Dinâmica de Estruturas

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1 Dinâica de Estruturas Licenciatura e Engenharia Civi RAIMUNDO DELGADO ANTÓNIO ARÊDE FEU DEC - Estruturas FEU - Raiundo Degado & António Arêde 1

2 1. 1. INTRODUÇÃO À DINÂMICA DE DE ESTRUTURAS 1.1 INTRODUÇÃO Acção Dinâica: Varia a grandeza, direcção e ponto de apicação co o tepo. Resposta Dinâica: Tensões, desocaentos, veocidades e aceerações que tabé varia co o tepo Tipos de Anáise DETERMINÍSTICA - a ei de variação da acção co o tepo é conhecida ESTOCÁSTICA a acção não é copetaente conhecida, as pode ser definida e teros estatísticos 1 ( t 1 t(s) Aceerograa t(s) ( 15 1 t(s) 5 a (c/s) n ( -1 t(s) -15 t (s) Os probeas dinâicos difere dos estáticos porque: a soicitação varia co o tepo ocorre forças de inércia devidas à aceeração Estático Dinâico FEU - Raiundo Degado & António Arêde

3 1. MODELOS DE ANÁLISE EXERIMENTAL (odeo físico eperienta) Anáise de ua estrutura: ANALÍTICA (odeo ateático) Sistea Físico Rea Modeo Mateático Soução Mateática Fidedigna Designação sibóica para sistea ideaizado que incui todas as hipóteses sipificativas Tipos de Modeos Mateáticos MODELOS CONTÍNUOS MODELOS DISCRETOS z(, z ( 1 z ( z 3( Deforada totaente conhecida Deforada conhecida e aguns pontos FEU - Raiundo Degado & António Arêde 3

4 Redução de robeas Contínuos a u Sistea co 1 Grau de Liberdade z z Este tipo de probea pode ser descrito peo seguinte odeo esqueático: k c F( A foruação do probea conduzirá a u sistea de equações diferenciais, cuja resoução perite a obtenção da resposta. 1.3 ÂMBITO DO CURSO SISTEMAS COM 1 GRAU DE LIBERDADE Modeos ateáticos de sisteas de 1 g.. Vibrações ivres co e se aorteciento Resposta a soicitações periódicas Resposta a ua soicitação dinâica quaquer Anáise vibratória peo étodo de Rayeigh Resposta a soicitações sísicas FEU - Raiundo Degado & António Arêde 4

5 SISTEMAS COM N GRAUS DE LIBERDADE Modeos ateáticos de sisteas co vários g.. Vibrações ivres se aorteciento. Frequências e odos de vibração Resposta a ua acção dinâica quaquer. Método da sobreposição oda Resposta a soicitações sísicas ANÁLISE DINÂMICA DE ESTRUTURAS DE EDIFÍCIOS E ONTES Aspectos reguaentares da acção sísica. Anáise através de espectros de resposta Distribuição de acções horizontais e edifícios. Anáise pana sipificada Anáise tridiensiona 1.4 BIBLIOGRAFIA DYNAMICS OF STRUCTURES Ray W. Cough and Joseph enzien McGraw-Hi, nd Ed., 1993 STRUCTURAL DYNAMICS. Theory and Coputation Mario az Chapan & Ha, 4th Ed., 1997 STRUCTURAL DYNAMICS. An Introduction to Coputer Methods Roy R. Craig Jr. John Wiey & Sons, 1981 DYNAMICS OF STRUCTURES. Theory and Appications to Earthquake Engineering Ani K. Chopra rentice Ha, Internationa Edition, 1995 FEU - Raiundo Degado & António Arêde 5

6 .. MODELOS MATEMÁTICOS DOS DOS SISTEMAS COM COM UM UM GRAU GRAU DE DE LIBERDADE.1 CARACTERIZAÇÃO DE UM SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADE As características da oa são descritas pea reação entre a força F e o desocaento y da etreidade da oa. F (1) () y (1) Coportaento LINEAR F = k y () Coportaento NÃO - LINEAR df = k( y) dy No doínio eástico a oa é u arazé de energia!! F dw = F dy Energia de deforação F W D = F dy = D 1 k y dy = kd dy D y Essa energia pode ser dissipada por ecanisos de aorteciento. O odeo noraente utiizado para caracterizar o aorteciento é o de AMORTECEDOR VISCOSO LINEAR, e que a força de aorteciento f a é dada por: f a = c v veocidade coeficiente de aorteciento FEU - Raiundo Degado & António Arêde 6

7 Apicando a ª Lei de NEWTON, a equação de oviento de ua partícua escreve-se: F = a aceeração reativa edida e reação a u referencia inercia assa da partícua ara os probeas de dinâica de estruturas é úti introduzir o conceito de força d Aebert ou de força de inércia: f = a que não é ais do que a força fictícia e conjunto co a qua o sistea fica e equiíbrio. Obté-se assi a EQUAÇÃO DE EQUILÍBRIO DINÂMICO: i + f F = i Força de inércia e Moento das forças de inércia: f =-a i a y a y α G a b a a I G α c I G α = ( b + c ) α 1. FORMULAÇÃO DAS EQUAÇÕES DE MOVIMENTO..1 Apicação das Leis de Newton a u sistea discreto Considere-se o eio y e o desocaento u e reação a esse eio. As forças actuantes sobre o corpo deve estar e equiíbrio. k c y u( f( fi fa fe + f ( = f e u&&+ cu& + ku = f ( f a f i f( Equação Fundaenta da Dinâica de Estruturas FEU - Raiundo Degado & António Arêde 7

8 Eepo: Derivar a equação do oviento para pequenos desocaentos do seguinte corpo rígido. kθ Mθ f n O θ ft θ M O = M sen θ I && θ = O θ Mas G u t G u n I O = IG + e M θ = kθθ ( I G ) && θ + k θ + senθ = + θ.. Apicação do rincípio dos Trabahos Virtuais Esta foruação te particuar interesse quando se apica a u conjunto de corpos rígidos igados entre si..t.v. : ara u quaquer desocaento virtua do sistea, o trabaho virtua das forças reais ais o das forças de inércia deve ser nuo. δ. W f reais + f = i Eepo: Seja o seguinte corpo rígido. p f p δθ θ M G f e / / f i A coordenada generaizada que caracteriza a configuração do corpo é θ. Assi, no desocaento virtua δθ o trabaho virtua das forças reais e das de inércia é: r f i = f p = f i 3 δθ f 4 e δθ M δθ G δθ + r f = FEU - Raiundo Degado & António Arêde 8 i

9 Mas f p = ; = θ ; = & θ e = && f M I θ = & θ e k fi G G 1 donde p 3 4 δθ + k θδθ + && θ δθ + 1 & θδθ = G I G = 1 3 & θ + k 3 θ = 8.3 ASSOCIAÇÃO DE COROS EM SISTEMAS DE UM GRAU DE LIBERDADE GENERALIZADO Sisteas e que a deforação eástica está concentrada e eeentos de oa ode ser de dois tipos: Sisteas co easticidade distribuída e e que as deforações pode ser contínuas através de toda a estrutura.3.1 Sisteas co Deforação Eástica Concentrada e Eeentos de Moa / / f G 1 δ u / u/ u/ k δ v δ u u u/ G δ u / u/ δ v δ u u N δ v δ u δ v u u = δv = δu δu f δu f e u&& δu u u&& δu + N δv = f k u + N 4 = 4N u + k u = f & Obs: Neste caso a força aia de copressão reduz a rigidez do sistea FEU - Raiundo Degado & António Arêde 9

10 .3. Sisteas co Easticidade Distribuída Considera-se estruturas contínuas as e que a deforada é de deterinado tipo. Caracteriza-se a deforada da estrutura nu instante t, por u parâetro (coordenada generaizada) que utipica a função de fora que se aditiu para a deforada. u(, = u( ψ( ) função de fora coordenada generaizada ou desocaento generaizado Eepo: Barra encastrada, soicitada aiaente na etreidade. ρ A u(, u( u (, = u( O rincípio dos Trabahos Virtuais perite escrever: + r fi = int Trabaho de deforação interna O capo dos desocaentos virtuais é caracterizado por δu e portanto Assi: δ u( ) = δu δ W r = δu () = δu fi = ρ Au& (, δu( ) d as u & (, = u& ( donde fi = ρ A u&& ρ A ρ A 3 () t δu d = u&& () t δu d = u& () t δu FEU - Raiundo Degado & António Arêde 1

11 int = σδε dv V as du 1 E dv = A d ; ε = = u ; = d () t σ u() t δε = 1 δu donde E 1 int = u E A () t δu() t Ad = u() t δu Finaente ρ A u&& 3 E A () t + u() t = U sistea de feibiidade distribuída, e que é caracterizado apenas por u parâetro (a coordenada generaizada u() conduz a ua equação de equiíbrio dinâico idêntica à obtida para u sistea discreto ais sipes. ara o caso gera e que u(, = u( ψ( ) && () t + c u& () t + k u() t f u = e que ( ) ψ ( ) = d assa generaizada k k c ( ) ψ ( ) = c d ψ = d a E A d d d ψ EI d = f d aorteciento generaizado rigidez generaizada (aia, feão) f ( ψ( ) = p, d força generaizada FEU - Raiundo Degado & António Arêde 11