2º Exame (1ºTeste) de Análise Numérica (LMAC, MEIC, MMA) Instituto Superior Técnico, 27 de Janeiro de 2015, 15h00-16h15-17h30

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1 º Exame (ºTeste) de Análise Numérica (LMAC, MEIC, MMA) Instituto Superior Técnico, 7 de Janeiro de 5, 5h-h5-7h3.) [.] Pretende-se f(x) = p n (x)/x (onde p n é um polinómio) que verique a interpolação a) Determine p n com o menor grau. f() = f () = f () =, f() =. b) Sendo F (x) = g(x)/x, que verica a interpolação (tal como f), majore o erro E F = max x [,] F (x) f(x) em função de M k = g (k)..) [.5] Calcule um interpolador trigonométrico φ que verique φ() =, φ( π ) =, φ(π) =, φ(3π ) =..3) [.5] Seja R =. Explicite R N em função de N, sabendo que R k+ + 3k = k 3 + R k + k..) [3.] a) Determine α, β R, na aproximação Q z (f) = αf(z h) + βf(z + h) do funcional A z (f) = f (z) + f(z), e apresente o erro da aproximação, assumindo f C [z h, z + h]. b) Determine a, b R que minimizam d(a, b) = x (a + bx x 3 x) dx. Auxiliar. E(x) = f ( α +m+) (ξ x) ( α +m+)! m (x x k) α k+ e πi (N ) πi N e N W = (N ) (N ) πi πi e N e N

2 º Exame (º Teste) de Análise Numérica (LMAC, MEIC, MMA) Instituto Superior Técnico, 7 de Janeiro de 5, 5h-h5-7h3.) [3.] Determine D A = min max a,b R x [,] (a + bx) + (a + bx )x Ax x + a) quando A =, b) quando A =..) [.] Considere a matriz companheira C associada ao polinómio p(x) = x x 3 x. a) Localize os valores próprios de C e estabeleça a relação com as raízes de p. b) Aplique 3 iterações do método das potências a C para aproximar a raiz dominante de p..3) [3.5] Seja h > e seja y (t) = f(t, y(t)), com y() = y. a) Admitindo inicialização apropriada, determine β 3, β, β R, para a maior ordem de convergência dos métodos y k+ = y k 3 + h(β 3 f k 3 + β f k + β f k+ ). b) Dena a região de A-estabilidade do método anterior, convergente, com β 3 = β =. { u (t) = ( + t )u(t) quando t [, ].) [.5] Considere o problema u() =, u() =, Estabeleça o sistema linear a resolver pelo método das diferenças nitas com uma aproximação de segunda ordem usando h =. Auxiliar. B(a kk, r k ), com r k = j k a kj p m= α m = p m= α m m s = s p m= β m m s (para s =,..., r),

3 χ-resolução:.. a) Temos xf(x) = p n (x) = p n () =, p n () =. Depois (xf(x)) = f(x) + xf (x) = p n(x) = p n() = f() + f () = e nalmente (xf(x)) = f (x) + xf (x) = p n(x) = p n() = f () + f () = Construímos a tabela de diferenças generalizadas para a interpolação de Hermite para p 3 (há equações) x : p(x) : p[, ] = = p[,, ] = = 3 9 Conclui-se assim que p 3 (x) = + (x ) + 3(x ) 9(x ) 3. =.. b) Tal como em a), g toma os mesmos valores de p n pelo que essa interpolação dá g p 3 g()! max (x [,] )3 (x ) }{{} w(x) M 3 3 porque w(x) = (x ) 3 (x ) = w (x) = (x ) (x 7) = = x = x = 7 = w( 7 ) = 33, Portanto F f =.) Ver exercício - Texto de Apoio. = {}}{ g(η) p(η) η min x g p 3 33 M 3..3) Notamos que R k+ R k = k 3 3k + k = k(k )(k ) = k [3] e isto implica R N = R N R = N R k = N k [3] = N.) a) Como Q z (f) = αf(x h) + βf(x + h) temos k [] = N [] = N(N )(N )(N 3). Q z () = A z () α + β =, Q z (η) = A z (η) α(z h) + β(z + h) = + z, obtemos (α + β)z + (β α)h = z +, ou seja α = h, β = + h. Agora o erro é E z = A z (f) Q z (f) = A z (e ) onde e (x) = f[z h, z + h, x](x z + h)(x z h) é o erro de interpolação. Portanto E z = A z (e ) = e (z) + e (z) = f[z h, z + h, z, z](h)( h) +f[z h, z + h, z](z z ) + f[z h, z + h, z](+h)( h) ( ) = h 3 f (3) (ξ ) + f () (ξ ) (ξ, ξ [z h, z + h] b) Temos a aproximação de x 3 por polinómio a+(b )x = a+βx usando o produto interno com w(t) = t. [ ] [ ] [, w, t w = t dt = 3, t w = t 3,, t w t, t w, t w = t t dt = w = ] t t 3 dt = 5 t 3, t = w t tt 3 dt = 7 3

4 concluindo-se que a =, β = 5 7 ou seja b = 7...a). Simplicamos (a + bx) + (a + bx )x Ax x + = a + bx x Ax + x + Se A = temos f(x) = x x +. Usando o Algoritmo de Remes com X() = {,, }, a a b = = b = d d sendo r(x) = x x +, vemos os pontos críticos quando r (x) = f (x) = x(x +) x 3 (x +) = x (x +) =, ou seja, x =. Vemos que r = = d, pelo que de novo X() = {,, }, e o algoritmo termina. Portanto, pelo T. Chebyshev obtemos p(x) = P como melhor aproximação uniforme e D = d =...b) Com A = trata-se de minimizar a + bx x o que resulta em [, ] da minimização dada pelo polinómio de Chebyshev T (x) = x. Isso implica a =, b =, e D = =...a) As raízes de p são os valores próprios da matriz companheira C = Por linhas λ, λ 3, λ B(, ). Ainda λ B(, ) e não intersectando B(, ) é único, e é real porque a matriz é real. Por colunas, concluímos ainda que λ B(, ) e portanto λ [5, 7]...b) É apropriado começar com v () = (,,, ) (coluna do dominante), e obtemos de v (k+) = Av (k) que v () = Av () =, v() = Av () = 3, v(3) = Av () = 3 7, u(3) = + logo u (3) = ( 7, 7, 3 7, ) e λ(3) = [Au (3) ] = =.3.. (próximo de λ =.3..) v(3) v (3).3. a) O método envolve apenas y k+j, f k+m, e podemos usar o critério dos coecientes. Primeiro conrma-se = 3 m= α m = α α 3 = = Neste caso há estabilidade porque a equação característica associada à equação às diferenças y k+ = y k 3 é simplesmente r =, que tem raizes reais simples r = ± (e duas complexas r = ±i), em qualquer caso r =, r =. A parte restante do critério dos coecientes permite obter m= α m m s = ( ) s s = s m= β m m s = s(β ( ) s + β () s + β 3 (3) s ).

5 Com s =, resulta + 3 = (β + β + β 3 ) = β + β + β 3. Com s =, obtemos + 9 = ( β + β + 3β 3 ) = β + β + 3β 3 Com s = 3, obtemos + 7 = 3(β + β + 9β 3 ) = β + β + 9β 3 Assim 8β 3 = = β 3 = 3, e β β 3 = = β = 3, β = 3 = 8 3, Concluímos que y k+ = y k h(f k 3 + f k + f k+ ) é estável e tem ordem de consistência 3, e assim ordem de convergência b) Vemos de a) que para ser convergente = β + β + β 3 implica β =. Portanto temos o método y k+ = y k 3 + hf k com região de estabilidade denida pela equação às diferenças y k+ = y k 3 + αy k. A equação característica é r αr =, donde resulta r = (α ± α + ), e r implica { A M = α C : α ± } α +... Obtemos da aproximação de ª ordem u (t k ) = u k u k +u k+ h + O(h ), com h = retiramos u k + u k+ (3 + t k )u k = 7 u u u 3 u k u k + u k+ h ( + t k)u k = = u u =. 5