MOVIMENTO 3D PROPS. INERCIAIS E MOMENTO ANGULAR

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Ana Carolina Van Der Vinne Cerveira
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MOVIMENTO 3D PROPS. INERCIAIS E MOMENTO ANGULAR INTRODUÇÃO ESTUDO DE CASO Os projetistas de u subarino estão predizendo seu desepenho durante anobras de ergulho.

1 MOVIMENTO 3D PROPS. INERCIAIS E MOMENTO ANGULAR INTRODUÇÃO ESTUDO DE CASO Os projetistas de u subarino estão predizendo seu desepenho durante anobras de ergulho. Ao conceber a torre de observação, eles tê que deterinar sua contribuição para a quantidade de oviento angular e torno do centro de assa do subarino. QUESTÕES ver vídeos 3.1 e 3.2 No instante e que o ergulho coeça, quais são as propriedades inerciais da torre de observação e torno do centro de assa do subarino? E qual é a quantidade de oviento angular correspondente da torre no eso instante?

2 DADOS No instante e que o ergulho coeça, os dados são os seguintes: Os coponentes da velocidade e da velocidade angular do subarino e relação à terra são v x I, v y J, -ω x I, ω y J (v z K = ω z K = 0); As diensões requeridas do subarino e os sisteas de coordenadas no subarino (óvel) e e relação à terra (fixo) são ostrados no diagraa ao lado. As indicações de odelage tabé são expostas.

3 ABORDAGEM Modelar a torre de observação coo u prisa retangular hoogêneo; Deterinar as propriedades inerciais da torre e torno de seu centro de assa e depois transferi-las para o centro de assa do subarino; Epregar as propriedades inerciais da torre e torno do centro de assa do subarino para deterinar a quantidade de oviento angular desejada da torre e torno desse eso ponto.

4 TEORIA Para analisar o oviento tridiensional de u objeto, há que se considerar, alé da definição de oento de inércia, a definição de produto de inércia. MOMENTO DE INÉRCIA ( reação inercial à rotação) O oento de inércia de u eleento de assa d e torno do eixo x é xx x x di r d (sendo que r y z ) Integrando e relação à assa, decorre que xx 2 x I r d (y z )d (1a) Para as deais direções, tê-se que yy 2 y I r d (x z )d (1b) zz 2 z I r d (x y )d (1c)

5 PRODUTO DE INÉRCIA ( edida de assietria na distribuição de assa) O produto de inércia do eleento d é definido e relação a dois planos ortogonais coo o produto da assa do eleento pela distância perpendicular dos planos considerados. Assi, o produto de inércia de u eleento e relação aos planos x-z e y-z é dixy xyd Integrando e relação à assa, resulta que I xy xyd (2a) Para as deais cobinações de planos, tê-se I yz yzd (2b) Ixz xzd (2c)

6 TEOREMAS DOS EIXOS PARALELOS E DOS PLANOS PARALELOS Se o centro de assa de u corpo está localizado e ( x c,y c,z c ), e relação ao sistea (xyz), as equações do teorea dos eixos paralelos são xx x 'x' c c c I (I ) (y z ) (3a) yy y'y' c c c I (I ) (x z ) (3b) zz z 'z' c c c I (I ) (x y ) (3c) peritindo relacionar (transferir!) os oentos de inércia nos sisteas (x y z ) e (xyz). Já os produtos de inércia entre conjuntos de planos ortogonais paralelos pode ser relacionados pelas equações do teorea dos planos paralelos.

7 TEOREMAS DOS EIXOS E DOS PLANOS PARALELOS (cont.) As equações do teorea dos planos paralelos, que perite transferir produtos de inércia entre conjuntos de planos ortogonais paralelos são I xy (I x ' y' ) c xcyc (4a) I yz (I y'z' ) c y cz c (4b) I xz (I x 'z') c x cz c (4a) Essas equações relaciona os produtos de inércia entre os planos x-y, x-z, y-z e x -y, x -z, y -z.

8 QUANTIDADE DE MOVIMENTO ANGULAR Seja u corpo rígido e oviento geral e relação a u referencial inercial (XYZ). A orige A do referencial óvel (xyz) translada e gira co o corpo rígido, que possui ua velocidade angular ω e relação a (XYZ). Para obter a quantidade de oviento angular do corpo e torno de A, e relação a (XYZ), considera-se, de saída, a i-ésia partícula de assa do corpo, de assa i. A quantidade de oviento é onde assa HAi ρi/a iv i ρ i/a é o vetor de posição do eleento de i e relação a A. Por siplicidade, esse vetor será indicado graficaente apenas por ρ i.

9 QUANTIDADE DE MOVIMENTO ANGULAR (cont.) Recorda-se que a velocidade v i é dada por vi va ωρ i/a Substituindo a equação acia na equação de e integrando ao longo da assa, obté-se H Ai HA ρi/ad va ρi/a ωρ i/a d Se o ponto A coincide co o centro de assa G, o coponente entre parênteses do prieiro tero da equação acia é zero. Dessa fora, resulta que G i/g i/g H ρ ω ρ d (5)

10 QUANTIDADE DE MOVIMENTO ANGULAR (cont.) Quando A é u ponto fixo O, e torno do qual o corpo rígido gira, então v A = 0. Assi, te-se O i/o i/o H ρ ω ρ d (6) Já se A é u ponto arbitrário no corpo, constatase que H ρ v H (7) A G/A G G Na Eq. (7), nota-se que a quantidade de oviento angular consiste de duas partes, quais seja, o oento da quantidade de oviento linear do corpo soado (vetorialente) à quantidade de oviento angular e torno de G.

11 QUANTIDADE DE MOVIMENTO ANGULAR (cont.) Para uso prático das Eqs. (5) e (6), observa-se que elas são da fora H ρ ωρ Assi, nu sistea retangular auxiliar arbitrário (xyz), te-se que d H i H j H k xi yj zk x y z i j k i j k d x y z x y z Expandindo os produtos cruzados, cobinando teros, e fazendo uso das Eqs. (1) e (2), a quantidade de oviento angular pode ser dada por Hx Ixxx Ixyy Ixz z (8a) Hy Iyxx Iyyy Iyz z (8b) Hz Izxx Izyy Izz z (8c)

12 SOLUÇÃO DO ESTUDO DE CASO SOLUÇÃO DO ESTUDO DE CASO MOMENTOS DE INÉRCIA Coeça-se co u diagraa, odelando o casco do subarino coo u cilindro e a torre coo u prisa retangular. Usa-se, então, as Eqs. (1) para deterinar os oentos de inércia da torre e torno de seu centro de assa. Decorre, assi, que a/2 b/2 1 Ix 'x ' y z d c y z dydz a b 12 t a/2 b/2

13 SOL. DO ESTUDO DE CASO MOMENTOS DE INÉRCIA (cont.) Observa-se que t indica a assa da torre de observação, enquanto que, nesse caso, o eleento infinitesial de assa d Siilarente, resulta, para os deais oentos de inércia, que 1 I y'y' t a c 12 1 I z'z' t b c 12 Alternativaente, essas expressões tabé poderia ser encontradas (.c)dydz. nua tabela de propriedades inerciais de corpos rígidos.

14 SOLUÇÃO DO ESTUDO DE CASO PRODUTOS DE INÉRCIA Já os produtos de inércia da torre, e relação ao centro de assa, pode ser obtidos através das Eqs. (2). Te-se, então, que x 'y' b/2 c/2 I xyd a xydxdy 0 b/2 c/2 Observa-se que d Siilarente, y'z ' (.a)dxdy. I I 0 x 'z' Os produtos de inércia no caso e questão poderia ter sido deterinados siplesente pela constatação de todos eles são produtos de inércia e relação a planos de sietria. Nesses casos, os produtos de inércia são nulos (distribuição siétrica de assa).

15 SOLUÇÃO DO ESTUDO DE CASO PROPRIEDADES INERCIAIS Usando o teorea dos eixos paralelos, expresso nas Eqs. (3), para transferir os oentos de inércia da torre de seu centro de assa para o centro de assa do subarino, resulta nas seguintes expressões: I xx x ' x ' t dy dz I 1 t a b t y 12 d d z I 1 a c d d 12 yy t t x z 1 I b c d d 12 zz t t x y

16 SOLUÇÃO DO ESTUDO DE CASO PROPS. INERCIAIS (cont.) Já através do teorea dos planos paralelos, expresso nas Eqs. (4), pode-se transferir os produtos de inércia da torre de seu centro de assa para o centro de assa do subarino. Isso resulta e I I I d d 0 xy x 'y' t x y I d d z t d d yz y'z ' t y y z I I d d 0 xz x 'z ' t x z Está respondida, assi, a prieira questão forulada no presente caso.

SOLUÇÃO DO ESTUDO DE CASO QUANT. DE MOV. ANGULAR Usa-se as Eqs. (8) para expressar, e fora escalar, a quantidade de oviento angular da torre de observação e torno de seu centro de assa, dada pela Eq.

17 SOLUÇÃO DO ESTUDO DE CASO QUANT. DE MOV. ANGULAR Usa-se as Eqs. (8) para expressar, e fora escalar, a quantidade de oviento angular da torre de observação e torno de seu centro de assa, dada pela Eq. (5). Ou seja, onde H x xx x H H i H j H k G x y z I ; Hy Iyy y; Hz Iyz y. A seguir, expressa-se a posição e a velocidade da torre e coponentes retangulares, e calcula-se o oento da quantidade de oviento linear da torre e relação ao centro de assa do subarino. Posição e velocidade são ρt dyj dzk e t vx vy v i j.

SOLUÇÃO DO ESTUDO DE CASO MOMENTO ANGULAR (cont.) Já o oento da quantidade de oviento linear decorre de i j k ρ v 0 d d d v i d v j d v k t t t y z z y z x y x v v 0 x y Aplica-se, então, a Eq.

18 SOLUÇÃO DO ESTUDO DE CASO MOMENTO ANGULAR (cont.) Já o oento da quantidade de oviento linear decorre de i j k ρ v 0 d d d v i d v j d v k t t t y z z y z x y x v v 0 x y Aplica-se, então, a Eq. (7) para obter a quantidade de oviento angular da torre e relação ao centro de assa do subarino, de odo que ver vídeos 3.1 e 3.2 H A ρ v H t t t G I xx x dzvy i Iyy y dzvx j + I d v yz y y x k

19 Fonte: ecourses Dynaics Multiedia Engineering Dynaics, K. Graoll, acessado e 21/11/2016; DINÂMICA Mecânica para Engenharia, 12ª. edição, R. C. Hibbeler, Pearson Prentice Hall, 2011.

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