INTRODUÇÃO "Todas as coisas são números". Pitágoras

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1 MINICURSO: Explorando o Geoplano Professora Rosa Maria Machado e-ail: r@ie.unicap.br RESUMO Apresentareos neste evento alguas atividades sob a fora de inicurso a sere trabalhadas nas aulas de Mateática fazendo uso do Geoplano co ênfase e Teoria dos Núeros. Os participantes encontrarão ua variação no grau de dificuldade para a resolução dos exercícios desde os ais siples até aqueles que erecerão aior atenção abrindo assi ua discussão sobre alguns pontos que não estão inclusos nua abordage tradicional do ensino de ateática. Espera-se que após esse inicurso e co os possíveis debates a respeito dos conteúdos os participantes tenha outros subsídios de ateática para as suas aulas. Público alvo: Professores do Ensino Médio e estudantes de Licenciatura e Mateática INTRODUÇÃO "Todas as coisas são núeros". Pitágoras Nu abiente de anipulação e investigação o aluno encontra condições para produzir o conceito produzir conheciento experientar cobinações expressar-se livreente desenvolver a criatividade resolver probleas apliar sua noção de undo. Serrazina(0) ressalta a necessidade de cuidado especial co a utilização de aterial didático nas aulas de Mateática e tabé alerta sobre a dependência fundaental da copetência do professor e ua reflexão be ais aprofundada a propósito de suas bases episteológicas. O papel do professor deve ser de condutor ou guia. Deve orientar o trabalho dos estudantes no geoplano e guiar as observações para que eles encontre todas as possibilidades do caso nos deslocaentos dos atilhos chegando a descoberta de relações através de ações percepções e abstrações. Sua ente deve estar sepre aberta para introduzir as possíveis variações que derive do diálogo e classe co os estudantes. Esta flexibilidade do professor proporcionará novas descobertas e tornará o estudo ais atraente. As perguntas deve ser dinâicas ais do que forais. O diálogo co a classe deve ser ágil se ipedir que cada estudante elabore o seu pensaento. Deve dar tepo para que o estudante observe pense e expresse seu pensaento. A linguage do professor deve ser concisa e cuidadosa suficienteente rica para utilizar expressões equivalentes que torne claras as idéias e facilite a copreensão dos significados. Deve otivar o aluno que expresse suas idéias co clareza a fi de que seja interpretado corretaente. Após o estudante ter encontrado as relações esperadas deve utilizar seu caderno para fazer os registros a fi de ir adquirindo a sibologia adequada. GEOPLANO Geoplano: é u recurso didático-pedagógico dinâico e anipulativo (construir ovientar e desfazer). Contribui para explorar probleas geoétricos e algébricos possibilitando a aferição de conjecturas e podendo-se registrar o trabalho e papel ou reproduzi-lo e papel quadriculado. Alé disto o geoplano facilita o desenvolviento das habilidades de exploração espacial coparação relação discriinação seqüência envolvendo conceitos de frações e suas operações sietria reflexão rotação e translação períetro área. O geoplano é u eio ua ajuda didática que oferece u apoio à representação ental e ua etapa para o cainho da abstração proporcionando ua experiência geoétrica e algébrica aos estudantes. Modelos de Geoplanos A seguir apresentaos alguns tipos de geoplano. É iportante observar que no geoplano utiliza-se elásticos do tipo para aarrar dinheiro de preferência de cores variadas.

2 a) geoplano quadrado b) geoplano trelissado c) geoplano circular d) geoplano oval Representação geoétrica dos núeros O apareciento dos núeros figurados está registrado na história da ateática e é atribuído o feito a conhecida Escola Pitagórica cujo conceito teve uita influencia até o século XVII. A associação entre a geoetria e a aritética nesses núeros é intrigante; ostra u núero de pontos distribuídos segundo ua configuração geoétrica. Os Pitagóricos representava cada unidade por u ponto e co os pontos forava figuras que representava núeros. De acordo co as figuras obtidas chaavalhes núeros triangulares núeros quadrados núeros pentagonais etc. A seguir explorareos alguas destas configurações utilizando vários tipos de geoplano. Núeros produtos Ao se trabalhar a proporcionalidade é conveniente otivar a reflexão sobre a ruptura da linearidade. Ua atividade interessante de se apresentar é construir ua série de quadrados e que cada u tenha o períetro o dobro do anterior por exeplo co períetros :

3 Núeros Triangulares: são os núeros naturais N que fora triângulos que representa geoetricaente as soas dos núeros da série dos núeros naturais. a) Assinalar no geoplano co o auxílio dos elásticos a seguinte seqüência: b) Conte os pinos (que representa pontos ou seja unidades) e indica os prieiros quatro teros da seqüência dos núeros triangulares. c) Qual será o próxio tero desta seqüência? d) Explique qual é a regra que te perite obter u núero a partir do anterior. e) Procure descobrir o tero geral desta seqüência. Núeros Quadrados: são os núeros naturais N que fora quadrados que representa geoetricaente as soas dos núeros ípares da série dos núeros naturais assi: A seqüência seguinte representa os núeros quadrados: a) Assinalar no geoplano co o auxílio dos elásticos essa seqüência. b) Contar os pinos e indicar os prieiros quatro teros da seqüência dos núeros quadrados. c) Qual será o próxio tero desta seqüência? d) Explicar qual é a regra que te perite obter u núero a partir do anterior. e) Procura descobrir o tero geral desta seqüência.. a) Construir no geoplano co o auxílio dos elásticos u quadrado co nove pinos de lado. Toeos coo unidade o lado desse quadrado que passará a edir c e chaareos A a este quadrado. b) Construa outro quadrado unindo os pontos édios do quadrado anterior tal coo ostra a figura seguinte. Este quadrado será o B.

4 c) Repita este processo (unir os pontos édios de u quadrado) constrói no teu geoplano ais dois quadrados o C e o D. d) Constrói a seqüência das áreas dos quadrados AB C e D. e) Procura descobrir o tero geral desta seqüência. f) O que podes concluir acerca da área de u quadrado que se obté de outro unindo os pontos édios dos seus lados? Recursividade Ua função (ou u procediento) é recursiva (o) quando possui ua ou ais chaadas a si esa (o). Esta característica pode a princípio parecer estranha as o uso da recursividade uitas vezes é a única fora de resolver probleas coplexos. Por exeplo: a função ateática fatorial pode ser se n 0 definida do seguinte odo: n! n( n )! se n > 0. Nesta forulação o fatorial é definido à custa dele próprio trata-se então de ua definição recursiva. Por exeplo:! x! ( pela segunda linha da definição) xx! ( pela segunda linha da definição) xxx0!( pela segunda linha da definição) Observe que o valor co que se invoca o fatorial vai diinuindo até chegar a zero altura e que a recursividade terina. Atividade: Descubra a lei de foração das figuras abaixo:

5 Observe que há necessidade de se utilizar a recursividade ou seja a lei de foração: A n A n- TEOREMA DE PITÁGORAS: A área o quadrado sobre a hipotenusa de u triângulo retângulo é igual à soa das áreas dos quadrados sobre os catetos. Este teorea te despertado a curiosidade de uitos ateáticos. Ao longo dos séculos fora apresentadas várias deonstrações do teorea de Pitágoras. Desta fora possibilita aos estudantes o "contato" co diferentes tipos de raciocínios ostrando-lhes que não existe u único processo de deonstração. Teorea de Pitágoras I (Autor desconhecido cerca de 00 a. C.) Pitágoras não só se satisfez co a generalização da propriedade a que chegou coo tabé se preocupou co a sua deonstração. Ele considerou u triângulo retângulo cujos lados edia ua dada unidade a e b e a hipotenusa c.

6 Figura Figura b c (ab/) a (ab/) Cada figura é u quadrado de lado a b. A figura foi subdividida e quatro triângulos iguais ao inicial e nu quadrado de lados iguais á hipotenusa c. Na figura os quatros triângulos retângulos são iguais. Na figura e na figura estão quadrados iguais de lado a b. Por outro lado a e b são os catetos do triângulo retângulo c é a sua hipotenusa. Portanto a área do quadrado a esquerda e igual a área do quadrado do lado direito. Então: (bc/) a² b² (bc/) c² Logo: a² b² c² Teorea de Pitágoras II (a deonstração do presidente) O general Jaes Abra Garfield (-) foi o vigésio presidente dos Estados Unido por eses assassinado e e gostava de Mateática. Ele contribuiu co a Mateática deonstrando o Teorea de Pitágoras segundo a figura abaixo. Observe que a área do trapézio co bases a b e altura a b é igual à sei-soa das bases vezes a altura. Por outro lado a esa área é tabé igual à soa das áreas de triângulos retângulos. A área do trapézio co bases a b e altura ab é igual à sei-soa das bases vezes a altura. Por outro lado a esa área é tabé igual à soa das áreas de triângulos. Portanto: a b x ( a b) ab ab c Siplificando obteos a b c.

7 Observação: ) área do trapézio ½ (soa das bases) * (altura) ) decopor o trapézio e triângulos retângulos e calcular a área desses triângulos. Probleas que envolve o Teorea de Pitágoras - Períetros Pitagóricos U grande rancho australiano te ua fora que pode ser visualizada coo u quadrado a cujos lados está justaposto u triângulo retângulo. Todos os triângulos são diferentes e taanho as tê a propriedade de os seus lados tere todos u núero inteiro de quilôetros. Qual é o enor períetro possível do rancho? - Núeros Irracionais Represente no geoplano alguns triângulos retângulos. Responda: a) Quanto ede a hipotenusa dos triângulos representados no geoplano? b) Podeos colocar e orde crescente essas edidas? - Siplificação de radicais Representar no geoplano segentos que eça:. Representar e outro geoplano os segentos que eça:. O que podeos concluir?

8 Portanto: Repita o exercício para os seguintes valores: 0. O que podeos concluir co os seguintes valores: - POLIGONO Optiização.Represente no geoplano os polígonos de períetro u. Calcular a área de cada polígono. Qual dos polígonos que possui a aior área? Desenhe no seu caderno. Faça o eso exercício as co períetro igual a 0u.. Represente no geoplano polígonos de períetro iguais a Represente no geoplano os polígonos que tenha área igual à u.a. Qual deles te a enor períetro? Faça o eso exercício as co áreas e e tabé co e. COMPLETANDO O QUADRADO x a x (x a/) - (a/)

9 Coparando a édia aritética e a édia geoétrica GEORG ALEXANDER PICK (a b) - (a - b) a b ( a b) ab Este teorea foi descoberto pela prieira vez pelo ateático Georg Alexander Pick e. Pick nasceu e Viena de Áustria e e orreu durante a II Grande Guerra e no capo de concentração de Theresienstadt.. A FÓRMULA DE PICK PARA A ÁREA Sabeos coo deterinar a área de polígonos particulares. Quando quereos deterinar a área de ua região poligonal qualquer nós a decopoos e regiões triangulares calculaos a área de cada ua e soaos. Existe poré u outro odo de calcular a área de ua região poligonal. A fórula de Pick é u teorea do final do século passado e dá u critério interessante para o cálculo de área de polígonos co vértices sobre ua alha. Teorea (Fórula de Pick-fora siples) -A área de ua região poligonal de vértices sobre o reticulado é dada por: A i (b/)- onde b é o núero de pontos do reticulado que estão sobre os lados da região poligonal e i é o núero de pontos do reticulado que estão no interior da região poligonal. ATIVIDADE O Stoachion A invenção de u dos ais antigos quebra-cabeças geoétrico que se conhece é atribuída a Arquiedes sábio grego que viveu e Siracusa Sicília no séc. III a.c.. Esse quebra-cabeça é chaado Stoachion ebora não se saiba o significado preciso desta palavra (te a esa raiz que a palavra grega para estôago). A inforação sobre este quebra-cabeças chegou-nos através de dois anuscritos uito incopletos as que perite construí-lo e observar alguas das suas características. Parece que Arquiedes fez u estudo bastante copleto do quebra-cabeça as esse estudo não sobreviveu aos uitos séculos de guerras pilhagens destruições e incopreensão pelos estudos literários e científicos. O Stoachion é constituído por u conjunto de peças planas (originalente e arfi) de várias foras poligonais co duas características fundaentais: - pode unir-se de odo a forar u quadrado; - a área de cada peça é coensurável co a área do quadrado anterior. O que significa coensurável? Significa que o quociente entre a área de cada peça e a área do quadrado total é u núero racional. É uito fácil construir o quebra-cabeça se partiros de u quadrado de lado igual a

10 unidades. Coeçaos por traçar o quadrado sobre ua quadrícula de por (recoenda-se a utilização de papel quadriculado). E seguida arcaos os pontos indicados na figura e unios esses pontos. Obtiveos figuras e essas são as figuras que constitue o Stoachion.A deterinação da área de cada figura é fácil se atenderos ao seguinte resultado conhecido coo Teorea de Pick: "A área de ua figura cujos vértices são vértices de ua quadrícula regular (geoplano) é igual ao núero de vértices da quadrícula que se encontra no interior da figura ais etade do núero de vértices que se encontra sobre a linha liite da figura a que se retira ua unidade". O teorea de Pick só é válido para figuras siples isto é para figuras e que os lados não se intercepta a não ser eventualente nos vértices. O teorea é usado por exeplo na indústria florestal para deterinar a área de ua região e função do núero de árvores (regularente espaçadas). Usando este teorea é fácil provar que no Stoachion há peças de área peças de área peça de área peças de área peça de área e ua peça de área. Coo a área do quadrado forado por todas as peças é a razão entre a área de cada figura e a área do quadrado é respectivaente / / / / / e /. Na literatura antiga aparece várias referências ao Stoachion; coo e Marius Victorinus (séc IV) e Atilius Fortunatus (séc VI) chaa-lhe loculus Archiedius (caixa de Arquiedes). Nu anuscrito do poeta e estadista roano Ausonius (séc IV) o Stoachion é coparado a ua fora de poesia e que várias étricas são isturadas. Nesse anuscrito aparece a seguinte fora que se pode dar às peças do Stoachion e que aparenta ser u elefante: Vários probleas interessantes se pode associar às peças do Stoachion alé de procurar outras figuras sugestivas que se possa forar co as suas peças. Por exeplo: "Agrupar as peças do Stoachion de odo que as áreas (divididas pelo fator ) dos novos fragentos obtidos seja representadas por: - três núeros inteiros iguais - três núeros inteiros consecutivos - pelos oito prieiros núeros inteiros e pelo núero. ANÁLISE COMBINATÓRIA.De quantas aneiras diferentes podeos sair do vértice A e ir até o vértice B se voltar e ovientarse soente na horizontal ou vertical? 0

11 Observação: Se representaros por o núero de cainhos encontrados e a); por o núero de cainhos encontrados e b); por o núero de cainhos encontrados e c) e por o núero de cainhos encontrados e d) e assi sucessivaente. O que significa? 0 e O que podereos prever no -ésio passo?.sabendo que deterinar: a)??. 0 E E (gire o geoplano 0º) Portanto: K b) Representar no geoplano os seguintes núeros cobinatórios:. 0 0 Então: Deterinar: n e n e e d e c e b e a ) ) ) ) )

12 TRIÂNGULO DE PASCAL OU DE TARTAGLIA 0 0 O que falta para este triângulo ser siétrico? Definios:. 0 Ν então coplete o triângulo. Observação: Visualização da relação de Stiffel M. a) Quantos cainhos diferentes te-se de S para LL? (Não é peritido fazer o oviento de voltar) b) E quantos cainhos são possíveis passando obrigatoriaente por b? c) Escreva as três respostas sob a fora de núeros cobinatórios. d) Então: K K

13 .Representar no geoplano a figura correspondente a. a) Fixar o prieiro passo coo obrigatório. Quantos cainhos existe para sair de S e chegar e L L? b) Qual o significado de? K K. a) Quantos cainhos diferentes existe saindo de A e chegando e B? b) E de A a C? c) E de A a D? d) E de A a E? e) Escreva os núeros cobinatórios correspondentes: f) Então: L 0. a) Quantos cainhos diferentes existe saindo de A e chegando e B? b) E de A a C? c) E de A a D? d) E de A a E? E de A a F? e) Escreva os núeros cobinatórios correspondentes: f) Então: L 0. a) Quantos cainhos diferentes existe saindo de A e chegando e B? b) E de A a C? c) E de A a D? d) Escreva os núeros cobinatórios correspondentes: e) Então: 0

14 . (Fuvest-SP) A figura a seguir representa parte do apa de ua cidade onde estão assinalados as casas de João Paulo (A) de Maria Cristina (B) a escola (C) e u possível cainho que João Paulo percorre para passando pela casa de Maria Cristina chegar à escola. Qual é o núero total de cainhos distintos que João Paulo poderá percorrer cainhando soente para o Norte ou Leste para ir de sua casa à escola passando pela casa de Maria Cristina? "Educai as crianças e não será preciso punir os hoens". Pitágoras BIBLIOGRAFIA BOLT Brian. Divertientos Mateáticos Lisboa 0. BOLT Brian e HOBBS David. 0 Probleas de Mateática Lisboa. RANCHAL Caren Jalón. El geoplano: actividades para el aula. VII Jornadas Andaluzas de Educación Mateática Thales p. -. MACHADO Rosa Maria. Núeros: a filosofia dos gregos que ainda sobrevive. Dissertação de estrado- FE-Unicap.

15 Geoplano Quadrado

16 Geoplano Trelissado

17 Geolplano oval

18 Geoplano Circular