Diferença finita regressiva de 2º ordem

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1 iferença finita regressiva de º orde Polinóio interolador nos nós 0,, tabela diferenças divididas () y 0 0 y 0 0 y y[,, ] 0 y y y [ 0, ] y y [, ] y y y y y () y + y[, ]( ) + y[,, ]( )( ) ( ) '( ) y[, ] + y[,, ] ( ) + ( ) ''( ) y[,, ] 0

2 iferença finita regressiva de º orde ( ) '( ) y[, ] + y[,, ] ( ) + ( ) y y y y0 y y0 0 '( ) + ( ) + ( 0) 0 0 ( ) Considerando nós equidistantes, 0, y y y y0 y y0 '( ) + ( ) + ( 0) ( ) 0 y y0 y y+ y0 '( ) + ( ) + ( 0) ( ) y y y y0 y y y y0 y y + y ''( ) y[ 0,, ] 0 0 0

3 iferença finita regressiva de º orde Particularizando ara, resulta y + y0 y y y0 '( ) + ( ) + ( 0 ) y y0 y y+ y0 '( ) + + y y y y + y '( ) ( ) () 0 '( ) 3y 4y + y 0 ''( ) y y + y 0 A diferença finita designa-se or regressiva orque os nós utilizados são o onto onde calculaos a derivada e ontos ara trás

4 iferença finita regressiva de º orde Eansão e série de Taylor de orde co resto de orde 3 f''( ) f'''( ξ) 3 f ( ) f ( ) + f'( ) ( ) + ( ) + ( ) 6 f''( ) f'''( ξ + ) f ( ) f ( ) f'( ) 3 (*) 6 f''( ) f'''( ξ) f ( ) f ( ) + f'( ) ( ) + ( ) + ( ) 6 3 f''( ) f'''( ξ ) 3 f ( ) f ( ) f'( ) (**) Efectuando (**) 4 (*), de odo a anular o tero e f (), resulta 6 (**) 4 (*) (**) 4 (*) f''( ) f'''( ξ ) f ( ) f ( ) f'( ) f''( ) f'''( ξ) 4 f ( ) 4 f ( ) 4 f'( ) f'''( ξ ) f'''( ξ ) f ( ) 4 f ( ) 3 f ( ) + f'( )

5 esenvolvendo iferença finita regressiva de º orde f'''( ) f'''( ) f ( ) 4 f ( ) 3 f ( ) f'( ) 8 ξ ξ f '''( ξ) f ( ) 4 f ( ) 3 f ( ) f'( ) ξ [, ] f ( ) 4 f ( ) + 3 f ( ) f'''( ξ) f'( ) + 3 f( ) Erro iferença finita regressiva de ª orde e resectivo erro (de étodo) f ( ) f ( ) 4 f ( ) + 3 f ( ) f '''( ξ) E '( ) 3

6 Resuo das rinciais diferenças finitas Prieira derivada Prieira orde Segunda orde Progressiva Regressiva Central Progressiva Regressiva f ( ) f ( ) f ( ) f ( + ) f( ) f ( ) f( ) f ( + ) f( ) E '( ) f''( ξ) E '( ) f''( ξ) E '( ) f'''( ξ) 6 f ( + ) + 4 f( + ) 3 f( ) f ( ) E '( ) f'''( ξ) 3 3 f ( ) 4 f( ) + f( ) f ( ) E '( ) f'''( ξ) 3 Segunda derivada Segunda orde Progressiva Regressiva Central f ( ) f ( ) f ( ) f ( + ) f( + ) + f( ) f ( ) f( ) + f( ) f ( + ) f ( ) + f ( ) E ''( ) f '''( ξ ) E ''( ) f '''( ξ ) E ''( ) f''''( ξ)

7 Forula de Aitken-Neville 0 n n+ ( ) ( ) + a W ( ) ( ) + y[,,..., ] W ( ) n+ n n+ n n 0 n n+ n 0,n 0 n- n n+,n 0,n+ Forula de Aitken-Neville 0, n+ (, n( ) 0, n( ) ) ( 0) ( ) 0, n( ) + n+ 0

8 Forula de Aitken-Neville Eelo: n 0,3 (), () 0, () 0 3 Forula de Aitken-Neville 0,3 (,( ) 0,( ) ) ( 0) ( ) 0, ( ) + 3 0

9 Forula de Aitken-Neville Generalizando,k + 0 +k +k+ +,k,k+ Forula de Aitken-Neville k, + ( +, k k, ( ) ) ( ) ( ) ( ) k, ( ) + + k+

10 Forula de Aitken-Neville ( +,, ) ( ) k( ) k( ) k, + ( ) k, ( ) + + k+ Se retenderos efectuar o cálculo do olinóio ara 0 resulta, k, + k, ( +,, ) ( 0 ) k( 0) k( 0) ( 0) ( 0) + + k+ (0) (0) + k, + k, (, k(0) +, k(0) ) + k+ k, + (0) (0) (0) + k+, k +, k + k+

11 Etraolação de Ricardson Eansão e série f''( ) f'''( ) f f f! 3! 3 ( + ) ( ) + '( ) f ( + ) f ( ) f''( ) f'''( ) f ( + ) f ( ) +! 3! i f'( )... f'( ) Ci i f ( + ) f ( ) i f'( ) + Ci ( ) i olinóio na variável k A diferença finita é o tero de orde zero do olinóio na variável Etraolação de Ricardson: Sucessão de valores de :, +,, +k Calcular diferenças finitas ara cada valor de > teros de orde zero dos olinóios Usar Aitken-Neville ara calcular os valores do olinóio e 0 (etraolação) k, + + k+, k(0) +, k(0) (0) + k+ k, + + k+, k +, k + k+

12 Etraolação de Ricardson Eelo: f()e(), calcular f () utilizando etraolação de Ricardson Sugestão: considerar 0 0.4, 0 / Nota: Valor eacto, f ()e().788 f ( + ) f ( ) f(.4) f() 0.4 iferença finita, ,0 f ( + ) f ( ) f(.) f() 0. iferença finita, 0. 0,0 0, , k, + + k+, k +, k + k+ 0, 0,0 0, Tabela 0 0,0,0 0, Gráfico 0,0,0 0, 0 0,

13 Etraolação de Ricardson Novo onto, 0 / 0. Gráfico 0,0 Tabela 0 0,0,0, 0 0,, 0,,0 0,,,0 0, 0 f ( + ) f ( ) f(.) f() 0. iferença finita, ,0 k, + Valor eacto, f () k+, k +, k + k+, 0,,0, , 0,

14 Etraolação de Ricardson Tabela Valor eacto, , , , 0 0,, ,.7937 f ().788 diferenças finitas Gráfico,0 0, 0,0,0, 0, 0

15 Etraolação de Ricardson Se usaros diferenças finitas centrais a série de otencias de só te otências ares f''( ) f'''( ) f f f! 3! f''( ) f'''( ) f f f + +! 3! f'''( ) 3 f ( + ) f ( ) f'( ) ! 3 ( + ) ( ) + '( ) ( ) ( ) '( )... 4 i i i f ( + ) f ( ) f'( ) k Ci i ( ) f ( + ) f ( ) f'''( ) f'''''( ) f ( + ) f ( ) f'( )... f'( ) + C 3! 5! + i olinóio na variável A convergência é ais ráida e a forula de Aitken-Neville adatada resulta k, + + k+, k(0) +, k(0) (0) + k+ + k+, k +, k k, + + k+