Inversão dos Dados de Medidas das Resistividades do Solo

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1 Proceeing Series of the Brazilian Society of Applie an Coputational Matheatics, Vol. 3, N. 1, 015. rabalho apresentao no XXXV CNMAC, Natal-RN, 014. Inversão os Daos e Meias as Resistiviaes o Solo Celsa Herinia e Melo Maranhão, Valcir João a Cunha Farias, Instituto e Ciências Exatas e Naturais, UFPA UFPa, Rua Augusto Correa, , Belé, Pa E-ail: celsa@ufpa.br, Valcir@ufpa.br Brígia R. P. a Rocha Instituto e ecnologia, UFPA UFPa, Rua Augusto Correa, , Belé-Pa E-ail: brigia@ufpa.br Resuo: No estuo e aos e polarização inuzia, a aplicação o étoo e Gauss- Newton para o processo e inversão aliao co a aplicação o étoo os eleentos finitos para a oelage ireta ostrou-se eficiente, poré co u alto custo coputacional. Aplicano os esos étoos para o estuo a resistiviae elétrica o solo, os resultaos obtios tão bons quanto e aos e polarização inuzia e co enor custo coputacional. I - Introução A oelage ireta e inversa e aos e resistiviae elétrica o solo ve seno aplaente estuaa nos últios anos [1,,3,4,6,8]. O principal propósito a sonage geoelétrica é obter a resistiviae aparente o subsolo consierano o arranjo e eletroo usao e a estrutura geológica investigaa. A oelage inversa busca, a partir e inforações e resistiviae aparente o solo, eterinar a istribuição e resistiviae o subsolo, ou seja, poe-se criar ua iage toográfica a istribuição a resistiviae o solo. A interpretação qualitativa e quantitativa e sonage geoelétrica requer algoritos eficientes e rápios e oelagens ireta e inversa. Maranhão et al [] esenvolvera u algoritio para oelage ireta e aos e resistiviae para a aplicação e aterraento elétrico. Farias et al [4]. Aplicou o étoo os eleentos finitos para a oelage ireta e aos e polarização inuzia para eios D e 3D seu algorítio apresentou u bo esepenho. Farias et al [3] esenvolveu u processo e inversão e aos e polarização inuzia utilizano o étoo e Gauss-Newton, tal proceiento e ostrou eficiente, poré o custo coputacional foi elevao. Coo e polarização inuzia os valores e resistiviaes são núeros coplexos, acreita-se que e aos e resistiviae elétrica o solo o proceiento e [3] seja tabé eficiente, poré co u enor custo coputacional que para os aos e polarização inuzia. O objetivo este trabalho é aplicar o étoo e Gauss-Newton para realizar a inversão e aos e resistiviae elétrica o solo. II. Moelage ireta Na oelage ireta foi aplicao o étoo os eleentos finitos na equação:. ~ ( x, V ( x,, ( x, V ~ ( x,, I ( x x ) ( z ) Para aiores etalhes ver [6]. s z s. (1) DOI: / SBMAC

2 Proceeing Series of the Brazilian Society of Applie an Coputational Matheatics, Vol. 3, N. 1, 015. III. Moelage inversa A escolha a função objetivo (ou função custo) é funaental para o bo esenvolviento o processo. Assi, a inversão e aos a resistiviae foi realizaa para iniização a função objetivo quarática, C (x), a fora escrita por [8], isto é: 1 C( x) W. e( x) Wx ( x xr ). () O fator escalar é o ultiplicaor e Lagrange (tabé conhecio coo parâetro e regularização) é u parâetro que eterina a iportância os ois teros a função objetivo; One: x x r é u vetor conteno os parâetros o oelo (resistiviae ou conutiviae) e caa suboínio; é u vetor e referencia, conteno inforação a priori, tais inforações obtias a partir e testeunhos e rochas; é u valor preestabelecio e ajuste os aos; Na função objetivo efinia pela expressa () o seguno tero é enoinao e tero e regularização [3]. Esse tero e regularização é iportante para introuzir inforações a priori, servino, esta fora, para atenuar as abiguiaes (não-uniciae) a solução o problea inverso e, reuzir possíveis aplificações e erros na eterinação os parâetros o oelo (resistiviae ou conutiviae), os quais estão presentes nas eias evio ao inevitável ruío. IV. Métoo e Gauss-Newton Para resolver o problea e otiização não-linear eprega-se o étoo iterativo e Gauss-Newton que é baseao e u oelo quarático a função custo. Este oelo quarático é forao levano-se os três prieiros teros a expansão por series e aylor a função custo (1) e torno a k-ésia iteração x, coo segue: 1 C( xk xk ) C( xk ) g ( xk ). xk xk. G( xk ). x. (3) k One inica transposição conjugaa e xk xk 1 xk é o increento o vetor os parâetros x k e ireção ao ponto estacionário a função custo C (x). g( x) C( x) é o vetor graiente a função custo e é eterinao pela expressão seguinte: k C g( x) C( x) g n, n 1,,3,..., N (4) xn J ( x). W. W. e( x) Wx. Wx.( x x p ), One: x é a n-ésia coponente o vetor os parâetros o oelo x ; n DOI: / SBMAC

3 Proceeing Series of the Brazilian Society of Applie an Coputational Matheatics, Vol. 3, N. 1, 015. W é a atriz inversa a atriz covariância o oelo a qual representa o grau e x Wx confiança no vetor e referencia ( x r ), é tabé ua inforação a priori para a solução o problea e inversão; W. W é a inversa a atriz covariância os aos, cujo tero no processo e inversão escreve estiativas as incertezas oriunas e containação por ruíos os aos eios. De acoro co as estiativas e variância para caa eia, W. W estia a correlação entre os erros. Seguno Habashy et al [8] se os aos e eias são containaos por u ruío estacionário e escorrelacionao, então W iag( j ), seno j o esvio parão rs o ruío para a eia; j esia e J( x ) é ua atriz cuja iensão M N enoinaa e atriz Jacobiano sensitiviae ao por: e J ( x) J n, 1,,3,..., M; n 1,,3,..., N. (5) xn e G( x) C( x) é o Hessiano a função custo Cx ( ) o qual é ua atriz siétrica e ore N N aa por: C G( x) C( x) Gn, n, 1,, 3,, N xnx H W x. W x J ( x) W W J ( x) Q( x), (6) One M H Q( x) f ( x) F ( x) e f ( x ) é o -ésio eleento o vetor f ( x) W. e( x), e 1 f F ( ) ( ) x f x xix j, i, j 1,,3,..., N. Note que o étoo e Gauss-Newton espreza as erivaas e seguna ore a função custo e relação aos coponentes o vetor os parâetros o oelo x, ou seja, não consiera-se o tero Q (x) no Hessiano. Assi, o Hessiano, no étoo e Gauss-Newton, será ao por: G( x) W W J ( x). W. W. J ( x). (7) x x O ínio e () é obtio quano xk for u ínio a função quarática. DOI: / SBMAC

4 Proceeing Series of the Brazilian Society of Applie an Coputational Matheatics, Vol. 3, N. 1, x g xk. x x. Gxk. x. (8) A função x x te u ponto estacionário (ponto critico) e x0, soente se o graiente e for para zero e x0, isto é: x g x G x. x 0. (9) 0 k k 0 VI. Resultaos e Discussão. O resultao apresentao é referente a u oelo geológico sintético e para ar aior confiabiliae ao proceiento e interpretação, os aos fora containaos co ruíos aleatório Gaussiano cujo esvio parão foi e 3%. Isto equivale a u erro nas eias e até 9%. Na oelage ireta foi utilizao para as eias o arranjo ipolo-ipolo co espaçaento entre os eletroos e, a região e interesse foi iscretizaa e 0 76, totalizano 150 eleentos quaraos, e caa eleento a resistiviae foi consieraa constante. No processo inverso, o oelo inicial foi toao coo u eio hoogêneo co resistiviae aa pela éia as resistiviaes aparentes obtias pela oelage ireta. O processo foi siulao e coputaor co processaor core i5, co 4 Gb e eória RAM, one roou e 10 in. Be enos que para aos e polarização inuzia[3]. O oelo consierao foi u co três caaas, seno a prieira e a seguna caaas são horizontais co resistiviae e 64 e 130, respectivaente. Na terceira caaa existe u contato vertical iviino a esa e uas, ua co resistiviae e 70 e a outra co 743, confore Figura 1. Figura 1- Desenho esqueático a perspectiva o terreno estuao cujo perfil as sonagens o subsolo na ireção a seta R co resistiviaes 1 64, 130, 70 e 743. Foi etectaa ua anoalia nos resultaos a oelage ireta por eio a pseuo-seção, entretanto, não se observou a percepção clara a existência e u contato vertical (Figura ). Figura - Moelage ireta D o solo co resistiviaes 64, 130, 70 e 743 na ireção a seta R 1, obtio co o arranjo iplo-ipolo. A oelage D evienciou u contraste e resistiviaes na superfície etectano contato geológico vertical. DOI: / SBMAC

5 Proceeing Series of the Brazilian Society of Applie an Coputational Matheatics, Vol. 3, N. 1, 015. Foi claraente etectao u contato vertical no resultao a inversão os aos na iage abaixo. Figura 3- Moelo inverso. Na Figura 3 observa-se ua caaa be resistente, liitaa na base e no topo por porções enos resistentes. Essa variação poe ser relacionaa ao elevao grau e heterogeneiae e/ou anisotropia estrutural eposicional e iagenética observaa nos intervalos arenosos (Rostirolla et al. 000, rzaskos-lipksi et al. 003). Desta fora poe-se ientificar as zonas fraturaas pela análise e eslocaentos ou perturbações nos valores e resistiviae. VI. Conclusões Os resultaos obtios ostra que o étoo e Gauss-Newton aplicao e inversão e aos e resistiviae elétrica o solo ostrou u bo esepenho e co enor tepo coputacional que na aplicação este étoo e aos e polarização inuzia. No oelo sintético siulao neste trabalho, foi possível etectar contatos verticais co bastante clareza. VII - Referencias [1] Maranhão, Celsa H. Melo, Análise a Influencia a Heterogeneiae a Resistiviae o Solo e Sisteas e Aterraentos, ese e Doutorao, Prograa e Pós-Grauação e Engenharia Elétrica, Centro ecnológico, Universiae Feeral o Pará, 008. [] Maranhão, Celsa H. M.; Farias, Valcir J a C.; Rocha, Brígia R. P., Moelage Direta D e errenos co Heterogeneiae Lateral para u Sistea e Aterraento Elétrico, IEEE Latin Aerica ransactions, vol. 6, no. 5, Septeber 008. [3] Farias, V. J. a C., Rocha, B. R. P. a, Rocha, M. P. a C. a, avares, H. R. he use of fractal oel to coplex resistivity in the interpretation of inuce polarization, Applie Matheatical Moelling, 37, , 013. [4] Farias, V. J. a C., Maranhão, C. H M., Rocha, B. R. P. a, Anrae, N. P. O. Inuce polarization forwar oelling using finite eleent etho an fractal oel. Applie Matheatical Moelling, 34, , 010. [5] Rostirolla, S. P.; Assine, M. I.; Fernanes, L. A.; Arthur, P. C. Reativação e paleolineaentos urante a evolução a Bacia o Paraná: o exeplo o Alto Estrutural e Quatiguá. Revista Brasileira e Geociências, São Paulo, v. 31, p , 000. [6] V. J. a C. Farias, Interpretação e Daos e Polarização Inuzia usano o Moelo Fractal para Resistiviaes Coplexas e Iagens oográficas, Prograa e Pós- DOI: / SBMAC

6 Proceeing Series of the Brazilian Society of Applie an Coputational Matheatics, Vol. 3, N. 1, 015. Grauação e Engenharia Elétrica, Centro ecnológico, Universiae Feeral o Pará, ese e Doutorao, p.151, 004. [7] rzaskos-lipski, B.; Rostirolla, S. P.; Vesely, F. F.; Bocari, L.; Mancini, F.; Appi, C. J. Microtectônica e sua iportância no estuo a circulação e fluios e reservatórios fraturaos o Grupo Itararé Bacia o Paraná. In: Sipósio Nacional e Estuos ectônicos SNE, 9., 003, Búzios. Anais...Rio e Janeiro: Socieae Brasileira e Geologia, p [8] Xia, J. J.; Habashy,. M., Kong, J. A., 1994 Profile Inversion in a Cylinrically Stratifie Lossy Meiu Raio Science, V 9, p DOI: / SBMAC