Modelagem Matemática das Vibrações de uma Corda Elástica

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Nelson Branco Lagos
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1 Modelagem Matemática das Vibrações de uma Corda Elástica Rossato, Jéssica Helisa Hautrive 1 ; Bisognin, Eleni 2 Trabalho de Iniciação Científica, Probic - CNPq 1 Curso de Engenharia de Materiais do Centro Universitário Franciscano (UNIFRA), Santa Maria, RS, Brasil. 2 Curso de Mestrado Profissionalizante em Ensino de Física e de Matemática(UNIFRA), Santa Maria, RS, Brasil. jessicahelisa@hotmail.com; eleni@unifra.com; RESUMO A modelagem matemática é capaz de descrever diversos fenômenos físicos, sendo uma ferramenta essencial quando se quer solucionar e estudar um problema prático. Nesse trabalho, usou-se a metodolodia da modelagem matemática com o objetivo de desenvolver o modelo matemático das vibrações em uma corda elástica e mostrar o comportamento quando o modelo é aplicado. Esse modelo conduziu a um estudo das equações diferenciais parciais onde o conhecimento das séries de Fourier e o método da separação de variáveis são fundamentais na solução. Através de simulações no software Maple 14, foi possível a demonstração gráfica de uma aplicação do modelo matemático. Palavras-chave: Modelagem matemática; Vibração; Corda elástica; Simulação. 1. INTRODUÇÃO Os Métodos da Matemática Aplicada têm sido muito utilizados atualmente devido a sua grande aplicabilidade. Esses métodos são utilizados para construir e estudar modelos representativos de fenômenos, como os fenômenos físicos. De acordo com Bassanezi e Ferreira (1988), é freqüente, em se tratando de modelar um fenômeno ou um experimento, obter-se equações que envolvem variações de quantidades, portanto as leis que regem tais fenômenos são descritas por equações matemáticas denominadas equações diferenciais que podem ser ordinárias ou parciais. Entre esses fenômenos, encontram-se os fenômenos ondulatórios. Segundo Articolo (1998), esses fenômenos físicos que são descritos por equações diferenciais parciais, descrevem vários fenômenos ondulatórios dentro da engenharia e da física, incluindo a acústica, a teoria do magnetismo, a mecânica quântica e o estudo da transmissão de perturbações longitudinais e transversais em sólidos e líquidos. Para o trabalho, escolheu-se a modelagem matemática das vibrações de uma corda elástica devido sua maior simplicidade. Entretanto, possui suma importância, pois a partir deste modelo podem-se descrever modelos de outros processos ondulatórios. O modelo matemático das vibrações de uma corda elástica é descrito pelas equações diferenciais parciais de segunda ordem da propagação das ondas e resolvida 1

2 através do método de separação de variáveis. Para Boyce (2006), o método de separação de variáveis é o método sistemático mais antigo tendo sido usado por D Alembert, Daniel Bernoulli e Euler, em torno de 1750, em suas investigações sobre ondas e vibrações. Esse método consiste na substituição da equação diferencial parcial por um conjunto de equações diferenciais ordinárias e a solução é expressa, nesse caso, como uma soma de uma série infinita de senos e cossenos, denominada Série de Fourier, a qual é constituída pelas soluções das equações diferenciais ordinárias. Trata-se de uma investigação das vibrações mecânicas, onde uma corda é submetida a oscilações e o modelo descreve a movimentação dessa corda. Esse modelo é simples, e a partir dele podem-se modelar os demais fenômenos conhecendo-se certas condições, as condições de contorno. De acordo com Oliveira etygel (2001) estas condições indicam o comportamento na fronteira do domínio da solução dessa equação. Este trabalho teve como objetivo descrever e estudar o modelo matmático das vibrações de uma corda elástica através da modelagem matemática, e também fazer a demonstração gráfica quando aplicado o modelo. 2. A CONSTRUÇÃO DO MODELO MATEMÁTICO A equação da onda descreve fenômenos que envolvem a propagação de ondas em meio contínuo, como por exemplo: estudo das ondas acústicas, ondas de água, ondas eletromagnéticas e ondas sísmicas. O modelo matemático que descrevemos leva em conta as vibrações mecânicas, mais precisamente em uma corda elástica de comprimento L que vibra livremente, como é visto na figura 1. Neste caso, o efeito de amortecimento da corda e seu peso são desprezíveis. Figura 1 - Propagação da onda em uma corda elástica. A equação que descreve o movimento vibratório u de uma corda em relação a uma posição x e um tempo t é dado por: (1) 2

3 Onde a é a velocidade de propagação das ondas ao longo da corda. Então é necessário especificar as condições de contorno e condições iniciais do deslocamento da corda elásrica. Consideramos que as extremidades da corda permanecem fixas, ou seja, o deslocamento é zero. (2) Sendo que a equação diferencia parcial da onda é de segunda ordem, temos duas condições iniciais, uma em relação a posição inicial que é dada por uma função f(x) e outra em relação a velocidade inicial da corda dado por uma função g(x). (3) É necessário tambpem supor que ambas funções f(x) e g(x) são nulas nas extremidades da corda. (4) Utilizamos o Método de Separação de Variáveis a fim de transformar a equação diferencial parcial de segunda ordem em duas equações diferenciais ordinais com o intuito de chegar ao modelo matemático. Então temos: (5) Fazendo a substituições, obtemos: (6) função de t. Onde λ é uma constate de separação. Separando em duas equações chegamos a uma equação em função de x e outra em 3

4 (7) para X. Resolvendo as equações diferenciais determinamos o autovalor e uma autofunção (8) que: Substituindo o autovalor na equação para obtermos uma autofunção de T, chegamos (9) Onde k 1 e k 2 são constantes arbitrárias. Como a condição inicial implica que T (t)=0, então autofunção para T. k 2 =0. Obtemos assim a (10) Para cada n temos uma solução para o movimento da corda. Então superpondo as soluções, chegamos ao modelo matemático que descreve o movimento da corda elástica, onde a solução é dado pelas séries de Fourier. (11) E o coeficiente C n é dado pela série de Fourier em senos: (12) 3. METODOLOGIA O modelo matemático das vibrações de uma corda elástica foi obtido seguindo as descrições de Boyce (2006), usando o método da separação de variáveis e as séries de 4

5 Fourier como solução final para o modelo. Para a construção do gráfico da aplicação do modelo matemático foi usado o software Maple RESULTADOS Aplicamos o modelo matemático construído para as vibrações de uma corda elástica através do software Maple 14 a fim de demonstrar graficamente o movimento vibratório da corda. Buscamos o modelo e a resolução para o movimento de ondas que se propagam transversalmente em um intervalo finito I = {x 0 < x < 1}. Suas extremidades foram consideradas fixas e a corda vibrando em meio viscoso com pequenos amortecimentos e sem forças externas agindo. O deslocamento inicial da corda elástica foi dado pela função f(x) = x(1-x) e a velocidade inicial que a onda se propaga foi dada pela função g(x) = x(1-x). A velocidade da onda foi considerada c = ¼ e o fator de amortecimento γ = 1/5. A equação da onda é dada por: (13) Tendo o intervalo finito, podemos escrever as condições de contorno do nosso problema. (14) Conhecemos também as condições iniciais que são dadas por f(x) que relaciona a posição inicial e g(x) que representa a velocidade inicial. (15) Então, resolvemos a solução do nosso problema através do método de separação de variáveis e posteriores resoluções das equações diferenciais, seguindo as etapas da construção do modelo matemático para as oscilações da corda elástica. Obtemos o nosso modelo matemático para o movimento da corda elástica, sendo dada a solução pelas séries de Fourier. 5

6 Simulando no software Maple 14 o exemplo, temos o gráfico do comportamento do movimento da corda elástica. (16) Figura 2- Gráfico do movimento da corda elástica. A figura 2 mostra o gráfico da aplicação do modelo matemático para as virbrações de uma corda elástica onde é possível ver o comportamento das oscilações da corda para diferentes valores de tempo. Notamos que a vibração da onda chega ao seu ápice quando x=0,5. 5. CONCLUSÃO Utilizamos a Modelagem Matemática para estudar as vibrações de uma corda elástica que é representada pela equação da onda que é dada pelas equações diferenciais parciais de segunda ordem. Esse modelo pode ser descrito graças ao estudo do Método de Separação de Variáveis que é indispensável para a obtenção do modelo e também as Séries de Fourier que dão a solução para o mesmo. Foi simulada uma aplicação com o intuito de demonstrar e verificar as vibrações da corda elástica com o passar do tempo. A análise dos resultados e a validação deram-se de modo teórico de acordo com os resultados que constam na literatura e através da simulação no Maple 14 pode-se visualizar melhor o fenômeno físico ondulatório. 6. REFERÊNCIAS 6

7 ARTICOLO, G.A. Partial Differential Equations & Boundary Value Problems with Maple V. San Diego: Academic Press, BASSANEZI,R.C; FERREIRA Jr.W.C. Equações Diferenciais com Aplicações.São Paulo: Ed.Harbra, BOYCE, W.E.; DIPRIMA, R.C. Equações Diferenciais Elementares e Problemas de valores de Concorto. 8ª Ed. Rio de Janeiro: LTC, OLIVEIRA,E.C.;TYGEL,M. Métodos Matemáticos para Engenharia.Textos em Matemática Aplicada e Computação Científica, SBMAC,

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