2. Mecânica da Fratura 2.1. Introdução

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1 8. Mecânica da Fratura.1. ntrodução As condições de trincaento e capo representa u dos principais ítens para a avaliação de pavientos e diagnóstico dos probleas existentes. Os prieiros projetos de paviento era totalente epíricos, baseados na experiência e na observação do coportaento de trechos experientais. Forou-se assi, u acervo de resultados e de observações experientais que dera orige a vários étodos para o projeto de pavientos tal coo o étodo epírico do DNER, dentre outros. A partir da década de 1970 surgira os étodos classificados coo ecanístico-epíricos, que procurava relacionar o desepenho do paviento e capo co as propriedades ecânicas dos ateriais, obtidas através de ensaios de laboratório (ensaio de copressão diaetral, geralente, no Brasil). Motta (1991), e ua abordage ecanística, propõe u étodo que previna a foração e propagação de trincas, liitando as tensões solicitantes nas fibras inferiores do revestiento, através da utilização de parâetros adequados para os ateriais, obtidos e ensaios de laboratório. Na etodologia ecanística, a propagação de trincas e o fenôeno da fadiga de ateriais são abordadas através de conceitos da Mecânica dos Pavientos (Rodrigues, 1991; Pinto, 1991; Medina,1997), que estuda o coportaento de ateriais que contenha fraturas ou trincas pré-existentes. O estudo do capo das tensões nas proxiidades da ponta da trinca é de grande iportância na deterinação da carga estática áxia que o paviento suportará e na estiativa da vida útil dos seus coponentes. No entanto o ais iportante nos pavientos é considerar a repetição das cargas óveis do tráfego que gera estas trincas. Segundo Freitas (00), o trabalho desenvolvido no Brasil por Rodrigues (1991) contribuiu para disseinar a Teoria da Mecânica da Fratura (TMF) e

2 9 probleas de pavientação. O referido trabalho fez uso da Lei de Paris (Paris e Erdogon, 1963) para a deterinação de parâetros de fratura de isturas asfalticas a partir de ensaios de fadiga, considerando, entretando, o aterial coo hoogêneo. A Mecânica da Fratura pode ser estudada através da forulação linear clássica, para ateriais frágeis, ou pela Mecânica da Fratura Elasto-Plástica, para ateriais dúteis. No Brasil, pesquisas sobre a Mecânica da Fratura aplicada a concretos asfálticos são encionadas nos trabalhos de Rodrigues (1991), Pinto (1991) Medina (1991) Soares e Freitas (003), dentre outros... Teoria da Mecânica da Fratura..1. Mecânica da Fratura Linear Elástica A Mecânica da Fratura Linear Elástica (MFLE) surgiu e função das liitações na aplicação dos conceitos tradicionais para prever o coportaento dos ateriais e relação à presença de descontinuidades internas e superficiais. Segundo Miranda (003) a MFLE descreve a agnitude e a distribução do capo de tensões (linear elástico) na vizinhança de ua trinca. nglis (1913) ostrou para o caso de ua placa de diensões infinitas apresentada na figura.1 (copriento da placa uito aior do que b e largura uito aior que a) e que conté ua trinca elíptica, que a tensão noral na extreidade do eixo aior da elipse (ponto A) é ajorada de acordo co a equação (.1) onde ρ b a é o raio de curvatura na ponta da elipse e σ o valor do carregaento de tração aplicada à placa. a σ A σ 1 + (.1) ρ Considerando o raio de curvatura ρ na extreidade da elipse uito enor que o taanho da trinca, pode-se siplificar a equação (.1) para: a σ A σ (.) ρ

3 30 O tero a ρ é definido coo fator de concentração de tensões t e descreve o efeito da geoetria da placa no nível de tensões da ponta da trinca. E ua prieira análise, significa que as trincas, se presentes, deve ser antidas co o enor taanho possível e que, quanto aior o raio de curvatura, enor a severidade devido à concentração de tensões. Figura.1 - Entalhe elíptico e ua placa plana ( Miranda,003) A equação (.1) sugere que para u raio de curvatura nulo (trinca co ponta aguda) as tensões áxias tende a infinito sob qualquer tensão de tração, o que, evidenteente, não acontece na realidade. O prieiro desenvolviento teórico da Mecânica da Fratura foi proposto anos ais tarde por Griffith (190). Este observou que quando ua trinca é introduzida e ua placa tracionada de aterial elástico, deve existir u balanço entre o decréscio na energia potencial, relacionado co a liberação de energia elástica arazenada e ao trabalho realizado pelo oviento das forças externas, e o auento na energia de superfície resultante da presença da trinca, confore equação.3. det dπ dws + 0 (.3) da da da onde E T é a energia total do sistea, Π a energia potencial na placa e W s a energia de deforação das superfícies da trinca. Segundo Griffith (190), e ateriais idealente frágeis, a trinca se propagaria de aneira instável se a energia de deforação liberada, quando a trinca avançasse de u copriento infinitesial, fosse aior do que a energia

4 31 necessária para forar ua nova superfície de trinca. Considerando novaente ua placa infinita de largura B, sujeita ao carregaento unifore σ (Figura.), contendo ua trinca elíptica de copriento a, Griffith co base nas equações de nglis (1913) deonstrou que: πσ a B Π Π 0 (.4) E W S ( abγ ) (.5) S onde Π 0 é a energia potencial total de ua placa equivalente se trinca, E é ódulo de elasticidade do aterial e W s a energia de deforação das superfícies da trinca, considerada igual ao produto da energia elástica de superfície γ s pela nova área da superfície da trinca (ab). Figura. Modelo usado por Griffith, 190 (Miranda, 003) Substituindo as equações (.5) e (.4) na equação (.3) obté-se a tensão na trinca, σ f Eγ s para estado plano de tensão (.6) πa A Mecânica da Fratura Elástica Linear pode ser ateaticaente forulada e função de energia (abordage proposta por Griffith, 190) ou e teros dos fatores de intensidade de tensão t, abas produzindo os esos resultados e probleas envolvendo ateriais elásticos ou co pequena zona plástica na frente da trinca. A análise co base e fatores de intensidade de tensão é vantajosa na

5 3 engenharia, pois o coportaento de trincas longas e estruturas pode ser estudado e laboratório utilizando pequenos corpos de prova. Westergaard (197) deterinou a natureza da distribuição de tensões na ponta de ua trinca, utilizando ua análise de tensões baseada e conceitos da teoria da elasticidade. Os capos de tensão circundando a ponta de ua trinca pode ser divididos e três odos principais de fraturaento que envolve diferentes deslocaentos das superfícies das trincas (figura.3). y x odo z abertura (ais cou) y odo x deslizaento ou z cisalhaento y x odo rasgaento z torção Figura.3 Os três odos básicos de fraturaento O odo de abertura, ou odo, é caracterizado por deslocaentos locais na direção do eixo y, os quais são siétricos e relação aos planos x-y e x-z. É o odo ais couente encontrado e fácil de ser siulado e ensaios de laboratório (Rossanith, 1983; Duont, 001). No odo de cisalhaento, ou odo, ocorre u deslocaento relativo entre abas as superfícies da fratura ao longo do eixo x, siétrico e relação ao plano x-y e antissiétrico e relação ao plano x-z, enquanto que no odo, de torção, as superfícies ove-se ao longo do eixo z, co antissietria e relação aos planos x-y e x-z. A cada u destes odos de fraturaento corresponde u tipo básico do capo de tensões nas vizinhanças da ponta da fratura, para a singularidade r 0, deterinados por rwin (1957) coo:

6 33 Modo Modo Modo 1+ sen σ r σ cos cos π r σ r sen cos (.7) sen 1 3sen σ r σ 3sen cos πr σ r cos 1 3sen (.8) σ sen rz σ z πr cos (.9) onde as coordenadas r, edida a partir da ponta da fratura e, ângulo polar edido positivaente no sentido anti-horário, são ostradas na figura.4. Nas equações (.7) a (.9) fora negligenciados teros de ais alta orde, por isto, os valores exatos das tensões circulares na ponta da trinca são obtidos apenas na condição liite e que r 0. Os capos de tensão ostra que as distribuições de tensão ao redor da ponta da trinca pode ser descritas e teros dos parâetros, e, isto é, dos fatores de intensidade de tensão associados aos odos, e, respectivaente. Ua característica iportante dessas equações é o fato que as distribuições das tensões e torno da trinca são siilares e depende soente de r e. A diferença entre u aterial trincado e outro reside na grandeza do parâetro que, essencialente, serve coo u fator de escala para definir a agnitude do capo de tensões. U considerável trabalho de pesquisa já foi desenvolvido neste sentido, co publicações na literatura de expressões para cálculo dos fatores de intensidade de tensão para vários tipos de fratura nos odos, e. Valores de tensões na ponta da fratura pode tabé ser tratados coo ua cobinação linear destes três tipos básicos de capos de tensão (odo isto).

7 34 Figura.4 - Distribuição das coponentes de tensão nas vizinhanças da ponta de ua trinca. (Miranda, 003) Do desenvolviento de Westergaard (197), pode ser concluído que: f ( σ, a) (.10) É iportante coparar o fator de intensidade de tensões (equação.10) e o fator de concentração de tensões t (equação.). Ebora t leve e consideração variáveis geoétricas, taanho de trinca e raio na ponta da trinca, o fator de intensidade de tensões incorpora tanto teros geoétricos (o copriento da trinca aparece explicitaente, enquanto que o raio na ponta da trinca é subentendido uito pequeno) quanto o nível de tensões σ. Dessa fora, o fator de intensidade de tensões incorpora ais inforações do que o fator de concentração de tensões. Se o fator de intensidade de tensões de ua deterinada aostra é conhecido, então é possível deterinar o áxio fator de intensidade de tensões que causaria ruptura. Esse valor crítico c é descrito na literatura coo a tenacidade à fratura do aterial. Ua analogia interessante pode ser feita entre tensão e resistência, e fator de intensidade de tensões e tenacidade à fratura. U corpo pode sofrer uitos níveis de tensões, poré existe u único nível de tensões que produz deforações plásticas peranente, que é a tensão liite de escoaento, be coo u único nível de tensões que causa fratura, que é a tensão liite de resistência. Da esa fora, o fator de intensidade de tensões na ponta de ua trinca pode variar co o nível de carregaento aplicado e co o copriento da trinca. Poré, existe u

8 35 único nível de intensidade de tensões que causa a fratura, que é o nível crítico de intensidade de tensões, definido coo tenacidade à fratura. Portanto, a tensão está para a resistência ecânica assi coo o fator de intensidade de tensões está para a tenacidade à fratura. A ipleentação de conceitos de Mecânica da Fratura Linear Elástica coo u ite de controle de projeto consiste e duas etapas essenciais: Deterinação das propriedades da tenacidade à fratura do aterial, usando corpos de prova e carregaentos adequados; Deterinação do taanho da trinca real no corpo e cálculo do valor liite de tensão que anterá o valor do fator de intensidade de tensão enor do que a tenacidade à fratura do aterial. Pode ser aplicado u fator de segurança nesta estiativa e pode tabé ser incorporada ua arge de segurança ao taanho da trinca, escolhendo-se u taanho de referência aior que o taanho da trinca real. Existe, coo já foi visto anteriorente, ua relação entre a tenacidade à fratura, a tensão noinal de fratura e o taanho da trinca. Resultados da Mecânica da Fratura Linear Elástica são válidos soente enquanto a deforação plástica do aterial for confinada a ua pequena região circundante à ponta da trinca. E ateriais dúteis, onde a energia de fraturaento é alguas ordens de grandeza aior do que a energia de superfície, as equações de Griffith não pode ser ais aplicadas e sua fora original.... Mecânica da Fratura Elasto-Plástica A Mecânica da Fratura elasto-plástica representa o coportaento de trincas e ateriais co coportaento não-linear e independente do tepo. Há dois parâetros que são uito utilizados para representação da elasto-plasticidade no fraturaento: a ntegral J e a abertura de ponta da trincaδ (CTOD Crack Tip Opening Displaceent ). Seus valores críticos são quase independentes da tenacidade ao faturaento para grandes deforações plásticas. A integral J e a CTOD pode ser utilizados coo critérios para diensionaento no regie

9 36 elasto-plástico e, ebora possua liitações, são parâetros ais abrangentes do que os epregados na MFLE. rwin (1948) e Orowan (1948), de fora independente, odificara a expressão de Griffith para levar e consideração o trabalho plástico γ p ( γ + γ ) E s p σ (.11) ax πa ou, de aneira geral, EW f σ (.1) ax πa onde W f é a energia de fraturaento. Esta adaptação sofre restrições, e sua aplicação, porque na ecânica da fratura linear elástica o coportaento da fratura é caracterizado apenas pelo estado de tensões na ponta da fratura, enquanto que a presença de ua zona plástica de taanho significativo na ponta da trinca perite que as duas superfícies se separe se ocorrência do cresciento da trinca. Duas etodologias fora desenvolvidas para a ecânica da fratura elastoplástica: ua delas é conhecida coo o étodo CTOD (crack tip opening displaceent) proposta por Wells (1961), que investiga a distância entre as duas superfícies da trinca, edida na ponta da trinca. O parâetro CTOD caracteriza a capacidade do aterial e se deforar plasticaente antes da ruptura, edindo o afastaento entre as duas faces da trinca pré-existente na frente desta (figura.5). Pode ser estiado e função do auento do períetro da zona deforada plasticaente nas vizinhanças da ponta da fratura (figura.6). A outra etodologia é conhecida coo a integral J, proposta por Rice (1968), forulada e teros de u trataento ecânico co forte base ateática (equação.13). u J Wdy T. ds (.13) x Γ Onde Γ é o contorno escolhido (figura.7), percorrido no sentido antihorário, co início e final e dois pontos não coincidentes de cada ua das faces

10 37 da trinca, W é a densidade de energia de deforação, T o vetor de carregaento co noral exterior n ao contorno, u o vetor deslocaento na direção x, e s o copriento do cainho escolhido. A integral J é independente do cainho escolhido, o que a liberta da caracterização local do estado de tensões na frente da ponta da trinca. Historicaente, CTOD e a integral J são abas usadas extensivaente na Mecânica da Fratura. Relação entre elas foi estabelecida de fora epírica, coo a seguinte, incorporada na ASTM norte-aericana, J σ CTOD (.14) y onde σ y é tensão de escoaento e u fator de plasticidade. Figura.5 - Conceito de CTOD ( Crack Tip Opening Displaceent) Figura.6 - O taanho da região plastificada e sua relação co a abertura da ponta da fratura δ

11 38 Figura.7 - Esquea de u cainho escolhido no étodo da integral J..3. Propagação de Trincas no Modo Misto - A literatura apresenta várias publicações tratando da propagação de trincas no odo, correspondente ao tipo de ensaio de laboratório analisado nesta dissertação. Todavia, para fins de revisão bibliográfica sobre assunto, foi adotada ua abordage ais geral de propagação de trinca no odo isto - (figura.8). Particularização das equações aqui apresentadas para apenas o odo é feita se dificuldades. A propagação da trinca pode ser estiada coparando-se o fator de intensidade de tensão co o valor crítico c, considerado coo propriedade do aterial, e deterinado experientalente e ensaios de laboratório para cada odo de fraturaento. Coo já encionado, Griffiths (190) aplicou princípios de conservação de energia para postular que a fratura e ateriais frágeis torna-se instável quando a taxa de liberação de energia de deforação na ponta da fratura, devido ao seu cresciento, tornar-se igual ou aior do que o acréscio de energia associada co as recé-foradas superfícies da fratura. Esta abordage não envolve o cálculo das distribuições de tensão ao redor da fratura, tendo sido estendida por rwin (1948) e Orowan (1955) para ateriais co ocorrência de liitada deforação plástica nas vizinhanças da ponta da fratura.

12 39 Figura.8 - Ua fratura sob odo isto -: (a) configuração de carregaento; (b) tensões na fratura (Whittaker et al. 199) Os fatores de intensidade de tensão estão relacionados co as correspondentes expressões da taxa de liberação de energia de deforação por: Modo σ r σ σ r 1+ sen cos cos π r sen cos (.15) Modo σ r σ σ r sen 1 3sen 3sen cos πr cos 1 3sen (.16) Modo σ sen rz (.17) σ π z r cos onde, no estado plano de deforação, κ 3 4ν (.18) Se a abertura da fratura ocorre sob odo isto -, então a liberação total de energia de deforação é siplesente:

13 40 ( ) ( κ 1 ) + + G G + G (.19) 8µ A equação (.19) perite então introduzir u critério para propagação da fratura no odo isto -, e teros da taxa de liberação total de energia de deforação G G c (.0) onde G c corresponde à taxa crítica de liberação de energia de deforação, que é propriedade do aterial. Alternativaente, e teros dos fatores de intensidade de tensão, ( + ) 8µ G c ( κ + 1) (.1) o que perite inferir que C e C são iguais entre si, desde que G C seja ua constante + (.) C C Resultados experientais, no entanto, não satisfaze a equação (.), representada pelo arco de círculo da figura.9, as se adapta a outras foras da envoltória de ruptura, coo as seguintes, propostas na literatura (Whittaker, Singh e Sun,199): Linha reta: + 1 (.3) C C Elipse: + 1 (.4) C C Quadrática hoogênea: + C + 1 (.5) c C C C C onde C c é ua constante diferente de. Huang e Wang (1985) recoenda a utilização da equação (.5), onde a envoltória de ruptura é a ais conservadora dentre as apresentadas, excetuando-se, evidenteente, a linear.

14 41 Figura.9 - Possíveis envoltórias de fratura no odo isto - de fraturaento (Whittaker, et al.,199)..4. Direção de Propagação de Trincas.4.1. Direção de Propagação da Fissura a) Critério da tensão circunferencial áxia (critério σ ) É baseado na hipótese de que a fratura propagará, a partir de sua ponta, na direção e que a tensão tangencial σ é áxia, isto é σ 0 (.6a) co σ < 0 para (.7b) ou 0 σ r (.7) onde σ e σ r se refere à superposição dos capos de tensões deterinados pelas equações (.7), para o odo, e (.8) para o odo. coo A direção de fraturaento é então deterinada da equação (.7) sen cos + Resultando e 1 3sen 0 (.8)

15 4 1 1 ± + arctg 8 (.9) 4 4 onde o sinal positivo de σ, para tensões de copressão, não satisfaz a segunda expressão da equação (.6b), sendo, portanto, desconsiderado. No odo, para, 0 C e a tensão tangencial crítica são definidos por:, o ângulo de propagação da fratura o 0 (.30a) C σ c π a Enquanto que no odo, para, 0, te-se: C (.30b) 70,53 o (.31a) C σ c 3 π a Aditindo-se que (.31b) σ c é ua constante característica do aterial, da coparação das equações (.30b) e (.31b) resulta, C 3 C 0, 8666 C (.3) b) Critério da áxia taxa de liberação de energia de deforação (critério G) É baseado na hipótese de que a fratura propagará, a partir de sua ponta, na direção e que a taxa de liberação de energia de deforação for áxia, isto é, G 0 (.33a) G co < 0 para (.33b) A figura.10 ilustra a raificação de ua fratura de Griffith (fratura central de copriento a e ua placa subetida a u estado uniaxial de tração), e conseqüência de seu cresciento na direção de u increento de

16 43 copriento ve da equação (.19) ( ) ( ) + ( ) a. A fora geral da taxa de liberação de energia de deforação [ ] ( κ 1 ) + G onde (.34a) 8µ π ( ) 4 1 π cos + sen ( ) 4 sen 1+ π cos sen 3 (.34b) são os fatores de intensidade de tensão na fratura original, não raificada. O sinal do ângulo, obtido pela aplicação das equações (.33) e (.34), depende do sinal de < 0 e se < 0 então > 0. De acordo co Carvalho et al (1999), se > 0 então No odo de fraturaento, 0, C e G ( ) GC, o ângulo de propagação da fratura é deterinado coo 0 0 e o fator crítico de intensidade de tensão C nesta direção relaciona-se co a taxa crítica de liberação de energia de deforação ( κ + 1) G C pela equação (.15), G C C (.35) 8µ Figura.10 - Fratura raificada (Whittaker et al.,199). Enquanto que no odo,, 0 C G G e ( ) C, o ângulo de propagação da fratura é calculado coo e o correspondente fator

17 44 crítico de intensidade de tensão equação (.16), ( κ + 1) C nesta direção relaciona-se co G C pela G C,546 C (.36) 8µ Aditindo-se que a taxa crítica de liberação de energia de deforação seja ua constante do aterial, ua coparação das expressões (.35) e (.36) perite então concluir que 0, 67 (.37) C C) Critério da ínia densidade de energia de deforacão (Critério S) Para u problea do estado plano de deforação, a expressão geral para deterinação da densidade de energia de deforação S é dada por 1 κ + 1 S ( σ r + σ ) σ rσ + σ r µ 8 (.38) Considerando-se o problea de ua fratura sob o odo isto - (figura.8), as expressões das coponentes de tensão na ponta da fratura, confore equações (.7) e (.8), perite escrever a seguinte equação quadrática para o fator de densidade de energia de deforação, denotado por SF, ( a + a a ) 1 S F (.39a) r onde os coeficientes aij (i, j 1, ) são dados por 16πµ a 16 πµ a11 ( 1+ cos )( k cos ) πµ a1 sen[ cos ( k 1) ] ( )( ) ( )( ) k cos + 1+ cos 3cos 1 16 (.39b) O critério S está baseado nas seguintes três hipóteses fundaentais (Whittaker et al.,199): 1) A propagação da fratura ocorre na direção ao longo da qual o fator de densidade de energia de deforação S F é ínio. O ângulo de propagação, edido e relação à direção da fratura original, corresponde ao da ínia densidade de energia de deforação S F, ou seja:

18 45 S F 0 (.40a) S co F > 0 para (.40b) ) a propagação da fratura ocorre quando S F atingir u valor crítico S FC ; 3) o fator de densidade de energia de deforação SF é avaliado ao longo de u contorno r r0, onde a razão S F r0 peranece constante. No odo de fraturaento, C, 0, S F S FC e o ângulo crítico deterinado pelas equações (.40) é o (.41a) 0 indicando que a propagação da fratura ocorre ao longo do plano da fratura original, co valor crítico de S FC C S F correspondendo a κ 1 (.41b) 8πµ No odo de fraturaento, 0, C, S F S FC e o ângulo crítico é deterinado por: κ 1 ar cos (.4a) 6 co o correspondente valor crítico de S F expresso por S 14k 1 κ 19πµ FC C (.4b) Desde que S F seja ua constante característica do aterial, e que não se altere co o odo de fraturaento, conclui-se então das equações (.41) e (.4) que C C ( κ 1) 4 14κ 1 κ De acordo co o critério da tensão circunferencial áxia (critério (.43) σ ) os ângulos de propagação da fratura nos odos e, be coo a razão entre os fatores críticos de intensidade de tensão aterial. /, são independentes das propriedades do C C De acordo co o critério da ínia densidade de energia de deforação S, estes valores são, no entanto, dependentes do coeficiente de Poisson do aterial ν, o que

19 46 causa pequenas variações nos valores de e (.43). Resultados experientais indica que geralente C C, confore equações (.4a) e e relacionados co as propriedades ecânicas (Huang e Wang, 1985). estão C C