Controlo por Computador

Transcrição

1 J. Miranda Les - IST Prbleas Cntrl pr Cputadr 1 Cntrl pr Cputadr 015/016 Prbleas Parte B (Cntrl) J. Miranda Les 1 Cntrl pr realientaçã de variáveis de estad P1. Cnsidere sistea de ª rde descrit pel del de estad 1,0 0,1 x(k + 1) = [ 0,5 0,1 ] x(k) + [1 0 ] u(k) y(k) = [1 1]x(k) a) Supnha que te acess a estad. Prjecte u cntrladr de retracçã linear de variáveis de estad, da fra u(k) = Lx(k), tal que s póls da cadeia fechada esteja e 0,1 e 0,5. b) Supnha agra que nã te acess a estad. Prjecte u bservadr de estad de tip preditiv, tal que s póls da dinâica d err de bservaçã esteja abs e zer. P. Cnsidere sistea de ª rde descrit pel del de estad 0,55 0,1 x(k + 1) = [ ] x(k) + [0,01 0 0,67 0,16 ] u(k) y(k) = [1 1]x(k) a) Supnha que te acess a estad. Prjecte u cntrladr de retracçã linear de variáveis de estad, da fra u(k) = Lx(k), tal que plinói característic da cadeia fechada seja z 0,63z + 0,1 b) Supnha agra que nã te acess a estad. Prjecte u bservadr de estad de tip preditiv, tal que s póls da dinâica d err de bservaçã seja as raízes d plinói z + 0,3z + 0,0

2 J. Miranda Les - IST Prbleas Cntrl pr Cputadr P3. Cnsidere sistea de ª rde descrit pel del de estad 0,9 + δ 0 x(k + 1) = [ ] x(k) + [1 0 ] u(k) y(k) = [0 1]x(k) a) Supnha que te acess a estad. Nesta alínea cnsidere que parâetr δ = 0. Seja r u sinal de referência cnstante. Calcule s ganhs N (escalar) e L u cntrladr da fra u(k) = Nr Lx(k), tal que sistea e cadeia fechada tenha s p ls na rige e ganh estátic unitári. b) Para cntrladr que prjectu na alínea a), deterine a gaa de valres de δ tal que sistea e cadeia fechada é estável. c) Para cntrladr que prjectu na alínea a), deterine err de seguient e funçã de δ. P4. O integradr dupl dela uits sisteas de interesse prátic, send representad e tep cntínu pela equaçã diferencial d y dt = u a) Mstre que, quand se ta variáveis de estad dadas pr x 1 = y e x = y, a astrage c u retentr de astras de rde zer, e c u interval de astrage h, perite bter del de estadi e tep discret dad pr x(kh + h) = [ 1 h h ] x(kh) + [ ] u(kh) 0 1 h y(kh) = [1 0]x(kh) b) Supnha que te acess à edida directa d vectr de estad. Calcule s ganhs de u cntrladr de realientaçã de variáveis de estad de d a que s póls d sistea e cadeia fechada esteja tds na rige. Represente s ganhs e funçã d interval de astrage h.

3 J. Miranda Les - IST Prbleas Cntrl pr Cputadr 3 Cntrl de Clcaçã de Póls c Técnicas Pliniais P1. Cnsidere sistea de cntrl pr cputadr da figura seguinte: u c + u y T 1/R B/A - S Os sinais y, u e u c representa, respectivaente, a saída d sistea a cntrlar, a variável anipulada e a referência a seguir pela saída d sisytea. O síbl q representa peradr avanç e k tep discret. Sabe-se que a dinâica d sistea a cntrlar é dada pela funçã de transferência discreta: B( q) A( q) q q q 0. 6 Diensine s plinóis R, S, T na lei de cntrl digital c R( q) u( k) S( q) y( k) T( q) u ( k) pr fra a sere cupridas as seguintes especificações: Ganh estátic unitári d sistea e cadeia fechada; Grau íni d plinói bservadr, c tdas as raízes na rige; Cancelaent d zer d prcess; Atras íni d sistea e cadeia fechada; Se inclusã de integradr n cntrladr; Plinói característic desejad para sistea e cadeia fechada A ( z ) ( z 05. ) Para ajudar a recrdar: B B B

4 J. Miranda Les - IST Prbleas Cntrl pr Cputadr 4 B B B A A A B 1 T B A ( z 1) AR B S A A S A R A A A R B R ( z 1) P.Cnsidere sistea de cntrl pr cputadr da figura seguinte: u c + u y T 1/R B/A - S Os sinais y, u e u c representa, respectivaente, a saída d sistea a cntrlar, a variável anipulada e a referência a seguir pela saída d sisytea. O síbl q representa peradr avanç e k tep discret. Sabe-se que a dinâica d sistea a cntrlar é dada pela funçã de transferência discreta: B( q) A( q) q q q Diensine s plinóis R, S, T na lei de cntrl digital c R( q) u( k) S( q) y( k) T( q) u ( k) pr fra a sere cupridas as seguintes especificações: Ganh estátic unitári d sistea e cadeia fechada; Grau íni d plinói bservadr, c tdas as raízes na rige; Atras íni d sistea e cadeia fechada; Se inclusã de integradr n cntrladr; Plinói característic desejad para sistea e cadeia fechada A ( z ) ( z 05. ) 0. 01

5 J. Miranda Les - IST Prbleas Cntrl pr Cputadr 5 P3.Cnsidere sistea de cntrl pr cputadr da figura seguinte: u c + T 1/R u B/A - y S Os sinais y, u e u c representa, respectivaente, a saída d sistea a cntrlar, a variável anipulada e a referência a seguir pela saída d sisytea. O síbl q representa peradr avanç e k tep discret. Sabe-se que a dinâica d sistea a cntrlar é dada pela funçã de transferência discreta: B( q) A( q) 1 q Diensine s plinóis R, S, T na lei de cntrl digital c R( q) u( k) S( q) y( k) T( q) u ( k) pr fra a sere cupridas as seguintes especificações: Ganh estátic unitári d sistea e cadeia fechada; Grau íni d plinói bservadr, c tdas as raízes na rige; Atras íni d sistea e cadeia fechada; Se inclusã de integradr n cntrladr; Plinói característic desejad para sistea e cadeia fechada ( q 07. )( q 06. ) P4. Pretende-se prjectar u cntrladr digital para sistea de cntrl de psiçã de u braç flexível da fig. P4-1. Este sistea é cnstituíd pr ua junta de u braç rbt flexível actuada pel vei de u tr eléctric. Os sinais y, u e u c representa, respectivaente, a saída d sistea a cntrlar (deflexã da pnta da junta), a variável anipulada (variável discreta que, depis da cnversã D/A e da aplificaçã de ptência cnstitui a tensã a aplicar a tr) e a referência a seguir pela saída d sistea ( ângul de deflexã desejad para a pnta d braç).

6 J. Miranda Les - IST Prbleas Cntrl pr Cputadr 6 Sensr A/D y Braç flexível Vei d tr u D/A Mtr Fig. P4-1. Cntrl Digital de u braç flexível. O síbl q representa peradr avanç e k tep discret. Sabe-se que a dinâica d sistea a cntrlar é dada pela funçã de transferência discreta: B( q) A( q) q 3 q q 0.5.6q.41q 0.81 a) Diensine s plinóis R, S e T na lei de cntrl digital c R( q) u( k) S( q) y( k) T( q) u ( k) pr fra a sere cupridas as seguintes especificações: Aplificadr de ptência Ganh estátic unitári d sistea e cadeia fechada; Grau íni d plinói bservadr, c tdas as raízes na rige; Cancelaent ds zers d prcess; Atras íni d sistea e cadeia fechada; Se inclusã de integradr n cntrladr; Plinói característic desejad para sistea e cadeia fechada A ( z) z 3 1.7z z 0.14 b) O braç é perad udand a referência bruscaente entre psições fixas que se antê durante bastante tep (ist é, apnta para ua direcçã e espera bastante tep e só depis apnta para utra). Discuta a necessidade de se incluir u integradr na cadeia fechada. Cnsidere as duas hipóteses: i) O aplificadr de ptência nã te ff-set; ii) O integradr de ptência te ff-set cnstante (ist é, a saída d aplificadr é prprcinal à entrada adicinada de

7 J. Miranda Les - IST Prbleas Cntrl pr Cputadr 7 ua cnstante). Neste últi cas dê a sua respsta c base nu diagraa de blcs. Sugestã: Calcule A (1). Ajuda: B B B A ( z 1) R A A A AR B A B B B B S A A A 1 S A R B T B A R ( z 1) P5. Cnsidere sistea de cntrl pr cputadr da figura seguinte: u c + u y T 1/R B/A - S Os sinais y, u e u c representa, respectivaente, a saída d sistea a cntrlar, a variável anipulada e a referência a seguir pela saída d sistea. O síbl q representa peradr avanç e k tep discret. Sabe-se que a dinâica d sistea a cntrlar é dada pela funçã de transferência discreta: B( q) 1 A ( q ) q a) Diensine s plinóis R, S, T na lei de cntrl digital c R( q) u( k) S( q) y( k) T( q) u ( k) pr fra a sere cupridas as seguintes especificações: Ganh estátic unitári d sistea e cadeia fechada; Grau íni d plinói bservadr, c tdas as raízes na rige; Cancelaent d zer d prcess; Atras íni d sistea e cadeia fechada; Inclusã de 1 integradr n cntrladr; Plinói característic desejad para sistea e cadeia fechada

8 J. Miranda Les - IST Prbleas Cntrl pr Cputadr 8 A ( z) z b) Diga qual interval de valres adissíveis para valr especificad pr fra a que, na respsta d sistea cntrlad a u escalã, nã haja saturaçã na variável de cntrl. Designe pr M valr a que a variável de cntrl satura. Ajuda: B B B A ( z 1) R A A A AR B A B B B B S A A A 1 S A R B T B A R ( z 1) 3 Prediçã Linear P1. Cnsidere prcess q y( q 1.4q 0.5 e( 1.q 0.4 e que e é ruíd branc de édia nula e variância unitária. Deterine preditr ópti passs à frente e a variância d err de prediçã quand 1, e 3. P. Deterine preditr passs à frente d prcess y ( ay( t 1) e( ce( t 1) Calcule tabé a variância d err de prediçã c funçã de. P3. Cnsidere sistea delad pel del ARMAX y ( k) 0.8y( k 1) 0.3y( k ) u( k 1) e( k) 0.5e( k 1) 0.e( k ) e que y é a saída, u é a entrada e e é u sinal aleatóri branc, gaussian, de édia nula e variância unitária. a) Supnd que sinal u é identicaente nul, deterine s filtrs preditres 1 pass à frente e dis passs à frente d sinal y e as variâncias ds respectivs errs de predicçã.

9 J. Miranda Les - IST Prbleas Cntrl pr Cputadr 9 b) Deterine cntrl de variância ínia e a variância da saída que c ele bté e regie estacinári. P4. E eads d sécul passad, fas prf. Pardal, a desenvlver esfrçs para estar presente n Salã Mundial ds Inventres, cncebeu ua prdigisa áquina de apanhar pirilaps, cuj funcinaent se pde ver denstrad na fig. 4-1, c auxíli d ajudante Sr. Lapadinha. Fig Ua denstraçã d prdigis invent d Prf. Pardal para apanhar pirilaps (ftgrafia da épca). C se pde ver na figura 4-1, a áquina (à esquerda), a partir de bservações d v d pirilap, prevê nde este insect vai estar ns próxis segunds. O audaz sr. Lapadinha pde assi lançar-se na direcçã, nã de nde pirilap está, as de nde vai estar, apanhand-. Sabe-se hje que prf. Pardal cnhecia pessalente Wiener e trcu ua iprtante crrespndência c russ Klgrv, hje infelizente perdida. Se be que, quer Wiener, quer Klgrv, seja uit ens cnhecids d que prf. Pardal, fra eles que lhe prprcinara as ferraentas teóricas que Pardal tã be sube ipleentar c a tecnlgia electrecânica entã dispnível. Mei sécul depis, disps de pderss recurss cputacinais e electrónics, que era entã ipensáveis. Assentes sbre s brs ds gigantes Wiener, Klgrv e Pardal, pdes, na nssa

10 J. Miranda Les - IST Prbleas Cntrl pr Cputadr 10 pequenez vislubrar se dificuldade epreg de terias entã cplexas, para reslver prbleas d dia a dia (tais c apanhar pirilaps). Neste prblea pretendes desenvlver u algrit que perita prever a psiçã de pirilaps, recriand trabalh de Wiener, Klgrv (e Pardal!). Pr siplicidade, assue-se que pirilap se deslca apenas nua direcçã, send seu vient descrit pel del ARMA de rde 1: y( k 1) ay( k) e( k 1) be( k) e que y é a distância e centíers d pirilap à rige de u referencial e e é u sinal de ruíd branc, de édia nula e variância unitária, que nã se pde bservar directaente, e a e b sã parâetrs. a) Supnha que b 0. Deterine u estiadr de ínis quadrads d parâetr a dad u cnjunt de N bservações sequenciais da psiçã d pirilap, y 0, y 1,..., y N. b) Supnha que a 0. 9 e b Escreva as equações de u filtr linear que perita, e regie estcástic estacinári, prever a psiçã astras à frente, dadas as últias bservações da psiçã d pirilap. d) Sabe-se que a dinâica d Lapadinha é tal que a sua psiçã L daqui a duas astras depende d ipuls u dad agra às pernas, de acrd c a seguinte equaçã: L( k ) 0.5L( k 1) u( k) Escreva ua lei de cntrl que perita calcular u (k) pr fra a que Lapadinha apanhe pirilap a fi de dis intervals de astrage, supndnd que ele cnhece a psiçã d pirilap até a instante k. Supnha ainda que u ( k 1) 0. P5. U alv deslca-se a lng de ua linha recta, send a sua abcissa y delada pr

11 J. Miranda Les - IST Prbleas Cntrl pr Cputadr 11 q 0.5 y( e( q 0.9 e que e é ua sucessã de ruíd branc de édia nula e variância unitária. Deterine preditr ópti 3 passs à frente para y e a variância d err de prediçã respectiv. 4 Cntrl de Variância Mínia P1. Cnsidere sistea cuj del é: y( t ) 08. y( t 1) 04. y( u( t 1) 05. u( e( t ) 0. 7e( t 1) 01. e( e que {e} é u sinal branc, gaussian, de édia nula e variância unitária. a)deterine cntrladr de variância ínia b)deterine a ptência da saída, e regie estacinári, quand é utilizad cntrladr de variância ínia. P. Cnsidere sistea cuj del é: y( t ) u( e( t ) e que {e} é u sinal branc, gaussian, de édia nula e variância unitária. a) Deterine cntrladr que iniiza J E y ( t ) w ( t ) I t e que a referência w satisfaz w( 08. w( t 1) 0. ( send {} u sinal branc, de variância unitária e independente de {e}. Adita que w( é apenas cnhecida n instante t, nã sendp cnhecida c antecipaçã. b) Deterine a ptência d err de seguient, e regie estacinári, quand é utilizad cntrladr de variância ínia que diensinu. P3. Cnsidere sistea descrit pela equaçã y( 1.5y( t 1) 0.5y( t ) u( t 1) 0.5u( t ) e(

12 J. Miranda Les - IST Prbleas Cntrl pr Cputadr 1 e que u é a variável anipulada, y a saída edida e e u sinal de ruíd branc c variância unitária. Respnda às seguintes perguntas: a) Deterine a lei de cntrl, dita de de variância ínia, que iniiza cust VM J E y ( t 1) I e que I t y(, y( t 1),, u( t 1), u( t ), ds dads entrada/saída cnhecidas até à astra t. t é cnjunt das bservações b) Mstre que, c a lei de cntrl da alínea a), e regie estacinári se te y( e( c) Calcule agra a lei de cntrl que iniiza cust quadrátic c u pes 4 na acçã de cntrl: VM J E y ( t 1) u ( I c) As figuras P3-1 a P3-6 representa regists de entradas, saídas e autcvariância da saída d sistea cntrlad c a lei de cntrl da alínea anterir. Estas figuras fra btidas c dis valres diferentes d pes. Três figuras (ua aut-cvariância, u regist da entrada e u regist da saída) fra btidas c 0 e as utras três c 4 cnsiderads nas alíneas a) e c) acia). crrespnde a 0. Justifique a sua respsta. t (s valres Diga quais as figuras que

13 Saple Autcrrelatin Saple Autcrrelatin y y u u J. Miranda Les - IST Prbleas Cntrl pr Cputadr Tep [núer de astras] Tep [núer de astras] Fig. P3-1 Entrada Fig. P3- Entrada Fig. P3-3 Saída Saple Autcrrelatin Functin (ACF) Fig. P3-4 Saída Saple Autcrrelatin Functin (ACF) Lag Lag Fig. P3-5 Cvariância da saída Fig- P3-6 Cvariância da saída P4. Cntrl de variância Mínia de u prcess c perturbações acessíveis. Há uits exepls e que alguas das perturbações que age sbre

14 J. Miranda Les - IST Prbleas Cntrl pr Cputadr 14 sistea a cntrlar pde ser edidas, fact de que se pde tirar partid para elhrar desepenh d cntrl, trnand- ais rápid 1. U exepl de uits pssíveis é frnecid pel cntrl d nível d barrilete nu grup geradr de vapr de ua central tereléctrica. O barrilete (fig. P4-1) +e u cilindr de aç parcialente preenchid pr água e parcialente pr vapr, d qual é extraíd vapr para utilizaçã nas turbinas. A fig. P4- stra u esquea d circuit de água/vapr e trn d barrilete. Pr fra a anter nível da água e aprxiadaente 50%, é injectada água. Fig. P4 1. Aspect d revestient exterir de u ds tps d barrilete nu grup geradr de vapr de diensã édia (150 MW). 1 A utilizaçã d cntrl antecipativ (e Inglês: feedfrward cntrl) é uit cu e prcesss industriais, peritind elhrar desepenh, c reflexs directs n desepenh financeir. Histricaente, esta ideia renta a Pncelet, engenheir francês d séc. XIX ais cnhecid pela invençã de ua balança que te seu ne. Nesta altura, Watt tinha patentead reguladr de realientaçã de áquinas a vapr que te seu ne e que cnstituiu u grande sucess cercial. Fi na tentativa de ter ua patente alternativa que Pncelet sugeriu regulart flux de vapr (variável anipulada) edidn nã a velcidade (saída), as si binári resistente a vencer (perturbaçã). A inexistência de sensres adequads, fact de haver incerteza e perturbações nã acessíveis (que cntrl antec ipativ nã pde rejeitar) e a inexistência de u crp teóric adequad ipedira a ideia de funcinar na altura.

15 J. Miranda Les - IST Prbleas Cntrl pr Cputadr 15 u Vapr Vapr para a turbina Vapr Água de alientaçã h Água Água Chaa Tubage descendente Painéis de água Fig. P4-. Esquea d circuit de água/vapr junt a barrilete. A quantidade de água que é injectada é calculada pr u cntrladr que canda ua válvula. Pr fra a trnar a actuaçã ais rápida, cntrladr te actuaçã antecvipativa (feedfrward): Ainda antes que nível desça, cntrladr abre a válvula pr fra a deixar passar a quantidade de água de alientaçã (fig. P4-) crrespndente à assa de vapr (pr unidade de tep) que saiu para a turbina. Cntr. Antecip. Caudal de vapr para a turbina (perturbaçã acessível) Outras perturbações (nã acessíveis) Cntrladr Realient. + + u Barrilete/Evapradr Nível Fig. P4-3. Diagraa de blcs d cntrl de nível d barrilete Incluind ua acçã antecipativa d cauidal de vapr.

16 J. Miranda Les - IST Prbleas Cntrl pr Cputadr 16 C, devid a errs de delaçã e a utras perturbações nã edidas este equilíbri nã é perfeit, existe ua acçã de cntrl pr retracçã que se adicina a esta, que resulta n esquea da fig. P4-3. O cntrl de antecipaçã destina-se assi a auentar a rapidez de respsta na rejeiçã das perturbações n nível causadas pr variações d caudal de vapr pedid pela turbina, e cntrl pr retraçã destina-se a estabilizar sistea e eliinar s errs residuais. Este exepl tiva prblea seguinte: Cnsidere sistea delad pr * A ( q 1 ) y( t d) u( v( t d) (1) e que d 1 é atras d sistea (cnhecid) e A * ( q 1 ) é u plinói n peradr atras 1 q dad pr A * ( q 1 ) 1 a q 1 1 a q n n e que s ceficientes a,, a sã cnhecids. 1 n A saída d sistea é y, a entrada u e v é ua perturbaçã. N instante t, v ( é cnhecida, as v( t d) nã. Sabe-se n entant que v pde ser delada c ruíd branc de variância unitária filtrad apenas c c póls, u seja: e que H * ( q 1 H * ( q 1 ) 1 h q ) v( ( 1 1 h q p Deterine a lei de cntrl que perite calcular u ( pr fra a iniizar funcinal de variância ínia J ( u( ) E y ( t d) I VM t p As bservações dispníveis n instante t, t I, sã y até t, u até 1 t e v até t.

17 J. Miranda Les - IST Prbleas Cntrl pr Cputadr 17 Sugestã: Escreva a perturbaçã v( t d) c a sa de u preditr d passs à frente e u err de prediçã, e use esta sa n del (1). P5. Cnsidere sistea descrit pel del ARMAX y( t 1) ay( u( e( t 1) ce( a) Usand a técnica baseada e plinóis btenha cntrl de variância ínia. b) Supnha que cntrl aplicad a sistea é definid pr ua retracçã da saída da fra u( Ky( Obtenha a variância da saída e regie estacinári e funçã d ganh K e ds parâetrs a e c. Sugestã: Cece pr escrever ua equaçã de diferenças para y ( 1) t depis calcule regie estacinári. Sluçã: li E t 1 c ( K y ( 1 ( K a) a) c E e c) Obtenha ua equaçã para ganh que inia a variância derivand e rde a ganh a expressã que bteve e b). Mstre que cntrladr que bteve na alínea a) é ua das sluções desta equaçã. d) Te agra a 0. 6 e c Usand MATLAB, represente graficaente a variância da saíuda e funçã d ganh K, usand a expressã deduzida na alínea b) para este cas particular. Observe que a expressã frnece valres da variância inferires a crrespndente a ganh de variância ínia calculad e a). Explique paradx. P6. Cnsidere sistea descrit pela equaçã y( 1.5y( t 1) 0.5y( t ) u( t 1) e( e que u é a variável anipulada, y é a saída edida e e é u sinal de ruíd branc c variância unitária. Respnda às seguintes perguntas:

18 J. Miranda Les - IST Prbleas Cntrl pr Cputadr 18 a) Deterine a lei de cntrl, dita de de variância ínia, que iniiza cust VM J E y ( t 1) I e que I t y(, y( t 1),, u( t 1), u( t ), ds dads entrada/saída cnhecidas até à astra t. t é cnjunt das bservações b) Calcule a variância da saída c cntrl de variância ínia. c) Calcule a variância da entrada u c cntrl de variância ínia. d) Calcule agra a lei de cntrl que iniiza cust quadrátic c u pes 0,5 na acçã de cntrl: VM J E y ( t 1) u ( I t P7. Cnsidere sistea descrit pela equaçã y( 1.5y( t 1) 0.5y( t ) u( t 1) 0.5u( t ) e( e que u é a variável anipulada, y a saída edida e e u sinal de ruíd branc c variância unitária. Respnda às seguintes perguntas: a) Deterine a lei de cntrl, dita de de variância ínia, que iniiza cust VM J E y ( t 1) I e que I t y(, y( t 1),, u( t 1), u( t ), ds dads entrada/saída cnhecidas até à astra t. t é cnjunt das bservações b) Calcule a variância da saída c cntrl de variância ínia. c) Mstre que, c a lei de cntrl da alínea a), e regie estacinári se te y( e( d) Calcule agra a lei de cntrl que iniiza cust quadrátic c u pes 4 na acçã de cntrl: VM J E y ( t 1) u ( I t P8. Cnsidere sistea descrit pel del ARMAX y( t 1) ay( u( e( t 1) ce(,

19 J. Miranda Les - IST Prbleas Cntrl pr Cputadr 19 e que u é a variável anipulada, y a saída, a e c parâetrs psitivs e estritaente enres d que 1, t tep discret e e ua sequência branca, de édia nula e variância unitária. a) Supnha nesta alínea que a variável anipulada u é nula. Calcule ua expressã, e funçã d parâetr a, preditr passs à frente e a respectiva variância d err de prediçã. b) Usand a técnica baseada e plinóis btenha cntrl de variância ínia e a variância ínia atingível para a saída. c) Supnha que cntrl aplicad a sistea é definid pr ua retracçã da saída da fra u( Ky( Obtenha a variância da saída e regie estacinári e funçã d ganh K e ds parâetrs a e c. P9. O increent y e relaçã a valr de equilíbri da altitude de ua aernave está sujeita a ua perturbaçã estcástica devida a turbulência atsférica e é delad pr y ( t 1) 0.8y( u( e( t 1) e que e é u sinal branc, gaussian, de édia nula e variância unitária e u é a variável anipulada que perite actuar sbre a altitude. a)deterine cntrladr de variância ínia b)deterine a ptência da saída, e regie estacinári, quand é utilizad cntrladr de variância ínia. c)deterine a ptência, e regie estacinári, quand a variável anipulada é u ( 0, crrespndend à situaçã e que nã há cntrl. Diga se há u nã vantage e usar cntrl de variância ínia. P10. Mata-scas rbótic. A crdenada da psiçã (nu und unidiensinal) d centr de u ata-scas rbtizad satisfaz del y ( t ) 0.5y( t 1) u( e( t )

20 J. Miranda Les - IST Prbleas Cntrl pr Cputadr 0 e que {e} é u sinal branc, gaussian, de édia nula e variância unitária e u é a variável anipulada d ata-scas a) Deterine cntrladr que iniiza J E y ( t ) w ( t ) I t e que a psiçã da sca w satisfaz w( 0.9w( t 1) ( send {} u sinal branc, de variância e independente de {e}. Adita que n instante t apenas se cnhece w ( e seu passad, nã send este sinal cnhecid c antecipaçã, quer dizer, w ( t ) e w( t 1) nã sã cnhecids n instante t. b) Deterine a ptência d err de seguient, e regie estacinári, quand é utilizad cntrladr de variância ínia que diensinu.