Análise de Sensibilidade

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1 Análise de Sensiilidade Prof. Fernando Augusto Silva Marins Departamento de Produção Faculdade de Engenharia Campus de Guaratinguetá UNESP

2 Introdução Dados de entrada para o Método Simplex: C, A,. Na prática não são conhecidos com asoluta certeza. Exemplos: demandas futuras, custo de matéria-prima,... Variação nos dados de entrada afeta a solução ótima. É importante saer como isto ocorre: técnicas de Análise de Sensiilidade ou Análise de Pós-otimalidade. 2

3 Justificativas para usar Análise de Sensiilidade. Quando há dados controláveis (capital, capacidade de produção) a análise de sensiilidade permite estudar quais alterações nestes dados são convenientes. Exemplo: compensa usar horas-extras na produção de um dado em? 2. Quando há dados otidos por métodos estatísticos (previsão de vendas) a analise de sensiilidade permite detectar quais dados são mais relevantes e devem ser otidos com maior acuracidade.

4 Contextualização Os seguintes efeitos de alterações nos dados serão estudados:. Mudança nos valores de coeficientes de custos (vetor C); (a) para variáveis ásicas na solução ótima do modelo. () para variáveis não-ásicas na solução ótima do modelo. 2. Mudança nos valores das constantes nas restrições (vetor ). Mudanças nas restrições (matriz A): (a) acréscimo de uma nova variável. () alterações nas colunas da matriz de coeficientes das variáveis nas restrições. ( c) acréscimo de novas restrições. 4

5 Prolema de Planejamento da Produção A apresentação da técnica de Análise de Sensiilidade será feita através do exemplo aaixo: Uma empresa deseja planejar a produção de seus três produtos: a,, c. os lucros unitários associados a venda de cada produto são, respectivamente, US$ 2, US$ e US$. Utiliza-se dois tipos de Insumos (Recursos) para a produção: traalho (há unidade) e matéria-prima (há unidades). Saendo-se quanto cada Produto utiliza de cada Recurso, o Departamento de Pesquisa Operacional da empresa formulou o modelo aaixo visando a produção ótima dos produtos a,, c: Sejam X, X 2 e X as quantidades a produzir de cada produto, a,, c, respectivamente, /X +/X 2 +/X (Traalho) Max Z = 2X + X 2 + X s. a : /X + 4/X 2 + 7/X (Matéria - prima) Xi 0, i =, 5

6 Colocando as Variáveis de Folga Após a aplicação do método simplex oteve-se a solução ótima: Solução ótima: lucro total ótimo = US$ 8, produzir unidade produto a, 2 unidades produto, não produzir o produto c. 6

7 Análise de Sensiilidade Oter informações acerca de esquemas alternativos de produção Muitas vezes estas informações são mais interessantes que a própria solução ótima.

8 . Mudança nos valores de coeficientes de custos (vetor C) (a) Para variáveis ásicas na solução ótima do modelo Por exemplo pode interessar saer para quais valores de c (Lucro Unitário do Produto a) a solução da Taela 2 permanece ótima. A intuição indica que: Se c deve diminuir a produção do produto a. Se c deve aumentar a produção do produto a. Conclusão: Deste modo, deve haver um intervalo onde c varia de tal forma que a solução da Taela 2 não se altera (isto é, C,C, 0 ) 4 C 5 8

9 . Mudança nos valores de coeficientes de custos (vetor C) Cálculo de C, C, C como função de C : 4 5 C N = C - N = C N 4 - / 0-7 / 0 C = C - 5 C 4 = - 4C + C 5 = C - Para a Taela 2 permanecer ótima deve-se manter:, C 0, C 0, C 0 C 5 C / 4, C C / 4, 4 5 9

10 . Mudança nos valores de coeficientes de custos (vetor C) () para variáveis não-ásicas na solução ótima do modelo. Pode interessar saer para quais valores de C a solução da Taela 2 permanece ótima: Cálculo de C, C 4, C5 como função de C : Se C nada se altera Se C a partir de algum valor deve se tornar vantajosa a produção do produto c.

11 . Mudança nos valores de coeficientes de custos (vetor C) Deste modo, devem haver valores para C de forma que a solução da Taela 2 se altera. Cálculo de como função de C : C N = 4 - / 0 C C C = C = (C - 4) C N 5-7/ 0 ou seja, C = C - 4 Taela 2 é ótima C 0 C 4 Assim, para C 4 não produzir o produto c

12 2. Mudança nos valores das constantes nas restrições (vetor ) Supor que há disponível unidade extra do recurso traalho. Como isto pode alterar o planejamento da produção otido na Taela 2? Há alteração na Taela : = novo = 2 da Taela 2 se altera Como C permaneceu o mesmo se novo 0 Taela 2 se mantém ótima Cálculo do novo : novo = - B novo = = 5 0 X * = 5, * 2 X =, * X = 0, Z novo = (por sustituiç ão) 2

13 2. Mudança nos valores das constantes nas restrições (vetor ) Verificação se é conveniente ou não a utilização desta unidade extra do recurso traalho: Seja $ 4 o custo desta unidade extra. * Z novo - Z * =-8 = 5 > 4 Valea pena usar unidadeextra

14 2. Mudança nos valores das constantes nas restrições (vetor ) Resolvendo o Dual do prolema do planejamento da produção em questão tem-se: = 5 * 2 * * B - Y * = Y Y = = C B = Interpretação das variáveis duais como preços somra que o gerente da empresa estaria disposto a pagar por unidades adicionais dos recursos utilizados. Assim só é interessante unidades adicionais: Recurso traalho se o custo no mercado for menor que $5, Recurso matéria-prima se o custo no mercado for menor que $. 4

15 Determinação dos intervalos para os valores de e 2 de modo que a solução da Taela 2 permaneça ótima, isto é continuar a produzir os produtos a e. Determinação do intervalo para : Na Taela fazer : = 2. Mudança nos valores das constantes nas restrições (vetor ) = B - = = Como C permaneceu constante asta que 0 para que a Taela 2 continue ótima : /4, 5

16 2. Mudança nos valores das constantes nas restrições (vetor ) Assim, para /4 X, X 2 Permanecem como Variáveis Básicas com X * = 4 -, X * 2 = - +, Z * = 5 + (por sustituição) Oservação: Seja = 4 /4, = = - X X 2 = = - Esta solução não é primal viável, mas é dual viável aplicar o Método Simplex Dual para achar a nova solução ótima.

17 2. Mudança nos valores das constantes nas restrições (vetor ) Aplicando o Método Simplex Dual para achar a nova solução ótima 7

18 . Mudanças nas Restrições (Matriz A) (a) Inclusão de uma nova variável Supor que a empresa em estudo deseja analisar a conveniência de produzir ou não um novo produto d, que necessita de unidade do recurso traalho e unidade do recurso matéria-prima. Sae-se que o produto d tem mercado suficiente e o lucro advindo da sua venda é US$ por unidade. Onde X 6 : quantidade a produzir do produto d C 6 : lucro por unidade vendida do produto d A Taela 2 (modificada com a inclusão da nova coluna) permanecerá ótima, isto é, continuaremos a produzir somente os produtos a e 0. C 6 8

19 . Mudanças nas Restrições (Matriz A) C 6 Cálculo de : C N = C C C C = C - N = N 4 / 7/ 0 0 C 6 = - 0Continuar a produzir apenas produtos a e. Oservação: Se C6 > 0 Aplicar Simplex Revisado com a 6 = B a 6-9

20 . Mudanças nas Restrições (Matriz A) () Alterações nas colunas da matriz A = variação nas quantidades de recursos exigidos na produção dos produtos a, e c. Há dois sucasos: Se a modificação ocorrer em coluna correspondente à variável não ásica na solução da Taela 2 (ótima) usar a seqüência do caso (a) Se a modificação ocorrer em coluna correspondente à variável ásica na solução da Taela 2 (ótima) Taela 2 se modifica totalmente. Recomenda-se a aplicação do Método Simplex na nova Taela (modificada com relação a nova coluna) para resolver este novo prolema.

21 . Mudanças nas Restrições (Matriz A) ( c) acréscimo de novas restrições ao prolema. Basta verificar se a solução ótima da Taela 2 satisfaz a nova restrição: Caso a nova restrição seja satisfeita a solução da Taela 2 permanece ótima. Caso contrário determinar a nova solução para o prolema expandido (acrescido da nova restrição) 2

22 . Mudanças nas Restrições (Matriz A) Exemplo: supor que uma nova restrição foi inserida no Prolema de Planejamento da Produção em estudo. Esta restrição diz respeito a gastos com serviços administrativos, sendo que os produtos a, e c requerem, respectivamente,, 2 e horas de serviços deste tipo, e se tem o total de 0 horas disponíveis para tal serviço: X + 2X 2 + X 0 Como na Taela 2 tem-se X =, X 2 = 2 e X = 0 que satisfazem a restrição acima esta solução permanece ótima para o prolema expandido.

23 . Mudanças nas Restrições (Matriz A) Exemplo: supor que o total de horas disponíveis para serviços administrativos foi reduzido de 0 para 4 horas a solução da Taela 2 não satisfaz esta nova restrição. Otenção da solução para o prolema expandido: Taela 2 (modificada com relação a nova restrição) 2

24 . Mudanças nas Restrições (Matriz A) Nova solução ótima: X * = 2, X 2* = e X * = 0 24