OSCILAÇÕES. 9.1 O movimento harmônico simples

Transcrição

1 Oscilações 75 OSCILAÇÕES 9 9. O oviento harônico siples De u oo geral, chaaos e oscilações aquela classe e oviento que se repete no tepo, quer seja e ua aneira orenaa ou não. O oviento que se repete regularente co o passar o tepo é chaao e perióico e o intervalo ecorrente entre uas situações equivalentes é o períoo o oviento. O estuo e oscilações é ua parte iportante a ecânica evio à frequência co que este tipo e evento ocorre. O siples balançar as folhas e ua árvore, as onas e ráio, o so e a luz são eeplos típicos one o oviento oscilatório acontece. Dentre estes ovientos, aquele chaao e harônico é o ais siples, poré, é u os ais iportantes evio à sua vasta aplicabiliae. No estuo o oviento harônico siples (MHS) nós vaos consierar apenas o caso uniiensional, one a posição e u corpo e relação à posição e equilíbrio é aa por ua epressão o tipo: ( t) A cos( t + φ) one A é a aplitue o oviento, φ é a fase e é a freqüência natural ou freqüência e ressonância o sistea. A e φ epene as conições iniciais o oviento enquanto que é ua graneza intrínseca ao sistea, que está relacionaa co o períoo pela epressão: π πf T one f /T é a freqüência e Hertz (Hz) e te iensões e ra/s.

2 76 Oscilações U gráfico a função (t) está ostrao na Fig. 9.. U eeplo siples o MHS é a projeção (ou a sobra) e u corpo e oviento circular unifore sobre o eio. φ (t) A A t -A T Fig Moviento harônico siples. O MHS é caracterizao por ter funções be coportaas (analíticas) tanto e (t) coo e v(t) e a(t). De fato, estas granezas são sepre contínuas, co erivaas tabé contínuas. Isto já não ocorre, por eeplo, para ua partícula oscilano no interior e ua caia uniiensional e copriento L, ostraa na Fig. 9.. Neste caso, (t) é ua função perióica e triangular, apresentano nos pontos e L escontinuiae na erivaa prieira, já que a velociae troca e sinal evio à colisão co a paree. v (t) v(t) v L/v L/v t t -v Fig. 9. Moviento perióico e ua partícula entro e ua caia.

3 Oscilações 77 Voltano ao caso o MHS, one (t) Acos( t + φ), poeos encontrar v(t) e a(t) através a operação e iferenciação: ( t) & ( t) A sen( t + φ) A cos ( t + φ + π) v a( t) & ( t) A cos( t + φ) ( t) e one veos que a velociae está 9 o fora e fase co a posição e que a aceleração é proporcional ao eslocaento, poré co a sentio oposto. Da a lei e Newton, teos: F a que é a força encontraa nu oscilaor harônico siples (sistea assaola). Sepre que a força é proporcional e oposta ao eslocaento teos a ocorrência o MHS. A constante é enoinaa constante e ola ou constante e força o oscilaor e a freqüência natural e oscilação o sistea,, é copletaente inepenente a aplitue e fase o oviento. v a A velociae áia que u corpo e MHS poe atingir é A, e one veos que quanto aior for a aplitue o oviento, aior será a velociae áia. Da aneira que escreveos (t) e v(t), notaos que para t teos () Acosφ e v() v -A senφ. Assi, epanino o co-seno eistente e (t) teos: ( t) A cos( t + φ) A cos φcos t A sen φsen t v ( t) cos t + sen t que é a solução ais geral para o oviento e u oscilaor harônico siples sujeito às conições iniciais () e v() v.

4 78 Oscilações 9. O sistea assa-ola U os sisteas ais siples que constitui u oscilaor harônico é o sistea assa-ola ostrao na Fig A equação e oviento é aa por: F Chaano ficaos co a equação o MHS: + Fig. 9.3 Sistea assa-ola. Neste tipo e equação iferencial, que tabé aparece no caso o pênulo e eso e outros sisteas, a raiz a constante que aparece ultiplicano o tero linear é a freqüência natural e oscilação o sistea. A t A cos t + φ, que solução esta equação é ua função o tipo ( ) ( ) ultiplicaa por e soaa à sua erivaa seguna resulta nu tero nulo. Vios que esta solução poe aina ser escrita coo: v ( t) cos t + sen t ( t) sen t + v cos t v A força restauraora F - gera ua energia potencial V() aa por: V( ) F()

5 Oscilações 79 e assi a energia total o sistea é: E + v Substituino os valores e (t) e v(t)encontraos: v E + que é a energia inicial o sistea e que se anté constante urante too o oviento, haveno apenas troca entre as energias cinética e potencial. A conservação e energia perite outra aneira e encontraros a função (t) se resolver a equação iferencial. Coo E + v + poeos escrever a velociae coo função e : ( ) ( ) ( E ) E E E µ µ Integrano entre () e (t) e usano arcsen, teos: a µ a sen sen t E E / one ( t) E/ foi usao. Logo sen t + sen E /

6 8 Se chaaros já conhecia solução: Oscilações A E e φ sen ( ) π, obteos a ( t) A cos( t + φ) E As conições iniciais são agora aas e tero e e E. Vaos toar ois eeplos e conição iniciais: a), v E E, e one tiraos que t cos. ( ) t b) v E v, v v v e assi, ( t) sen t. A energia potencial o sistea assa-ola, V () está ostraa na Fig A energia eterina copletaente a aplitue o oviento be coo a velociae áia que o corpo poe atingir. A aplitue áia, aa por A E, eterina o ponto e / retorno. Coo v( ) ( E / ), veos que a velociae é nula nos pontos e retorno ( ± A). Por outro lao, a velociae é áia para e vale v a E. V() E K V -A A Fig. 9.4 Energia potencial o sistea assa-ola.

7 Oscilações O sistea assa-ola co graviae Vaos analisar o que ocorre quano teos u corpo e assa penurao nua ola vertical sob a ação o capo gravitacional, coo ostra a Fig Se no oviento horizontal a posição e equilíbrio é no ponto, na presença a graviae esta posição é eslocaa até o ponto e que a força peso é equilibraa pela força a ola, isto é, g g y y. y y g one Fig. 9.5 Sistea assa-ola sujeito ao capo gravitacional. A a lei e Newton nos leva à equação e oviento: y y + g ( y y ) y g / é a nova posição e equilíbrio. Definino y y - y, a equação iferencial se torna: y' y' y' + y' cuja solução já é conhecia: y y y A cos( t + φ). Isto quer izer que o oscilaor harônico sob a ação a graviae te o eso coportaento que quano colocao na horizontal, apenas sua posição e equilíbrio eslocase e y. Poeos escrever a energia potencial o sistea coo:

8 8 Oscilações V ( y) y gy one o zero a energia potencial gravitacional foi toao e y. Copletano os quaraos veos que V(y) é aa por: V ( y) (y y ) g A curva que escreve a energia potencial V(y) está ostraa na Fig Coparano co o oscilaor horizontal, veos que a ação a graviae é o e eslocar o ínio a curva e potencial para o ponto (y, V(y )) one y g/ e V(y ) - g /. Ne a frequência ne a aplitue o oviento são alteraos por influência a graviae. V(y) g y y Fig. 9.6 Energia potencial o sistea assa-ola sujeito à graviae. 9.4 O pênulo ateático O pênulo siples ou ateático é u outro eeplo bastante iportante e oviento harônico. De acoro co a Fig. 9.7, o torque e relação ao ponto O é τ glsen θ, seno que o sinal negativo se eve ao fato e que o torque está no sentio oposto ao que o ângulo auenta.

9 Oscilações 83 O θ L g r M Coo ser escrito coo: one g / L Fig. 9.7 Pênulo siples ou ateático. τ I α I & θ θ, teos Iα L glsen θ, que poe θ + para ângulos pequenos ( < 5 ) sen θ. Esta equação iferencial é uito ifícil e ser resolvia as θ poeos aproiar senθ por θ e assi, & θ + θ cuja solução é ( ) θ cos( t + ). t φ θ Este resultao tabé poe ser encontrao através e consierações energéticas. As energias cinética e potencial são aas respectivaente por: V K Iθ& θ& L ( θ) gl( cosθ) one o zero a energia gravitacional foi escolhio na posição ais baia a assa. A energia total E K + V é ua constante e oviento e assi, E/. Logo:

10 84 Oscilações L θ & + gl ( cosθ) ( L& θ + gsen θ) L θ &&& θ + glsen θθ & Lθ& & θ + g θ & θ + L θ one a aproiação senθ θ foi usaa. 9.5 O pênulo físico Pênulo físico é o noe ao a qualquer corpo rígio suspenso por u ponto iferente o centro e assa, que quano solto e u certo ângulo oscila e torno a posição e equilíbrio, coo ostrao na Fig O D θ CM Fig Pênulo físico. Para se encontrar a equação iferencial o pênulo físico, usa-se o eso proceiento aotao para o pênulo siples. O torque é τ gdsen θ e, portanto, one τ gd sen θ I & θ gd / I é a freqüência natural e oscilação. No caso o pênulo ateático, I D e, portanto, g/ D. No caso e ua barra elgaa e assa e copriento L, I ML,D L/ é a posição o centro e assa e, portanto, 3 g / L. 3

11 Oscilações Oscilação e ois corpos Vaos consierar o caso e que ois corpos e assas M e M são interconectaos através e ua ola e constante e copriento livre l, coo ostra a Fig Seja (t) e (t) a posição os corpos e relação a ua orige arbitrária. A variação no copriento a ola é aa por: ( ) l e fora que se a ola estiver istenia > e se estiver copriia <. M M Fig. 9.9 Corpos conectaos por ua ola. As forças sobre os corpos epenerá o sinal e : M && M && Poeos cobinar estas equações e oviento e obter resultaos interessantes. Por eeplo, soano as uas equações teos: M + M Ma + M a CM ( M + M ) a Isto iplica que a aceleração o centro e assa é nula e, consequenteente, a velociae o centro e assa é constante, pois não eiste forças eternas. Poeos tabé analisar o oviento relativo ao centro e assa. Vaos re-escrever as equações e oviento coo: M M

12 86 Oscilações Subtraino a prieira a seguna, obteos: one / µ e M + M ( ) + M M & + µ µ é chaaa e assa reuzia. Desta fora, encontra-se ua equação iferencial bastante conhecia que escreve entre os ois corpos coo função o tepo. A introução a assa reuzia faz co que o oscilaor constituío e ois corpos seja equivalente ao sistea e apenas ua assa e ua ola. Esta consieração é bastante iportante no estuo e vibrações oleculares. 9.7 O sistea ola-cilinro U cilinro e assa e raio R está ligao a ua ola e constante, coo ostra a Fig. 9.. Quereos encontrar a freqüência e oscilação o sistea quano o cilinro roa se eslizar. Chaareos e a coorenaa o centro e assa o cilinro co orige na posição e que a ola não está istenia. Seno F at a força e atrito, as equações e oviento são: R - F at Fig. 9. Sistea ola-cilinro. & F para a translação o centro e assa e at Iα F R a

13 Oscilações 87 Para a rotação e torno o centro e assa. Coo o cilinro roa se eslizar teos α & & / R e assi, R && R F at R F at && Substituino na equação a translação, one 3 & & Oscilações aortecias De u oo geral, a eistência e atrito faz co que a energia e u sistea oscilante seja issipaa. Coo a energia e u oscilaor siples está iretaente ligaa à aplitue o oviento, a issipação e energia acarreta u ecréscio na aplitue. Consiereos u oscilaor tipo assa-ola no interior e u eio viscoso. Sua equação e oviento é a fora: & b& & b + & + Coo iscutios anteriorente, evio ao atrito, a aplitue eve iinuir co o tepo e oo que poeos tentar ua solução o tipo (t) Ae -λt cos(t + φ). Substituino esta função na equação iferencial obteos: ( bλ λt ) Ae cos( t ) ( b λt λ + + φ + λ ) Ae sen( t + φ) one /. Da equação acia tiraos: b λ λ b bλ λ + b 4

14 88 Oscilações e assi a frequência e oscilação é oificaa pela presença o atrito. Consierano o caso e que > b/ (sistea sub-aortecio) veos que a solução é escrita coo: bt ( t) Ae cos( t + φ) seno A e φ eterinaos pelas conições iniciais. U gráfico (t) está ostrao na Fig. 9.. (t) t bt Ae Fig. 9. Moviento harônico sub-aortecio. 9.9 Oscilações forçaas Vaos analisar agora o caso e u sistea assa-ola co freqüência e ressonância subetio a ua força eterna o tipo: Fet F sen t A equação iferencial que escreve o oviento é: & + F sen Coo o sistea está seno forçao a ua freqüência, ele oscilará nesta freqüência, poré a aplitue o oviento não auentará, pois o trabalho t

15 Oscilações 89 realizao por F é nulo e caa períoo. Poeos tentar ua solução o tipo (t) Asent. Substituino na equação iferencial, encontraos o valor e A ao por: F A ( ) Quano <, A é negativo e isto inica que a resposta o sistea está 8 o fora e fase co o estíulo. A potência fornecia pela força F é: F P(t) Fv F sen t cost P(t) F ( ) ( ) sen t Quano calculaos a potência fornecia ao sistea urante u períoo copleto teos: P π P(t) O gráfico a aplitue e oviento coo função e está ostrao na Fig. 9.. Poeos ver que A tene a infinito quano. Poré, na prática isto não acontece porque forças issipativas ipee que isto aconteça. A equação iferencial para u sistea assa-ola aortecio sujeito a ua força o tipo F(t) F sent é: A() Fig. 9. Aplitue o oviento forçao se atrito coo função a frequência e ecitação.

16 9 Oscilações & b + & + F sen Novaente o sistea é obrigao a oscilar co freqüência, poré, evio ao tero e aorteciento, poe haver ua parte a solução que esteja fora e fase co F(t). Portanto, vaos supor que a solução seja o tipo: (t) A cost + A sent Substituino na equação iferencial obteos: cost A ba + + A + sen t t ( b A A + A ) F sen t Coo esta igualae eve ser vália para qualquer instante e tepo, eveos ter: ( ) + b A A ( ) A + A F b e one poeos encontrar os valores e A e A e, conseqüenteente, (t). A solução poe ser colocaa na fora: ( t) F / b ( ) + ( ) tgδ b ( ) sen( t δ)

17 Oscilações 9 Veos agora que próio a ressonância ( ), a aplitue o F oviento fica liitaa ao valor e, portanto, não iverge. U gráfico b esta aplitue está ostrao na Fig A() R Fig. 9.3 Aplitue o oviento forçao co atrito coo função a frequência e ecitação. A solução que acabaos e encontrar é a chaaa solução particular a equação iferencial. Eiste tabé a solução a equação hoogênea que é chaaa e transiente e que esaparece co o passar o tepo. A solução geral a equação iferencial é aa por: bt ( t) A' e cos( ' t φ) + F ( ) + ( b) sen( t δ)

18 9 Oscilações Eercícios - Nos sisteas ostraos na Fig. 9.4 não há atrito entre as superfícies o corpo e o chão e as olas tê assa esprezíveis. Encontre as freqüências naturais e oscilação. M M M (a) (b) (c) Fig Coposição e ovientos (Figuras e Lissajous) - Consiereos u corpo sujeito a ois ovientos harônicos e ireções ortogonais: y ( t) A cos( t + ϕ ) ( t) A cos( t + ϕ ) y a) Quano / y é u núero racional, a curva é fechaa e o oviento repete-se e tepos iguais. Deterine a curva traçaa pelo corpo para / y /, /3 e /3, toano A A e ϕ ϕ. b) Para / y /, /3 e A A y, esenhe as figuras para ϕ ϕ y, π/4 e π/. 3 - Consiere u cilinro preso por uas olas que roa se eslizar coo ostra a Fig Calcule a freqüência para pequenas oscilações o sistea. 4 - Consiere u pênulo siples e assa e copriento L, conectao a ua ola e contraste, confore ostra a Fig Calcule a freqüência o sistea para pequenas oscilações. y y y y

19 Oscilações 93 R a M a θ L M Fig. 9.5 Fig Dois ovientos harônicos e esa aplitue as freqüências ligeiraente iferentes são ipostos a u eso corpo tal que (t) A cost e (t) A cos ( + ) t. Calcule o oviento [ ] vibracional resultante. 6 - Consiere u pênulo siples nu eio viscoso co constante e força viscosa b. Calcule o novo períoo e oscilação e pênulo. 7 - Consiere ua barra elgaa e assa M e copriento L apoiaa no centro e assa coo ostra a Fig Ela é presa nas uas etreiaes por olas e constante. Calcule a freqüência angular para pequenas oscilações o sistea. 8 - Consiere pênulos (copriento L e assa M) acoplaos por ua ola e constante, confore ostra a Fig a) Encontre as equações iferenciais para os ângulos θ e θ. b) Defina as coorenaas norais e vibração ℵ θ - θ e β θ + θ. Encontre as equações iferenciais para ℵ e β. Dica: soe ou subtraia as equações e a) c) Quais são as freqüências angulares os oos norais e vibração?

20 94 Oscilações L θ L θ L M M Fig. 9.7 Fig Consiere u isco e assa M e raio R ( MR ) I que poe roar e torno o eio polar. U corpo e assa está penurao e ua cora ieal, que passa pelo isco (se eslizar) e é presa a ua paree através e ua ola e constante, coo ostra a Fig Calcule a freqüência natural o sistea. M R Fig. 9.9