4.7. Semelhança Mecânica Aplicada às Bombas

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1 idráulica Básica e Máquinas de Fluxo Seelhança Mecânica Aplicada às Bobas o cálculo e projeto de ua boba interfere, via de regra, uitos fatores cujas grandezas não são exataente conhecidas, ficando os esos assi sujeitos a ua certa insegurança. E se tratando de ua boba de grande porte, tal insegurança pode redundar e u fracasso e, assi, provocar grandes prejuízos econôicos para a fábrica. A seelhança ecânica (ou teoria dos odelos) copreende u conjunto de leis e conhecientos através dos quais se torna possível prever o coportaento de ua boba de grande porte a partir da atuação ou desepenho de ua boba enor e ais econôica. o seu sentido ais aplo, a seelhança ecânica perite aferir o coportaento de u protótipo ou áquina industrial a partir do desepenho ou atuação de ua áquina odelo, desde que entre ua e outra seja cupridos deterinados requisitos. Assi, para que haja seelhança ecânica entre duas bobas, torna-se necessário seja satisfeitos siultaneaente os seguintes requisitos: Que haja seelhança geoétrica. Que haja seelhança cineática. Que haja seelhança dinâica Seelhança Geoétrica Existe seelhança geoétrica entre duas bobas, protótipo e odelo (Fig. 4.0), quando entre as suas diensões lineares hoólogas existir sepre a esa relação K, dita razão de seelhança geoétrica. Desta fora, considerando duas bobas (Fig. 4.0), existirá seelhança geoétrica entre abas, quando: Fig. 4.0 Seelhança geoétrica. di dai dbi li K d d d l (4.45) a b 01 de agosto de 01 Alex. Brasil

2 idráulica Básica e Máquinas de Fluxo Seelhança Cineática á seelhança cineática entre duas bobas, quando houver seelhança dos triângulos de velocidade nos pontos hoólogos. Fig. 4.1 Seelhança cineática. Assi, existirá seelhança cineática quando: V1 i W1 i u1 i V W u (4.46) E quando: Vi Wi ui V W u (4.47) Seelhança Dinâica Existe seelhança dinâica entre u protótipo e u odelo (e se tratando de áquinas hidráulicas), quando o núero de Reynolds (característica do escoaento) for o eso para o protótipo e odelo. Re i Re Onde: Re VD ν (4.48) Onde: V : Velocidade, e /s; D : Diâetro, e ; ν : viscosidade cineática, e s. 01 de agosto de 01 Alex. Brasil

3 idráulica Básica e Máquinas de Fluxo Forulário de Seelhança Mecânica Satisfeitos os requisitos de seelhança geoétrica, cineática e dinâica dize-se, então, ecanicaente seelhantes as duas áquinas (protótipo e odelo). estas circunstâncias, pode-se, a partir do funcionaento de ua delas (o odelo), aferir o coportaento da outra (o protótipo), ua vez que: O coportaento é idêntico e idênticas situações; As perdas são proporcionais; Os rendientos são iguais; O coeficiente de cavitação é o eso. a) Duas áquinas seelhantes: i - protótipo - odelo K d d i razão de seelhança geoétrica entre protótipo e odelo. E sendo ecanicaente seelhantes, entre as grandezas que caracteriza os coportaentos do protótipo e do odelo, existe as seguintes relações: ni 1 i n K (4.49) Qi Q i K (4.50) i i K (4.51) Se os fluidos fore diferentes então no caso da relação entre as potências: K γ γ i i i (4.5) b) As áquinas são as esas funcionando e condições de rotação diferentes: (Equações de Rateaux) Se o protótipo e odelo fore iguais (duas áquinas trabalhando e situações diferentes ou a esa áquina trabalhando e situações diferentes), teos K 1 e as fórulas fundaentais da seelhança ecânica são, então, chaadas de equações de Rateaux. 01 de agosto de 01 Alex. Brasil

4 idráulica Básica e Máquinas de Fluxo 119 A boba anteriorente funcionava co n e Q e, passou para n e Q, no eso fluido: Q ' n' Q n (4.5) ' n' n (4.54) (Meso fluido) ' n' n (4.55) Co fluidos diferentes: a boba anteriorente funcionava co n, Q no fluido de peso específico γ, e passou a funcionar co n, no fluido de peso específico γ. (Fluidos diferentes) ' γ ' n' γ n (4.56) Velocidade Específica (n s ) É ua outra grandeza iportantíssia no estudo das bobas, principalente porque define a geoetria ou o tipo do rotor da boba. É tabé chaada, se be que enos usualente, de núero específico ou núero n é a rotação na característico de rotação e é assi definida: velocidade específica ( ) s qual deverá operar a boba para recalcar a vazão de 1 s e ua instalação co 1 de altura anoétrica, co o áxio rendiento. Assi, considerando: ni n n ns Qi Q Q i ηi η η η 1 s 1 Esta grandeza é usada para deterinar o tipo de rotor da boba a ser usada na instalação. A expressão: n n Q 1 s 4 (4.57) 01 de agosto de 01 Alex. Brasil

5 idráulica Básica e Máquinas de Fluxo 10 esta expressão devereos ter: n: e rp Q: e s Coordenadas do ponto de rendiento áxio : e O uso ais iportante do conceito da velocidade específica diz respeito a classificação dos vários tipos de rotores. á, revela a experiência e a análise, ua íntia relação entre o valor da velocidade específica e o tipo e diensões do rotor, de fora tal que cada tipo de rotor te ua faixa definida de valores da velocidade específica e dentro da qual apresenta (os rotores) u coportaento ais eficiente (confore ostra a Fig. 4.). Fig. 4. Relação entre a velocidade específica e o tipo de rotor. Entre a velocidade específica das bobas radiais e a rotação unitária da série de bobas seelhantes (grandeza n 11) chegou-se a ua equação experiental de uita utilidade. Esta equação é: Onde, confore a equação teos: n11 0,5 n s + 75 (4.58) n 11 n d (4.59) a expressão, d é, então, o diâetro ótio que deverá ter o rotor e que é, assi, perfeitaente deterinável usando-se as Eq. (4.59) e (4.58). E (4.58), o valor de s n é no sistea étrico. 01 de agosto de 01 Alex. Brasil

6 idráulica Básica e Máquinas de Fluxo Exercícios Propostos 1. Ua boba centrífuga recalcou 00 g.p.. a ua altura de 16,5 quando a rotação do otor era de rp. O diâetro do rotor era de 18 e desenvolvia 6 P de potência. Ua boba geoétricaente seelhante de 80 está girando a rp. Considerando eficiências iguais, pede-se: a) Qual a altura a ser desenvolvida? b) Qual a vazão recalcada? c) Qual a potência desenvolvida?. Ua boba A, co rotor de diâetro d A 75 e operadno a 400 rp, fornece ua vazão de 60 h e desenvolve ua altura anoétrica de 0, necessitando para tal de ua potência de acionaento de 10 cv. Pede-se deterinar para ua boba B, co rotor de diâetro d B 100 e ecanicaente seelhante à boba A, operando sob ua altura anoétrica de 0: a) Rotação; b) Vazão fornecida; c) Qual a potência desenvolvida?. Especificar o tipo de boba para as condições abaixo e deterinar, co base na rotação unitária de sua série, o diâetro externo ótio do seu rotor: a) Q 75 h ; b) ; c) n 1500rp. 4. E necessário recalcar l h a ua altura de 16 a.600 rp. Considerando aceitável a eficiência da boba para valores da velocidade específica do rotor entre rp e 78 rp, quantos estágios deverá possuir a boba a ser usada? 5. A fi de prever o coportaento de ua pequena boba de óleo, fora feitos testes e u odelo usando-se ar. A boba de óleo deve ser acionada por u otor de 1 0 P a 1800 rp, ao passo que o otor que acionará o odelo no laboratório te 1 4 de P a 600 rp. O óleo te ua densidade relativa de 0,91 e o ar ua assa específica de ser construído? 1, kg. Qual deve ser o taanho do odelo a 6. Mostrar que a velocidade específica de ua boba é função das diensões e do rendiento hidráulico e analisar a expressão encontrada. 01 de agosto de 01 Alex. Brasil

7 idráulica Básica e Máquinas de Fluxo Teoria da Seelhança e Escala Reduzida (Turbinas) Grande parte do progresso da ecânica dos fluidos, tanto no que diz respeito aos conhecientos básicos coo às aplicações e engenharia, é conseqüência da experientação, particularente e odelos reduzidos. A obtenção, por via experiental, de leis que relaciona as grandezas intervenientes nu fenôeno pode ser facilitada pela análise diensional. A transposição para o protótipo dos resultados obtidos sobre u odelo é regida pela teoria de seelhança, que freqüenteente se trata e conjunto co a análise diensional (Quintela, 1981). Dois sisteas dize-se fisicaente seelhantes relativaente a u conjunto de grandezas quando há ua relação constante entre valores hoólogos dessas grandezas nos dois sisteas (protótipo e odelo), partindo da consideração de que turboáquinas geoetricaente seelhantes funciona e condições de seelhança desde que tenha o eso rendiento (Quintela, 1981). A teoria de seelhança copreende u conjunto de leis e conhecientos através dos quais se torna possível prever o coportaento de ua áquina de grande porte a partir da atuação ou desepenho de ua áquina enor (Carvalho, 198). E seu sentido ais aplo, a teoria de seelhança perite deduzir o coportaento de u protótipo ou áquina industrial a partir do coportaento de ua áquina odelo, desde que entre ua e outra seja cupridos deterinados requisitos. De acordo co Carvalho (198) e Quintela (1981), para haver seelhança ecânica entre duas turbinas, torna-se necessário que seja satisfeitos os seguintes requisitos: que haja seelhança geoétrica; que haja seelhança cineática; que haja seelhança dinâica. Seelhança Geoétrica existe seelhança geoétrica entre duas turbinas, quando entre as suas diensões lineares hoólogas existir sepre a esa relação K, dita razão de seelhança e quando os ângulos hoólogos fore iguais. Seelhança Cineática há seelhança cineática entre duas turbinas, quando houver seelhança dos triângulos de velocidade nos pontos hoólogos, ou seja, partículas hoólogas descreve percursos hoólogos e tepos proporcionais. Seelhança Dinâica existe seelhança dinâica entre u protótipo e u odelo de turbinas, quando o núero de Reynolds (característica do escoaento) for o eso para o protótipo e odelo. Este conceito se fundaenta nas características do escoaento do fluido e não considera aspectos dinâicos das partes sólidas. Satisfeitos os requisitos de seelhança geoétrica, cineática e dinâica, dize-se, então, ecanicaente seelhantes as duas áquinas (protótipo e odelo), ou seja, o rendiento do protótipo é igual ao rendiento do odelo. estas circunstâncias, podese, a partir do funcionaento de ua delas (o odelo), predizer o coportaento da outra (o protótipo), ua vez que: 01 de agosto de 01 Alex. Brasil

8 idráulica Básica e Máquinas de Fluxo 1 o coportaento é idêntico e idênticas situações; as perdas são proporcionais; os rendientos são iguais; o coeficiente de cavitação é o eso (Carvalho, 198). E sendo ecanicaente seelhantes, entre as grandezas que caracteriza os coportaentos do protótipo e do odelo, existe as seguintes relações (Macintyre, 198; Carvalho, 198): D' ' D ' ou ' K ' (4.60) D ' ' n D' 1 n ou n' n 1 K ' 1 (4.61) D' ' Q D ' 1 Q ou Q' K Q 1 ' (4.6) M ' D' M D ' ou M ' ' K (4.6) M estas expressões: K: razão de seelhança geoétrica entre protótipo e odelo;, Q,, M, n: grandezas relativas ao odelo;, Q,, M, n : grandezas relativas ao protótipo. Co o auxílio dessas equações ensaios de laboratórios pode ser realizados co odelos de turbinas e escala reduzida, utilizando ua queda, ua descarga Q e u núero de rotações por inuto n, e deterinar as diensões da turbina que irá ser instalada para funcionar co a queda, a descarga Q e a velocidade n (Macintyre, 198). A seelhança geoétrica estende-se à rugosidade superficial efetiva do odelo e do protótipo. Se o odelo te u décio do taanho do protótipo e cada ua de suas diensões lineares, então a altura de suas asperezas deve anter a esa relação de u para dez. Para que as pressões dinâicas antenha a esa relação e pontos correspondentes do odelo e do protótipo, as relações entre os vários tipos de força deve ser as esas e pontos correspondentes do odelo e do protótipo. Logo, para haver seelhança dinâica copleta, os núeros de Mach e Reynolds deve assuir os esos valores tanto no odelo coo no protótipo (Streeter e Wylie, 1980). A experiência ostra que duas turboáquinas hidráulicas, geoetricaente seelhantes, tê rendientos diferentes, desde que seja elevada a relação entre coprientos hoólogos (escala geoétrica). Tal fato deve-se ao efeito da viscosidade que provoca perdas de carga que não varia co o quadrado da velocidade do escoaento, originando o que se designa por efeito escala (Quintela, 1981). 01 de agosto de 01 Alex. Brasil

9 idráulica Básica e Máquinas de Fluxo 14 a aplicação das leis de siilaridade ostradas anteriorente, é considerado que todos os critérios de seelhança dinâica são satisfeitos. Isto, entretanto, não é verdade no que diz respeito aos grupos adiensionais representados pelos núero de Reynolds, núero de Mach e pela rugosidade relativa (Douglas et al, 1985). O estudo da siilaridade entre odelo e protótipo não leva e consideração a viscosidade e, portanto, o núero de Reynolds, que seria exigido para que alé da seelhança geoétrica se tenha perfeita seelhança hidrodinâica. Se a viscosidade fosse considerada, chegar-se-ia a velocidades quase ipraticáveis para os odelos (Macintyre, 198). Então teos, onde: Re - núero de Reynolds ρ - assa específica µ - viscosidade D - diâetro do eixo ρvd Re µ O núero de Mach é iportante soente nos copressores axiais e turbinas a gás (Streeter e Wylie, 1980). Considere agora o efeito da rugosidade relativa. Esta novaente deve ser antida constante, devido à siilaridade geoétrica, a qual é a condição priária para anter as leis de odelo. Então, qualquer udança sobre o taanho da áquina envolve ua ε udança da rugosidade relativa, onde ε representa a rugosidade superficial D (Douglas et al, 1985). U odelo pode ser construído e rigorosa seelhança geoétrica co a turbina, no que diz respeito ao contorno banhado. Esta seelhança geoétrica, poré, não pode estender à rugosidade relativa das paredes. Tanto aior é a razão de seelhança K entre a turbina industrial e a odelo, tanto elhor deve ser o poliento desta e relação ao daquela. Coo se sabe, é prudente fazer o ais lisas possível as palhetas das turbinas sujeitas à cavitação, a fi de se evitar o risco de sobre-velocidades localizadas. Para que fosse copleta a seelhança geoétrica, a altura das asperezas da turbina odelo deveria ser K vezes enor do que a da turbina industrial. Isto representa ua falha porque teria que dar aos odelos u poliento superior ao que se consegue obter. Por isso convé executar experiências sobre odelos de ua esa turbina co diferentes diâetros, a fi de se ter ua indicação sobre a influência da variação da rugosidade relativa sobre o rendiento hidráulico da turbina (cada odelo terá ua rugosidade relativa diferente). Então, co ua extrapolação, pode-se calcular o rendiento que corresponderia à rugosidade relativa da turbina industrial (Macintyre, 198). De acordo co Streeter e Wylie (1980), os efeitos do núero de Reynolds (chaados efeitos de escala, porque é ipossível anter o eso núero de Reynolds e unidades hoólogas) pode causar discrepâncias de a por cento entre o rendiento do odelo e do protótipo. 01 de agosto de 01 Alex. Brasil

10 idráulica Básica e Máquinas de Fluxo 15 Por outro lado, Macintyre (198), relata que devido à dificuldade e se anter perfeita seelhança hidrodinâica, os odelos terão rendientos be inferiores aos que serão alcançados co o protótipo. Assi, o rendiento do odelo pode ser de 60%, enquanto que o da turbina protótipo alcançaria ais de 80%. Os rendientos das turbinas de potências uito elevadas, de ais de cv, ultrapassa 90%. Coo já encionado, nas experiências e odelos não se te rigorosa seelhança geoétrica (rugosidade relativa) ne tapouco hidrodinâica (núero de Reynolds). Segundo Gregorig (1961), para elhor avizinhar ao rendiento da turbina industrial são necessárias extrapolações e hipóteses teóricas (fórulas de correção). Estas fórulas utilizadas para o cálculo do rendiento hidráulico de ua turbina industrial conhecido o rendiento do odelo, são válidas para fluxos e que não há destacaento de corrente e, e particular, se aplica nos pontos de áxio rendiento. Abaixo, tê-se as principais fórulas para o cálculo da variação do rendiento hidráulico entre a turbina odelo e a industrial (Macintyre, 198; Gregorig, 1961): sepre que η > η, D D > 1 a) A fórula de Moody I Esta fórula é a ais siples e considera apenas a influência da rugosidade relativa, supondo igual, na industrial e no odelo, a rugosidade absoluta (aspereza das superfícies). onde: D 1 5 η 1 ( 1 η ) (4.64) D η - rendiento hidráulico áxio da turbina industrial; η - rendiento hidráulico áxio da turbina odelo; D e D - diâetro do rotor à entrada, na turbina industrial e na odelo, respectivaente. b) Fórula de Ackeret A fórula de Ackeret supõe que etade das perdas de carga que se verifica na turbina segue a lei quadrática (independentes de Re) e, a outra etade depende do Re. D η 1 0,5 5 (4.65) ( 1 η ) 1+ D 01 de agosto de 01 Alex. Brasil

11 idráulica Básica e Máquinas de Fluxo Velocidade Específica (n s ) para Turbinas idráulicas Duas turbinas geoetricaente seelhantes funciona e condições de seelhança dinâica e, portanto, co o eso rendiento (a enos do efeito de escala), se as velocidades de rotação, n e n, as quedas úteis, e, e as potências, e, estão relacionadas por (Macintyre, 198) n n' 1 ' ' 5 4 (4.66) A velocidade específica de ua dada turbina é deterinada no seu ponto de eficiência áxia e define-se por n s n n [rp] [cv] [] (4.67) e representa, de acordo co a teoria de seelhança, a velocidade de ua turbina geoetricaente seelhante à prieira que, funcionando co igual rendiento, fornece ua potência unitária sob queda útil unitária. É u parâetro de grande utilidade no estudo de turbinas e, tal coo n, é expresso e rotações por inuto; o seu valor depende das unidades utilizadas para a queda e para a potência (Quintela, 1981). A u certo valor de n s faz-se corresponder ua turbina co deterinada geoetria, de odo tal que todas as turbinas geoetricaente seelhantes, trabalhando co n, e de áxio rendiento, deverão ter o eso n s. A Tabela (4.) apresenta a velocidade específica para os principais tipos de turbinas, de acordo co Carvalho (198). Tabela 4. Valores das velocidades específicas e suas referentes turbinas (Carvalho, 198) n s Tipo de Turbina a 0 Pelton 1 jato 0 a 60 Pelton jatos 50 a 10 Francis lenta 10 a 0 Francis noral 0 a 50 Francis rápida 50 a 450 Francis extra-rápida 50 a 700 élice 400 a 100 Kaplan 01 de agosto de 01 Alex. Brasil

12 idráulica Básica e Máquinas de Fluxo Exercícios Propostos 1. Ua usina hidrelétrica epregará turbinas Francis, e os dados da instalação indica: a) Descarga Q 1 s ; b) Queda disponível 80 ; c) Diâetro de entrada do receptor D 1 6,850 ; d) úero de rotações por inuto do gerador n 11,5 ; e) Potência útil cv. o laboratório de ensaios, dispõe-se de u reservatório de nível constante co queda disponível de 6,5 e pode-se usar ua descarga de até 0,085 s. Pretende-se projetar e ensaiar u odelo reduzido no laboratório. Qual deverá ser o diâetro de entrada do receptor no odelo? Co que núero de rotações deverá ser realizado o ensaio e qual a potência a ser absorvida pelo freio dinaoétrico?. o Laboratório de Máquinas idráulicas do Centro Técnico-Científico da PUC/RJ, no ensaio de ua turbina Francis, doada pela J.M. Voith, obtivera-se os seguintes valores: 6,1 (desnível obtido co u reservatório de nível constante); Q 0,077 s ; n 800 rp; 5 cv. Calcular os valores de Q, n e que seria obtidos para valores da queda de 4 e de 0.. U receptor de turbina Francis co diâetro d 17 c foi projetado para as seguintes condições: 1000 cv n 00 rp Q,8 Desejando-se projetar ua turbina seelhante para funcionar co ua queda 50, fornecendo 000 cv e co o eso rendiento, quais deverão ser os valores do diâetro d ', do núero de rotações n e da vazão Q? s 01 de agosto de 01 Alex. Brasil