DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS

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1 14 MÉTODOS NUMÉRCOS PARA NTEGRAÇÃO DE EQUAÇÕES DFERENCAS ORDNÁRAS A integraçào duas formas: numérica das equações de movimento pode ser realizada de criação de seu próprio algoritmo de integraçào utilizando algum método numérico desenvolvido em uma linguagem qualquer de programação; e utilização de algum pacote de simulação comercialmente disponível. Neste capítulo abordam-se técnicas para integração numérica de equações diferenciais ordinárias que permitem a simulação temporal de sistemas físicos em computadores. Os métodos aqui apresentados sào gerais à medida em que se aplicam a modelos compostos por qualquer número de equações de movimcnto lineares ou não SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DFERENCAS ORDNÁRAS. POR MÉTODOS NUMÉRCOS As classes fundamcntais de problemas envolvendo equações diferencias ordinárias são mostradas abaixo (Tao 1988): problemas de valor inicial: são sistemas espacialmente homogêneos cujas propriedades são assumidas como uniformes tratados como sistemas a parâmetros concentrados e que variam no tempo; e

2 394 Nlodelagem e Simulaçáo de Processos ndustriais e de Sistemas Eletromecânicos problemas de valores de contorno: que con têm gradien tes in ternos (variações espaciais). envolvem sistemas em estado estacionário Para resolver problemas de valor inicial há necessidade elovalor das variáveis no instante inicial ao passo que para resolver problemas de valor de contorno são necessários os valores elas variáveis nas fronteiras do sistema Tipos de ivlétodos NwnéricosjJaTClResolver Equações Diferenciais Ordiná'lias Os seguin tes métodos são utilizados na solução de equações diferencias ordinárias (Tao 1988): métodos de passo simples; e métodos de passo múltiplo. Ambos os métodos estimam a solução como sendo uma série de valores a intervalos específicos que geram uma função que satisfaz a equação diferencial. CARACTERÍSTCAS DOS ivétodos DE PASSO SMPLES São métodos que necessitam apenas de um valor para estimar a solução em cada intervalo de tempo. Essa estimativa é então usada para encontrar o valor da função no próximo intervalo de tempo. Exemplo: a fórmula para encontrar )11/ depende explici tamente apenas de )1"1/-1' CARACTERÍSTCAS DOS ivétodos DE PASSO MÚLTPLO São métodos em que o cálculo de )11/ depende explicitamente de dois ou mais valores anteriores. Por exemplo no método de passo duplo o cálculo de)ln depende dos seguintes valores: )1/7 = f( )l1/-l)ln-2)' Esses métodos são também conhecidos como predi tor-corretor. COivlPARAÇi\.O ENTRE lvlétodos DE PASSO SrrVPLES/MÚLTPLO ambos são precisos embora os métodos de passo múltiplo normalmente apresentem melhores resultados quando a função é descontínua ou suas derivadas variam muito rapidamente (sistemas stiff); em certos pontos a maioria elos problemas de valor inicial não têm múltiplas condições iniciais sendo necessário gerá-as por um método de passo simples para inicializar o método de passo múltiplo; e

3 Nlétodos Numéricos jjam ntegraçâo de Equações Diferenciais Ordinárias 395 os requisitos computacionais (capacidade de memória) dos métodos de passo múltiplo normalmente excedem os de métodos de passo simples. Neste livro são abordados apenas os métodos de passo simples e se concentra nos problemas de simulação dinâmica a parâmetros concentrados (problemas de valor inicial) Nlétodos Numéricos de ntegraç:ão de Passo Si1'njJles jjara Resolver Problel1w.s de Valor nicial Discute-se aqui a solução para sistemas de 1ª ordem (Carnahan et al. 1969). Sistemas de ordem superior são resolvidos conforme explicado no item Forma geral de sistemas de 1;;ordem: y = f(t y) com y( O ) = Yo Objetivo: estimar y( t); ou estimar t corresponden te a um dado valor de y. o método básico aplicado neste tipo de algoritmo é descrito a seguir. niciando nas condições iniciais (to) é feita uma estimativa de y(t) no próximo valor de t (t) correspondente a t == to + h onde h== passo de integração. O novo valor é usado para estimar o próximo ponto e assim por diante. A base matemática permeando este método consiste em expandir a função y( t) em série de Taylor. Estima-se o valor da função a uma pequena distância de um valor conhecido usando as derivadas dafunção calculadas no valor conhecido da mesma. Assim dada a função g(t) t == a o valor de g( a + h) onde h é pequeno é dado por: com derivadas contínuas na região em torno de Repetindo este cálculo seqüencialmente para valores de tu == a + '1'/ h onde n == resulta em uma série de estimativas de g( t). Se em cada cálculo um número infinito de termos é incluído a solução exata é obtida. Na prática no entanto o número de termos na série deve ser ±lnito. Assim algum erro é aceito. A ordem de magnitude desse erro de truncamento é definida pela potência do

4 \ 396 ivodelagem e Simula[rlo de Processos ndustriais e de Sistemas Eletromecânicos Último termo incluído. Assim se o Último termo é de ordem h5 o erro resultante é no máximo de ordem h5 e a ordem de magnitude desse erro é abreviada por O(h5). A inclusão de mais termos reduz o erro de truncamento. São descritos a seguir dois métodos numéricos de integração que se enquadram nessa filosofia: Euler e Runge-Kutta (Carnahan et a!. 1969) lylétodo de Elder Consiste em utilizar a 1C! derivada Uá conhecida) e usar um passo pequeno de integração h truncando termos de ordem 2": 2: )(a+h) = )(a)+h. jj(a) = )(a)+h'f[ay(a)] onde jl(t) = f(t)) ou equivalentemente: Lil = h.f (tn ' )ln ) )1'11+1 = )ln + Ul tn+l = tn + h ) = Yn quando t = t'll ; procura-se )n+1 quando t = ln+h. Avalia-se a equação com as condições iniciais conhecidas e se realiza a extrapolação segundo a tangente à curva nesse ponto. Mostra-se na figura 1"1.1 a interpretação gráfica do método de Euler. )' )'11+1 Yn ---r U -l l~h~1 )'n p.!: l )'11+1 (real) )'*n+1 (calculado) 1. E=)'n+l-y"'n+1 tn [n+ h Figura H.L nterpretação grmica elo métoelo de Euler.

5 _-\..- uéwdo de Euler: Dados: tamanho do passo de integração h y(o) = )10 número de iterações N 5<t)=f(t)) Para 11 = Oa N - 1 Ülça: )1' = )ln + h.jun)ln) t.+l=tn+h saída = )ln + 1 o erro de truncamento é O(h) sendo proporcional ao tamanho li do passo. Como o número de cálculos é inversamente proporcional ao tamanho do passo uma solução precisa requer um grande número de cômputos. A relação entre amagnitude do erro e o tamanho do passo no método de Euler é ilustrada pela figura 1"1.2(Franks 1972) que mostra a melhora que ocorre quando um passo único de t a t2 é comparado com dois meio-passos: t a tm e tm a '2' )'1 Figllra 1'1.2 1\iétoelo ele Ell/er com passo redllzielo; metade. ti Para o caso com dois meio-passos começando com a derivada 5'1 em 11 avança-se meio passo até tm onde a derivada jlm é reavaliada. Verifica-se que o resultado final )';'2m está mais próximo ao valor correto )12 que o valor Y"'2 obtido com um passo Único. Para um método de integração de 1il ordem os erros numéricos são diretamente proporcionais ao tamanho do passo (E =]C li) de forma que a toleráncia desejada isto é o máximo erro aceitável determina o tamanho do passo a ser usado.

6 398 ivodelagem e Simulaçâo de Processos ndustriais e de Sistemas Eletromecánicos ivlétoeloelerunge-kutta Este método imita os termos da série de Taylor sem no entanto derivar a equação original. MÉTODO DE RUNGE-KUTTA DE 2" ORDEM Parte-se direto para a 2" ordem porque o método de Runge-Kutta de " ordem equivale ao método de Euler. A equação é avaliada nos pontos extremos do in tervalo h. y(o) = yo U2 é avaliado no ponto definido pelo método de ª ordem (Euler) )'.11+] = )1. '11 + ul +U') - 2. )' 2 )'n T ~l ~ )':: ~ll~ figura 14.3 nterpretaç~1o gr<1fica elo método ele Runge-Kutla ele 2" orelem. h Visto que o erro de truncamento é O(h2) um método de Runge-Kutta de mais alta ordem é necessário se um resultado mais preciso é desejado.

7 Métodos NuméTicos para ntegração de ljquações Difirrenâais OTdinárias 399 :\ÉTODO DE RUNGE-KUTTA DE 4" ORDEM É o mais utilizado. Consiste em avaliar as derivadas no início meio e fim do intervalo de integração. O Últimopasso é fazer uma soma ponderada dessas derivadas. )' )' )'4 li li +h/2 ')'4 Figura HA nlerpretação gráfica do método ele Rllnge-Klllta ele 4" ordem. Passos: a derivada Y é avaliada em t e usando o método de Euler o valor da função é calculado em (t + h/2) resultando Y2; a derivada é avaliada em (t + h/2) resultando Y2; iniciando em (Yt) a função em t + h/2 é recalculada usando a derivada Y2 para gerar Y3; a derivada )'3 é avaliada em t + h/2; iniciando em (Yt) a função é calculada em t2 = t + h usando a derivada )13 para gerar Y4; a derivada Y4 é avaliada em t2; e usando as derivadas Y a Y4 o valor da função ) (t2) é calculado por: o algoritmo de Runge-Kutta de 4ª ordem é: Dados: passo de integração h y(o) = Yo número N de iterações y(t)=f(ty)

8 400 Nfodelagem e Simulaçâo de Processosndustriais e de Sistemas Eletmmecânicos Para n = O a N - 1 faça: 'Ul = h. f([l' )111) u2 = h.j.( til + 2" h )ln + '11'1 2 ) u3 = h.f (h til + "2' )ln +2'l')) U4 = h..r (til + h)l1 + us) tn + 1 = til + h saída = ) Um esquema alternativo para encerrar o algoritmo é especificar t e não N Visto que o erro de truncamento é O(h4) o erro é muito reduzido quando comparado ao método de Euler. Mas são necessários quatro cálculos da função por passo resultando que uma redução no tamanho do passo aumen ta muito o número de cálculos. Outra forma para reduzir o número de cálculos é ajustar o tamanho do passo para manter o erro de truncamento especificado. Em regiões de baixas taxas de variação de )(t) o tamanho do passo pode crescer reduzindo o número de cômputos o contrário ocorreildo para altas taxas de variação de )J( t). Um esquema muito utilizado para verificação do erro de truncamento atribuído a Fehlberg é mostrado abaixo. MÉTODO DE RUNGE-KUTTA-FE-LBERG (MÉTODO RKF-45) Usa uma fórmula para cálculo do erro de truncamento O(h5) baseado em diferentes escolhas para os coeficientes do método de 4;]ordem (Tao 1988). A diferença entre os resultados de O(h4) e O(h5) dá uma estimativa do erro de truncamento. Diversas estratégias são disponíveis para alterações no tamanho do passo para reduzir o erro de truncamento. Por simplicidade o algoritmo apresentado a seguir reduz à metade ou duplica o tamanho do passo de integração. Algoritmo RKF-45: