Funções podem ser representadas como série de potências Uma série de potências centrada em x 0 tem a seguinte forma:

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1 Edgard Jamhour

2 Funções podem ser representadas como série de potências Uma série de potências centrada em x 0 tem a seguinte forma: n f x, x 0 = n=0 a n x x 0 f(x,x 0 ) = a 0 + a 1 (x-x 0 ) + a 2 (x-x 0 )

3 Por que representar funções como séries de potências: Cálculo de integrais que não possuam solução analítica Resolução de equações diferenciais Aproximação de funções por polinômios

4 Por que representar funções como séries de potências: Cálculo de integrais que não possuam solução analítica conhecida Resolução de equações diferenciais Aproximação de funções por polinômios

5 n f x = n=0 a n x x 0 Derivada: n=0 f x = n a n x x 0 n 1 Integral: n=0 f x dx = c + a n x x 0 n+1 n+1

6 Aproxima funções na forma da seguinte série de potências: n f x = n=0 a n x x 0 a n = fn x 0 n! para todo: x x 0 <R (raio de convergência) Se x 0 =0, a série é dita de Maclaurin

7 Polinômio de Taylor de grau n: T n x = n=0 f n x 0 n! x x 0 n Convergência do Polinômio de Taylor: f x = lim n T n (x) Resto da Série de Taylor: f x = T n x + R n (x)

8 Aproximação de Sin(x) no ponto x0=0

9 Aproximação de Sin(x) no ponto x0=pi

10 Aproximação por série de Taylor pode ser muito custosa para funções periódicas Por isso, muitos sistemas optam por usar CORDIC para calcular funções trigonométricas CORDIC COordinate Rotation DIgital Computer Também conhecido como Algoritmo de Volder Otimizado para operar em CPUs simples.

11 O erro introduzido pela limitação do número de termos depende da variabilidade da função. Funções cujas derivadas superiores são pequenas ou nulas podem ser aproximadas com pouco ou nenhum erro.

12 Objetivo: obter os valores das derivadas de uma função sem recorrer a respectiva expressão analítica Considerando um polinômio x i de Taylor de ordem 2 no ponto x i : f(x) = f (x i ) + f (x i )(x-x i ) + (½)f (x i )(x-x i ) 2 f x = f x f x i x x i x x i 2 f x i ERRO

13 Progressiva: x i = x+h f x = f x f x+h h Regressiva: x i = x+h f x = f x f x h h Centrada: x i = x+h f x = f x+h f x h 2h

14 Aproximação de Taylor: f x + h = f x + f x h + f x h2 f x h = f x f x h + f x h f x h3 6 h3 x f 6 Combinando as expressões: f x + h + f x h = 2f x + 2f x h2 f x = 1 h2 f x + h + f x h 2f x 2

15 Integração Numérica: I f b = f x dx a Aplicações: Estatística: cálculo da CDF Controle de máquinas Tratamento de informação de sensores Arquitetura etc.

16 O método geral de integração numérica consiste em aproximar a curva interpolando um conjunto de pontos com um polinômio de baixa ordem, que são fáceis de integrar. Escolhem-se n+1 pontos no intervalo [a,b]: x 0 x 1 x 2... X n onde: x 0 = a e x n = b e x k = x k-1 + h b I f = f x dx a n k=1 x k = f x dx x k 1

17 O polinômio interpolador é uma constante f x dx x k x k 1 = x k x k 1 f x k 1+x k 2

18 O polinômio interpolador é uma reta x k f x dx = x x k 1 k x k 1 f x k 1 +f x k 2

19 A interpolação é feita pela concatenação de parábolas, cada uma passando por três pontos. x k+1 f x dx = h x f x k 1 3 k 1 + 4f x k + f x k+1 onde: h= x k+1 - x k b f x dx a = h 3 f x 0 + 4f x 1 + 2f x f x n 2 + 4f x n 1 + f x n

20 Uma equação diferencial (E.D.) envolve uma função desconhecida e suas derivadas. EDO (E.D. Ordinária): a função depende de apenas uma variável EDP (E.D. Parcial): a função depende de mais de uma variável Exemplo de EDO: Seja y = f(x) e y n e y y + 2 (y ) 2 = 1 = dn f(x) dx n

21 É a ordem da sua derivada mais elevada: 1. y =f(t,y) y(t) = y (t) t+ y(t 0 ) 2. y =f(t,y,y ) y(t) =y t + y(t 0 ) y'(t) = y''(t) t + y (t 0 ) 3. y =f(t,y,y,y ) y(t) =y'*t + y(t 0 ) y'(t) = y''(t) t + y (t 0 ) y (t) = y (t) t + y (t 0 )

22 A população de bactérias cresce a uma taxa proporcional ao número de bactérias. dp dt = k p t k p t - dp dt = 0 Construção do modelo a partir de medições: População após 3 horas: 400 bactérias População após 10 horas: 2000 bactérias

23 Determinar o comportamento de um circuito resistivo, indutivo e capacitivo. L d2 q dq dt2+ R + q dt C = E t i= dq dt

24 Determinar o comportamento vibratório de sistemas mecânicos. m u t + γ u t + k u t = 0 m: massa m: posição da massa em relação γ ao tempo k: constante da mola : coeficiente de amortecimento

25 Tipo: Problema de valor inicial (PVI) Determinar a função y=y(t) que satisfaz simultaneamente a equação diferencial e a condição inicial: y (t) = f(t,y(t)) e a < x < b y(t 0 ) = y 0 e a < x 0 < b

26 Se a função y for aproximada pela fórmula de Taylor: y(t 0 +h) = y(t 0 ) + h y (t 0 ) h 2 y (t 0 ) + O(h 3 ) Se h for pequeno os teremos h 2 e superiores podem ser desprezados y(t 0 +h) = y(t 0 ) + h y (t 0 ) Se y (t) = f(t,y(t)), y(t n ) pode ser calculado iterativamente: y(t 0 ) = y 0 y(t n+1 ) = y(t n ) + h f(t n,y(t n ))

27 Achar a aproximação para função y(t), válida para 0<t<1 com h=0.2 y (t) = t y + 2 y(0) = 2 Solução: t 0 = 0 y 0 =2 t 1 =0.2 y 1 =y 0 +h (t 0 y 0 +2)=2+0.2(0-2+2)=2 t 2 =0.4 y 2 =y 1 +h (t 1 y 1 +2)=2+0.2( )=2.04 t 3 =0.6 y 3 =y 3 +h (t 3 y 3 +2)= ( )=2.112 t 4 =0.8 y 4 =y 4 +h (t 4 y 4 +2)= t 5 =1 y 5 =y 5 +h (t 5 y 5 +2)=2.3277

28 Solução analítica: e -t (1+e t +e t t)

29 y(t 0 +h) = y(t 0 ) + h y (t 0 ) h 2 y (t 0 ) + O(h 3 ) y(t 0 +h) = y(t 0 ) + h y (t 0 ) h 2 y (t 0 ) Se y (t) = f(t,y(t)), e y (t) = f (t,y(t)), y(t n ) pode ser calculado iterativamente: y(t 0 ) = y 0 y(t n+1 ) = y(t n ) + h f(x n,y(t n )) h 2 f (t n,y(t n )) Onde f t, y = δf(t,y) δt + δf(t,y) δy f(t, y)

30 O método de Runge-Kutta produzem resultados com a mesma precisão de Taylor, mas sem calcular derivadas. y n+1 = y n + h k 1 + k 2 k 1 = 1 b f x n, y n k 2 = bf x n + 1 2b h, y n + 1 2b hf x n, y n Onde b é uma constante Método de Euler melhorado( Heun): b=0.5 Método de Euler modificado: b=1

31 O método de Runge-Kutta obtém resultados melhores que o método de Euler mesmo com passos maiores.