Sistemas de Controle

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1 Pontifícia Universidade Católica de Goiás Escola de Engenharia Sistemas de Controle Resumo Espaço dos Estados Prof. Dr. Marcos Lajovic Carneiro

2 Sistemas de Controle Prof. Dr. Marcos Lajovic Carneiro Resumo Espaço dos Estados Cap.3 Modelagem no Espaço dos Estados 3.1 Introdução 3.4 Aplicando a Representação no Espaço dos Estados 3.3 Representação Geral no Espaço dos Estados 3.5 Convertendo uma Função de Transferência para o Espaço de Estados 3.6 Convertendo do Espaço de Estados para a Função de Transferência Cap.4 Análise da Resposta no domínio do tempo 4.10 Solução das Equações de Estado Através da Transformada de Laplace Cap.5 Redução de Subsistemas Múltiplos 5.4 Diagramas de Fluxo de Sinal 5.5 Regra de Mason 5.6 Diagramas de Fluxo de Sinal das Equações de Estado

3 3.1 Introdução Abordagens para análise e projeto de sistemas de controle com retroação: Técnica clássica, ou no domínio da frequência Vantagens Simplifica os cálculos Substitui equação diferencial por uma equação algébrica Simplifica a modelagem modelagem de subsistemas interconectados. Desvantagens Aplicabilidade limitada Apenas para sistemas lineares e invariantes no tempo Aproximações para esses sistemas Os novos avanços e requisitos de sistemas de controle tornaram esse tipo de modelagem inadequada Abordagem no Espaço dos Estados (ou abordagem moderna ou no domínio do tempo) Vantagens Representa também sistemas não lineares (dotados de folga, saturação e zona morta) Representa sistemas variantes no tempo (mísseis com níveis de fluído variável) Manipula de forma adequada sistemas com condições iniciais não nulas Manipula sistemas com múltiplas entradas e saídas Desvantagens Não é muito intuitiva Muitos cálculos antes que a interpretação física do modelo se torne aparente * Abordagem do livro é limitada a modelos lineares e invariantes no tempo ou que possam ser linearizados. Abordagem aprofundada é assunto para cursos de pós-graduação. 3

4 3.4 Aplicando a Representação no Espaço de Estados Passo 1 Nomear as correntes de todos os ramos do circuito

5 3.4 Aplicando a Representação no Espaço de Estados Passo 2 Selecionar as variáveis de estado escrevendo a equação da derivada relativa a todos os elementos armazenadores de energia Variáveis de Estado:

6 3.4 Aplicando a Representação no Espaço de Estados Nó 1 Passo 3 Aplicar a teoria de circuitos, como as leis de Kirchhoff das tensões e das correntes, para obter i c e v L em termos das variáveis de estado, v c e i L Equação no nó 1: Equação na malha externa: v t + v L + v C = 0

7 3.4 Aplicando a Representação no Espaço de Estados Passo 4 Obter as equações de estado: equações de estado Passo 5 Obter a equação de saída:

8 3.4 Aplicando a Representação no Espaço de Estados Representação no espaço dos estados A B C D + 0

9 3.3 Representação Geral no Espaço dos Estados Exemplo de representação geral: Sistema de segunda ordem, linear, invariante no tempo, com uma entrada v(t) Se houver uma única saída:

10 3.3 Representação Geral no Espaço dos Estados Representação no espaço de estados Exemplos: A B C D + 0 Descrição das variáveis 10

11 3.5 Convertendo uma Função de Transferência para o Espaço de Estados 1) Transformar função de transferência em equação diferencial. Multiplicar cruzado Aplicar Transformada Inversa de Laplace considerando condições iniciais nulas:

12 3.5 Convertendo uma Função de Transferência para o Espaço de Estados 2) Selecionar conjunto de variáveis de estado variáveis de fase Variáveis de fase Nas variáveis de fase temos que cada variável de estado subsequente é a derivada da variável de estado anterior.

13 3.5 Convertendo uma Função de Transferência para o Espaço de Estados 3) Derivar variáveis de fase para encontrar ഺc Variáveis de fase Derivadas das variáveis de fase ഺc

14 3.5 Convertendo uma Função de Transferência para o Espaço de Estados ഺc 4) Organizando o sistema 5) Montando matrizes

15 3.6 Convertendo do Espaço de Estados para a Função de Transferência Dadas as equações de estado e de resposta aplique a transformada de Laplace, supondo condições iniciais nulas: Explicitando X(s) na primeira equação: onde I é a matriz identidade. Substituindo X(s) em:

16 3.6 Convertendo do Espaço de Estados para a Função de Transferência Substituindo Matriz função de transferência: relaciona a saída Y(s) ao vetor de entrada U(s) Mesmo quando U(s) = U(s) e Y(s) = Y(s) forem escalares, podemos obter a função de transferência.

17 3.6 Convertendo do Espaço de Estados para a Função de Transferência

18 3.6 Convertendo do Espaço de Estados para a Função de Transferência Sabe-se que: Já temos as matrizes A, B, C e D, falta obter:

19 3.6 Convertendo do Espaço de Estados para a Função de Transferência Calculando matriz de função de transferência:

20 3.6 Convertendo do Espaço de Estados para a Função de Transferência Invertendo : Logo:

21 3.6 Convertendo do Espaço de Estados para a Função de Transferência Substituindo :

22 4.10 Solução das Equações de Estado Através da Transformada de Laplace Obtendo a solução das equações no espaço dos estados: Sistema: Aplicando a transformada de Laplace: Isolando X(s): Aplicando a transformada de Laplace à equação de saída:

23 4.10 Solução das Equações de Estado Através da Transformada de Laplace Isolando a função de transferência: Pólos do sistema no espaço dos estados = Autovalores do sistema Raízes

24 4.10 Solução das Equações de Estado Através da Transformada de Laplace

25 4.10 Solução das Equações de Estado Através da Transformada de Laplace Passo 1) A= Passo 2)

26 4.10 Solução das Equações de Estado Através da Transformada de Laplace Passo 3) Fornece tanto os pólos do sistema quanto os autovalores

27 5.4 Diagramas de Fluxo de Sinal Representação: - Arcos representam sistemas Um sistema é representado por uma linha com uma seta mostrando o sentido do fluxo de sinal através do sistema. - Nós representam sinais Cada sinal é a soma dos sinais que chegam ao nó respectivo. Exemplos:

28 5.4 Diagramas de Fluxo de Sinal a) b) c)

29 5.4 Diagramas de Fluxo de Sinal a)

30 5.4 Diagramas de Fluxo de Sinal b)

31 5.4 Diagramas de Fluxo de Sinal c)

32 5.4 Diagramas de Fluxo de Sinal

33 5.4 Diagramas de Fluxo de Sinal Comece desenhando os nós de sinal

34 5.4 Diagramas de Fluxo de Sinal Interconecte os nós, mostrando o sentido do fluxo de sinal e identificando cada função de transferência

35 5.4 Diagramas de Fluxo de Sinal Simplifique o diagrama de fluxo através da eliminação de sinais com um único fluxo de entrada e um único fluxo de saída. Diagrama simplificado

36 5.5 Regra de Mason (Mason, 1953) Redução do diagrama de fluxo de sinal a uma única função de transferência. Requer a aplicação de uma fórmula Samuel Jefferson Mason ( ) Definições Ganho de malha: O produto dos ganhos dos ramos obtidos ao longo de um percurso que começa em um nó e termina no mesmo nó sem passar por nenhum outro nó mais de uma vez e segue o sentido do fluxo de sinal. Existem 4 ganhos de malha para esse diagrama

37 5.5 Regra de Mason (Mason, 1953) Ganho de percurso avante: O produto dos ganhos obtidos ao longo de um percurso que começa em um nó de entrada e termina no nó de saída no sentido do fluxo de sinal. Ganhos de percurso avante para este exemplo:

38 5.5 Regra de Mason (Mason, 1953) Malhas disjuntas: Malhas que não possuem nós em comum; malhas que não se tocam. Malha G 2 s H 1 (s) não toca as malhas G 4 s H 2 (s), G 4 s G 5 s H 3 (s) e G 4 s G 6 s H 3 (s). Ganho de malhas disjuntas: O produto dos ganhos de malha de malhas disjuntas consideradas duas a duas, três a três, quatro a quatro, etc Três ganhos de malhas disjuntas consideradas duas a duas para o exemplo: No exemplo, não há ganhos de malhas disjuntas consideradas três a três, uma vez que não existem três malhas disjuntas entre elas

39 5.5 Regra de Mason (Mason, 1953) Enunciado da Regra de Mason A função de transferência, C(s)/R(s), de um sistema representado por um diagrama de fluxo de sinal é onde k = número de percursos avante T k = ganho do k-ésimo percurso direto = 1 Σ ganhos de malha + Σ ganhos de malhas disjuntas duas a duas Σ ganhos de malhas disjuntas três a três + Σ ganhos de malhas disjuntas quatro a quatro... Observe a alternância de sinais dos componentes de k = Σ ganhos de malha em que tocam o k-ésimo percurso avante. Em outras palavras k é formado eliminando-se de os ganhos de malha que tocam o k-ésimo percurso à frente.

40 5.5 Regra de Mason (Mason, 1953)

41 5.5 Regra de Mason (Mason, 1953) Primeiro, identifique os ganhos de percurso avante: Existe somente um

42 5.5 Regra de Mason (Mason, 1953) Segundo, identifique os ganhos de malha: Existem quatro

43 5.5 Regra de Mason (Mason, 1953) Ganhos de malha: Terceiro, identifique as malhas disjuntas duas a duas: A malha 1 não toca a malha 2, a malha 1 não toca a malha 3 e a malha 2 não toca a malha 3. As malhas 1, 2 e 3 tocam, todas elas, a malha 4.

44 5.5 Regra de Mason (Mason, 1953) Ganhos de malha: Quarto, as malhas disjuntas três a três são:

45 5.5 Regra de Mason (Mason, 1953) Quinto, formamos e k : Ganhos de malha disjuntas 2 a 2: Ganhos de malha: Ganhos de malha disjuntas 3 a 3: = 1 Σ ganhos de malha + Σ ganhos de malhas disjuntas duas a duas Σ ganhos de malhas disjuntas três a três + Σ ganhos de malhas disjuntas quatro a quatro...

46 5.5 Regra de Mason (Mason, 1953) Quinto, formamos e k : k = Σ ganhos de malha em que tocam o k-ésimo percurso avante. Em outras palavras k é formado eliminando-se de os ganhos de malha que tocam o k-ésimo percurso à frente. k será então:

47 5.5 Regra de Mason (Mason, 1953) Sexto, substituindo expressões na Regra de Mason: k = número de percursos avante T k = ganho do k-ésimo percurso direto

48 5.6 Diagramas de Fluxo de Sinal das Equações de Estado Desenho de diagramas de fluxo de sinal a partir das equações de estado. Considere as seguintes equações de estado e de saída: Passo 1) Identifique três nós como variáveis de estado, x1, x2 e x3. Passo 2) Posicione 1 nó representando a derivada do sinal a esquerda de cada nó anterior.

49 5.6 Diagramas de Fluxo de Sinal das Equações de Estado Passo 3) Identifique também um nó como entrada, r, e um outro nó como saída, y. Passo 4) Interconecte as variáveis de estado e suas derivadas com a integração, 1/s. Passo 5) Alimente cada um dos nós com os sinais indicados pelo sistema de equações. Equação 1 do sistema:

50 5.6 Diagramas de Fluxo de Sinal das Equações de Estado Passo 5) Alimente cada um dos nós com os sinais indicados pelo sistema de equações. Equações 1 e 2 do sistema:

51 5.6 Diagramas de Fluxo de Sinal das Equações de Estado Passo 5) Alimente cada um dos nós com os sinais indicados pelo sistema de equações. Equações 1, 2 e 3 do sistema:

52 5.6 Diagramas de Fluxo de Sinal das Equações de Estado Passo 5) Alimente cada um dos nós com os sinais indicados pelo sistema de equações. Equação da saída: Diagrama pronto!

53 5.7 Representações Alternativas no Espaço de Estados Os sistemas podem ser representados no espaço de estados usando variáveis de fase, conforme visto no Cap. 3. Contudo, a modelagem de sistemas no espaço de estados pode assumir muitas formas de representação além da que resulta com as variáveis de fase. Motivos para representar sistemas de diferentes formas: - Aplicações específicas: Um conjunto de variáveis de estado, com sua representação exclusiva, pode modelar as variáveis físicas reais de um sistema, como as saídas de amplificadores e de filtros. - A facilidade de solução: Uma escolha particular de variáveis de estado pode desacoplar o sistema de equações diferenciais simultâneas. - A facilidade de modelagem Formas de representação abordadas: Forma em Cascata Forma Paralela Forma Canônica do Controlador Forma Canônica do Observador Laboratório