LÓGICA FORMAL parte 2 QUANTIFICADORES, PREDICADOS E VALIDADE

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1 LÓGICA FORMAL parte 2 QUANTIFICADORES, PREDICADOS E VALIDADE Algumas sentenças nã pdem ser expressas apenas cm us de símbls prpsicinais, parênteses e cnectivs lógics exempl: a sentenç a Para td x, x >0 é verdadeira para cnjunt ds inteirs psitivs essa sentença cnté m dis nvs elements: um quantificadr e um predicad QUANTIFICADORES: indicam quants bjets tê m uma determinada prpriedade exempl: 'para td', 'para cada' u 'para algum' 'para td x' PREDICADOS: um predicad descreve a prpriedade P(x) ds bjets quantificads em uma sentença P(x) = 'x > 0' descreve a prpriedade da variável x, que é ser psitiva quantificadr age sbre predicad QUANTIFICADOR UNIVERSAL: simblizad pr, cada' u 'para qualquer' exempl: ( x)(x>0) significa Para td x, x >0 lê -se 'para tds', 'para QUANTIFICADOR EXISTENCIAL: simblizad pr, pel mens um' u 'para algum' exempl: ( x)(x>0) significa Existe um x tal que x>0 lê -se 'existe um', 'para OBS: quantificadr e sua variável sã sempre clcads entre parênteses predicad é a expressã n segund par de parênteses VALOR-VERDADE DE UMA EXPRESSÃO O valr-verdade de uma expressã P(x) depende da interpretaçã da expressã

2 A INTERPRETAÇÃO da expressã envlve: 1. O DOMÍNIO DA INTERPRETAÇÃO: dmí ni ds bjets sb s quais a expressã é interpretada 2. a Prpriedade que P(x) representa nesse dmíni exempls: a expressã ( x)(x>0) é verdade para dmí ni ds inteirs psitivs e é falsa se dmíni fr tds s inteirs a expressã ( x) P(x) é verdade, para a prpriedade P(x) = x é divisível pr 2, se dmíni fr tds s pares para a prpriedade P(x) = x é um livr de capa azul, e dmí ni fr tds s livrs de uma bibliteca, a expressã ( x) P(x) é verdade, se existir pel mens um livr azul na bibliteca PREDICADOS UNÁRIOS envlvem prpriedades de uma variá vel - s i predicads vists at é aqui PREDICADOS BINÁRIOS, TERNÁRIOS,..., N-Á RIOS envlvem prpriedades de duas, três,..., N variáveis a expressã ( x)( y) P(x,y) é lida cm Para td x existe um y tal que P(x,y) Se P(x,y) é a prpriedade x < y e dmí ni cnsiste em nú mers inteirs, iss implica que para qualquer inteir existe um inteir ainda mair valr-verdade desta expressã a expressã ( y)( x) P(x,y) é lida cm é verdadeir Existe pel mens um y tal que para td x, P(x,y) Se P(x,y) é a prpriedade x < y e dmí ni cnsiste em númers inteirs, iss implica que mair que qualquer inteir valr-verdade desta expressã existe um inteir ' y ' que é é fals O exempl acima mstra que a rdem na qual s quantificadres aparecem é imprtante

3 ESCOPO DE UM QUANTIFICADOR é a seçã da wff para a qual s quantificadres se aplicam s símbls de agrupament (parê nteses, clchetes, etc.) ajudam a identificar escp de um quantificadr Em alguns cass UMA wff PODE NÃ O TER UM VALOR-VERDADE DETERMINADO PARA UMA CERTA INTERPRETAÇÃO valr-verdade de uma wff deve cnsiderar escp ds quantificadres cnsidere a seguinte wff: ( x)( y) [P(x,y) Q(x,y)] escp d quantificadr ( y) é [P(x,y) Q(x,y)] escp d quantificadr ( x) é ( y) [P(x,y) Q(x,y)] para a interpretaçã cuj dmíni sã tds s inteirs, P(x,y) é a prpriedade x <= y e Q(x,y) é a prpriedade x divide y, a wff é VERDADEIRA pr exempl, se esclherms, para qualquer valr de x, um valr de y que seja múltipl de x, tal cm y = 3x, a wff é cnsidere, agra, a seguinte wff: ( x)[( y)p(x,y) Q(x,y)] escp d quantificadr ( y) é P(x,y) escp d quantificadr ( x) é [( y)[p(x,y) Q(x,y)] verdadeira para a interpretaçã d exempl anterir, cuj dmíni sã tds s inteirs, P(x,y) é a prpriedade x <= y e Q(x,y) é a prpriedade x divide y, NÃO haver á valr-verdade determinad para esta wff nessa wff, dad qualquer valr de x, pdems esclher um y para que ( y)p(x,y) seja verdadeira, mas valr de y em Q(x,y) nã est á assciad a nenhum escp; nesse cas y est á livre para tmar qualquer valr n dmíni da interpretaçã se tmarms y múltipl de x, entã Q(x,y) é verdadeira, trnand a expressã inteira verdadeira se tmarms y nã múltipl de x, entã Q(x,y) é falsa, trnand a expressã inteira falsa prtant, nã é pssí vel, determinar valr-verdade da expressã para esta interpretaçã

4 A crrência de uma variável em uma wff é chamada de uma OCORRÊNCIA LIGADA em duas cndições: quand é a variável que define que quantificadr quantifica, ( y) e ( x), na wff d exempl anterir quand est á dentr d escp d quantificadr envlvend esta variável a variável y em P(x,y) est á dentr d escp da variá vel definida em ( y), na wff d exempl anterir a variável x em P(x,y) e Q(x,y) est á dentr d escp da variá vel definida em ( x), na wff d exempl anterir uma variável que tenha pel mens uma OCORRÊ NCIA LIGADA em uma wff é uma VARIÁVEL LIGADA uma VARIÁVEL LIVRE tem pel mens uma OCORRÊNCIA NÃ O LIGADA em uma wff a variável y, na wff d exempl anterir, também é uma VARIÁ VEL LIVRE, pis tem uma crrência livre em Q(x,y), ist é, est á fra de qualquer escp definid para y na wff perceba que um variá vel pde ser a mesm temp livre e ligada em uma wff uma wff cm variáveis livres PODEM nã ter valr-verdade determinad para uma dada interpretaçã, send verdadeira para alguns valres das variáveis livres e falsa para utrs uma wff cm predicads e sem variá veis livres tem valr-verdade em qualquer interpretaçã, embra esse valr-verdade pssa alterar-se de uma interpretaçã para utra ii

5 SENTENÇAS CONTENDO PREDICADOS E QUANTIFICADORES Cnsidere dmí ni Td mund A sentenç a Td ser human é livre est á dizend que qualquer cisa que seja um ser human é livre. Fazend P(x) dentar x é um ser human e Q(x) dentar x é livre, vems que a sentença pde ser simblizada pr ( x) [P(x) Q(x)] Qualquer ser human é livre e cada ser human é livre sã variantes dessa sentença em Prtuguês A sentenç a Existe um ser human livre é dentada cm ( x) [P(x) Q(x)] Alguns seres humans sã livres e Existem seres humans livres sã variantes dessa sentença em Prtuguês Usams ( x) para a implicaçã e ( x) para a cnjunçã As duas utras cmbinações pssí veis quase nunca expressam que se deseja dizer: A wff ( x) [P(x) Q(x)] denta que tds s elements d dmí ni sã seres humans livres A wff ( x) [P(x) Q(x)] é verdadeira na medida em que haja algum element x d dmíni que nã seja ser human, pis neste cas, P(x) assume fals e a implicaçã é verdadeira NEGAÇÃO COM QUANTIFICADORES Seja a prpriedade A(x) = x é bnit A sentenç a Tud é bnit é representada simblicamente cm ( x)a(x) A negaçã dessa sentença é Nã é verdade que tud é bnit u Alg nã é bnit, e é representada simblicamente cm: [( x)a(x)] ( x)[ A(x)] Nte que Tud nã é bnit diz alg mais 'frte' que a negaçã da sentença riginal ( Tud é bnit ) A sentenç a Alg é bnit é representada simblicamente cm ( x)a(x) A negaçã dessa sentença é Nã é verdade que alg é bnit, Tud nã é bnit u Nada é bnit, e é representada simblicamente cm: [( x)a(x)] ( x)[ A(x)]

6 nte que Alg nã é bnit nã é tã 'frte' quant a negaçã da sentenç a riginal ( Alg é bnit ) VALIDADE wffs prpsicinais: wffs que cntêm apenas sí mbls prpsicinais e cnectivs/peradres lógics sempre têm valres-verdade, s quais dependem ds valres- verdade atribuíds as símbls prpsicinais n têm 2 valres-verdade para uma tautlgia é uma wff verdadeira para tdas as atribuiçõ es de valres-verdade existe um algritm (tabela-verdade) para determinar se uma wff é u nã uma tautlgia wffs predicativas: wffs que cntêm predicads e variáveis e pdem nã ter valres- verdade a existência, u nã, de valr-verdade para uma wff predicativa depende da interpretaçã uma wff válida é verdadeira para tdas as interpretações nã existe um algritm para determinar se uma wff é u nã válida (precisams usar racicí ni para determinar quand a frma de uma wff a trna verdadeira para qualquer interpretaçã) iii