Equações Diferenciais Métodos Adaptativos e Rigidez. Computação 2º Semestre 2016/2017

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1 Equações Diferenciais Métodos Adaptativos e Rigidez Computação 2º Semestre 2016/2017

2 Métodos Adaptativos Por vezes as soluções das EDOs têm diferentes escalas temporais: Em alguns intervalos de tempo a solução varia gradualmente; Noutros as variações são abrutas. Os métodos com o tamanho do passo constante teriam que aplicar sempre um pequeno passo: Ineficiente em regiões de variação gradual. Os métodos adaptativos podem variar o tamanho do passo de acordo com as variações da solução. 2

3 Métodos Adaptativos A implementação requer uma estimativa do erro local de truncatura cometido em cada passo: Com base nesta estimativa o tamanho do passo pode ser diminuído ou aumentado. Existem 2 abordagens alternativas para incorporar o controlo adaptativo do tamanho do passo: Divisão do passo usar o método de passo simples duas vezes: Uma vez com o tamanho do passo completo h Outra vez com 2 meios passos de tamanho h/2 Estimar o erro local de truncatura cometido no passo n como a diferença entre os resultados obtidos: 3

4 Método RK Adaptativo de 4ª Ordem Um passo completo h: Dois meios passos h/2: Estimativa do erro local de truncatura: Correcção de 5ª ordem: 4

5 Métodos Adaptativos A implementação requer uma estimativa do erro local de truncatura cometido em cada passo: Com base nesta estimativa o tamanho do passo pode ser diminuído ou aumentado. Existem 2 abordagens alternativas para incorporar o controlo adaptativo do tamanho do passo: Métodos RK Embebidos (RK Fehlberg) calcular no mesmo passo duas estimativas com métodos de RK de ordens diferentes: Estimar o erro local de truncatura como a diferença entre os resultados obtidos Estes métodos costumam ser mais eficientes que os da divisão do tamanho do passo. 5

6 Método RK Embebido de 2ª/3ª Ordem Usa os métodos RK de 2ª e 3ª ordem em simultâneo para resolver a EDO e controlar o tamanho do passo de acordo com a estimativa do erro: Estimativa do erro local de truncatura: (apenas avalia a função 3 vezes: k 1 é o mesmo que o k 4 do passo anterior) 6

7 Método RK Embebido de 4ª/5ª Ordem Usa os métodos RK de 4ª e 5ª ordem em simultâneo: 4ª: 5ª: (apenas avalia a função 6 vezes: k 1,, k 6 ) Estimativa do erro local de truncatura: (5) (4) i 1 i 1 i 1 E y y 7

8 Métodos RK em MATLAB 2º/3º Ordem: Implementado pela função ode23 4º/5º Ordem: Implementado pela função ode45 Após cada passo, é verificado se o erro está dentro da tolerância desejada: Se estiver, y i+1 é aceite; Caso contrário, o cálculo é repetido com o tamanho do passo reduzido até ser obtida uma estimativa de erro aceitável (tolerância relativa: por omissão10 3 ) (tolerância absoluta: por omissão10 6 ) 8

9 Métodos RK em MATLAB [t,y] = ode23(odefun,tspan,y0) [t,y] = ode45(odefun,tspan,y0) y: solução, em que cada coluna representa uma das variáveis e as linhas os seus valores nos tempos definidos no vector t odefun: função que calcula as derivadas do sistema de EDOs tspan: intervalo de tempo para resolver o sistema de EDOs: Se tspan=[ti tf], os resultados são mostrados para esses tempos assim como para os tempos intermédios adicionais utilizados. Se tspan=[t0 t1 tn], os resultados são mostrados apenas para os tempos especificados. y0: vector de valores iniciais para cada uma das variáveis. 9

10 Métodos RK em MATLAB Exemplo: dy 1 dt 1.2y dy 1 0.6y 1 y 2 2 dt 0.8y 2 0.3y 1 y 2 com y 1 (0)=2 e y 2 (0)=1 para t entre 0 e 20 Solução: function yp = predprey(t, y) yp = [1.2*y(1)-0.6*y(1)*y(2); -0.8*y(2)+0.3*y(1)*y(2)]; >> tspan = [0 20]; >> y0 = [2, 1]; >> [t, y] = ode45(@predprey, tspan, y0); >> plot(t,y); plot(y(:,1),y(:,2)); 10

11 Métodos RK em MATLAB Podem ser definidos parâmetros do algoritmo (options) e passados parâmetros para a função odefun [t,y]=ode23(odefun,tspan,y0,options,p1,p2, ) [t,y]=ode45(odefun,tspan,y0,options,p1,p2, ) p1,p2, : são os parâmetros da função odefun options: são os parâmetros do algoritmo Para definir os parâmetros do algoritmo: options=odeset('par1',val1,'par2',val2, ) 'RelTol': tolerância relativa. 'AbsTol': tolerância absoluta. 'InitialStep': passo inicial. 'MaxStep': passo máximo (1/10 do intervalo inicial) 11

12 Métodos RK em MATLAB Exemplo: com y (0)=0.5 para t entre 0 e 4 Solução: function yp = dydt(t, y) yp = 10*exp(-(t-2)*(t-2)/(2*.075^2))-0.6*y; >> options=odeset('reltol',1e-4); >> ode23(@dydt, [0 4], 0.5); >> ode23(@dydt, [0 4], 0.5, options); 12

13 Métodos Multipasso Os métodos de passo simples usam a informação de um único ponto t i para calcular uma estimativa da variável dependente y i+1 num ponto futuro t i+1. Os métodos multipasso baseiam-se na utilização da informação calculada em pontos anteriores. A função MATLAB ode113 implementa um método multipasso 13

14 Rigidez Um sistema rígido (stiff) contém componentes que variam muito rapidamente e outras que variam muito lentamente. Em alguns casos a variação rápida ocorre numa pequena fracção de tempo. Ex: dy dt cuja solução com y(0)=0 é: 1000y e t y e 1000 t 2.002e t 14

15 Rigidez Estabilidade: amplificação ou decréscimo dos erros cometidos. Um método numérico é estável se o erro cometido numa fase do algoritmo não é amplificado para as fases seguintes. Uma equação diferencial diz-se mal condicionada se os erros numéricos são amplificados independentemente do método Um sistema rígido (stiff) requer, em alguns métodos numéricos, passos muito pequenos para evitar a instabilidade numérica. 15

16 Rigidez Exemplo: Com um pequeno erro no valor inicial: logo: O erro cresce exponencialmente: problema instável O erro permanece constante: problema neutralmente estável O erro decresce exponencialmente: problema estável 16

17 Rigidez Exemplo: Método de Euler (explícito): Critério de estabilidade: (factor de amplificação) Região estável: Se a=1000, para manter a estabilidade é necessário h 2/

18 Rigidez Exemplo: Método de Euler Implícito: Critério de estabilidade: (incondicionalmente estável!) 18

19 Rigidez Exemplo: dy dt cuja solução com y(0)=0 é: Solução: 1000y e t y e 1000 t 2.002e t a) Método de Euler (explícito) b) Método de Euler Implícito 19

20 Rigidez Sistemas de ODEs rígidos também podem ser resolvidos por métodos implícitos. Exemplo: Cuja solução para y 1 (0)=52.29 e y 2 (0)=83.82 é: Método de Euler Implícito: (resolver o sistema em cada passo) 20

21 Funções MATLAB para Sistemas Rígidos ode15s: Método de Gear (Backward-Difference-Formulae) ode23s: Método de Rosenbrock Ode23ts: Método Implícito de Runge-Kutta 21