Cálculo Numérico IPRJ/UERJ. Sílvia Mara da Costa Campos Victer ÍNDICE. Aula 4- Diferenciação numérica: - Fórmulas de diferença avançada e recuada

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1 Cálculo Numérico IPRJ/UERJ Sílvia Mara da Costa Campos Victer ÍNDICE Aula 4- Diferenciação numérica: - Fórmulas de diferença avançada e recuada - Fórmula de três pontos - Fórmula de cinco pontos Aula 4 - Diferenciação numérica (ou Derivação Numérica) A dificuldade em encontrar a solução analítica de uma equação diferencial num determinado intervalo, é o motivo principal para a introdução de métodos numéricos para aproximar essa solução. Estes métodos vão discretizar a equação diferencial nesse intervalo. As equações diferenciais envolvem a derivada das funções. São consideradas apenas equações diferenciais ordinárias (EDO), isto é, com apenas uma variável independente. Dado um conjunto de pontos, a derivada pode ser calculada de várias formas. O método de diferenças finitas é mais adequado quando as abscissas estão próximas e os dados não sofrem perturbações significativas. Aproximação da derivada por diferenças finitas Considerando o intervalo [a,b] dividido em n partes iguais de tamanho h, onde e, são três as aproximações mais usadas para a primeira derivada no ponto : Fórmulas de diferença avançada e recuada 1

2 Serão vistas as diferenças progressivas (avançadas), regressivas (recuadas) e centrais. A derivada de uma função no ponto é dado por: Da definição, se é pequeno (não muito pequeno para evitar o cancelamento catastrófico), é esperado que uma aproximação para a derivada no ponto seja dada por: Observe que se h for exatamente a distância entre e, então e Exemplo 1: Calcule a derivada numérica da função usando, e e. no ponto A tabela abaixo mostra a derivada numérica para cada valor de. Observe que quanto menor, melhor é a aproximação, visto que o valor exato para a derivada é. Porém, quando, a derivada numérica é, resultado pior que aquele para (usando aritmética 2

3 de computador no Scilab). Além disso, quando, a derivada numérica calculada no Scilab é zero (cancelamento catastrófico). Isso nos motiva a pensar qual é o melhor h. Essa aproximação para a derivada é denominada diferenças progressivas (ou avançadas). A derivada numérica também pode ser aproximada usando definições equivalentes. A fórmula das diferenças regressivas (ou recuadas) é dada por: A fórmula das diferenças centrais é dada por: Exemplo 2: Calcule a derivada numérica da função no ponto usando diferenças progressivas, diferenças regressivas e diferenças centrais com, e e. A tabela abaixo mostra a derivada numérica para cada valor de. Exemplo 3: Calcule a derivada numérica da função no ponto usando diferenças progressivas, diferenças regressivas e diferenças centrais com, e. Resultado utilizando a fórmula de diferenças progressivas: 3

4 O valor exato da derivada é. Calcule as derivadas para as diferenças regressivas e centrais. Exemplo 4: Estude o comportamento da derivada de no ponto usando diferenças progressivas, diferenças regressivas e diferenças centrais quando fica pequeno. A tabela abaixo mostra a derivada numérica para vários valores de. Observe que o valor exato é e o h ótimo é algo entre e. Obs: é a aproximação da derivada de em por diferenças progressivas. Calcule as derivadas também para as diferenças regressivas e centrais. Observação:: é a aproximação da derivada de em por diferenças regressivas. é a aproximação da derivada de em por diferenças centrais. Fórmulas de três pontos para a derivada primeira Para aproximar a derivada de uma função em, ou usaremos os três pontos vizinhos, e. Uma interpolação usando polinômios de Lagrange para esses três pontos é da forma: 4

5 A derivada de é: Trocando por, temos: Considerando uma malha equiespaçada onde e, temos: Similarmente, trocando por ou trocando por na expressão (1), temos outras duas expressões: Podemos reescrever as três fórmulas da seguinte forma: 5

6 Ou ainda: Fórmula de cinco pontos para a derivada primeira Analogamente, para construir as fórmulas de cinco pontos tomamos o polinômio de Lagrange para cinco pontos e chegamos a cinco fórmulas, sendo uma delas a seguinte: Exemplo 5: Calcule a derivada numérica de no ponto pela fórmula de três e cinco pontos para, e. A tabela abaixo mostra os resultados: O valor exato da derivada é =

7 Referências: 1- Livro. Cálculo numérico. Márcia Ruggiero e Vera Lopes. 2- Livro Análise Numérica Richard L. Burden e J. Douglas Faires 3- Apostila um%c3%a9rica Extraído do Livro: D ly, J. P. Analyse Numérique et Équations Diferentielles, nouvelle Édition ed. EDP Sciences, Grenoble,