Equações diferenciais ordinárias EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS

Transcrição

1 1

2 Sumário 1 Equações diferenciais ordinárias Métodos de Euler Exemplo de EDO linear: Método implícito Métodos multi-passo lineares Fórmulas de Adams-Bashforth Fórmulas de Adams-Moulton Fórmulas do tipo preditor-corrector 2

3 Suponhamos que se pretende resolver a equação diferencial de primeira ordem y = dy dt = f (t, y) sujeita à condição inicial y(0) = y 0. Admitamos que a função f (t, y) tem uma dependência em y que pode ser linear ou não-linear. Trata-se de um problema de valor inicial que pode, ou não, ter solução analítica exacta. 3

4 Para saber se um problema tem solução exacta, explore o comando simbólico dsolve em MATLAB. Para resolver problemas cuja solução exista mas em que a solução analítica exacta não seja possível ou fácil de obter, podemos recorrer aos métodos numéricos, que usam uma discretização com um passo h que supomos constante. Se a equação diferencial ordinária (EDO) for não-rígida temos à nossa disposição vários métodos de Adams e os métodos de Runge-Kutta explícitos. 4

5 Por exemplo, podemos aproximar a 1. a derivada por diferenças finitas de 1. a ordem: Diferença finita progressiva: y (t n ) = dy(t n) dt Diferença finita regressiva: y n+1 y n h h 2 y (ξ) = f (t n, y n ) y (t n+1 ) = dy(t n+1) dt y n+1 y n h + h 2 y (ξ) = f (t n+1, y n+1 ) Nota: Nestas expressões foi incluído o termo dominante do erro. 5

6 Também podemos aproximar a 1. a derivada por diferenças finitas centrais, que têm uma precisão de segunda ordem: y (t n ) = dy(t n) dt y n+1 y n 1 2h h2 6 y (ξ) = f (t n, y n ) O método para obter-se y n+1 escreve-se y n+1 = y n 1 + 2hf (t n, y n ) + O(h 3 ) que não é mais do que a regra de integração do ponto médio aplicada ao intervalo [t n 1, t n+1 ] de comprimento 2h. Relembrar que y = f (t, y) 6

7 Esta forma de aproximar derivadas por diferenças finitas com uma certa precisão pode também aplicar-se a equações diferenciais de segunda ordem e de ordem superior o Método das Diferenças Finitas é uma via possível e intuitiva para se resolver directamente EDOs de ordem superior (sem recorrer a equações suplementares e variáveis auxiliares). Por razões de consistência e convergência, deve manter-se a mesma ordem no erro de aproximação local (truncatura) dos diversos termos da equação diferencial. Como alternativa às fórmulas de derivação por diferenças finitas temos as fórmulas de Integração Numérica. 7

8 Os métodos de Euler (séc. XVIII) são métodos de passo simples e de primeira ordem. Método de Euler progressivo (explícito) y n+1 = y n + hf (t n, y n ) + O(h 2 ) Método de Euler regressivo (BDF-1) (implícito) y n+1 = y n + hf (t n+1, y n+1 ) + O(h 2 ) O valor de f na expressão acima depende de y n+1! Se possível, os termos de f contendo y n+1 devem ir para o 1. o membro. 8

9 Exemplo de EDO linear: Método implícito Resolver a equação diferencial de primeira ordem y + 20y = 0 sujeita à condição inicial y(0) = 1. A solução exacta é y = exp( 20t) Usando diferenças finitas regressivas obtemos y n+1 y n h + 20y n+1 = 0 9

10 Exemplo de EDO linear: Método implícito (cont.) Retendo no primeiro membro os termos do nível n + 1 em y e passando o restante para o segundo membro, obtemos um método implícito: y n hy n+1 = y n Assim, o método de Euler regressivo implícito dá y n+1 = y n h O denominador contribui para estabilizar o método. 10

11 y Equações diferenciais ordinárias Exemplo de EDO linear: Método implícito (cont.) A Figura abaixo mostra a solução exacta e os resultados obtidos com o método de Euler progressivo e regressivo com um passo h = 0.08: t y_n (Regressivo) y_n (Progressivo) y 11

12 Uma forma de deduzir vários métodos para resolver equações diferenciais ordinárias é por integração entre dois instantes (ou níveis) consecutivos de f (t, y(t)) f (t): tn+1 y n+1 = y n + f (t)dt t n Dispomos de várias fórmulas conhecidas que podem ser usadas para a integração aproximada deste integral. Elas são obtidas por integração do polinómio interpolador da função f (t, y) num certo número de nós (níveis), podendo, ou não, incluir o último nível. 12

13 Se o polinómio aproximador da função f (t, y) num certo número de nós (níveis) não incluir o último nível, trata-se de um polinómio extrapolador e as fórmulas são do tipo aberto à direita e o método é explícito. Nesta categoria incluem-se, entre outras, as fórmulas de Adams-Bashforth. Se o polinómio aproximador da função f (t, y) num certo número número de nós (níveis) incluir também o último nível, as fórmulas são do tipo fechado à direita e o método é implícito. Nesta categoria incluem-se, entre outras, as fórmulas de Adams-Moulton. 13

14 Também podemos usar as regras de integração numérica já nossas conhecidas, em especial as mais simples. Todas elas se podem considerar abertas ou fechadas à direita e para todas elas é possível estimar o erro. Podemos usar as regras de integração numérica do rectângulo (à esquerda, à direita e ao centro), as regras fechadas de Newton-Cotes (trapézio, Simpson, etc.) e as várias regras de Gauss (Gauss-Legendre, Gauss-Lobatto e Gauss-Radau, etc.) e estimar o respectivo erro. Sugestão: Classificar as fórmulas que usam as regras aqui referidas em abertas ou fechadas à direita consoante usam o último nível, ou não. 14

15 Exemplo 1: Usar a regra de integração do rectângulo à esquerda e obter o método de Euler progressivo. Estimar o respectivo erro à custa do erro de integração. Exemplo 2: Usar a regra de integração do rectângulo à direita e obter o método de Euler regressivo. Estimar o respectivo erro à custa do erro de integração. Exemplo 3: Usar a regra de integração do rectângulo ao centro, ou seja, a regra do ponto médio, e obter o método correspondente. Estimar o respectivo erro à custa do erro de integração. 15

16 Exemplo 4: Usar a regra de integração do trapézio e obter o método respectivo. Estimar o respectivo erro à custa do erro de integração. y n+1 = y n + h 2 (f n + f n+1 ) h3 12 f (ξ) Exemplo 5: Usar a regra de integração de Simpson e obter a fórmula de Milne-Simpson. Estimar o respectivo erro à custa do erro de integração. y n+1 = y n 1 + h 3 (f n 1 + 4f n + f n+1 ) h5 90 f (4) (ξ) 16

17 Exemplo 6: Usar a regra de integração de dois pontos de Gauss-Radau e obter uma fórmula de tipo aberto à direita. Estimar o respectivo erro à custa do erro de integração. y n+1 = y n + h 4 (f n + 3f n+2/3 ) + h4 216 f (ξ) Exemplo 7: Usar a regra de integração de dois pontos de Gauss-Legendre e obter uma fórmula de tipo aberto. Estimar o respectivo erro à custa do erro de integração. São considerações sobre estabilidade que vão ajudar a decidir quais as fórmulas a usar e/ou quais a evitar! 17

18 Métodos multi-passo lineares As questões recorrentes na escolha de um método numérico para a integração de equações diferencias ordinárias são: a eficiência, a precisão e a estabilidade. O ideal seria conseguirmos integrar com a maior precisão possível usando o maior passo possível, calculando a função f o menor número de vezes possível. Estes requisitos são conflituais é preciso encontrar soluções de compromisso. A eficiência poderá ser aferida pelo menor número de vezes que a função f é calculada. A precisão pode ser controlada por uma norma apropriada do erro global, seja durante o processo ou nos estágios finais (comportamento assimptótico) A estimativa do erro local pode ser obtida pelo erro de truncatura associado ao método. 18

19 Métodos multi-passo lineares (cont.) Ao contrário dos métodos de passo simples, os métodos multi-passo aumentam a eficiência usando informação (memorizada) de vários níveis consecutivos anteriores. Quando usamos informação de vários níveis consecutivos, a função integranda f pode ser interpolada (ou extrapolada) por um polinómio de grau superior e assim permitir uma maior precisão, porventura à custa de uma menor estabilidade. Nestes métodos consegue-se fazer uma integração eficiente, pois pode calcular-se um novo passo com apenas um novo valor da função f calculada no último nível n

20 Métodos multi-passo lineares (cont.) A noção (região) de estabilidade permite seleccionar os algoritmos que proporcionem uma melhor solução de compromisso. De entre os vários métodos multi-passo destacam-se os de Adams (mas há outros). Não são métodos auto-iniciáveis. Normalmente usa-se o método de Euler progressivo para o arranque. Nesta categoria de métodos multi-passo, temos os métodos de Adams-Bashforth, de Adams-Moulton e os combinados do tipo previsor-corrector. 20

21 Fórmulas de Adams-Bashforth As fórmulas de Adams-Bashforth, de tipo aberto à direita, são obtidas por integração do polinómio interpolador da função f (t, y) num certo número de nós (níveis) anteriores ao nível n + 1. A integração é feita no último passo, entre os níveis n e n + 1, usando valores de níveis anteriores ao nível n + 1, que é excluído. Trata-se de integrar o polinómio num intervalo de extrapolação, pelo que estes métodos são explícitos. O método de Adams-Bashforth de primeira ordem é o método de Euler progressivo: y n+1 = y n + hf n + O(h 2 ) O método de Adams-Bashforth de segunda ordem é dado por: y n+1 = y n + h 2 (3f n f n 1 ) + O(h 3 ) 21

22 Fórmulas de Adams-Bashforth (cont.) Quadro resumo de algumas fórmulas de Adams-Bashforth: Ordem Factor f n f n 1 f n 2 f n 3 Erro 1 h h 2 h 12 h h 2 2 f (2) (ξ) 5h 3 12 f (3) (ξ) 3h 4 8 f (4) (ξ) 251h f (5) (ξ) Nestes métodos faz-se respectivamente uma extrapolação constante, linear, quadrática e cúbica da função f, seguida da integração no intervalo (t n, t n+1 ). 22

23 Fórmulas de Adams-Bashforth (cont.) Pode observar-se que, para a mesma ordem, os coeficientes de erro são maiores do que os correspondentes aos métodos implícitos como os de Adams-Moulton. São métodos de estabilidade algo questionável, sobretudo para ordens superiores, já que as regiões de estabilidade vão sendo menores e inferiores às dos métodos implícitos. Não devem ser usados isoladamente. Podem servir como excelentes métodos de previsão sobretudo quando as funções f são não-lineares. Em particular, o método de Euler progressivo é muito usado no primeiro passo para o arranque partindo da condição inicial. Este método combina a sua simplicidade com uma região de estabilidade aceitável para um método explícito. 23

24 Fórmulas de Adams-Moulton As fórmulas de Adams-Moulton, de tipo fechado, são obtidas por integração do polinómio interpolador da função f (t, y) num certo número de nós (níveis) incluindo o último nível n + 1. A integração é feita no último passo. Trata-se de integrar o polinómio num intervalo de interpolação, o que torna estas fórmulas implícitas. O método de Adams-Moulton de primeira ordem é o método de Euler regressivo. O método de Adams-Moulton de segunda ordem é a regra do trapézio. O método de Adams-Moulton de terceira ordem é dado por: y n+1 = y n + h 12 (5f n+1 + 8f n f n 1 ) + O(h 4 ) 24

25 Fórmulas de Adams-Moulton (cont.) Quadro resumo de algumas fórmulas de Adams-Moulton: Ordem Factor f n+1 f n f n 1 f n 2 Erro 1 h 1 h2 2 f (2) (ξ) h 2 h 12 h h3 12 f (3) (ξ) h4 24 f (4) (ξ) h5 720 f (5) (ξ) Nestes métodos faz-se respectivamente uma interpolação constante, linear, quadrática e cúbica da função f, seguida da integração no intervalo (t n, t n+1 ). 25

26 Fórmulas de Adams-Moulton (cont.) Pode observar-se que, para a mesma ordem, os coeficientes de erro são menores do que os correspondentes aos métodos de Adams-Bashforth (AB). São métodos (AM) com uma estabilidade superior aos correspondentes métodos (AB) explícitos já que, para uma mesma ordem, as regiões de estabilidade (AM) são maiores do que as daqueles métodos (AB). Contudo, aumentando-se a ordem (precisão) perde-se em estabilidade. São úteis em problemas lineares podendo dar-se um tratamento implícito aos termos do nível n + 1; Quando as funções f são não-lineares podem servir como excelentes métodos de correcção sobretudo quando se dispõe de uma previsão da mesma ordem. 26

27 Métodos preditor-corrector Estes métodos combinam dois passos: no primeiro usa-se uma fórmula explícita para se fazer uma previsão da solução com base em informação de níveis anteriores; no segundo aplica-se uma fórmula implícita para se fazer a correcção da previsão e obter-se uma maior estabilidade no processo conjunto de integração. É possível usar-se o passo corrector mais do que uma vez. Contudo, o método torna-se pouco eficiente já que o número de funções f calculadas aumenta. Métodos preditor-corrector de Adams: Nestes métodos, a previsão faz-se por uma das fórmulas de Adams-Bashforth enquanto que a correcção faz-se pela fórmula de Adams-Moulton (consistente) da mesma ordem. 27

28 Os são considerados métodos de passo simples, mas envolvem um certo número de passos intermédios (já nossos conhecidos) e um número de cálculos da função f que é comparável à ordem do método. São métodos auto iniciáveis (self-starting). Estes métodos têm propriedades interessantes e uma região de estabilidade que, pelo menos até à ordem 4, melhora quando se aumenta a ordem do método. Outro aspecto relevante é que todos os métodos da mesma ordem (há vários em cada ordem) possuem a mesma região de estabilidade. Não requerem que a função f seja linear. Ilustramos alguns exemplos em seguida, havendo outros. 28

29 (cont.) Método de Heun de segunda ordem: k 1 = f (t n, y n ) k 2 = f (t n + h, y n + hk 1 ) y n+1 = y n + h 2 (k 1 + k 2 ) + O(h 3 ) Temos um passo previsor de comprimento h com o método de Euler progressivo e depois um passo integrador pela regra do trapézio. Fazemos dois cálculos da função f em cada passo! É um de entre muitos métodos de Runge-Kutta de segunda ordem. 29

30 (cont.) Método de Euler-Cauchy ou Euler modificado (RK2): k 1 = f (t n, y n ) ( k 2 = f t n + h 2, y n + h ) 2 k 1 y n+1 = y n + hk 2 + O(h 3 ) Temos um passo previsor de comprimento h/2 com o método de Euler progressivo e depois um passo integrador pela regra do ponto médio. Fazemos dois cálculos da função f em cada passo! É mais um de entre muitos métodos de Runge-Kutta de segunda ordem. 30

31 (cont.) Método de Heun de terceira ordem: k 1 = f (t n, y n ) ( k 2 = f t n + h 3, y n + h ) 3 k 1 k 3 = f ( t n + 2h 3, y n + 2h ) 3 k 2 y n+1 = y n + h 4 (k 1 + 3k 3 ) + O(h 4 ) Temos um passo previsor de comprimento h/3 com o método de Euler progressivo, outro de comprimento 2h/3 usando a regra do ponto médio e um passo integrador pela regra de Gauss-Radau aberta à direita. 31

32 (cont.) Método de Runge-Kutta de quarta ordem: k 1 = f (t n, y n ) ( k 2 = f t n + h 2, y n + h ) 2 k 1 k 3 = f ( t n + h 2, y n + h ) 2 k 2 k 4 = f (t n + h, y n + hk 3 ) y n+1 = y n + h 6 (k 1 + 2k 2 + 2k 3 + k 4 ) + O(h 5 ) 32