MECÂNICA CLÁSSICA. AULA N o 5. Aplicações do Lagrangeano Trajetória no Espaço de Fases para o Pêndulo Harmônico

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1 1 MECÂNICA CLÁSSICA AULA N o 5 Aplicações o Lagrangeano Trajetória no Espaço e Fases para o Pênulo Harônico Vaos ver três eeplos, para ostrar a aior faciliae a aplicação o Lagrangeano, quano coparaa ao cálculo as equações o oviento através as equações e Newton F a, pois é uito ais siples calcular velociaes o que acelerações 1-Pênulo siples: Vaos consierar a haste rígia e se peso A nossa coorenaa generalizaa para este sistea será o ângulo V r sen, r cos r cos, r sen T V r cos sen r usano U ( ) 0 para 90 U ( ) g r cos 1 L T U r g r cos L L aplicano as equações e Euler-Lagrange, q q L r r g r sen r gsen 1 H i qi L r g r cos 1 H r g r cos H T U o, tereos: -Pênulo uplo: Nossas uas coorenaas generalizaas, que eterina copletaente o estao o sistea, serão e 1 T r V r cos r cos, r sen r sen T r cos cos cos cos sen sen sen sen Notas baseaas nas aulas o Prof Leonar Susskin Universiae e Stanfor

2 T T r cos cos sen sen r cos É interessante notar a presença o tero cos na epressão a energia cinética que copõe o Lagrangeano o sistea Este tero significa que, na ausência e graviae, este sistea apresentaria sietria e relação a ua rotação, pois isso não uaria o Lagrangeano, que não teria assi o tero epenente a energia potencial (função e e ) e que só epeneria a iferença ente e A energia potencial o sistea é aa por: U g r g r r cos cos cos Então o Lagrangeano o sistea é ao por: L cos g r cos cos Observano o Lagrangeano, veos que, se estiveros nu ponto one a graviae seja esprezível, o tero a energia potencial esaparece e o Lagrangeano não se oifica co a rotação o sistea e, portanto, ocorre a conservação o oento angular, fato que não sucee sob a influência o capo gravitacional Assi, se tiveros: qi qi fi ( q) ( fi ( q) 1), então o Lagrangeano não uaria e valor Neste caso, a Carga e Noether (a quantia conservaa) seria: i fi( q) i 1 Poeos ser levaos a pensar que epena soente e e que epena soente e, as o problea é ais copleo: L r r cos L r r cos Veos então que epene tabé e, e, enquanto epene e, e A quantia que se conserva será: r cos Voltano ao problea proposto (esconsierano g ), as equações o oviento serão: 1) Para a coorenaa : r r r cos cos L L 4 cos sin ) Para a coorenaa : L L r ( r r cos ) cos cos sin cos sin sin sin Notas baseaas nas aulas o Prof Leonar Susskin Universiae e Stanfor

3 3 Apesar e trabalhoso, trata-se e u étoo ecânico e be ais siples o que a aplicação as leis e Newton F a O próio eeplo representa o problea ais básico e toa a teoria a Física, o qual aparece a too o oento e e toos os lugares: 3- OSCILADOR HARMÔNICO U Se nós olharos o pênulo siples, vereos que o gráfico e sua energia potencial é ao por u traço seelhante à fora a figura ao lao, obeeceno a ua lei o tipo U g r cos, one se nota o ponto e ínio para 0, no qual a função poe ser aproiaa por ua parábola (aproiação e seguna ore): 1 U g r 1 "Taylor" Fazeno-se esta aproiação e ignorano o tero constante (que não afeta o Lagrangeano), nós tereos: R 1 L g r Assi o oscilaor harônico é efinio por ua função potencial que é proporcional ao quarao a aplitue o eslocaento a posição e equilíbrio Trata-se a ais siples e eata aproiação para potenciais que apresenta u tipo e ínio parecio co o e ua parábola (esta é a razão pela qual este oelo aparece tanto!) U eeplo básico e oscilaor harônico é o sistea MASSA MOLA: = 0 A força eercia pela ola é proporcional ao eslocaento a ola: F k (Força e restauração Lei e Hooke) A energia potencial é aa por U F Coo, neste caso, a força e restauração aponta no sentio contrário ao eslocaento, tereos: K 1 1 U K U L K OBS: O oscilaor harônico é u oelo uito bo para pequenas oscilações, one a aproiação quarática para a energia é eficiente Poré pere a sua valiae, quano as oscilações são e grane aplitue, seja qual for o capo e aplicação As equações o oviento o pênulo são aas por: Notas baseaas nas aulas o Prof Leonar Susskin Universiae e Stanfor

4 k k L L k k A solução para esta equação poe ser u cos ou u sen : cos( wt) wsen wt cos( wt) w cos wt w k O eso resultao é obtio co a função sen Portanto qualquer cobinação linear e cos wt e e sen wt será ua solução para o oscilaor harônico: a cos wt b sen wt Veos que há ois coeficientes livres na solução geral Isto te e acontecer, porque se trata e ua equação e seguna ore, na qual a posição e a velociae iniciais qq, eve ser eterinaas Outra fora e escrever a solução geral é: Acos w t t 0 AMPLITUDE FASE L p k H i qi L = k H A partir este ponto, vaos coeçar a ver a forulação Hailtoniana a Mecânica Até agora, liaos co as equações e Lagrange Vaos passar para as equações e Hailton A forulação Hailtoniana não trabalha co q' s e q' s, as si co q' s e ' s, ou seja, co as coorenaas e seus respectivos oentos canônicos A razão pela qual fazeos isto está na sua aplicação à Mecânica Quântica Vaos epressar o Hailtoniano e teros e q' s e ' s : p p k H Esta equação apresenta ua nova sietria e relação à anterior, pois, alé os teros quaráticos, abas são as próprias funções e não ua sua erivaa! Vaos eplorar esta sietria Façaos u iagraa que represente e p (ESPAÇO DE FASES): p Espaço e Fases U ponto e partia para o oviento é constituío por ua valor e e u valor e p Notas baseaas nas aulas o Prof Leonar Susskin Universiae e Stanfor

5 Assi ua posição e u oento correspone a u ponto e início o oviento A partir este ponto, o sistea irá escrever ua trajetória no espaço e fases 5 p Sabeos que a energia é conservaa : p K E Trata-se a equação e ua elipse: Se uaros a energia, tereos elipses e iferentes taanhos, as e esa fora Os pontos e intersecção e são aos por: E K e os pontos e intersecção e p são aos por: p E Portanto, one quer que coeceos, o sistea irá escrever a trajetória e ua elipse, anteno-se sepre nela O tepo para se copletar ua volta na elipse epene a frequência o oscilaor harônico Quanto aior, enor o períoo para se copletar ua volta Esse períoo inepene o ponto inicial o oviento, portanto inepene a energia Este oviento rotativo nos iz, seguno as suas projeções, que e p tabé oscila, e oo que, quano é áio, p é ínio e, quano p é áio, é ínio Ne toos os sisteas se ove e trajetórias elípticas, as toos os sisteas se ove seguno linhas e energia constante Ua proprieae iportante o Espaço e Fases é que, aa ua eterinaa área, entro a qual o oviento se inicia, esta área será preservaa ao longo o oviento o sistea Nós voltareos a este assunto ais aiante Notas baseaas nas aulas o Prof Leonar Susskin Universiae e Stanfor