COKRIGAGEM. Aplicação da cokrigagem

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1 COKRIGAGEM Procediento geoestatístico segundo o qual diversas variáveis regionalizadas pode ser estiadas e conjunto, co base na correlação espacial entre si. É ua extensão ultivariada do étodo da krigage quando para cada local aostrado obté-se u vetor de valores e lugar de u único valor. Aplicação da cokrigage Quando duas ou ais variáveis são aostradas aproxiadaente nos esos locais dentro de u eso doínio espacial e apresenta significativo grau de correlação. O étodo pode ser usado quando a variável de interesse apresenta-se sub-aostrada e relação às deais. Essa variável é conhecida coo priária e as deais coo secundárias. O objetivo é elhorar a estiativa da variável priária utilizando aquelas ais densaente aostradas. Ou quando a variável priária tabé exibe ua baixa autocorrelação espacial e as variáveis secundárias apresenta ua alta continuidade. Noralente é usada ua variável priária e apenas ua secundária. Se o nuero total de variável priária e secundárias for igual a n, serão necessários (N v +) / variograas e covariograas cruzados. 3 4

2 ZS Fundaental na utilização da cokrigage é a verificação prévia da correlação existente entre as variáveis, a qual deve ser alta para que as estiativas seja consistentes. Tabé deve ser notado que a elhoria de interpretação soente é significativa quando ua das variáveis te u núero extreaente reduzido de casos e relação à outra. Se Z (x) e Z (x) são funções aleatórias estacionárias ou intrínsecas, o seu variograa cruzado, define-se coo : Z Z ( h) E[( Z( x) - Z( x h))( Z( x) - Z ( x h Variograa cruzado experiental: O estiador Z(x 0 ) nu ponto não aostrado x 0 pode ser descrito pela cobinação linear dos valores vizinhos de abas as variáveis ))] 5 6 Cokrigage Ordinária: solução por cálculo atricial [A] [B] [X] α i =,...n i representa os n i pontos para a variável Zi e α i =,...n i representa os n i pontos co deslocaento h para a variável Zi i é o identificador da variável priária Z ou secundária Z Matriz [A] coposta: pela sub-atriz, que descreve a distribuição espacial da prieira variável Z ; pela sub-atriz, que descreve a distribuição espacial da segunda variável Z ; pela sub-atrizes, que descreve a variabilidade cruzada das variáveis Z e Z consideradas e conjunto; os teros restantes 0 e corresponde à condição de não viés para abas as variáveis. 7 8

3 Vetor [B]: a atriz [A] não conté nenhua inforação sobre o ponto X 0, objeto da estiativa. Toda a inforação necessária está contida no segundo ebro do sistea, o vetor [B], o qual é coposto por subvetores: o que depende da configuração geoétrica relativa ao ponto X 0 e relação aos pontos x, onde Z é observada; o que depende da configuração geoétrica relativa ao ponto X 0 e relação aos pontos y, onde Z é observada; os teros restantes 0 e corresponde à condição de não viés. Vetor [X]: a solução do sistea, ou seja, o cálculo dos coeficientes s, s e dos ultiplicadores de Lagrange μ e μ, expressos pelo vetor [X] para diferentes pontos X 0 é obtida pela inversão de [A] e subseqüente ultiplicação por [B]. 9 0 Modelo linear de corregionalização As equações da cokrigage são foruladas na suposição que as variáveis priária e secundária apresenta covariâncias, co atriz positiva definitiva, para ser considerada ua atriz de covariâncias-cruzada válida. Ua aneira siples para a obtenção dessa atriz é utilizar o odelo linear de corregionalização. Ajusta os variograas e covariograas cruzados entre duas variáveis, ou ais, de tal aneira que a variância de qualquer cobinação linear possível dessas variáveis seja sepre positiva. Tal cobinação usa a esas estruturas dos variograas e dos covariograas cruzados, antendo o eso valor para o alcance. Abos os deterinantes das atrizes referentes aos valores do efeito pepita (Co) e soleira (C), deve ser positivos: 3

4 A variancia das cobinações lineares da variável de interesse é positiva, quando são utilizandos odelos variográficos. Ao incluir ais variáveis é necessário assegurar-se que a a variância das cobinações lineares delas tabe seja positiva. Para conseguir isto, utiliza-se do odelo linear de corregionalização, o qual estabelece que os variograas individuais e o cruzado são cobinações lineares de odelos de variograas. Para o caso de duas variáveis, te-se: h u h u h u h 3 h v h v h v h ZS Z S h w h w h w h ZS As equações anteriores pode ser escritas, e fora atricial: Z ( h) ZS ( h) u ZS h ( h) w S w ( h) v 0 0 u ( ) h w w ( h) v 0 0 ( ) h Cada ua das atrizes que conté os variograas são definidas positivas e, por tanto, para que o resultado final seja ua atriz definida positiva: 4 uj 0 v j 0 u v w 0 j j j ZS Co dados totalente coincidentes (isotopia): Conveniente, apenas, para estiar de aneira consistente o topo e a base de u jaziento. Cokriging Ipossível estiar covariancias cruzadas co todos os dados não coincidentes (heterotopia). Cokriging Topo Base Não se obte ua elhoria substancial quando se aplica a cokrigage, e relação à krigage ordinária. Variável secundária (ipedância acústica) Variável principal (porosidade) 5 6 4

5 Cokriging Resultados satisfatórios quando os dados são parcialente coincidentes (heterotopia parcial) Apenas variável secundária (ipedancia acústica) Apenas variável principal (porosidade) Variável principal e variável secundária A cokrigage ordinária é u procediento que requer o cálculo e odelage de variograas experientais diretos e cruzados. A odelage desses variograas não pode ser feita individualente, as si e conjunto de tal fora que deve satisfazer o odelo linear de corregionalização. Tal procediento pode se tornar uito trabalhoso à edida que auenta o núero de variáveis secundárias. Alé disso, dependendo do núero de variáveis envolvido, há o problea de estiativas discrepantes co a distribuição inicial da variável priária. Isso acontece devido às condições de restrição do sistea de equações de cokrigage ordinária e que os pesos da variável priária soa a u, enquanto os pesos da variável secundária soa zero. 7 8 Cokrigage colocalizada Variável priária: conheciento restrito a partir de pontos esparsaente distribuídos pelo doínio Variável secundária: conheciento exaustivo, conhecida e cada ponto da alha a ser estiada. Problea: alta densidade de inforação secundária pode resultar e instabilidade no sistea de equações lineares de cokrigage Siplificação da vizinhança que será considerada para a estiativa de valores da variável priária. ariograa da variável priária e variância da variável secundária. A cokrigage colocalizada é ua técnica que siplifica o procediento da co-estiativa, pois não requer o cálculo do variograa cruzado, o qual é deduzido co base no chaado Modelo de Markov ou, dependendo do suporte aostral da variável priária e relação à variável secundária. Trata-se de ua técnica que faz a estiativa usando a inforação secundária e caso de alta correlação ou a inforação priária e caso de baixa correlação. E situações de correlações édias, a cokrigage colocalizada faz uso tanto da inforação priária coo da secundária, por eio dos pesos da variável priária e peso da secundária

6 Cokrigage co deriva externa Coo a krigage universal é u étodo híbrido, pois utiliza funções deterinísticas (contribuição não estacionária do fenôeno) e funções probabilísticas (contribuição estacionária do fenôeno Variável secundária: tendência de baixo grau Variograa dos resíduos A Cokrigage co deriva externa é tabé ua alternativa interessante e situações onde a variável secundária é fartaente aostrada. Nesse procediento, há ua condição de restrição que força os pesos da variável priária seguire a geoetria da variável secundária. A aior dificuldade da krigage co deriva externa está no cálculo da covariância residual a partir do variograa residual. Foi desenvolvido u procediento que perite calcular a coponente de tendência sobre a alha regular contendo a inforação secundária e a partir daí derivar o seu variograa, que subtraído do variograa da variável priária resulta no vaiograa residual. A cokrigage ordinária trabalha co ua base de dados, preferencialente co heterotopia parcial, da qual são calculados os variograas diretos e cruzado. A cokrigage colocalizada e a krigage co deriva externa usa duas bases de dados: a prieira co aostragens das variáveis priária e secundária nos esos pontos, ou seja, a base é isotópica e outra base co dados secundários sobre os pontos que se deseja estiar a variável priária. No caso da cokrigage colocalizada, parte-se do covariograa da variável priária para estiar o covariograa cruzado. A krigage co deriva externa precisa do variograa residual. 3 (Yaaoto e Landi, 03) 4 6

7 Exeplo (Isaaks & Srivastava, 989: ) Configuração de dados, ostrando valores para variável priária (U) e três valores para variável secundária (V) Localização dos pontos: P0: 0, 0 p: -3, 6 P: -8,-5 P3: 3,-3 Modelo linear de corregionalização: ( h) 440, , 000 Sph ( h ) 95, 000 Sph ( h ) U ( h), , 000 Sph ( h ) 45, 000 Sph ( h ) V VU ( h) 47, , 000 Sph ( h ) 40, 000 Sph ( h ) (7.) Valor de U0?

8 Exeplo: Distribuição dos poços que atingira o lençol freático/bauru,sp (Sturaro, 994) Topografia e lençol freático Correlação entre cota topográfica e topo do lençól freático 3 3 8

9 UTM - NORTE (UTM) - NORTE Variograas Cokrigage do topo do lençol freático COKRIGAGEM DO TOPO DO LENÇOL FREÁTICO (UTM) - LESTE Mapa dos desvios padrão da cokrigage MAPA DOS DESVIOS PADRÃO DA COKRIGAGEM TOPO DO LENÇOL FREÁTICO UTM - LESTE EXERCÍCIO 05. Krigage indicativa Aplicar o algorito Kriging aos 359 dados do exercício 0, após transforação para valores binários 0-. Os níveis de corte, necessários para a transforação binária 0-, são 0.8 para cádio, 50 para cobre e 50 para chubo. Esses valores são definidos coo sendo o áxio tolerável para u solo ser considerado coo não poluído. Para a transforação binária: Planilha de dados/data Transfor Transfor with: Colun variables Transfor equation: Para cádio: G=IF(D>0.80,,0) Para cobre: H=IF(E>50,,0) Para chubo I=IF(F>50;,0) Calcular apas co valores de probabilidade de ocorrência para os etais cádio, cobre e chubo. Os apas resultantes deverão obedecer à área irregular abrangida pelos pontos de 36 aostrage. 9