Controlo por Computador. Segundo Teste

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1 MEEC, MAer Cntrl pr Cputadr 2015/2016 Segund Teste 15 de Dezebr de 2014, 20 hras, EA1, E8, E4 Qutaçã: P1a) 3 b)2 c)1 d)1, P2) 6, P3 1 valr/alínea Duraçã: 2 hras. Nã é peritida a cnsulta de quaisquer eleents. P1. Cnsidere sistea de 2ª rde descrit pel del de estad x(k + 1) = [ 0 1 0,8 0,1 ] x(k) + [1 0 ] u(k) y(k) = [1 0]x(k) a) Supnha que te acess a estad. Calcule vectr de ganhs L nu cntrladr de retracçã linear de variáveis de estad, da fra u(k) = Lx(k), tal que s póls da cadeia fechada esteja e 0,4 e 0,5. b) Supnha agra que nã te acess à edida directa d estad, as cnhece as atrizes que define del de estad. Prjecte u bservadr de estad de tip preditiv (ist é, e que a estiativa d estad n instante k depende das bservações feitas até a instante k 1), tal que s póls da dinâica d err de bservaçã esteja abs e zer. c) Desenhe u diagraa de blcs d cntrladr c referência nula, utilizand apenas blcs sadres, ganhs, e atrass, c ua única entrada e ua única saída. d) Escreva as equações de u del de estad d cntrladr que diensinu, dificad para peritir seguir ua referência cnstante r. 1

2 P2. Pretende-se prjectar u cntrladr digital para sistea descrit pela funçã de transferência discreta B( q) A( q) q q q 1 O síbl q representa peradr avanç e k representa tep discret. Diensine s plinóis R, S e T na lei de cntrl digital c R( q) u( k) S( q) y( k) T( q) u ( k), 2 e que sinais y, u e u c representa, respectivaente, a saída d sistea a cntrlar e a variável anipulada, pr fra a sere cupridas as seguintes especificações: Ganh estátic unitári d sistea e cadeia fechada; Grau íni d plinói bservadr, c tdas as raízes na rige; Cancelaent d zer d prcess, se pssível; Atras íni d sistea e cadeia fechada; Se inclusã de integradr n cntrladr; Plinói característic desejad para sistea e cadeia fechada A ( z) ( z 0,3)( z 0,4) Ajuda: B B B A ( z 1) R 2A A A AR B A B B B B S A A A 1 S A R B T B A R ( z 1) P3. U extrusr (figuras P3-1 e P3-2) é ua áquina que transfra pequens grãs de plíer nua pasta aquecida de plíer através de u parafus que as cprie a ua pressã elevada, levand-as a derretere-se. Esta pasta é espalhada sbre u cilind que está e rtaçã e que é arrefecid pr água que passa n seu interir. Fra-se assi ua película de plíer que pde ser usada para diverss fins, pr exepl file plástic transparente para ebrulhar alients. 2

3 O actuadr deste prcess é u tr que rda parafus cpressr, send a saída a espessura d file nu dad pnt, edida pr u sensr de radiaçã. A figura P3-1 stra u esquea siplificad desta áquina. Mtr M u, cand d tr Parafus de cpressã Alientaçã de grãs de plíer S y, edida da espessura Sensr de espessura d file Bic de saída d plíer e fra de espátula Rl de file plástic Fig. P3-1. Esquea siplificad de u extrusr. Fig. P3-2. Ftgrafia de u extrusr para files plástics, acplad a ua áquina de enrlaent. Quand tr rda a ua velcidade cnstante de equilíbri, a espessura d file plástic que se fra te u deterinad valr crrespndente a este 3

4 equilíbri. Devid a perturbações diversas (pr exepl variações ns grãs de plíer, variações da teperatura, u variações n cplex prcess de udança de fase d plíer entre a fase sólida ds grãs e a fase pastsa), es antand cnstante a velcidade d tr, a espessura d file plástic que se fra à saída te fluctuações aleatórias e trn d valr de equilíbri. Assi, para anter aprxiadaente cnstante a espessura d file, a velcidade d tr é ajustada através de u cntrladr. Se ja u cand increental d tr (u seja, a variaçã d cand d tr e trn d valr de equilíbri) e y a variaçã da espessura d file plástic e relaçã a valr de equilíbri ninal. Através de estuds de identificaçã de sisteas (para ua dada áquina), chegu-se à cnclusã que estas variáveis estã relacinadas pel seguinte del discret: y(k + 1) = 0,8y(k) + u(k) + e(k + 1), e que {e(k)} é ua sequência de variáveis aleatórias gaussianas de variância unitária e independentes entre si (ruíd branc), e k = 0, 1, 2, 3, é tep discret. Respnda às seguintes perguntas: a) Deterine a lei de cntrl de variância ínia, u seja, u(k) que iniiza J VM (u(k)) = E[y 2 (k + 1) I k ], e que I k sã as bservações da entrada e da saída feitas até a instante discret k. b) Calcule a variância de y e regie estacinári quand é usad cntrl de variância ínia. c) Calcule a variância de y e regie estacinári quand nã é usad nenhu cntrladr, u seja, quand u = 0. Cpare c a alínea b) e diga se há vantage e usar u cntrladr de variância ínia. d) Deterine agra a lei de cntrl que iniiza J 2 (u(k)) = E[y 2 (k + 1) + ρu 2 (k) I k ], e que ρ 0 é u pes na acçã de cntrl que é dad. e) Deterine a variância de y e regie estacinári quand é usada a lei de cntrl deduzida e d). Apresente seu resultad e funçã de ρ. f) Deterine a variância de u e regie estacinári quand é usada a lei de cntrl deduzida e d). Apresente seu resultad e funçã de ρ. 4

5 g) É negciad u cntrat de frnecient de file plástic e que fabricante se cprete a frnecer file plástic c, n áxi, ua variância de 2σ 2 e = 2 (nu dad sistea de unidades). Pr fra a axiizar a vida útil d tr cnvé usar air ρ pssível que crrespnda a liite das fluctuações peritidas pel cntrat, u seja, que cnduz à situaçã E[y 2 (k)] = 2. Deterine valr de ρ que satisfaz esta especificaçã. Desenhe u gráfic aprxiad que stre a dependência de E[y 2 (k)] c ρ. 5