Método do Big M. Análise de Sensibilidade

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1 A 5 =A 4 +C 5 B 5 =B 3 +C 5 C 5 =C 4 /2 E 5 =E 4 +C 5 Método do Big M G i 2/- 4/- 4/2=2 max = 2 Nuno Moreira - 22/23 x 2 R 3 5 G=2 R 2 R 5 x 3 Análise de Sensibilidade Nuno Moreira - 22/23 A análise de sensibilidade permite: Estudar a robustez da solução óptima obtida Estimar a validade da solução quando os dados foram obtidos por estimativa ou existe incerteza quanto ao seu valor exacto Actualizar solução após correcção dos dados Estudar a viabilidade económica de aumento dos recursos disponíveis

2 Análise de Sensibilidade Nuno Moreira - 22/23 Permite estudar a alteração sofrida pela solução óptima: ao alterar os coeficientes c j da função objectivo (lucro obtido por cada unidade produzida) ao alterar os termos independentes das restrições b i (limitação aos recursos disponíveis - número de horas semanais de processamento de cada máquina) ao introduzir novas restrições (ex: incluir restrições não previstas no modelo inicial) ao introduzir novas variáveis (ex: lançamento de um novo produto) ao alterar os coeficientes técnicos a ij (tempo de processamento que cada produto necessita em cada máquina - rendimento) 33 Análise de Sensibilidade aos coeficientes da FO Nuno Moreira - 22/23 x 2 R R 5 Solução óptima definida pelas restrições activas (R e R2). Função objectivo: Max L=2 +3 apresenta um declive m F =-2/3 A solução é óptima se o declive da FO estiver limitado pelos declives das restrições activas: m =-.25/.5=-/2 ; m 2 =-.4/.2=-2. Análise de sensibilidade ao lucro unitário do produto P2 L=2 +C 2 m F =-2/C 2 m 2 m F m -2 m F -/2 => -2-2/C 2 -/2 => C 2 4 L=28 R 3 Ao alterar os coeficientes da função objectivo, o domínio de soluções possíveis não é alterado mas a solução obtida pode deixar de ser óptima x 34 7

3 Análise de Sensibilidade aos coeficientes da FO Uma alteração c i no coeficiente da variável X i propaga-se pelas diferentes iterações do simplex. Análise de sensibilidade ao lucro unitário do produto P2 Max L = 2 + c 2 = 2 + (3+ c 2 ) c 2 = 3+ c 2 Nuno Moreira - 22/ = = = 4 ; ; ; ; A B C.8 4 D 2 3+ c 2 35 Análise de Sensibilidade aos coeficientes da FO i Nuno Moreira - 22/23 A /.5=8 B /.2=2 C.8 4 4/.8= 5 D 2 3+ c 2 max = 5 A 5/.25=6 2 =A -.5C B =B -.2C /.4= i C 2 =C / /= D 2 =D -3C c max =

4 Análise de Sensibilidade aos coeficientes da FO i A 3 =A 2 / /-2.5 Nuno Moreira - 22/23 B 3 =B 2 -.4A /.75=8 C =C /.25=4 D =D -2A c max = 8 A 4 =A B B 4 =B 3 / C =C -.25B D =D -.25B c Quadro com a solução óptima (sem alteração do coeficiente c 2 ; c 2 =3 e c 2 =) 37 Análise de Sensibilidade aos coeficientes da FO A solução continuará a ser óptima se ao maximizar/minimizar a função objectivo as suas derivadas em função das variáveis não básicas se mantiverem negativas/positivas ou nulas Nuno Moreira - 22/23 A B C D 4 D 4 =D 4 - c 2 C 4 + c c c c 2 c 2-2 => => -2 c c 2 c 2 c c

5 Análise de Sensibilidade aos coeficientes da FO Nuno Moreira - 22/23 x 2 R R 5 Solução óptima definida pelas restrições activas (R e R2). Função objectivo: Max L=2 +3 apresenta um declive m F =-2/3 A solução é óptima se o declive da FO estiver limitado pelos declives das restrições activas: m =-.25/.5=-/2 ; m 2 =-.4/.2=-2. Análise de sensibilidade conjunta ao lucro unitário de ambos os produtos (P e P2) L=C +C 2 m F =-C /C 2 m 2 m F m e C2> -2 m F -/2 => -2 -C /C 2 -/2 => /2C 2 C 2C 2 L=28 R 3 Ao alterar os coeficientes da função objectivo, o domínio de soluções possíveis não é alterado mas a solução obtida pode deixar de ser óptima x 39 Análise de Sensibilidade aos coeficientes da FO Análise de sensibilidade conjunta ao lucro unitário de ambos os produtos (P e P2) L=c +c 2 => c = 2+ c c 2 = 3+ c 2 Nuno Moreira - 22/23 A B C D 4 D 4 =D 4 - c A 4 - c 2 C 4 + c 2 + c c c c +.67 c c +.67 c 2 c c c c 2 c 4+2 c 2 => => c 2 c 4+2 c 2.5c 2 c 2c c -4 c 2 4 2

6 Análise de Sensibilidade Novas Restrições Ao introduzir uma nova restrição, a optimabilidade da solução não é alterada, mas a solução pode deixar de ser possível. Nuno Moreira - 22/23 Procedimentos: Verificar se a solução óptima verifica a nova restrição Sim: a solução óptima mantém-se Não: a solução passou a ser uma solução impossível Voltar a resolver o problema com a nova restrição Utilizar o SIMPLEX Dual 4 Análise de Sensibilidade Novas Restrições Nuno Moreira - 22/23 x 2 R R 5 Após os produtos passarem pelas máquinas M, M2 e M3, estes devem ser inspeccionados por um operário que tem uma capacidade de inspeccionar produtos por semana. Max L = = = = 4 ; ; ; ; L=28 R 3 Solução Óptima (L=28) =8 =4 = = =8 Nova Restrição + + =8+4=2 A solução é impossível. É necessário resolver o problema desde o princípio x 42 2

7 Análise de Sensibilidade Nova Variável Nuno Moreira - 22/23 Ao introduzir uma nova variável e definindo-a como não básica (=), a solução continua a ser possível mas pode deixar de ser óptima. Procedimentos: Definir a função objectivo em função das variáveis não básicas e verificar a condição de óptimo: Sim: a solução mantém-se com a nova variável nula Não: a nova variável deve entrar para a base voltar a resolver o problema com a nova restrição construir o último quadro do simplex e aplicar o algoritmo 43 Análise de Sensibilidade Nova Variável Vai ser lançado um novo produto P3 com um lucro unitário de 5 unidades monetárias. Para o seu processamento é necessário.5 horas na máquina 2 e.9 horas na máquina 3. Nuno Moreira - 22/23 Max L = X = X 3 + = X 3 + = 4 ; ; ; ; X Solução Óptima? (L=28) =8 =4 X 3 = = = =8 = X = X = X L = X A solução não é óptima porque L/ X 3 > e o objectivo é maximizar L 44 22

8 Análise de Sensibilidade Termos Independentes Nuno Moreira - 22/23 Ao alterar o termo independente de uma restrição, a optimabilidade da solução não é alterada, mas a solução pode deixar de ser possível. ) Se a alteração ocorrer numa restrição não activa (c/ variável de folga > ), a solução óptima mantém-se inalterada: Sempre que a alteração seja no sentido de aumentar a folga da restrição. A alteração não esgote a folga dessa restrição. Caso contrário a solução deixa de ser possível. 2) Se a alteração ocorrer numa restrição activa, o valor da solução (e das variáveis básicas) é sempre alterado. No entanto, a base mantém-se desde que a alteração não torne activa outra restrição anteriormente não activa. 45 Análise de Sensibilidade Termos Independentes Nuno Moreira - 22/23 Procedimentos: ) em restrições não activas Verificar se com a alteração do termo independente (b i ) a restrição é satisfeita 2) em restrições activas Recalcular a solução (com a mesma base e restrições activas) e verificar se os novos valores satisfazem as outras restrições Verifica as restrições? Sim: a solução óptima mantém-se Não: a solução passou a ser uma solução impossível Voltar a resolver o problema com a nova restrição Utilizar o SIMPLEX Dual 46 23

9 Análise de Sensibilidade Termos Independentes x 2 R 2 2 Alteração ao termo independente b 2 da restrição activa R 2 5 Limite à alteração de b 2 mantendo a mesma solução básica óptima (conjunto de variávei básicas) Nuno Moreira - 22/23 R 5 Novos valores das variáveis básicas em função da variação do termo independente b 2 R 3 L= x 47 Análise de Sensibilidade Termos Independentes Nuno Moreira - 22/23 O número de horas de trabalho da máquina M pode variar devido a avarias ou ao recurso a horas extraordinárias. Qual o efeito dessa variação na solução do problema? Max L = = b = = 4 ; ; ; ; Solução Óptima Possível? Base = {,, } = = b b 25 b b = b = = 4 = b = b = b L = b A solução é possível se as variáveis básicas forem 48 24

10 Análise de Sensibilidade Termos Independentes O número de horas de trabalho da máquina M pode variar devido a avarias ou ao recurso a horas extraordinárias. Qual o efeito dessa variação na solução do problema? Max L = b =4+ b Nuno Moreira - 22/ = 4 + b = = 4 ; ; ; ; b b b b A solução é óptima se as variáveis básicas forem Em qualquer quadro do simplex o coeficiente de b é idêntico ao coeficiente da variável no mesmo quadro (ou ao seu simétrico). b 6 b -5 b b b L = 5.33 b 49 Análise de Sensibilidade Preços Sombra Nuno Moreira - 22/23 O preço sombra do recurso i (representado pela restrição i) é uma medida do valor marginal deste recurso, ou seja, a taxa a que a função objectivo cresce se esse recurso sofrer um aumento unitário (desde que a base da solução óptima não se altere) O preço sombra do recurso i é medido pelo simétrico do coeficiente da variável de folga do recurso (F i ) na função objectivo quando definida em função das variáveis não básicas. Preço sombra nulo significa que o recurso correspondente não está saturado, ou seja, que a restrição tem folga (restrição não activa) 5 25

11 Análise de Sensibilidade Preços Sombra É possível realizar horas extraordinárias com uma das máquinas. Em qual das máquinas as horas extraordinárias são mais rentáveis? Nuno Moreira - 22/23 Max L = = = = 4 ; ; ; ; Uma hora extraordinária na máquina {M,M 2,M 3 } provocará um aumento na função objectivo de {5.33,.67, } se a base da solução óptima se mantiver. Resposta: as horas extraordinárias deverão ser efectuadas na máquina M porque é a que apresenta um valor marginal mais elevado -28 Simétrico dos preços sombra 5 Análise de Sensibilidade Preços Sombra Em qual das máquinas a utilização de horas extraordinárias conduz a um maior incremento do lucro (mantendo a mesma base)? (cada hora extraordinária tem um custo de.5) Resposta: apesar do preço sombra ser inferior em M 2 é Max L = X possível um aumento maior da FO (para a mesma base) 2 se utilizarmos as horas extraordinárias em M 2 Nuno Moreira - 22/ = = = 4 ; ; ; ; b 6 b -5 b 3.75=> b max =3.75 L max ( b ) =5.33 b -.5 b =2-.875=8.25 b 2-24 b 2 24 b 2-6=> b max 2 =24 L max ( b 2 ) =.67 b b 2 =4-2=28 b 3-8 => b 3 max L max ( b 3 ) =-.5 b 3 ( b 3 ) ( b ) ( b 2 ) b b b b b b 2 8+ b b b