Mecânica para Licenciatura em Matemática

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1 Mecânica para Licenciatura e Mateática Quinta lista de exercícios Trabalho de força constante 1. a) Calcule o trabalho realizado pela força que u levantador de pesos faz ao erguer, co velocidade praticaente nula, ua assa de 1 kg a 2, de altura. b) Copare o resultado da parte a) co o trabalho realizado pela coponente vertical da força realizada por ua pessoa subindo, a velocidade constante, quatro lances de escada (12 de altura). 2. (RHK11.P.2) Ua corda é usada para baixar u bloco de assa M verticalente por ua distância d, co ua aceleração de g/4, constante e para baixo. a) Encontre o trabalho realizado pela corda no bloco. b) Encontre o trabalho realizado pela força da gravidade. 3. (RHK11.E.1) Para epurrar u engradado de 52 kg sobre u assoalho, u trabalhador aplica ua força de 19 N, inclinada e 22 o para baixo da horizontal. Quando o engradado percorrer 3,3, quanto trabalho terá sido realizado sobre o engradado a) pelo trabalhador, b) pela força da gravidade e c) pela força noral do assoalho sobre o engradado. 4. (RHK11.E.2) U objeto co 16 kg está inicialente se ovendo e linha reta co velocidade igual a 51,3 /s. a) Se ele for levado ao repouso por ua desaceleração de 1,97 /s 2, qual será a força necessária, qual será a distância que o objeto percorre e quanto trabalho é realizado pela força? b) Responda às esas perguntas se a desaceleração do objeto for igual a 4,82 /s (Probl. resolvido RHK) U garoto puxa u trenó de 5 kg por 1 ao longo de ua superfície horizontal co velocidade constante. Que trabalho ele realiza sobre o trenó, sendo o coeficiente de atrito cinético entre o trenó e a neve c =,2 e o ângulo forado entre a corda e a horizontal igual a 45? 6. (RHK11.E.4) U trabalhador epurrou u bloco de 26,6 kg por ua distância de 9,54 ao longo de u assoalho horizontal, co velocidade constante, aplicando-lhe ua força inclinada e 32, o para baixo da horizontal. O coeficiente de atrito cinético é,21. Qual o trabalho realizado pelo hoe? Potência 7. Ua ulher de 57 kg sobe u lance de escadas, elevando-se de 4,5 e 3,5 s. Qual é a potência édia que ela deve desenvolver? 8. Coo ainda não estaos livres dos apagões, é bo saber coo subir escadas longas. Deterine a velocidade adequada para subir ua escada co uitos degraus, considerando que u ser huano consegue desenvolver no áxio 1 W de energia ecânica co as pernas por u tepo longo. Dê a velocidade e degraus/segundo e deterine o tepo para subir ao 1 o andar, usando valores razoáveis para a assa da pessoa e as alturas de u degrau e u andar. 9. Alega-se que até 9 kg de água pode ser evaporados diariaente pelas grandes árvores. A evaporação ocorre nas folhas e, para chegar lá, a água te que ser elevada desde as raízes da árvore. a) Suponha que, e 1

2 força (N) édia, a água seja elevada a 9,2 acia do solo; quanta energia deve ser fornecida? b) Qual a potência édia envolvida, se aditiros que a evaporação ocorra durante 12 horas? 1. U guincho arrasta u bloco de granito co 138 kg a ua velocidade constante igual a 1,34 /s sobre u plano inclinado (veja figura ao lado). O coeficiente de atrito cinético entre o bloco e o plano inclinado é,41. Qual é a potência que precisa ser fornecida pelo guincho? 28,2 Trabalho de força variável 11. Co que velocidade áxia, u vagão de 25 toneladas, pode chegar ao fi da linha de odo que a ola (absorvedor de ipacto) desepenhe corretaente sua função, sabendo que a constante elástica da ola é k = 1 6 N/ e possui u copriento de 1? 25 ton 39,4 1 K=1 6 N/ 12. (RHK11.E.24) Ua ola te constante elástica igual a 15, N/c. a) Qual o trabalho necessário para alongar a ola e 7,6 a partir de sua posição de repouso? b) Qual o trabalho necessário para alongar a ola e 7,6 adicionais? x 13. A força aplicada e u objeto te ódulo igual a F Fo 1, sentido e direção constantes ao longo xo do eixo x, co F o e x o constantes positivas. Encontre o trabalho realizado ao over-se o objeto desde x = até x = 3x o (RHK11.E.22). U bloco de 5, kg se ove e linha reta sobre ua superfície horizontal se atrito sob influência de ua força que varia co a posição, coo ostra a figura ao lado. Qual é o trabalho realizado pela força quando o bloco se ove desde a orige até x = 8,? -1 posição () Teorea do Trabalho-Energia 15. Ua partícula de assa = 2 kg desloca-se ao longo de ua reta. Entre x = e x = 7, ela está sujeita a ua força F(x) representada no gráfico. a) Calcule a velocidade da partícula depois de percorrer 2, 3, 4, 6 e 7, sabendo que sua velocidade e x= é de 3 /s. b) Se no ponto x = sua velocidade fosse 2 /s, ela poderia chegar até o ponto x = 7? Justifique. F (N) x () L 16. De que altura u autoóvel de 127 kg teria que cair para ganhar a energia cinética equivalente à que ele teria ao viajar a 88,5 k/h? A resposta depende do peso do carro? 2

3 17. (RHK11.E.3) Ua única força atua e ua partícula e oviento retilíneo. U gráfico da velocidade da partícula coo função do tepo é ostrado na figura ao lado. Deterine o sinal (positivo ou negativo) do trabalho realizado pela força sobre a partícula e cada u dos intervalos AB, BC, CD e DE. 18. U corpo de assa = 2 kg se desloca ao longo de ua reta (eixo x), sob a ação de ua única força, cuja coponente x é ilustrada na figura. a) Se o corpo for lançado da orige F (N) co ua velocidade v x = 5 /s, co que velocidade atingirá o ponto x = 1 5? b) Se o corpo for abandonado e x = 2, qual será a sua velocidade após percorrer 2? E que sentido será o oviento? x () Energia cinética e colisões Ua bola perde 2 % de sua energia cinética quando é rebatida por u piso de concreto. Co que velocidade você deve jogá-la contra esse piso, verticalente para baixo, a partir de ua altura de 1 para tê-la rebatida até a esa altura? Ignore a resistência do ar. v A B C D E t 2. Ua ina explode e três fragentos, de 1 g cada u, que se desloca e u plano horizontal confore ostrado na figura ao lado. A energia cinética total liberada pela explosão é 1 kj. Encontre as velocidades iniciais dos três fragentos. 3 o 6 o 21. Durante a adrugada, u carro de luxo, co assa total igual a 24 kg, bate na traseira de u carro de assa total 12 kg, que estava parado e u sinal verelho. O otorista do carro de luxo alega que o outro estava co as luzes apagadas e que ele vinha reduzindo a archa ao aproxiar-se do sinal, estando a enos de 1 k/h quando o acidente ocorreu. A perícia constata que o carro de luxo arrastou o outro por ua distância igual a 1,5 e estia o coeficiente de atrito cinético co a estrada no local do acidente e,6. Calcule a velocidade real do carro de luxo, no oento da colisão. 22. (RHK 11.E.41) U vagão de carga de 35, toneladas choca-se co outro vagão que está parado. Eles engata e 27, % da energia cinética inicial é dissipada coo calor, so, vibração, deforação, etc. Deterine a assa do segundo vagão. 23. Ua partícula A, de assa e velocidade 3 i, colide co ua outra partícula B, e repouso, de v assa 2. A prieira partícula é desviada de u ângulo 1 (co tan( 1 ) =2) co ua velocidade cuja agnitude é 5v. Deterine: a) a agnitude da velocidade da partícula B depois da colisão; b) o ângulo 2 e que eerge a partícula B; c) o ipulso recebido pela partícula A; d) o ipulso recebido pela partícula B e e) se a colisão é elástica. 24. U núcleo de assa 2 e velocidade v colide co u núcleo estacionário de assa 1. Há variação de energia cinética na colisão e observa-se que o núcleo de assa 2 te ua velocidade v 1 cuja direção é 3

4 perpendicular à que ele tinha antes da colisão e o núcleo de assa 1 te velocidade v 2 cuja direção faz o núcleo de assa 2 antes da colisão tal que sen 3/5. a) Quais as agnitudes de v 1 e v 2? b) Que fração da energia cinética é perdida ou ganha coo resultado da interação? 25. Dois objetos A e B se choca. A assa de A é 2, kg e a de B é 3, kg. Suas velocidades antes da colisão era respectivaente 15i 3 j e 1i 5 j. Após a colisão, 6i 3 j. Todas as v ia velocidades estão e /s. a) Qual a velocidade final de B? b) Quanta energia cinética foi ganha ou perdida na colisão? v ib Energia Potencial 26. O cue do Monte Everest encontra-se a 885 acia do nível do ar. a) Qual a energia despendida por u alpinista de 9 kg, a partir do nível do ar e trabalhando contra a gravidade, para alcançar aquela altura? b) Quantas barras de chocolate de 5 g, cada ua capaz de fornecer 3 kcal, forneceria energia equivalente a esta? Sua resposta deve sugerir que o trabalho contra a gravidade é ua parte uito pequena da energia despendida eso e situações e que o esforço físico é uito grande, coo subir ua ontanha. v fa 27. Os gráficos ao lado ostra a dependência co a posição de ua força atuando e ua partícula ovendose ao longo do eixo x, no sentido positivo desde a orige até x = x 1. A força é paralela ao eixo x e é conservativa. A agnitude áxia F 1 te o eso valor e todos os gráficos. Ordene as situações abaixo de acordo co a variação da energia potencial associada à força, da enor (ou ais negativa) para a aior (ou ais positiva). Conservação da energia ecânica Energia potencial gravitacional 28. U pequeno bloco de assa escorrega ao longo de ua pista se atrito e fora de aro, coo ostra a figura ao lado. a) SE o bloco parte do repouso no ponto P, qual é a força resultante que atua no bloco e Q? b) Qual a enor altura do ponto P que perite ao bloco passar pelo ponto M se descolar da pista? F 1 5R P R M Q 29. (RHK 12-P.2). Ua bola de assa está aarrada a ua das extreidades de ua haste uito leve de copriento L. A outra extreidade da haste está apoiada nu pino, de odo que a haste pode over-se nu plano vertical. A haste é colocada horizontalente, confore a figura ao lado, e epurrada para baixo, de odo que gira e torno do pino e alcança a posição vertical co velocidade zero. Qual a velocidade inicial transitida à bola? L 3. (RHK 12-E.6, ligeiraente odificado) U hoe de 11 kg pula sobre ua rede de salvaento situada 1 abaixo e a rede estica 1,3 antes de parar e jogá-lo no ar. Qual a energia potencial da rede esticada, supondo não haver dissipação de energia por forças não-conservativas? 4

5 força(n) 31. (RHK 12-E.9) U carro de ontanha A B russa, de assa, inicia seu oviento no ponto A co velocidade v, coo ostra a C figura, ovendo-se se atrito co a pista e h h C co o ar. Suponha que ele possa ser considerado coo ua partícula e que h/2 peraneça sepre sobre o trilho. D E a) Qual será a velocidade do carro nos pontos B e C? a a b L b) Que desaceleração constante é necessária para detê-lo no ponto E se ele coeçar a ser freado no ponto D? 32. U pêndulo é forado por u corpo de assa = 1, kg pendurado no teto por u fio de copriento 1,. O corpo é deslocado da posição de equilíbrio até que o fio fique esticado na direção horizontal. Abandonando o corpo dessa posição, calcule: a) o trabalho da força que o fio aplica no corpo (tensão); b) o trabalho da força peso e c) de qual posição angular (edida e relação à vertical), o corpo deve ser abandonado de fora de atingir o ponto ais baixo da trajetória co velocidade v = 2, /s? 33. No sistea da figura, 1 = 1 kg e 2 = 2, kg. As assas da roldana e do fio são desprezíveis. Os blocos parte do repouso e passa a se ovientar, se atrito. O bloco 1 leva 2, segundos para atingir o solo. Deterinar para o bloco 1: a) aceleração; b) a velocidade co que atinge o solo; c) o trabalho realizado (por que?) para levar esse bloco de sua posição inicial até o solo. R 34. U pequeno objeto de assa é solto da borda de u recipiente heisférico de raio R, confore a figura ao lado. Desprezando atritos, calcule: a) a velocidade do objeto no fundo do recipiente; b) a força do recipiente sobre o objeto (noral), quando ele está no fundo do recipiente; c) a força do recipiente sobre o objeto (noral), quando ele está a ua altura R/2 do fundo do recipiente. Conservação da energia ecânica Energia potencial elástica 35. (RHK 12-E.1) A figura à esquerda ostra coo a força,6,4,2 da ola de u revolver de brinquedo varia e função da copressão ou distensão. A ola é copriida 5,5 c, lançando ua rolha co 3,8 g a) Qual a velocidade da rolha, que se solta quando a ola passa pela sua posição de equilíbrio? -,2 b) Suponha agora que a rolha fique agarrada à ola, que se -,4 -,6 distende 1,5 c alé da sua posição de equilíbrio antes que a rolha se separe dela. Neste caso, qual a velocidade da rolha ao desprender-se? alongaento(c) 5

6 Conservação da energia ecânica Cobinação das energias potenciais gravitacional e elástica 36. (RHK 12-E.18) U bloco de 2, kg cai de 44 c sobre ua ola de constante elástica k = 2 N/, confore figura ao lado. Deterine a 44 c copressão áxia produzida na ola. 37. U bloco de assa = 2, kg é largado de ua altura h = 7,5, sobre ua ola de constante k = 16 N/. Deterine: a) o valor áxio da copressão da ola e b) a velocidade áxia atingida pelo corpo. 7,5 Conservação da energia ecânica outras foras de energia potencial 38. (HRK 8.4) Ua partícula de assa 2, kg ove-se ao longo do eixo x nua região e que a energia potencial U(x) varia confore a figura ao lado. Quando a partícula se encontra e x = 2,, sua velocidade é -1, /s. a) Calcule a força atuante na partícula nessa posição. b) Entre que liites ocorre o oviento da partícula? c) Qual a velocidade da partícula quando estiver e x = 7,? E 2 E Ua partícula ove-se ao longo do eixo x e ua região na qual a energia potencial U(x) varia coo na figura ao lado. a) Faça u gráfico quantitativo da força F(x) que atua na partícula, coo função da distância. b) Esboce, diretaente sobre a figura, o gráfico de sua energia cinética K(x). 4. O diagraa ao lado ostra a energia potencial de ua partícula ovendo-se ao longo do eixo x. a) Identifique os pontos de equilíbrio e classifique-os (estáveis ou instáveis). b) Identifique os trechos e que a força F(x) te o sentido positivo e os trechos que a força te o sentido negativo. c)descreva qualitativaent o oviento da partícula 6 U(x) (J) x()

7 quando a energia ecânica for igual a E 1 e quando for igual a E O gráfico ao lado representa a energia potencial de U(J) ua partícula de assa = 2 kg, sob a ação de ua força conservativa F(x) e função de sua posição x. a) Quais são os pontos de equilíbrio? Classifique segundo 4 sua estabilidade. b) A energia ecânica total da partícula é 5 J. Deterine 2 as regiões peritidas para o oviento ao longo do eixo x x() c) Deterine a energia cinética da partícula (E t = 5 J) e x =,4 e x = d) Deterine o trabalho realizado por F(x) para deslocar u corpo de x = 1,5 até x = 2. e) Se a partícula se encontra e x = 1,5 co energia cinética nula, qual a energia ínia que deve ser fornecida a ela para que possa atingir x = 2? Quanto seria sua energia cinética e x = 2? 42. Ua partícula ove-se ao longo de ua linha e ua região onde a energia potencial varia coo na figura ao lado. a) Esboce o gráfico da força F(x) que atua na partícula. Não esqueça de arcar valores nuéricos nas escalas. b) Se a partícula te energia total constante de 4 J, esboce o gráfico de sua energia cinética. c) Descubra ua função ateática que descreva U(x). d) Deterine a força F(x) a partir de U(x) e copare co o resultado obtido e a). Verifique se a aproxiação está coerente co o resultado ateático. U(J) x() 7