14 SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO PARÂMETROS DE LINHAS DE TRANSMISSÃO Introdução Ipedância longitudinal de ua linha de transissão Ipedância externa de ua linha de transissão Ipedância interna de ua linha de transissão Ipedância devido ao efeito do solo Aditância transversal de ua linha de transissão Considerações MODELOS DE LINHAS DE TRANSMISSÃO A PARÂMETROS DISCRETOS Introdução Representação de ua linha de transissão onofásica por eio de eleentos discretos de circuitos Representação de ua linha de transissão e aberto Representação de ua linha de transissão onofásica por eio de eleentos discretos de circuitos, que leva e consideração o efeito da frequência Modelo estudado para ua linha de transissão bifásico, desenvolvido diretaente nos doínios das fases e do tepo Considerações co relação ao odelo Representação de ua linha de transissão bifásica por eio de eleentos discretos de circuitos: Análise no doínio do tepo Considerações DESENVOLVIMENTO DO MODELO PROPOSTO Introdução Desenvolviento do odelo proposto: Análise no doínio do tepo Desenvolviento do odelo proposto: Análise no doínio da frequência... 83

15 4.4 Considerações VALIDAÇÃO DO MODELO PROPOSTO Linhas bifásicas que possue plano de sietria vertical Linhas bifásicas que não possue plano de sietria vertical CONCLUSÕES GERAIS Sugestões para trabalhos futuros Trabalhos apresentados REFERÊNCIAS ANEXO A: APROXIMAÇÃO DOS PARÂMETROS LONGITUDINAIS DE UMA LINHA DE TRANSMISSÃO POR MEIO DE FUNÇÕES RACIONAIS A.1 Vector Fitting A.2 Aproxiação racional de ua função Z que ajusta as ipedâncias longitudinais de ua linha de transissão ANEXO B: CÁLCULO DE MATRIZES DE TRANSFORMAÇÃO MODAL B.1 Cálculo das atrizes de transforação odal T I e V T por eio do étodo nuérico iterativo de Newton-Raphson ANEXO C: REPRESENTAÇÃO DE UMA LINHA DE TRANSMISSÃO POLIFÁSICA C.1 Introdução C.2 Equações diferenciais de ua linha polifásica C.3 Decoposição odal de linhas de transissão C.4 Linha de transissão bifásica que não possui plano de sietria vertical, no doínio odal

16 14 1 INTRODUÇÃO As linhas de transissão de energia elétrica são os coponentes de aior iportância dentro de u sistea elétrico de potência. Estas utiliza-se para ligar usinas elétricas co cargas industriais, alé das grandes distâncias de separação entre elas. E alguns casos é necessário interligar grandes subsisteas de energia elétrica. Entretanto, as tensões, as correntes, e os fluxos de potência nas linhas de transissão são edidos nas subestações elétricas. As equações diferenciais que descreve o coportaento das tensões e correntes ao longo de ua linha de transissão onofásica leva e consideração os efeitos do solo e pelicular sobre os parâetros longitudinais. Neste contexto as equações diferenciais serão de difícil resolução analítica, as as soluções obtidas serão precisas e confiáveis. Desde 1960, diversos pesquisadores trabalha no desenvolviento de odelos de linhas aéreas de transissão de energia elétrica, para que seja utilizados na análise de transitórios eletroagnéticos, resultantes das operações de anobras e de chaveaentos que ocorre e u sistea de energia elétrica. Vale ressaltar que os sisteas de energia elétrica sepre possue eleentos não lineares (transforadores de potência, dispositivos eletrônicos de potência, etc.). Para analisar os transitórios eletroagnéticos e tais tipos de sisteas, requer-se que os coponentes nos esos esteja representados no doínio do tepo. Isto significa que os odelos de linhas de transissão preferencialente serão desenvolvidos no doínio do tepo. Nos odelos de linhas de transissão fala-se dos doínios de representação e de siulação das esas. Estes doínios estão forteente vinculados, já que a representação de ua linha de transissão depende do doínio de siulação. Na tabela 1, especifica-se os esos. Tabela 1 Doínios de representação e de siulação Doínios de representação Doínios de siulação Fases Tepo Modal Frequência Fonte: Elaboração própria do autor.

17 15 Da tabela 1, pode-se concluir que existe 4 aneiras de analisar os transitórios eletroagnéticos; são elas: Doínios das fases e do tepo. Doínios das fases e da frequência. Doínios odal e do tepo. Doínios odal e da frequência. U dos prieiros odelos a parâetros distribuídos que representa ua linha de transissão diretaente no doínio do tepo, foi desenvolvido por H. W. Doel. Este odelo consiste e cobinar o étodo das características (ou étodo de Bergeron) co o étodo nuérico de integração trapezoidal (ou étodo de Heun), resultando e u algorito que é capaz de siular transitórios eletroagnéticos e sisteas de energia elétrica (DOMMEL et al., 1969). Este algorito sofreu sucessivas evoluções e atualente é denoinado Eletroagnetic Transients Progra, ou siplesente EMTP (DOMMEL, 1996). Para estudar a propagação das ondas de tensão e de corrente e linhas onofásicas de transissão de energia elétrica, durante os transitórios eletroagnéticos, deve-se levar e consideração que as linhas onofásicas são representadas por eio de ua cascata de circuitos π (MAMIS et al., 2003). O odelo a parâetros discretos e constantes, isto é, invariáveis e relação à frequência, é de fácil utilização, as não representa adequadaente ua linha de transissão e toda a faixa de frequências na qual está presente os fenôenos de natureza transitória. Na aioria dos casos, este odelo auenta a aplitude das harônicas de orde elevada, distorcendo as foras de onda e produzindo picos exagerados (MARTÍ et al., 1982; FARIA et al., 2002). Para elhorar a qualidade do coportaento das tensões e correntes ao longo de ua linha de transissão onofásica, neste trabalho será ostrado o desenvolviento de u odelo de linha onofásica a parâetros discretos que leva e consideração o efeito da frequência (influencia na constituição da equação de estado) sobre os parâetros

18 16 longitudinais. Onde a integração da equação de estado será realizada por eio do étodo de Heun (étodo de integração trapezoidal) (YAMANAKA, 2009). Existe u outro odelo a parâetros distribuídos que foi desenvolvido para estudar os transitórios eletroagnéticos que ocorre e u sistea de energia elétrica. Nesse odelo a solução das equações diferenciais de propagação são siples equações algébricas hiperbólicas, escritas no doínio da frequência. Tal odelo é denoinado Universal Line Model (ULM). A solução no doínio do tepo foi obtida por eio de u étodo de integração nuérica, que calcula a Transforada Inversa de Laplace das equações algébricas hiperbólicas. O odelo que representa ua linha de transissão polifásica (n fases), consiste e decopor a linha nos seus n odos de propagação (n linhas onofásicas desacopladas). Cada linha onofásica odal, pode ser representada por eio dos odelos a parâetros distribuídos (Universal Line Model) ou a parâetros discretos (Luped Paraeters Model). Logo, calculadas as tensões e correntes de cada linha onofásica odal, utiliza-se as atrizes de transforação odal inversa para obter as tensões e correntes da linha de transissão polifásica, no doínio das fases (TAVARES et al., 1999). As linhas bifásicas que possue plano de sietria vertical e as linhas trifásicas idealente transpostas, pode ser decopostas nos seus odos de propagação a partir de atrizes de transforação odal, onde os eleentos das atrizes são reais e invariáveis e relação à frequência. Entretanto, no processo de decoposição odal de ua linha de transissão bifásica que não possui plano de sietria vertical; as atrizes de transforação que decopõe a esa nos seus dois odos de propagação, possue eleentos coplexos que são variáveis e relação à frequência. Co a finalidade de oitir o cálculo de tais atrizes, foi desenvolvido u odelo de linha de transissão bifásica a parâetros discretos e constantes, onde cada pequeno segento de linha é representado por eio de u circuito π. As equações de corrente e de tensão dessa linha bifásica fora representadas na fora de equação de estado, diretaente no doínio do tepo. Essas equações fora resolvidas utilizando o étodo de integração trapezoidal (SILVA, 2012). Devido ao fato de que os

19 17 parâetros longitudinais são variáveis e relação à frequência, as respostas obtidas naquele odelo são aproxiadas. Neste trabalho é proposto u odelo de linha de transissão bifásica genérica, onde cada pequeno segento de linha é representado por eio de u circuito π que leva e consideração o efeito da frequência. A sintetização do efeito da frequência sobre os parâetros longitudinais próprios e útuos será representada por eio de ua associação série e paralela de resistores e indutores. Este odelo de linha bifásica é utilizado para calcular as correntes e tensões ao longo da esa, diretaente no doínio do tepo. Portanto, a diferença deste odelo e relação ao odelo clássico odal, está baseada e contornar o cálculo de atrizes de transforação odal. No processo de validação do odelo proposto, utilizar-se-á coo referência o odelo clássico odal que leva e consideração o efeito da frequência sobre os parâetros longitudinais. Nas Figuras 1 e 2, visualiza-se os diagraas de blocos do processo de validação do odelo proposto para linhas de transissão bifásicas que possue e não possue plano de sietria vertical, respectivaente.

20 18 Figura 1 Validação do odelo proposto para ua linha de transissão bifásica que possui plano de sietria vertical: Modelo clássico odal que leva e consideração o efeito da frequência sobre os parâetros longitudinais (a) e odelo proposto (b). Fonte: Elaboração própria do autor.

21 19 Figura 2 Validação do odelo proposto para ua linha de transissão bifásica que não possui plano de sietria vertical: Modelo clássico odal que leva e consideração o efeito da frequência sobre os parâetros longitudinais (a) e odelo proposto (b). Fonte: Elaboração própria do autor. Ua vantage do odelo proposto e relação ao odelo clássico odal é o fato de não ser necessário desacoplar as cargas ligadas aos terinais receptores, já que ne sepre as atrizes de transforação odal consegue aquele. O odelo de linha de transissão bifásica, que é proposto, é o prieiro a parâetros discretos que leva e consideração o efeito da frequência sobre os parâetros longitudinias. O software de siulação ATPDraw, uito utilizado para a análise de transitórios eletroagnéticos e sisteas de energia elétrica, soente apresenta u odelo de linha bifásica a parâetros discretos e constantes.

22 20 2 PARÂMETROS DE LINHAS DE TRANSMISSÃO 2.1 Introdução Neste capítulo são ostradas as expressões ateáticas que calcula os parâetros longitudinais e transversais de ua linha de transissão de energia elétrica. Os parâetros longitudinais envolve a resistência e a indutância; enquanto que os parâetros transversais envolve a condutância e a capacitância. Os parâetros de ua linha de transissão de energia elétrica estão uniforeente distribuídos ao longo do seu copriento, esta característica e conjunto co o fato de que os parâetros longitudinais são variáveis e relação à frequência, deve ser levados e consideração para estudos de transitórios eletroagnéticos. 2.2 Ipedância longitudinal das linhas de transissão As ipedâncias próprias e útuas inseridas nas equações de ua linha de transissão de energia elétrica, pode ser obtidas a partir da solução das equações de Maxwell. Tal solução leva e consideração as condições de contorno de três ateriais: O condutor propriaente dito, o ar (eio que envolve os condutores) e o solo. Considerando que estes três ateriais estão caracterizados por ua resistência elétrica e por ua pereabilidade agnética, ostra-se que as ipedâncias da linha são escritas e função das propriedades físicas do sistea (condutor, ar e solo) e da frequência (HOFMANN et al., 2003). Os parâetros longitudinais de ua linha de transissão são variáveis e relação à frequência devido aos efeitos do solo (equações de Carson) e pelicular (equações co funções de Bessel) (KUROKAWA, 2003). A ipedância longitudinal de ua linha de transissão, para fins de cálculo, é dividida e três coponentes que são: Z ext infinita. Z int : Ipedância externa, considerando o solo co condutividade : Ipedância devido ao efeito pelicular.

23 21 Z solo : Ipedância devido ao retorno da corrente através do solo. A atriz de ipedâncias longitudinais Z é escrita coo sendo: Z Z Z Z ext int solo (1) 2.3 Ipedância externa de ua linha de transissão Considere que os condutores i e k de ua linha de transissão genérica estão sobre u solo ideal (plano equipotencial co condutividade infinita), confore visualiza-se na Figura 3. Figura 3 Condutores i e k, sobre o solo, e as suas respetivas iagens i e k (FUCHS, 1979). Fonte: Elaboração do próprio autor. Esta ipedância resulta do efeito do capo agnético externo presente no ar (eio que envolve os condutores). O capo agnético é produzido pelas correntes elétricas que percorre a linha de transissão genérica. A ipedância externa é representada coo sendo:

24 22 Z R jl (2) ext ext ext Considerando Rext 0 (condutor ideal), a equação (2) torna-se: Z ext jl (3) ext As ipedâncias externas próprias dos condutores i e k são descritas coo sendo: Z Z ext ext ii kk 2h i j ln 2 ri 2h k j ln 2 rk (4) (5) Nas equações (4) e (5); r i e r k são os raios dos condutores i e k, respectivaente. Considera-se que a pereabilidade agnética do ar é igual à pereabilidade agnética do 7 vácuo ( 4 10 H ). 0 As ipedâncias externas útuas entre os condutores i e k são descritas coo sendo: Z Z ext ext ik ki D 2 dik ik ' j ln D 2 dik ki' j ln (6) (7) Introduzindo as características geoétricas Dik ' Dki ' ostradas na Figura 3 às equações (6) e (7), pode-se concluir que Z Z ext ik. ext ki Considerando que a linha de transissão genérica possui n fases, onde cada fase é constituída de u único condutor, a atriz de ipedâncias externas Z escrever coo sendo: ext pode-se

25 23 2h D D r d d 1 12 ln ln ln 1n n 2h n ln ln ln Zext j d12 r2 d 2n 2 D D D D 2h d d r 1n 2n n ln ln ln 1n 2n n (8) Das equações (3) e (8), pode-se concluir que a atriz de indutâncias externas L é escrita coo sendo: ext L ext 2 2h D D r d d 1 12 ln ln ln 1n n D 2h D d r d 12 2 ln ln ln 2n n D D 2h d d r 1n 2n n ln ln ln 1n 2n n (9) Visualiza-se na equação (9), que a atriz de indutâncias externas da linha de transissão (sistea de n condutores), soente depende das características geoétricas da linha e da pereabilidade agnética do eio e que os condutores estão iersos. 2.4 Ipedância interna das linhas de transissão A ipedância interna coplexa (ou devido ao efeito pelicular) está presente sepre que u condutor é percorrido longitudinalente por ua corrente alternada. A esa produz ua distribuição não unifore de densidade de corrente elétrica através da seção transversal do condutor, onde a densidade de corrente na periferia do condutor é aior do que no interior do eso. Coo consequência deste efeito, te-se u auento na resistência efetiva do condutor e ua diinuição na sua indutância interna, à edida que a frequência auenta. No cálculo da ipedância interna coplexa de u condutor cilíndrico, tubular e sólido, utiliza-se as funções de Bessel (ou as funções odificadas de Bessel) de prieira orde. Deve-se considerar que a ipedância interna é obtida coo a razão entre a queda de tensão ao longo da superfície do condutor e a corrente total encerrada pela esa superfície.

26 24 Logo, tal ipedância pode ser expressa coo sendo (FUCHS, 1979; MINGLI et al., 2004; GATOUS, 2005): Z int ii j ber( r) jbei( r) ( ) 2 r ber '( r) jbei '( r) (10) Z ( ) R ( ) jl ( ) (11) intii intii intii Onde: (12) As funções odificadas de Bessel ber( r ) e bei( r ), e as suas prieiras derivadas ber '( r ) e bei '( r ), são descritas coo sendo: k r 2 k r r (13) k0 k! ( k 1) 2 2 (2!) 2 (4!) ber( r) cos 1 k r 2 k r r r (14) k0 k! ( k 1) (3!) 2 (5!) bei( r) sin k 2 k 3 k r 2 1 r 3 r 7 r 11 (15) k0 k! ( k 1) 2 2 (2!) 2 (4!) 2 (6!) ber '( r) cos k 2 k r 3 5 k r 2 1 r 5 r 9 (16) k0 k! ( k 1) (3!) 2 (5!) bei '( r) sin Onde: ( k) ( k 1)! ; k (17) Das equações (10) a (16), pode-se concluir que a ipedância interna depende soente da frequência, desde que seja conhecidos o raio [] do condutor, a condutividade [Ω.] -1 do aterial do condutor, e a pereabilidade agnética [H/] do eso.

27 25 Para ua linha de transissão genérica de n fases, onde cada fase está constituída de u único condutor, a atriz de ipedâncias internas Z sendo: int pode-se escrever coo Zint Zint 0 22 Z int 0 0 Zint nn (18) 2.5 Ipedância devido ao efeito do solo Os efeitos do retorno da corrente através do solo nos parâetros longitudinais de ua linha aérea de transissão, pode ser calculados por eio das forulas de Carson e de Pollaczek. A diferença entre elas é que a fórula de Pollaczek é generalizada, já que tabé pode ser usada para cabos subterrâneos (diretaente enterrados ou através de tubos) (DOMMEL,1986; KUROKAWA et al.,2007; KUROKAWA et al.,2008). Considere que os condutores i e k de ua linha de transissão genérica estão sobre o solo (hoogêneo co distribuição não unifore de densidades de corrente elétrica), confore visualizou-se na Figura 3. Carson considerou condutores paralelos ao solo, aditindo a resistividade do solo coo unifore e a sua extensão coo infinita. Deonstrou que as ipedâncias próprias e útuas de circuitos co retorno pelo solo, são iguais às ipedâncias para u circuito que envolve u solo ideal (no qual pode-se considerar u condutor-iage à esa profundidade que a altura do condutor sobre o solo), acrescida de u tero de correção que é aplicável para abas as ipedâncias (FUCHS, 1979; DOMMEL, 1986). Os teros de correção de Carson representa a ipedância devido ao retorno da corrente através do solo. As ipedâncias próprias e útuas devido a este efeito, são representadas de aneira geral, coo sendo: Z ( ) R j X (19) solo solo solo

28 26 Na equação (19); os teros de correção X Rsolo e solo, depende das características geoétricas ostradas na Figura 3. Eles são funções de u ângulo ( para ipedâncias próprias, e ik ' para ipedâncias útuas), e de u parâetro a. Este últio é definido coo sendo (DOMMEL,1986): a f D (20) Onde: D []; para a ipedância própria Z ii 2h i D []; para a ipedância própria Z kk 2h k D D D []; para a ipedância útuas Z ik e ik ki f [Hz]; frequência [Ω.]; resistividade do solo Z ki Para a 5, os teros de correção de Carson são séries infinitas, que pode-se escrever coo sendo (DOMMEL, 1986): Rsolo 4 10 b1a cos b 2 c2 ln aa cos 2 a sin 2 b3a cos3 8 d a cos 4 b a cos5 b c ln a a cos 2 a sin b7a cos 7 d8a cos8 (21) X solo , ln a b1a cos d2a cos 2 b3a cos b 4 c4 ln a a cos 4 a sin 4 b5a cos5 d6a cos b7a cos 7 b 8 c8 ln aa cos8 a sin8 (22) Nas equações (21) e (22), os coeficientes b i, c i e d i, são valores constantes que obtê-se usando expressões de recorrência. Estas expressões são descritas coo sendo:

29 27 b i b i2 sgn ii2 (23) c i 1 1 ci2 (24) i i 2 d i bi (25) Nas equações (23) a (25), os valores de início são b1, b 2 e c2 1, Na equação (23), a função sgn 1 alterna de valor após cuatro teros sucessivos (sgn 1para i 1,2,3,4 ; sgn 1 para i 5,6,7,8 ; sgn 1 para i 9,10,11,12 ; etc.). Nas equações (21) e (22), as funções trigonoétricas cos e sin, depende das características geoétricas ostradas na Figura 3. Elas são escritas coo sendo: xik sinik ' (26) D ik hi hk cosik ' (27) D ik Para a 5, os teros de correção de Carson são séries finitas, que pode-se escrever coo sendo (DOMMEL, 1986): cos 2 cos 2 cos3 3cos5 45cos 7 R solo a a a a a (28) cos cos3 3cos5 45cos 7 X solo a a a a (29) Para ua linha de transissão genérica de n fases, onde cada fase está constituída de u único condutor, a atriz de ipedâncias devido ao efeito do solo Z escrever coo sendo: solo pode-se

30 28 n Z Z Z Z Z Z solo11 solo12 solo1 solo21 solo22 solo2 n Z solo Z Z Z solon1 solon 2 solonn (30) 2.6 Aditância transversal de ua linha de transissão A aditância transversal de ua linha de transissão onofásica de energia é representada coo sendo: Y ( ) G jc (31) E linhas aéreas de transissão onofásicas, a condutância transversal é uito pequena, portanto, o efeito da esa é desprezado (MARTINEZ et al., 2005). A equação (31) torna-se: Y ( ) jc (32) O solo (plano equipotencial co distribuição não unifore de cargas) afeta a capacitância de ua linha de transissão, porque a sua presença altera o capo elétrico da esa. A capacitância entre dois condutores de ua linha de transissão se define coo a quantidade de carga que deve-se transferir entre os esos para udar e ua unidade a diferença de potencial entre eles. Esta diferença de potencial depende da distância de separação entre eles, e entre cada u deles e o solo (STEVENSON, 1978). Considere que os condutores i e k de ua linha de transissão genérica possue cargas (na superfície) Q i e Q k respetivaente, confore visualiza-se na Figura 4. O potencial na superfície dos condutores i e k, co relação ao solo (potencial nulo), são descritos coo sendo (FUCHS, 1979): V i Q i 2h i Q k D ik ' ln ln 2 ri 2 dik (33)

31 29 V k Q k 2h k Q i D ik ' ln ln 2 rk 2 dik (34) Figura 4 Condutores i e k, sobre o solo, e as suas respetivas iagens i e k (FUCHS, 1979). Fonte: Elaboração do próprio autor. Nas equações (33) e (34); r i e r k são os raios dos condutores i e k, respectivaente. Considera-se que a perissividade do ar (eio que envolve os condutores) é igual à 9 perissividade do vácuo ( 8, F k). 0 Considerando que a linha de transissão genérica possui n fases, onde cada fase é constituída de u único condutor, o potencial na superfície de u deles co relação ao solo, é descrito coo sendo: 1 2h 1 D 12' D 1 n' V1 Q1 ln Q2 ln Qn ln 2 r1 d12 d 1n (35)

32 30 Na equação (35); Q 1, Q 2,... e Q n representa as cargas no prieiro, segundo e n- ésio condutor (equilíbrio eletrostático instantâneo). De fora análoga, as equações para os deais condutores do sistea são descritas coo sendo: 1 D 21' 2h 2 D 2 n' V2 Q1 ln Q2 ln Qn ln 2 d21 r2 d 2n (36) 1 D n1' D n2' 2h n Vn Q1ln Q2ln Qnln 2 dn 1 dn2 r n (37) Introduzindo as características geoétricas Dik Dki, ostradas na Figura 4, às equações (35) a (37), a fora atricial dessas equações é escrita coo sendo: 2h1 D12' D1 n' ln ln ln r1 d12 d 1n V1 Q1 D12' 2h2 D2 n' V ln ln ln 2 1 Q 2 d12 r2 d 2n 2 Vn Qn D1 n' D2 n' 2h n ln ln ln d1n d2n r n (38) A equação atricial (38) pode ser expressa coo sendo: V EQ (39) Na equação (39); [E] é denoinada atriz de coeficientes de potencial, ou de coeficientes de capo elétrico de Maxwell (FUCHS, 1979). A partir da definição de capacitância entre dois condutores paralelos, define-se a seguinte relação atricial (para ua linha de transissão de n condutores): Q CV (40) Na equação (40); [C] é a atriz de capacitâncias aparentes da linha de transissão. Das equações (39) e (40), obté-se a seguinte relação atricial:

33 31 C E 1 Na Figura 5, visualiza-se as capacitâncias envolvidas (atriz [C]) e ua linha de transissão de n condutores. Figura 5 Capacitância entre os condutores, e entre cada u deles e o solo (FUCHS, 1979). Fonte: Yaanaka, 2009 V 2,... e Considerando que as superfícies dos condutores da Figura 5 possue potenciais V 1, V n, co relação ao solo. As cargas elétricas arazenadas e cada ua delas são descritas coo sendo (FUCHS, 1979): Q C V C V V C V V C V V (41) n 1 Q C V C V V C V V C V V (42) n 2 Q C V C V V C V V C V V (43) n 3 n n n Q C V C V V C V V C V V (44) n n0 n n1 n 1 n2 n 2 nn 1 n n 1 Considerando Cik Cki, a fora atricial das equações (41) a (44) é escrita coo sendo:

34 32 Q1 C10 C12 C1 n C12 C1 n V1 Q C12 C20 C12 C2 2 n C 2n V 2 Qn C1 n C2n Cn0 C1 n C2n Cnn 1 Vn (45) De onde: C C C C C C C C C C C n 12 1n n 2n C C C C C 1n 2n n0 1n 2n Os eleentos da atriz [C] são iguais aos eleentos da inversa da atriz de coeficientes de capo elétrico [E] -1. Coparando as equações (38) e (45), obtê-se as capacitâncias parciais C i0 e C ik. Ua vez obtida a atriz [C], pode-se escrever a atriz de aditâncias transversais Y coo sendo: Y jc 2.7 Considerações Neste capítulo foi ostrada a aneira de calcular os parâetros longitudinais e transversais de ua linha de transissão de n condutores. Os parâetros longitudinais da linha de transissão são variáveis e relação à frequência devido aos efeitos do solo e pelicular (skin); enquanto que os parâetros transversais da linha soente depende das características geoétricas da esa.

35 33 3 MODELOS DE LINHAS DE TRANSMISSÃO A PARÂMETROS DISCRETOS 3.1 Introdução Ua linha de transissão onofásica será representada por eio de ua cascata de circuitos π (odelo a parâetros discretos), onde as respectivas equações de corrente e de tensão são escritas na fora de equação de estado. No entanto, o coportaento das tensões e correntes ao longo da linha é influenciado pela quantidade de circuitos π (conectados e cascata), auentando ou diinuindo a aplitude das harônicas de orde elevada, isto é, distorcendo as foras de onda. Para elhorar a qualidade do coportaento das tensões e correntes, neste capítulo tabé será ostrado o desenvolviento de u odelo de linha a parâetros discretos que leva e consideração o efeito da frequência (influencia na constituição da equação de estado) sobre os parâetros longitudinais. A solução dos dois odelos a parâetros discretos, anteriorente encionados, será obtida por eio de qualquer étodo nuérico de integração que seja desenvolvido diretaente no doínio do tepo. Entretanto; tabé será ostrado o desenvolviento de u odelo de linha de transissão bifásica, onde cada pequeno segento de linha é representado por eio de u circuito π que leva e consideração o acoplaento entre as fases. Desse odo, considerar-se-á que ua linha de transissão bifásica é representada por eio de ua cascata de circuitos π, onde as respectivas equações de corrente e de tensão são escritas na fora de equação de estado, diretaente no doínio do tepo (SILVA, 2012). 3.2 Representação de ua linha de transissão onofásica por eio de eleentos discretos de circuitos Para estudar a propagação de ondas de tensão e de corrente resultantes de operações de anobra e de chaveaentos que ocorre e ua linha de transissão de energia elétrica, deve-se levar e consideração que a linha onofásica é representada por eio de ua cascata de circuitos π. Os parâetros da linha estão distribuídos ao longo do seu copriento e são invariáveis e relação à frequência (MAMIS et al., 2003). Considere ua linha de transissão onofásica de copriento d, confore visualiza-se na Figura 6.

36 34 Figura 6 Linha onofásica representada por eio de ua cascata de circuitos π (ARAUJO, 2014) Fonte: Yaanaka (2009). Na Figura 6; R, L, G e C são a resistência, a indutância, a condutância e a capacitância de cada circuito π, respectivaente. Considerando que parâetros da linha por unidade de copriento, tê-se as seguintes relações: R ', L ', G ' e C ' são os R R' d (46) n L L' d (47) n G G' d (48) n C C' d (49) n Onde: d, copriento da linha n, quantidade de circuitos π Na linha onofásica da Figura 7, as correntes e tensões ao longo da cascata pode ser escritas na fora de equação de estado, ou seja: x( t) A x( t) B u( t) (50)

37 35 Na equação (50); xt () é constituído pelas correntes longitudinais (aplicados ao indutor) e pelas tensões transversais (aplicados ao capacitor) de cada circuito π da linha. A e B são as atrizes de estado e de controle da linha, respectivaente. aplicada no terinal eissor da linha, e ut é a tensão xt () é a derivada de xt () co relação ao tepo Representação de ua linha de transissão onofásica e aberto linha A e B Para encontrar ua regra de foração das atrizes de estado e de controle de ua, deve-se levar e consideração ua quantidade genérica de circuitos. O desenvolviento será feito inicialente para u circuito, depois para 2, 3,... e n circuitos ; até que seja possível ontar A e B por inspeção. Na Figura 7, visualiza-se ua linha representada por eio de u circuito π. Figura 7 Linha onofásica representada por eio de u circuito π. Fonte: Elaboração do próprio autor. Aplicando a 2 a lei de Kirchhoff (lei das tensões) na Figura 7, obté-se: di1 t u t Ri1 t L v1t 0 (51) dt Aplicando a 1 a lei de Kirchhoff (lei das correntes) na Figura 7, obté-se: i t G C dv t 2 2 dt 1 1 v1 t (52) As derivadas pode apresentar a seguinte notação:

38 36 di t 1 1 i1 e v1 dt dv t dt Aplicando a notação anteriorente descrita, e reescrevendo as equações (51) e (52), obtê-se as seguintes relações: R 1 1 i1 i t v1t ut 1 L L L (53) v i t v1 t C C (54) A fora atricial das equações (53) e (54) é escrita coo sendo: R 1 1 i i 1 L L 1 t L u t 2 G v1 t v 1 0 C C (55) estado. A equação (55) representa a linha ostrada na Figura 7, utilizando variáveis de Ua vez que a linha onofásica de copriento d é representada por eio de ua cascata de n segentos de linha, onde cada segento é do tipo ostrado na Figura 7. A generalização da equação (55) é escrita coo sendo:

39 n n n R L L R i i t L L L i i t R L L L i t i G v t v C C C G v C C C v G C C n L u t v t v t (56) De onde: A R L L R L L L R L L L G C C C G C C C G C C (57) Logo, a atriz de estado A pode ser representado de aneira siplificada coo sendo: A A A A A (58)

40 38 Na equação (58), a atriz de estado A é quadrada de diensão 2n. Esta atriz é constituída por 4 subatrizes quadradas de diensão n, que obedece às seguintes regras de foração: Subatrizes 11 A e A 22 : Estas subatrizes possue eleentos não nulos soente na diagonal principal. As esas são descritas coo sendo: a pq a 0 0 pq A pq 0 0 a pq a pq (59) Onde: a pq R ; para p 1 e q 1 L a pq G ; para p 2 e q 2 C Subatriz A 12 : Esta subatriz possui eleentos não nulos na diagonal principal e na prieira subdiagonal. A esa é descrita coo sendo: A pq a pq a a 0 0 pq pq a pq 0 0 a pq a pq a pq (60) Onde: Subatriz A 21 a pq 1 ; para p 1 e q 2 L : Esta subatriz possui eleentos não nulos na diagonal principal e na prieira superdiagonal. A esa é descrita coo sendo:

41 39 a pq a pq a a 0 0 pq pq A pq 0 0 a pq a pq a pq (61) Onde: a pq 1, para p 2 e q 1 C Na equação (56), a atriz de controle B é retangular de orde 2n 1. A esa é escrita coo sendo: 1 B L T A solução da equação (56), é obtida ediante a utilização de qualquer étodo nuérico de integração. Geralente, a integração da equação de estado é realizada por eio do étodo de Heun (étodo de integração trapezoidal), onde a ipleentação coputacional da esa pode ser realizada na platafora do MATLAB. 3.3 Representação de ua linha de transissão onofásica por eio de eleentos discretos de circuitos, que leva e consideração o efeito da frequência O odelo desenvolvido na seção anterior, isto é, a parâetros discretos e constantes (parâetros longitudinais invariáveis e relação à frequência), é de fácil utilização, as não representa adequadaente (e toda a faixa de frequências nas quais estão presentes os fenôenos de natureza transitória) ua linha de transissão. Na aioria dos casos, esse odelo auenta a aplitude das harônicas de orde elevada, distorcendo as foras de onda e produzindo picos exagerados (MARTÍ et al, 1982; FARIA et al., 2002). Alé disso, o odelo geralente é ipleentado e prograas coputacionais do tipo EMTP (Eletroagnetic Transients Progra), onde a quantidade de pequenos segentos de linha (cascata de circuitos π) que pode-se utilizar na representação do eso, é liitada.

42 40 Para elhorar a qualidade do coportaento das tensões e correntes ao longo de ua linha de transissão onofásica, te-se que levar e consideração o efeito da frequência (efeitos do solo e pelicular) sobre os parâetros longitudinais da esa. A resposta e frequência dos parâetros longitudinais sintetizar-se-á e eleentos discretos de circuitos. A sintetização do efeito da frequência será representada por eio de ua associação série e paralela de resistores e indutores (ostrada no apêndice A.2). Nesta seção será desenvolvido u odelo de linhas de transissão onofásicas a parâetros discretos, onde cada pequeno segento de linha é representado por eio de u circuito π que leva e consideração o efeito da frequência sobre os parâetros longitudinais, confore visualiza-se na Figura 8. Figura 8 Circuito π que leva e consideração o efeito da frequência (MARTÍ et al., 1982; TAVARES et al., 1999) Fonte: Elaboração própria do autor. Na Figura 8, os teros ut () e v () 1 t representa as tensões nos terinais eissor e receptor do segento da linha onofásica, respectivaente; enquanto que os teros i 10 () t, i () t, i () t,... e i () 1 t representa as correntes que percorre os indutores L 0, L 1, L 2,... e L do segento de linha onofásica, respectivaente. Na linha onofásica da Figura 8, visualiza-se que é necessária ua associação série de blocos RL para representar a variação (por década) dos parâetros e relação à frequência (faixa onde os parâetros uda rápidaente de valor). A faixa adequada de

43 41 frequências é de 10-2 Hz a 10 6 Hz, pois os transitórios eletroagnéticos que ocorre na linha de transissão estão dentro desta faixa. L 2,... e Entretanto, sabe-se que os resistores R 0, R 1, R 2,... e R, e que os indutores L 0, L 1, L, copõe a associação série e paralelo que representa a sintetização do efeito da frequência. Considerando que ' R, 0 ' R, 1 ' R,..., 2 unidade de copriento, te-se as seguintes relações: ' ' ' R, L, L, L,... e ' ' L são parâetros por R d R (62) n ' 0 0 ' d R1 R1 (63) n R d (64) ' R n L d L (65) n ' 0 0 ' d L1 L1 (66) n L d (67) ' L n Logo, a partir da representação do pequeno segento n 1 de linha onofásica, ostrada na Figura 8, é possível obter as seguintes relações: Aplicando a 2 a lei de Kirchhoff (lei das tensões) no circuito da Figura 8, obtê-se: t di10 u t v1 t R0i10 t L0 R1 i10 t i11 t Ri10 t i1 t dt (68) t di11 L1 R1 i10 t i11 t dt (69)

44 42 t di12 L2 R2 i10 t i12 t dt (70) t di1 L R i10 t i1 t dt (71) Aplicando a 1 a lei de Kirchhoff (lei das correntes) no circuito da Figura 8, obté-se: G C dv t i t v t 2 2 dt (72) As equações (68) a (72) pode ser reescritas coo sendo: Rj i10 t Rji1 j t (73) di10 t 1 1 v1 t u t dt L0 j 0 L 0 j1 L0 L0 di t R R i t i t (74) dt L1 L dt L2 L2 di t R R i t i t (75) di t R R i t i t (76) dt L L dv1 t 2 G i10 t v1 t (77) dt C C As equações (73) a (77) pode ser escritas na fora de equação de estado, ou seja: x( t) A x( t) B u( t) (78) Onde:

45 43 A 1 R1 R2 R 1. R j L0 j 0 L0 L0 L0 L 0 R1 R L1 L1 R2 R L2 L2 R R L L 2 G C C B 1 L (79) (80) x() t i t i t i t i t v t (81) T Na equação (78); derivada de xt () co relação ao tepo. ut é a tensão aplicada no terinal eissor da linha, e xt () é a Ua vez que a linha onofásica de copriento d é representada por eio de ua cascata de n segentos de linha, onde cada segento é do tipo ostrado na Figura 9. A generalização das equações (79) a (81) é escrita coo sendo: x t i t i t i t i t i t i t ( ) n n i t i t i t v t v t v t 1 2 n 1 2 n T (82) Logo, o vetor de estado xt () pode ser representado de aneira siplificada coo sendo:

46 44 x t x t x t x t x t x t ( ) (83) T Na equação (83), o vetor de estado () xt é de orde 2 n 1. Esta atriz é constituída por 2 subvetores de orde n 1, que obedece às seguintes regras de foração: Subvetores x0 t, x 1 t,... e x t : Estes subvetores são constituídos pelas correntes que percorre os indutores do segento de linha. Os esos são descritos coo sendo: T x t i t i t i t i t j 1 j 2 j 3 j nj (84) A equação (84) é válida para j 0, 1, 2,, ; onde i 1 () t, i 2 () t, i 3 () t,... e i () t j j j nj são as correntes que percorre os indutores L j, do 1 o, 2 o, 3 o,... e n-ésio circuito π, respectivaente. Subvetor x 1 t eso é descrito coo sendo: : Este subvetor é constituído pelas tensões transversais de fase. O T x t v t v t v t v t j n (85) Na equação (85), a grandeza segento de linha. coo sendo: vj t corresponde à tensão transversal no j-ésio Entretanto, a atriz de estado A pode ser representado de aneira siplificada

47 45 A S N1 N2 N T M1 M1 P P P M P M P P 2 2 M P P M P U P P P V (86) Na equação (86), a atriz de estado A é quadrada de diensão 2 n. Esta atriz é constituída por seguintes regras de foração: 2 ( 2) subatrizes quadradas de diensão n, que obedece às Subatriz S : Esta subatriz possui eleentos não nulos soente na diagonal principal. A esa é escrita coo sendo: S 1 R j L0 j0 1 0 R j 0 0 L0 j R j 0 L0 j L 0 j0 R j (87) Subatriz T : Esta subatriz possui eleentos não nulos soente na diagonal principal e na prieira subdiagonal. A esa é descrita coo sendo: T L L0 L L0 L L0 L 0 (88)

48 46 Subatriz U : Esta subatriz possui eleentos não nulos soente na diagonal principal e na prieira superdiagonal. A esa é descrita coo sendo: U C C C C C C C (89) Subatriz V : Esta subatriz possui eleentos não nulos soente na diagonal principal. A esa é descrita coo sendo: V G C G C G C G C (90) Subatrizes 1 M, M,... e 2 M : Estas subatrizes possue eleentos não nulos soente na diagonal principal. As esas são escritas coo sendo: R j Lj R j Lj M j R j Lj R j L j (91)

49 47 A equação (91) é válida para j 1, 2,, Subatrizes 1 N, N,... e 2 N : Estas subatrizes possue eleentos não nulos soente na diagonal principal. As esas são descritas coo sendo: R j L0 R j L0 N j R j L 0 R j L0 (92) coo sendo: A equação (92) é válida para j 1, 2,, Subatriz P : Esta subatriz é nula. Entretanto, o vetor de controle B é de orde 2 n 1. O eso é escrito 1 B L0 T (93) Logo, a equação (78) perite obter as correntes e tensões ao longo de ua linha bifásica genérica, considerando o efeito da frequência sobre os parâetros longitudinais. A solução dessa equação é obtida ediante a utilização de qualquer étodo nuérico de integração. Geralente, a integração da equação de estado é realizada por eio do étodo de Heun (étodo de integração trapezoidal), onde a ipleentação coputacional da esa pode ser realizada na platafora do MATLAB.

50 Modelo estudado para ua linha de transissão bifásica, desenvolvido diretaente nos doínios das fases e do tepo No processo de decoposição odal de ua linha de transissão bifásica que não possui plano de sietria vertical (ostrado no apêndice C.4), as atrizes de transforação que decopõe a esa nos seus dois odos de propagação, possue eleentos coplexos que são variáveis e relação à frequência. Para contornar o cálculo de tais atrizes T e T V, foi desenvolvido u odelo de linha de transissão bifásica a parâetros discretos, diretaente no doínio do tepo. I Considerações co relação ao odelo Os parâetros longitudinais útuos de ua linha de transissão representa o acoplaento agnético entre as fases da esa. Devido ao fato de que as linhas de transissão são construídas sobre u solo que não é considerado ideal (hoogêneo co distribuição não unifore de densidades de corrente elétrica), pode-se afirar que as ipedâncias longitudinais útuas devido ao efeito do solo, alé de conter a influência das indutâncias útuas, possue ua coponente real denoinada resistência útua (DOMMEL, 1986). A indutância útua entre dois condutores de ua linha de transissão produz quedas de tensão e cada u dos condutores envolvidos. As características físicas e ateáticas daquelas quedas de tensão são descritas pela lei de Faraday-Neuann-Lenz (HAYT, 2013). Entretanto, o efeito da resistência útua nas fases de ua linha de transissão pode-se entender por eio do odelo de Schulze (SCHULZE et al., 2010). Nesse odelo considera-se que a resistência útua entre dois condutores i e k faz co que o condutor i apresente ua queda de tensão devido à corrente no condutor k, e que o condutor k apresente ua queda de tensão devido à corrente no condutor i. Essas quedas de tensão pode ser ensuradas por eio da lei de Oh. Na Figura 9, visualiza-se dois condutores i e k acoplados agneticaente por eio de ua indutância útua L e ua resistência útua R.