5. Síntese de leis de controlo usando técnicas polinomiais

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1 1 5. Síntese de leis de cntrl usand técnicas pliniais Objectiv: Prjectar cntrladres discrets lineares pr clcaçã de póls, recrrend a descrições entrada/saída d prcess Referência: AW, Cap. 5

2 Cntrladr c dis graus de liberdade r T R + - u B A Prc. + d y S R Seguient: Melhra seguient das referências Regulaçã: Estabiliza, rejeita perturbações e reduz a sensibilidade a errs de delaçã

3 Mdel d Cntrladr 3 r RuTr-Sy u B A + d y Cntrladr Prc. O cntrladr te a fra: Rquk ( ) ( ) Tqr ( ) ( k) Sqyk ( ) ( ) e que R é ónic (i. e. ceficiente da air ptência de R é 1) Rq q R R1 ( ) + rq r R ( R grau de R) q representa peradr avanç: qx( k): x( k + 1 ) A lei de cntrl te que ser causal: R S R T

4 4 Funçã de transferência e cadeia fechada Mdel d prcess (c d0): A( q) y( k ) B( quk ) ( ) Cntrladr: R( quk ) ( ) T( q) r( k ) Sqyk ( ) ( ) Eliinar u(k) entre abas as equações para bter: ( ) AqRqyk ( ) ( ) ( ) Bq ( ) Tqrk ( ) ( ) Sqyk ( ) ( ) A( qrq ) ( ) + BqSq ( ) ( ) yk ( ) BqTqrk ( ) ( ) ( ) u seja [ ] Multiplicar pr R( q) Multiplicar pr B( q) O prblea de prject d cntrladr cnsiste e bter R, S, T tal que: BT AR + BS B A

5 5 Efeit de Perturbações e Ruíd v e r u Ru Tr-Sy + B/A x + y x BT AR + BS r + BR AR + BS v BS AR + BS e v perturbaçã de carga e - ruíd d sensr

6 6 Objectivs para cntrladr Estabilizar sistea Seguir referências Rejeitar perturbações e ruíd Ipôr ua dinâica cnveniente a sistea cntrlad; Evitar entrar e znas de funcinaent nã lineares. Ser rbust face a incerteza ns parâetrs Ser adaptável face a variaçã ds parâetrs d sistea.

7 Clcaçã de póls baseada e dels entrada/saída 7 O prcess é delad pela funçã de transferência Hz () Bz () Az () Objectiv: Deterinar u cntrladr causal (plinóis R,S e T) tal que sistea cntrlad se cprte c: Hz () B A () z () z

8 Esclha ds Pls e Zers Utilizar regras intuitivas ds sisteas cntínus. Eg. Sistea de segunda rde: t p Step Respnse S ± 1% H ( s) s ω n + ξω s n + ω n e d p l itu A t s t Tie (sec) r t r t s S 1.8 ω e n 4.6 ξω n ξπ 1ξ

9 9 0 0 z + e cs 1 ζ ω h z + e ( ) ζω h ζω h Plinói característic discret: 0

10 10 Regras para diensinaent Esclher ua dinâica dinante, para sistea e alha fechada, e funçã de indicadres standard (tep de pic, tep de crescient, sbreelevaçã, largura de banda, etc.) Diensinar u sistea cntínu de baixa rde que cupra as especificações, e funçã das respstas cnhecidas u siulações. Discretizar sistea cntínu e utilizar s póls e zers resultantes para especificar parte da FT desejada. (Nta: atras d sistea nunca pderá ser diinuíd de fra causal pel cntrladr). Restantes póls e zers a esclher deve ter ua dinâica ais rápida que s dinantes para nã influenciar significativaente a respsta.

11 11 Exepl de Trabalh: Regulaçã de u integradr dupl h Aq q Bq q ( ) ( 1), ( ) ( + 1) Pretende-se deterinar R e S tal que AR+BS A : h q q+ 1 R( q) + ( q+ 1) S( q) A ( q) ( ) Tentas inicialente u cntrladr prprcinal: Rq ( ) 1, Sq ( ) s e clcar s pls desejads e alha fechada e p 1 e p : ( )( ) A q q p q p ( ), 1 0

12 1 Desenvlvend a equaçã ve: Igualand ceficientes: h q q q s q p p q p p ( + 1) 0 ( 1+ ) + 1 h s 0 p 1+ p ( ) h s 0 p 1 p Nã se cnsegue clcar s pls desejads e lcalizações arbitrárias! Tes que auentar a rde d cntrladr, que iplica auentar a rde d plinói característic desejad e alha fechada.

13 13 Cnsidera-se u bservadr A tal que plinói característic desejad e alha fechada seja A cl A A Rq ( ) q+ r, Sq ( ) sq+ s, A q+ p Experientes A nva equaçã é dada pr: h ( q q+ 1 )( q+ r ) ( ) 1 + ( q+ 1) s0q+ s1 q ( p1+ p) q+ p1p ( q+ p ) Desenvlvend, bté-se: ( ) ( ) 1 3 h h h q + + r1+ s0 q + 1 r1+ ( s1+ s0) q+ r1+ s1 3 q p1+ p + p q + p1p + p1p + pp qp1pp c c c 3

14 14 Igualand ceficientes e reslvend, bté-se a sluçã: 1 r1 c1 c + c s1 c 3 c1+ c h 1 s0 c 1+ c c3+ h ( 3) ( 3 3) ( 3 5) Já é pssível encntrar u cntrladr que defina arbitrariaente s pls d reguladr. Para cnseguir reslver prblea fi necessári auentar a rde d cntrladr e incluir u plinói bservadr. Mais adiante vas ver étds ais autátics para reslver prblea da clcaçã de póls e estabelecer regras para definir a rde d cntrladr e bservadr.

15 15 C vis n exepl anterir pde ser necessári cnsiderar u plinói A crrespndend à dinâica de u bservadr. N entant nã queres que este ter influencie a funçã de transferência desejada: BT AR + BS O plinói A será factr de T. BA A A Assi, n exepl anterir, para reslver prblea d seguient de referências, terias que definir u plinói B c s zers desejads para a funçã de transferência e reslver: BT B A

16 16 Há uitas sluções para prblea de clcaçã de póls, as ne tdas igualente bas u es aceitáveis. Para encntrar R, S, T que satisfaça BT AR + BS BA A A pderá haver cancelaent de póls e zers. Ist deve ser feit c cuidad para evitar cancelaent de póls e zers de fase nã ínia que levaria a ds interns instáveis. Ntar que se nã fr feit nada e cntrári (cancelaent) s zers d sistea a cntrlar tabé serã zers d sistea cntrlad.

17 17 Cancelaent de Zers BT AR + BS BA A A Se u factr de B nã fr factr de B, deve ser factr de AR fra a ser cancelad. + BS pr Apenas pde ser cancelads zers "estáveis" (i. e. dentr d círcul unitári) para ipedir que haja ds que "expluda". Assi, factriza-se B c B + B B + B é ónic e cnté tds s zers a cancelar.

18 18 Mónic, c s zers a cancelar B B + B Cnté s zers que NÃO sã cancelads B nã pde ser cancelad, te que ser u factr de B. As especificações tê ser tais que includa as raízes de B. Factriza-se: B B B B + é para ser cancelad, será u factr de AR + BS. Lg, tabé será u factr de R (prquê?), e factriza-se R B + R

19 BT BA AR+ BS A A B E resu: B + B B BB R B + R 19 + Pel que: BBT B B u seja A + B AR+ B S AA T BA AR+ B S A A As cndições seguintes deve ser satisfeitas: T ( ) B A (1) () AR+ B S AA T BA B AR + B S A A B

20 0 A prieira equaçã perite calcular directaente T. T B A A segunda equaçã AR+ B S A A é ua equaçã plinial (Equaçã Difantina 1 ) c incógnitas R e S. 1 De fact ua equaçã difantina de 1ª rde.

21 1 C deterinar a rde ds plinóis A 0, R, S, T? AR+ B S A A Mstra-se que existe sluçã única da equaçã difantina tal que: Faz-se: S < A Cnsiderand causalidade teres, n cas ais geral: S A1 R T S Destas cndições pde-se bter grau de A A0 + A ax( A+ A1 B, B B + A 1) + A0 A1 B A

22 Exepl: Cntrl digital de u tr de crrente cntínua Pretende-se prjectar u cntrladr digital para a psiçã de u pequen tr de crrente cntínua de ían peranente. u(k) D/A AP Mtr y D/A y(k) Adite-se (siplificand) que a funçã de transferência d tr é 1 ss+ ( 1)

23 3 Mdel d prcess Funçã de transferência discreta entre a tensã aplicada e a psiçã: Bz () Hz () Az () Kz ( b) ( z )( za) h K e 1+ h a 1 ( h h 1 e ) Nte-se que b < 0, i. e., zer está n seieix real negativ. b e h 1 e h 1+ h Se este zer fr cancelad dará rige a u d intern rapidaente scilatóri, que pde ser indesejável.

24 4 Especificações (c cancelaent d zer) A funçã de transferência desejada para a cadeia fechada é H () z B () z A () z ( + + ) z p p 1 1 z + pz+ p 1 Os parâetrs p 1 e p 1 d deninadr sã esclhids pr fra a que s póls crrespnda à astrage de u sistea de segunda rde c póls c ζ e ζω n dads: ( ) ζ ωn nh p e ζω cs 1 h 1 n p e ζω h

25 5 H () z B () z A () z ( + + ) z 1 p1 p z + pz+ p 1 A esclha d plinói B( z) faz-se de d a que: O ganh estátic desejad para a cadeia fechada seja unitári, H () 1 1 O atras da cadeia fechada seja íni. Sabe-se que, para que cntrladr seja causal, atras da cadeia fechada é, n íni, igual a da cadeia aberta. E cadeia aberta atras (dad pela diferença de núer de póls e zers) é 1. Assi, para que atras da cadeia fechada tabé seja 1 acrescenta-se u zer na rige.