Existemcorposdeordemq se, e somente se, q éumapotência de primo.

Transcrição

1 Corpos Finitos U corpo é, grosso odo, u conjunto no qual podeos soar, subtrair, ultiplicar e dividir por não nulo, no qual vale todas as propriedades usuais de tais operações, incluindo a coutativa da adição e da ultiplicação. Exeplos de corpos são os racionais Q, osreaisr, os coplexos C e o conjunto dos inteiros vistos ódulo p prio Z/pZ. Exeplos de conjuntos que não são corpos são os inteiros Z, os polinôios co coeficientes e R, as atrizes quadradas de orde n e o conjunto dos inteiros vistos ódulo n coposto, Z/nZ estes exeplos são anéis. Aqui, discutios a existência de corpos finitos de orde q. Aorde de u corpo finito éoseunúero de eleentos. 1. O teorea Teorea 1.1. Existecorposdeordeq se, e soente se, q éuapotência de prio. Alé disso, todos os corpos finitos de esa orde são isoorfos, isto é, para cada par de corpos K 1, K 2 de esa orde existe ua bijeção φ: K 1 K 2, chaada isoorfiso, queanté a estrutura algébrica dos corpos, ou seja, φxy = φxφy e φx y = φx φy. Mas não deonstrareos isso aqui, a não ser para Z/pZ. Deonstração Deonstrareos esse fato co o auxílio de alguns leas. 2. Os corpos finitos deve ter p n eleentos: ua pequena incursão algébrica Definição 2.1. U espaço vetorial sobre u corpo K é u conjunto V tal que para todos u, v V etodo λ K, então u v V e λv V. Lea 2.1. Seja K L corpos. Então L é u espaço vetorial sobre K. Deonstração Fica para você, leitor. Ésó verificar que vale as propriedades da definição. Lea 2.2. Seja F u corpo finito de q eleentos e F K, sendo K outro corpo finito. Então K te q n eleentos, onde n é a diensão do espaço vetorial de K sobre F. Deonstração Sendo K e F finitos, a diensão de K sobre F é claraente finita. Seja {u 1,u 2,...,u n } ua base de K. Há q n eleentos e K: as expressões do tipo α 1 u 1 α 2 u 2 α n u n cada α i pode ser escolhido de q aneiras. Antes de continuar, ais ua definição. Definição 2.2. A característica de u corpo K éoenornúero inteiro positivo tal que, sendo a K, a = a a a =0. Setal não existir, a característica do corpo é definida coo zero. } {{ } vezes Por exeplo, Z/pZ é u corpo de característica p. Agora, vereos porque corpos tê orde potência de prio e não potência perfeita. Lea 2.3. A característica de u corpo é prio ou zero.

2 Deonstração Seja 0 a característica de u corpo. Seja 1 a unidade desse corpo e suponha que = pq, p, q inteiros aiores que 1 observe que se trocaros a unidade 1 por outro eleento a do corpo, teos a =0 a a 1 =0 1 = 0, ou seja, não perdeos generalidade. Ao desenvolveros o produto p1 q1 = } {{ } } {{ } p vezes q vezes obteos = pq uns. Logo 1 =p1 q1 =0 p1 =0ouq1 = 0, absurdo, já que éínio. Lea 2.4. Seja p prio.todososcorposdeordep são isoorfos a Z/pZ. Deonstração Seja K u corpo de orde p e 1 a sua unidade. Observe que, sendo K finito, adite característica finita, que só podeserp. Defina o isoorfiso φ: Z/pZ K, φ =1 soaos vezes a unidade e K. Se 1 =n1 então n1 = 0 p n = n, pois p < n<p. Logo os p núeros 0 1=0, 1, 2 1,...,p 11 são distintos e são os eleentos de K. Logo φ é ua bijeção. Iitando a deonstração do lea anterior, podeos provar que φ anté a estrutura algébrica de Z/pZ. Logo os corpos K e Z/pZ são isoorfos. Lea 2.5. Seja F u corpo finito. Então F te orde potência de prio. Deonstração Sendo o corpo finito, então adite característica finita: não épossível que se soaros a unidade vezes sepre resulte u núero diferente; assi 1 =t1 para<t. Daí, t1 = 0, ou seja, F te ua característica que é u divisor prio de t. Seja p a característica de F. Usando a definição de φ do lea anterior, construíos u subcorpo F 0 F isoorfo a Z/pZ. Dolea2.2,F te p n eleentos, sendo n adiensão de F sobre F 0. Pois be, provaos a ida. Mas que garante a existência de corpos finitos de orde igual a qualquer potência de prio? Vaos construir u corpo de orde p n, p prio. 3. Funções geratrizes garante a existência! Ua aneira de construir u corpo de orde p n que é utilizada para construir os corpos utilizados e códigos é toaros u polinôio px irredutível de grau n co coeficientes e Z/pZ e toaros coo eleentos desse corpo os polinôios visto ód px. A soa é a soa de polinôios e é claro que vale todas as propriedades usuais de adição e ultiplicação. E a divisão? Pelo teorea de Bezóut, para qx 0 ód. px existe polinôios ax ebx taisqueax qx bx px. Vendo ód px nota-se que ax = qx 1, de odo que qualquer eleento não nulo adite inverso. Perceba agora que a existência do corpo depende unicaente da existência de polinôios irredutíveis de grau arbitrário e Z/pZ. Para isso usaos o Teorea 3.1. Existe polinôios irredutíveis de grau arbitrário e Z/pZ. Deonstração A prova que dareos aqui é cobinatória! Contareos o núero a n de polinôios irredutíveis e Z/pZ de grau n, utilizando alguas técnicas de contage. Depois ésóprovarquea n > 0 sepre. E [3], foi deonstrado que certos anéis são doínios de fatoração única a partir do fato de sere euclidianos. Co u pouco ais de facilidade já que é trivial que a divisão de polinôios sobre corpos é

3 euclidiana, podeos deonstrar que os anéis de polinôios e Z/pZ tabé são doínios de fatoração única. Considere todos os polinôios ônicos x n c n 1 x n 1 c 0 de grau n, c i Z/pZ, i =0, 1,...,n 1. Há p escolhas para cada a i, logo há p n polinôios desse tipo. Cada polinôio P x fatora unicaente e irredutíveis. Suponha que i desses polinôios tê grau i, i =1, 2,...,n. Soando os graus dos fatores irredutíveis, obteos n n = n. Observando do lado dos polinôios irredutíveis, podeos escolher de a k polinôios irredutíveis, peritindo repetições. O núero de tais escolhas é igual ao núero de soluçõesinteirasdex 1 x 2 x ak =,queé a k 1. Assi, todos os possíveis produtos de 1 fatores irredutíveis de grau 1, 2 fatores irredutíveis de grau 2, etc, são e total de 1 k n Assi, considerando todas as soluções possíveis de n n = n, teos todas as fatorações de todos os p n polinôios, ou seja, = p n 12 2 n n=n 1 k n Isso já define ua recorrência para a n, as uito coplicada. Calculeos valores pequenos para p =2: de a 1 =2 a1 1 a 2 =4 2 a1 2 a 3 a 1 a 2 =8 3 a2 1 a1 3 a 4 a 1 a 3 = obteos a 1 =2,a 2 =1,a 3 =2ea 4 =3. Vaos siplificar significativaente essa recorrência, encontrando, eventualente, ua fórula fechada para a n. Para isso, utilizareos u pouco de funções geratrizes. Você pode encontrar ais sobre elas e [4]. Multiplique abos os ebros de port n e soe para todo n natural. No segundo ebro obteos 1 ua série geoétrica de soa foral 1 pt.assi, n 0 n 0 t n n n n=n 1 k n t 122 nn 12 2 n n=n 1 k n 12 2 n n=n 1 k n t k Teos dois soatórios: u sobre todos os naturais e outro sobre seqüências 1, 2,..., n de naturais tais que n n = n. Considerando os dois soatórios, veos que essa soa já não nos traz ais restrições. Qualquer soa finita do tipo n n é igual a u natural e portanto vai

4 aparecer na soa. O único cuidado que deveos toar é o de considerar seqüências de naturais co u núero finito de eleentos não nulos. Assi, t k 1, 2,... Colocaos u apóstrofo para indicar que a soa ésobreseqüências co u núero finito de teros não nulos. Agora, o ponto crucial de nossos cálculos. Vaos classificar os teros da fora a k 1 t k. Note que a soa acia ésobretodas as seqüências 1, 2,...counúero finito de teros não nulos. Seqüências desse tipo e produtórios coo o que aparece acia caracteriza u desenvolviento de u produto de soas. Por exeplo, vaos voltar nosso foco ao prieiro tero 1 da seqüência. Estaos ultiplicando teros da fora a 1 1 t aqui trocaos 1 por. Logo 1, 2,... 0a1 1 = 0 1a a1 1 2 t 0 t 1 t 2 0a1 1 = 0 = a ,... 2,... 2,... t 0 t k t k t k 1a1 1 1 t 1 2,... Indutivaente, podeos concluir que 1, 2,... t k t 1 2a1 1 1 t k t 2 t k 2,... t k = ak 1 t k 0 Utilizando o conceito de binoial generalizado, ou seja, a aa 1 a n 1 = para a real e n natural, n n! teos a 1 = e, pelo binôio de Newton generalizado, ak 1 0 a 1 a 2 a 3 a! a a 1 a 1 a = 1 = 1! t k = 1 ak 0 t k =1 t k a k

5 Logo 1 t k a k Poderíaos ter chegado nessa identidade u pouco ais rápido, na verdade. O estudante Huberto Silva Naves e eu estávaos discutindo para ver se conseguíaos provar essa identidade se fazer tanta conta e chegaos nesse atalho valeu Huberto!: considere a soa i 0 pi t i.oteroet i indica a quantidade de polinôios ônicos de grau i, quesão fatorados de fora única e irredutíveis ônicos. Assi, t i éu arcador do grau dos polinôios. Agora, considere 1 t k t 2k a k. Ao desenvolveros esse produto, toaos o tero t k do i-ésio fator quando toaos o i-ésio irredutível de grau k que são e total de a k. Logo, considerando todos os graus, t 1 k t 2k ak = p i t i 1 t k a k i 0 Mas, de qualquer fora, é iportante saber anipular algebricaente essas expressões, logo resolvi deixar os cálculos anteriores. Ua aneira de transforar produtórios e soatórios é tirar logaritos dos dois lados. Aqui, log indica logarito natural. Obteos então a k log1 t k = log O desenvolviento de log1 x e série de potências é log1 x =x x2 2 x3 3 = x i i i 1 Portanto a k i 1 t ik i = i 1 pt i i Basta, agora, coparar os teros e t n. No segundo ebro é p n /n. No prieiro, aparece sepre que ik = n i = n/k, ou seja, quando k divide n. Logo k n a k n/k = pn n k n ka k = p n, que é ua recorrência be ais tratável. Vaos rever os casos pequenos que estudaos antes, co p =2: a 1 =2 a 1 2a 2 =4 a 1 3a 3 =8 a 1 2a 2 4a 4 =16 Agora, proveos que a n > 0. Considere a soa k n ka k.forana n, todos os outros no áxio n 1 teros são enores que q n/2,poisjá aparecera e soas anteriores. Deste odo, ka k < n 1q n/2 na n q n < n 1q n/2 na n na n >q n/2 q n/2 n 1> 0 k n

6 Podeos encontrar ua fórula fechada para a n apartirdafórula de inversão de Möbius cuja deonstração pode ser encontrada e [5]: fn = gd, para todo n Z gn = µdf d n d n n d,paratodon Z, onde éafunção de Möbius. Teos { 1 se n =1 µn = 1 r se n é o produto de r prios distintos 0 caso contrário a n = µnp n/d d n 4. Referências bibliográficas [1] I. N. Herstein. Topics in Algebra, Wiley. U livro de Álgebra Abstrata para que quer aprender o básico e ais u pouco dessa fascinante e iportantíssia área da Mateática. Parte da deonstração do teorea sobre corpos finitos a ida foi retirada do Capítulo 7 cujo título é Selected Topics! deste livro. [2] Peter J. Caeron. Cobinatorics: Topics, Techniques, Algoriths, Cabridge Press. U livro de Cobinatória. Não o li o suficiente, as a volta do teorea sobre corpos finitos foi retirada deste livro, do Capítulo 4, sobre recorrências e funções geratrizes. [3] Guilhere Fujiwara. Inteiros de Gauss e Inteiros de Eisenstein, in: Revista Eureka! 14. Acho que éo prieiro artigo que fala de aplicações da Álgebra Abstrata fora dos tradicionais núeros ódulo. A referência [1] tabé fala de inteiros de Gauss, as essa referência é claraente ais acessível e ais didática, alé de conter fatos be ais interessante para o público olípico. [4] Eduardo Tengan. Séries Forais, in: Revista Eureka! 11. U ótio artigo para que quer coeçar a estudar funções geratrizes. Lá te u resultado iportante sobre partições e u étodo para encontrar teros gerais de recorrências coo, por exeplo, Fibonacci. Recoendo tabé o fantástico livro Concrete Matheatics, do grande Donald E. Knuth e, para calcular certos soatórios, o livro A = B, demarkopetkovšek, Herbert S. Wilf e Doron Zeilberger. Aliás, este livro pode ser baixado e ou [5] José Plínio de Oliveira Santos. Introdução à Teoria dos Núeros, IMPA. U bo livro introdutório para teoria dos núeros. Vai u pouco alé de congruências, Euler-Ferat e raízes priitivas, falando sobre funções aritéticas e partições.