EDO - PVI por método de Euler

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1 EDO - PVI por método de Euler André Scarmagnani 1, Isaac da Silva 1, Valmei A. Junior 1 1 UDC ANGLO - Faculdade Anglo Americano (FAA) Av.Paraná, 5661, CEP: Foz do Iguaçu - PR - Brasil [email protected], [email protected], [email protected] Abstract. In numerical calculation there are several methods to solving ordinary differential equations containing initial condition. In this article we highlight the Euler method. This method will be presented using an example and an algorithm. Resumo. Em cálculo numérico existem vários métodos para resolver equações diferencias ordinárias que contém condição inicial. Neste artigo destacamos o método de Euler. Este método será apresentado através de um exemplo e um algoritmo. 1. História As equações diferenciais começaram com os estudos de Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibniz durante o século XVII. Newton cresceu na Inglaterra, e se tornou professor de matemática em 1669 na cadeira Lucasian. Começou a publicar suas descobertas sobre cálculo a partir de Atuou pouco na área de equações diferenciais propriamente dita, porém seu desenvolvimento do cálculo e seus princípios básicos da mecânica forneceram base para as equações diferenciais. Ele também classificou as equações diferenciais de primeira ordem [Boyce and DiPrima 2006]. Liebniz nasceu em Leipzig e aos vinte anos completou seu doutorado de filosofia. Aos vinte e poucos anos desenvolveu seu interesse em matemática. Foi o primeiro a publicar alguma coisa sobre cálculos independentes. Criador do sinal de integral e da notação de derivada /. Descobridor do método de separação de variáveis, criador do método para resolver equações lineares de primeira ordem e também desenvolveu a redução de equações homogêneas a equações separáveis. Leibniz era embaixador e conselheiro de famílias reais, o que permitiu que ele tivesse contato com outros matemáticos, com isso foi resolvido muitos problemas em equações diferenciais no século XVII [Boyce and DiPrima 2006]. 2. EDOs Para resolvermos um problema de engenharia, usualmente de natureza física (Figura 1), temos que formulá-lo como uma expressão matemática, em termos de variáveis, funções, equações, etc. Essa expressão é, então, chamada de um modelo matemático do problema em questão. O processo de elaborar um modelo, resolvê-lo matematicamente e interpretar seus resultados em termos físicos ou outros é chamado de modelagem matemática ou, resumidamente, de modelagem [Kreyszig 1999].

2 Figura 1. Alguns exemplos de equações diferenciais. (Fonte: Adaptada de [Kreyszig 1999]). As EDOs são constituídas de equações contendo derivadas de uma função desconhecida e que depende de apenas uma variável independente, por isso é chamada de Equação Diferencial Ordinária. Na equação (1), tem-se que: y É a função desconhecida, x É a variável independente. = 4x + 1 (1) Um ponto importante a ser citado sobre EDOs, é referente a ordem e o grau. A ordem de uma EDO é dada pela ordem da mais alta derivada que nela aparecer e o seu grau é dado pela potência a que se encontra elevada a derivada de ordem mais alta. Veja no exemplo: ( d 2 ) 3 y + 3y 2 ( Na equação (2) a ordem é 2 e o grau é 3. ) 5 ( ) 4 y 5 = X. (2)

3 3. O Problema do Valor Inicial - PVI O Problema de Valor Inicial (PVI) consiste em uma equação diferencial que é apresentada juntamente com sua condição inicial. Por exemplo: e sua condição inicial, = x + 6y (3) 4. Método de Euler y (2) = 1. (4) Este método é usado para resolver um PVI que contêm equações diferenciais de primeira ordem. Para isso, o método usa uma solução aproximada. Considere o problema de valor inicial representado pela seguinte equação e sua respectiva condição inicial: = f (y, x) ; y (x 0) = y 0. (5) Como já sabemos que a solução passa pelo ponto (x 0, y 0 ), com inclinação y (x 0 ), assim o ponto (x 0, y 0 ) serve de ponto de partida para a aproximação. Começando pelo ponto apresentado na condição inicial, seguimos a inclinação, usando um passo h, para poder seguir ao longo da reta tangente até chegar ao próximo ponto (x 1, y 1 ). Para isso usamos método de Euler que consiste na repetição das equações (6) e (7) para a geração dos pontos: x n+1 = x n + h (6) 4.1. Exemplo usando o Método de Euler y n+1 = y n + h.f (x n, y n ). (7) Para o exemplo de como usar o método de Euler, considere a equação diferencial (8) adaptada de [Boyce and DiPrima 2006], que é de primeira ordem: = 1 x + 4y; y (0) = 1. (8) A solução numérica da equação (8), com a sua condição inicial, é encontrada com o uso recursivo das equações (6) e (7). Para a resolução da equação do exemplo, utiliza-se um passo h = 0, 001 e condição de parada x = 2, sendo que a condição inicial para o primeiro passo x 0 = 0 e y 0 = 1.

4 Substituindo os dados nas equações (6) e (7), para o primeiro passo tem-se; y 1 = 1 + 0, 001.( ) (9) e para o segundo passo, x 1 = 0 + 0, 001 (10) y 2 = , 001.(1 0, , 005) (11) x 2 = 0, , 001. (12) A substituição do x e do y do novo passo continuará sendo substituído pelo x e y encontrado no passo anterior, enquanto o x for menor ou igual a 2, o que para esse exemplo resulta em passos. Na tabela 1 é apresentado x n e y n que são alguns valores calculados pelo método de Euler, sendo n o numero do passo e y alguns valores calculados pelo método analítico, possibilitando, assim, uma conparação entre os resultados. Tabela 1. Resultado da equação (8) usando método de Euler e o método analítico n x n y n y 0 0,000 1, , ,001 1, , ,002 1, , ,003 1, , ,004 1, , ,005 1, , ,500 8, , ,000 64, , , , , , , , Programação do Método de Euler Esse método é de fácil implementação, basta seguir a lógica dos passos que são apresentados abaixo. As variáveis x n, y n, x final, h e f (x, y) devem ser informadas para que o método possa ser executado, onde: x n x da condição inicial; y n y da condição inicial; x final Condição de parada do método; h Tamanho dos passos;

5 f (x, y) Equação diferencial ordinária. {Xn, Xfinal, Xn+1, Yn, Yn+1, h} INICIO Para Xn menor Xfinal FAÇA Escreva n, Xn, Yn Xn+1 = Xn + h Yn+1 = Yn + h.f(xn,yn) Xn = Xn+1 Yn = Yn+1 FIM_PARA FIM 5. Conclusão A solução numérica de um PVI, por meio da aplicação do método de Euler, nem sempre resulta em valores que se encaixam dentro de limites aceitáveis. O método de Euler é fácil de ser implementado, mas por se tratar de um método que nos resulta soluções aproximadas, apresenta uma diferença, como pode ser observada na tabela 1 onde, como por exemplo, pode se destacar a diferença encontrada na iteração n = 1500, onde y n = 473, está diferente de y = 479, Essa diferença é chamada de erro, que só pode ser minimizado diminuindo o tamanho do passo h. Porém, se h for muito pequeno, serão necessários muitos passos dentro do intervalo determinado. Na tabela 1, observa-se essa diferença entre os resultados obtidos método de Euler (y n ) e pelo método analítico (y). O erro absoluto do método pode ser calculado pela equação: ŷ (x) y (x) (13) ŷ (x) Resultado aproximado encontrado através do método de Euler; y (x) Resultado obtido através do método analítico; Sendo assim, é preciso uma análise com a intenção de adequar o passo h para realizar os cálculos, de tal forma que se obtenha um erro mínimo para que os resultados sejam válidos. Referências Boyce, W. E. and DiPrima, R. C. (2006). Equação Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno. LTC, 8th edition. Kreyszig, E. (1999). Matemática Superior para Engenharia. LTC, 9th edition.