Pesquisa Operacional. Prof. José Luiz
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- Ester Frade Canela
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1 Pesquisa Operacional Prof. José Luiz
2 Resolver um problema de Programação Linear significa basicamente resolver sistemas de equações lineares; Esse procedimento, apesar de correto, é bastante trabalhoso, podendo ficar impraticável; Para resolver um problema real de Programação Linear precisamos de uma sistemática que nos diga: Qual o sistema de equações que deve ser resolvido; Que o próximo sistema a ser resolvido fornecerá uma solução melhor que os anteriores; Como identificar a solução ótima, uma vez que a tenhamos encontrado; Essa sistemática é dada pelo Método Simplex
3 Método Simplex Procedimentos: Passo 1: Introduzir as variáveis de folga, uma para cada desigualdade. Passo 2: Montar um quadro para os cálculos, colocando os coeficientes de todas as variáveis com os respectivos sinais e, na última linha, incluir os coeficientes da função-objetivo transformada. Passo 3: Estabelecer uma solução básica inicial, usualmente atribuindo zero às variáveis originais e achando valores positivos para as variáveis de folga. Passo 4: Como próxima variável a entrar na base, escolher a variável não-básica que fornece, na última linha, a maior contribuição para o aumento da função objetivo (ou seja, tem o maior valor negativo). Se todas as variáveis que estão fora da base tiverem coeficientes nulos ou positivos nessa linha, a solução atual é ótima. Se alguma dessas variáveis tiver valor nulo, temos outra solução ótima, com o mesmo valor da função-objetivo.
4 Passo 5: Passo 6: Para escolher a variável que deve deixar a base, deve-se realizar o seguinte procedimento: a) Dividir os elementos da última coluna pelos correspondentes elementos positivos da coluna da variável que vai entrar na base. Se não houver elemento nenhum positivo nessa coluna, o processo deve parar, já que a solução é ilimitada. b)o menor coeficiente indica a equação cuja respectiva variável básica deverá ser anulada, tornando-se variável não-básica. Usando operações com as linhas da matriz, transformar a coluna da nova variável básica num vetor identidade, onde o elemento 1 aparece na linha correspondente à variável que está sendo anulada. Passo 7: Retornar ao PASSO 4 para iniciar nova iteração.
5 Exemplo Prático MAX Z = 3X1 + 5X2; Sujeito a (S.A.) 2x1 + 4x2 10 6x1 + x2 20 x1 x2 30 x1 0; x2 0 1º Passo: Igualar a Função Objetivo à Zero Z 3x1 5x2 = 0 2º Passo: Inserir as variáveis de folga 1) 2x1 + 4x2 + xf1 = 10 2) 6x1 + x2 + xf2 = 20 3) X1 x2 + xf3 = 30
6 Exemplo Prático 3º Passo: Construir a tabela com o objetivo de Maximizar Z Entra Z X1 X2 XF1 XF2 XF3 b Objetivo: Desaparecer os nºs negativos em Z 4º Passo: Identificar a variável que entra. O método é procurar o número negativo de maior valor absoluto na equação da função objetivo. Observamos (-5) em X2. 5º Passo: Identificar a linha que sai (LINHA PIVÔ). O Método é dividir os valores base pelos números da coluna que entra (Coluna X2). 10 / 4 = 2,5 20 / 1 = / -1 = -30 Sai Escolher a linha em que o resultado foi o menor positivo. Observamos que o menor positivo é 2,5, e a linha é a segunda.
7 6º Passo: Identificar o elemento PIVÔ. Este elemento está localizado no cruzamento da coluna que entra com a linha que sai. Neste caso, o número é 4 7º Passo: Calcular a nova linha PIVÔ. O cálculo é feito dividindo cada elemento da linha PIVÔ pelo número encontrado no cruzamento, ou seja, : 4 0 0,5 1 0, ,5 NLP 8º Passo: Calcular as novas linhas. O método é multiplicar a NLP pelo número oposto do nº na função objetivo existente na coluna que entra. Observemos que o nº é (-5), então o oposto é (+5). O resultado da multiplicação é então somado a 1ª linha da tabela e então é calculada a nova 1ª Linha.
8 8º Passo: Calcular as novas linhas. O método é multiplicar a NLP pelo número oposto do nº na função objetivo existente na coluna que entra. Observemos que o nº é (-5), então o oposto é (+5). O resultado da multiplicação é então somado a 1ª linha da tabela e então é calculada a nova 1ª Linha. NOVA 1ª LINHA 0 0,5 1 0, ,5 X (5) 0 2,5 5 1, , ,5 0 1, ,5 NLP Resultado Mult. 1ª Linha da Tab. Nova 1ª Linha. A segunda linha da nova tabela é a própria linha PIVÔ, implica que a próxima linha a ser calculada será a nova 3ª Linha.
9 NOVA 3ª LINHA Seguindo o mesmo padrão de cálculo da 1ª linha, a 3ª linha é encontrada multiplicando a Nova Linha Pivô (NLP) pelo oposto existente na 3ª Linha, na coluna que entra. O nº é 1 e o oposto é -1. O resultado é somado com a antiga 3ª linha. Após esta soma, encontra-se a nova 3ª Linha. 0 0,5 1 0, ,5 X (-1) 0-0,5-1 -0, , ,5 0-0, ,5 NLP Resultado Mult. 3ª Linha da Tab. Nova 3ª Linha.
10 NOVA 4ª LINHA Seguindo o mesmo padrão de cálculo da 3ª linha, a 4ª linha é encontrada multiplicando a Nova Linha Pivô (NLP) pelo oposto existente na 4ª Linha, na coluna que entra. O nº é -1 e o oposto é +1. O resultado é somado com a antiga 4ª linha. Após esta soma, encontra-se a nova 4ª Linha. 0 0,5 1 0, ,5 X (+1) 0 0,5 1 0, , ,5 0 0, ,5 NLP Resultado Mult. 4ª Linha da Tab. Nova 4ª Linha.
11 9º Passo: Reescrever a tabela com as novas linhas calculadas. Z X1 X2 XF1 XF2 XF3 b 1-0,5 0 1, ,5 1ª Linha 0 0,5 1 0, ,5 2ª Linha 0 5,5 0-0, ,5 3ª Linha 0 1,5 0 0, ,5 4ª Linha 10º Passo: Apresentar a solução: Matriz Solução Z X1 X2 XF1 XF2 XF3 b 1-0,5 0 1, ,5 0 0,5 1 0, ,5 0 5,5 0-0, ,5 0 1,5 0 0, ,5 VARIÁVEIS BÁSICAS X2 = 2,5 XF2 = 17,5 XF3 = 32,5 VARIÁVEIS NÃO BÁSICAS X1 = 0 XF1 = 0 VALOR DE Z Z = 12,5 A SOLUÇÃO NÃO É ÓTIMA PORQUE AINDA APARECE Nº NEGATIVO NA FUNÇÃO OBJETIVO (X1 = -0,5), NESTE CASO, TEMOS QUE RECALCULAR.
12 NOVA ETAPA RECÁLCULO DA TABELA Entra Z X1 X2 XF1 XF2 XF3 b 1-0,5 0 1, ,5 0 0,5 1 0, ,5 0 5,5 0-0, ,5 Sai 0 1,5 0 0, ,5 Objetivo: Desaparecer os nºs negativos em Z 11º Passo: Identificar a variável que entra. O método é procurar o número negativo de maior valor absoluto na equação da função objetivo. Observamos (-0,5) em X1. 12º Passo: Identificar a linha que sai (LINHA PIVÔ). O Método é dividir os valores base pelo número da coluna que entra (Coluna X1). 2,5 / 0,5 = 5 17,5 / 5,5 = 3,18 32,5 / 1,5 = 21,67 Escolher a linha em que o resultado foi o menor positivo. Observamos que o menor positivo é 3,18 e a linha é a terceira.
13 13º Passo: Identificar o elemento PIVÔ. Este elemento está localizado no cruzamento da coluna que entra com a linha que sai. Neste caso, o número é 5,5 14º Passo: Calcular a nova linha PIVÔ. O cálculo é feito dividindo cada elemento da linha PIVÔ pelo número encontrado no cruzamento, ou seja, 5,5. 0 5,5 0-0, ,5 Sai 5,5 0,000 1,000 0,000-0,045 0,182 0,000 3,182 NLP 15º Passo: Calcular as novas linhas. O método é multiplicar a linha PIVÔ pelo número oposto do nº na função objetivo existente na coluna que entra. Observemos que o nº é (-0,5), então o oposto é (+0,5). O resultado da multiplicação é então somado a 1ª linha da tabela e então é calculada a nova 1ª Linha.
14 16º Passo: Calcular as novas linhas. NOVA 1ª LINHA O método é multiplicar a NLP pelo número oposto do nº na função objetivo existente na coluna que entra. Observemos que o nº é (-0,5), então o oposto é (+0,5). O resultado da multiplicação é então somado à 1ª linha da tabela e então é calculada a nova 1ª Linha. 5,5 0,000 1,000 0,000-0,045 0,182 0,000 3,182 NLP 0,5 0 0,5 0-0,023 0, ,5909 Resultado Mult ,5 0 1, ,5 Soma com a 1ª Linha ,2273 0, ,091 Nova 1ª Linha A próxima linha a ser calculada será a nova 2ª Linha.
15 17º Passo: Calcular as novas linhas. NOVA 2ª LINHA O método é multiplicar a NLP pelo número oposto do nº na função objetivo existente na coluna que entra. Observemos que o nº é (+0,5), então o oposto é (-0,5). O resultado da multiplicação é então somado à 2ª linha da tabela e então é calculada a nova 2ª Linha. 5,5 0,000 1,000 0,000-0,045 0,182 0,000 3,182 NLP -0,5 0-0,5 0 0,0227-0, ,591 Resultado Mult ,5 1 0, ,5 Soma com a 2ª Linha ,2727-0, ,9091 Nova 2ª Linha A próxima linha a ser calculada será a nova 4ª Linha. É a quarta porque a terceira e a NOVA LINHA PIVÔ e ela não é recalculada.
16 18º Passo: Calcular as novas linhas. NOVA 4ª LINHA O método é multiplicar a NLP pelo número oposto do nº na função objetivo existente na coluna que entra. Observemos que o nº é (+1,5), então o oposto é (-1,5). O resultado da multiplicação é então somado à 4ª linha da tabela e então é calculada a nova 4ª Linha. :5,5 0,000 1,000 0,000-0,045 0,182 0,000 3,182 NLP -1,5 0-1,5 0 0,0682-0, ,773 Resultado Mult ,5 0 0, ,5 Soma com a 4ª Linha ,318-0, ,73 Nova 4ª Linha Após calculada a última linha da tabela, reescrevemos a nova tabela e observamos se ainda tem algum número negativo na linha da função objetivo. Se não tiver, identificamos a solução ótima para o problema de programação linear.
17 19º Passo: Rescrever a nova tabela Z X1 X2 XF1 XF2 XF3 b ,2273 0, ,091 Nova 1ª Linha ,2727-0, ,9091 Nova 2ª Linha 0 1,0 0-0,045 0, ,182 NLP ,318-0, ,73 Nova 4ª Linha 20º Passo: Apresentar a solução: Matriz Solução VARIÁVEIS DE SOLUÇÃO Z X1 X2 XF1 XF2 XF3 b ,2273 0, ,091 Nova 1ª Linha 0 0 1,0 0,2727-0, ,9091 Nova 2ª Linha 0 1,0 0-0,045 0, ,182 NLP ,318-0,273 1,0 27,73 Nova 4ª Linha VARIÁVEIS BÁSICAS X1 = 3,18 X2 = 0,91 XF3 = 27,73 VARIÁVEIS NÃO BÁSICAS XF1 = 0 XF2 = 0 VALOR DE Z Z = 14,09 A solução é ótima, pois não temos mais valores negativos em Z
18 Exercícios: 1) Max L = 2x1 + 3x2 + 4x3 S.a. x1 + x2 + x x1 + x2 210 x1 80 x1 0; x2 0; x3 0 2) Max L = 2x1 + 3x2 -x1 + 2x2 4 x1 + 2x2 6 x1 + 3x2 9 x1 0; x2 0 x1 0; x2 0; 3)
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